【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-3）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-3） 一．选择题（共15小题） 1．如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向平移，得到菱形A′B′C′D′，A′B′，A′D′分别交BC，CD于点G，H，若AA′＝x（0＜x＜AC），GH＝y，则y与x之间的关系大致可以用函数图象表示为（　　） A． B． C．D． 2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则CD的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D． 3．抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是C，直线x＝1与抛物线的交点为A，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0），下列结论：①2a+b＜0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．小轩在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 2 4 … y … 12 0 ﹣3 ﹣3 5 … 则下列关于这个函数的结论错误的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．在函数图象上有两点（x1，﹣1），（x2，﹣2），则x1＞x2 C．该函数图象经过点（3，0） D．当x＞1时，y随x的增大而增大 5．很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（如图①中的R1），R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图②），空气中一氧化碳体积浓度（ppm）与一氧化碳质量浓度c的关系见图③．下列说法不正确的是（　　） A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小 B．当0g/m3时，R1的阻值小于50Ω C．当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，燃气报警器为报警状态 D．当R1＝20Ω时，燃气报警器为报警状态 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③m≠1时，a+b＜am2+bm，④a﹣b+c＜0，⑤当且x1≠x2时，x1+x2＝2，⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②④⑥ C．②⑤⑥ D．②③⑤ 7．如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（3，1），点M（0，m）为y轴上一点，且m＞0．现连接OA，OB，AM，BM，若四边形AOBM所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（　　） A．2＜m＜3 B．2＜m≤3 C． D． 8．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 9．如图，抛物线与抛物线相交于点P（﹣2，m），过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是PN的中点，则的值是（　　） A． B．2 C． D．3 10．在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A．灯丝的阻值RL为2Ω B．用含R的代数式表示I为 C．当滑动变阻器的电阻为2Ω时，串联电路电流为3A D．要使通过灯泡的电流不低2A，则调节滑动变阻器电阻的范围为R＜4Ω 11．已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 12．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是（　　） A．80 B．85 C．90 D．95 13．已知函数y＝3﹣|x﹣2|的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（　　） A．点A的坐标为（4，0） B．直线AB的解析式为y＝﹣x+5 C．不等式3﹣|x﹣2|＞0的解集为﹣1＜x＜4 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 14．已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0），y与x的部分对应值如表所示： x … 1 2 3 4 5 … y … m ﹣4 ﹣3 0 5 … 下面四个结论中，正确的有（　　） ①a＜0； ②抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的顶点为（2，﹣4）； ③关于x的方程ax2+bx＝5的解为x1＝﹣1，x2＝5； ④m＝﹣3． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 15．为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图1，固定展板ABCD（顶点A、C在直线展台MN上）与移动展板EFGH（顶点E、G在直线展台MN上），移动展板可沿MN平移．设固定展板顶点C与移动展板顶点E的距离为x（单位：m）（0≤x≤8），两个展板重叠部分的面积为y（单位：m2），y关于x的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（　　） A．正方形的对角线长为 B．当x＝2时，重叠面积y＝2m2 C．当x＝5时，重叠面积y＝6m2 D．函数图象的最高点的坐标为（4，10） 二．填空题（共15小题） 16．新定义：我们把二次函数y＝ax2+bx+c（其中abc≠0）与y＝ax2+cx+b称为“相关函数”．例如：二次函数y＝x2+2x+3的“相关函数”为y＝x2+3x+2．已知二次函数的“相关函数”为C2． （1）二次函数C2的对称轴为直线　 　 ； （2）已知二次函数C1的图象与x轴交于点M，N，二次函数C2的图象与x轴交于点P，Q，若MN＝PQ，则二次函数C1与C2对称轴之间的距离为　 　 ． 17．如图，四边形ABCD为正方形，点P为平面内一点，已知PA＝2，PB＝4，则PC的最大值为　 　 ． 18．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，M，N分别是边AD，AB上任意一点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A落在对角线BD上的点E处，下列结论．①△MED∽△ENB；②若∠DME＝24°，则∠ENM＝42°；③若M是AD的中点，则四边形MNBE是菱形；④若菱形边长为6，M是AD的中点，去掉点A落在对角线BD上的条件，则CE的最小值为．其中所有正确结论的序号是　 　 ． 19．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，，连接BD．点E为BC上的一点，连接DE，且DE平分∠BDC，连接AE交BD于点F，则AF的长为　 　 ． 20．在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长为　 　 ． 21．如图，点A，B是⊙O上两点，连接AB，直径CD与AB垂直于点E，点F在⊙O上，连接AF，BF，过点A作AG⊥BF交⊙O于点G，过点D作⊙O的切线交FG的延长线于点H，若，CD＝8，∠H＝60°，则DE＝　 　 ，AF＝　 　 ． 22．如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AB＝2，则的长为　 　 ． 23．在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　 　 ． 24．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2，E为CD的中点，连接AE，过点A作AF⊥AE，与CB延长线交于点F． （1）的值为　 　 ． （2）已知BC边上有一点G，连接AG．若AG平分∠FAE，则AG的长度为　 　 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，点A（8，4）、B为反比例函数图象上两点，BC⊥y轴于点C． （1）S△BOC＝ 　 　 ； （2）若∠BOC+2∠AOB＝90°，则B点坐标为 　 　 ． 26．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，AC＝4，AB＝5，则AD的长为 　 　 ． 27．已知抛物线的顶点为坐标原点O，过O作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点A、B，连接AB．求AB边上的高的最大值为　 　 ． 28．如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．记函数的图象为曲线L． （1）若曲线L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m＝　 　 ； （2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k为整数时，曲线L离原点最近的k的值为　 　 ． 29．如图，已知AB＝3，AC＝1，CB＝CD，∠BCD＝90°，则线段AD长的最大值为　 　 ． 30．如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线分别交⊙O、AB于点D，M，则线段DM的长为　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝3，D为对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积； （3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）． 32．在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1．某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且∠CEF＝∠GHK＝∠NMR＝15°，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度AB＝26cm，宽BC＝4cm，解决下列问题： （1）图中∠HKF的度数为　 　 °； （2）求FK的长（精确到0.1cm）； （3）请直接写出格挡的宽度BT的大小（精确到1cm）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 33．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，矩形OBEF的顶点E在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）点M为直线BE上一动点，连接BF，MF，当∠MFB＝∠OBF时，求点M的坐标； （3）左右平移抛物线，当平移后的抛物线与线段BF只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围． 34．问题提出 （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝48°，D是△ABC外一点，且AD＝AC．以点A为圆心，AB长为半径作圆，则∠BDC的度数为　 　 ； 问题探究 （2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E是AB边的中点，F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连接B′C，求线段B′C长度的最小值； 问题拓展 （3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝10，动点M，N分别在边BC，CD上移动，且满足CM＝DN．连接AN和DM，交于点O．当点N从点D开始运动到点C时，点O也随之运动，请求出点O的运动路径长． 35．综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，A′为斜边AC的中点，将与△ABC全等的△A'B'C'绕点A′旋转得到△A′OD． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记A′D和A′O分别与BC交于点E，F，当A′D⊥AC时，猜想EF和A′F的数量关系为 　 　 ，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段A′D经过点B时，连接BO，试判断四边形AA′OB的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当△A′OD在AC下方，且△A′OD的直角边恰好与AC垂直时，设线段A′O与直线BC交于点G，直线BC交射线DO于点H，连接A′H，请直接写出A′H的长． 36．如图，抛物线yx2+bx+c过点C（﹣1，m）和D（5，m），A（4，﹣1）． 求：（1）抛物线的对称轴； （2）抛物线的函数表达式和顶点B的坐标； （3）直线AB的函数表达式． 37．某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状．在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头A到水面x轴的距离为2m，抛物线C1；C2是从喷水头A处喷出的两股水流．经测量得，抛物线C2的最高点C距离水面2.5m，且与喷水头A的水平距离为2m，设抛物线C2的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距水面的高度． （1）求抛物线C2的表达式； （2）若抛物线C1可以看作是C2向左平移n个单位长度得到的． ①求n的值； ②求抛物线C1与x轴的交点B的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线C1，C2之间（阴影区域）飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于0.5m（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头A的水平距离为km，直接写出k的取值范围． 38．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，△AOB的面积等于18． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，试用含t的式子表示S△BOP（S△BOP表示△BOP的面积），并直接写出t的取值范围； （3）如图2，若点P在AO上，点Q在BO上，AQ与BP交于点C，过点B作BH⊥AQ交直线AQ于点H，交y轴于点D，当△BHC的面积等于△OHC的面积时，求点D的坐标． 39．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是﹣1． （1）若该抛物线的对称轴为直线x＝1，并且经过点（﹣1，3），求抛物线对应的函数表达式． （2）若直线y＝ax+c经过抛物线y＝ax2+bx+c的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②A（p﹣4，y1），B（p，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，求p的取值范围． 40．几何探究： 【问题发现】 （1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是　 　 （选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案） 【类比探究】 （2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1：2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若BC＝2，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长． 41．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线yx+3上有一点A，x轴上有一点B（6，0），且满足∠OAB＝45°，直接写出点A的坐标． 42．如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边． 例如：若△ABC中，∠A＝2∠B，则△ABC为以边AB为底边的倍角三角形． （1）已知△ABC为倍角三角形，且∠ABC＝2∠C． ①如图1，若BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段有 　 　 ，图中相似三角形有 　 　 ； ②如图2，若AC的中垂线交边BC于点E，连接AE，则图中等腰三角形有 　 　 ． 问题解决 （2）如图3，现有一块梯形板材ABCD，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝48，BC＝132，AD＝68．工人师傅想用这块板材裁出一个△BCP型部件，使得点P在梯形ABCD的边上，且△BCP为以BC为底边的倍角三角形．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①作BC的中垂线l交BC于点E； ②在BC上方的直线l上截取EF＝33，连接CF并延长，交AD于点P； ③连接BP，得△BCP． 1）请问，若按上述作法，裁得的△BCP型部件是否符合要求？请证明你的想法． 2）是否存在其它满足要求的△BCP？若存在，请画出图形并求出CP的长；若不存在，请说明理由． 43．【教材再现】 （1）如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．求证：BE＝DF，BE⊥DF； 【纵向探变】 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC相交于点F．若CE＝2DE，求FG的长； 【横向拓展】 （3）保持（2）中AB，AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A＝120°，如图③所示．E是CD边上一点且满足CE＝2DE，点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出DG•DF的值． 44．张老师开展“45°角”主题学习活动，收到了同学们分享的几道优质习题，现邀请你一同思考解答． （1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AB＝4，D是BC的中点，则AD＝　 　 ． （2）如图2，正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接BD分别交AE，AF于点H，G，试猜想BE，DF，EF的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）基础上，点E为正方形ABCD的BC边上的点，点F在射线BC上，求的最大值，请直接写出结果． 45．如图1，在▱ABCD中，． （1）求AC的长． （2）把△ABC绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F． ①当点B的对应点E落在对角线AC上时，EF与DC的交点为G，求四边形ADGE的面积； ②如图2，点E在对角线AC下方时，线段EF的反向延长线交BD与点P，连接AP，求DP﹣AP的最小值． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-3） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A B D D C A D D B 题号 12 13 14 15 答案 B B B B 一．选择题（共15小题） 1．如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向平移，得到菱形A′B′C′D′，A′B′，A′D′分别交BC，CD于点G，H，若AA′＝x（0＜x＜AC），GH＝y，则y与x之间的关系大致可以用函数图象表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，记GH交A′C于点O，连接BD， ∵AB∥CD，AD∥BC，AD＝AB，BD⊥AC， 由平移的性质可得：A′B′∥AB，C′D′∥CD，C′B′∥CB，A′D′∥AD， ∴A′G∥HC，A′H∥GC， ∴四边形A′HCG是平行四边形， ∵A′B′∥AB，A′D′∥AD， ∴△A′GC∽△ABC，△A′HC∽△ADC， ∴，， ∴A′G＝A′H， ∴四边形A′HCG是菱形， ∴GH⊥AC， 设AC＝m，BD＝n，则A′C＝m﹣x， ∵A′B′∥AB， ∴∠GA′C＝∠BAC， 故，， 即， 整理得：， ∵为定值， ∵， ∴y随x的增大而减小． 故选：D． 2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则CD的长是（　　） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：连接OA， 设CD＝x， ∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．AB＝8， ∴， ∵OA＝OC＝5， ∴OD＝5﹣x， ∵OD2+AD2＝OA2， ∴（5﹣x）2+42＝52； 解得x1＝2，x2＝8（舍去）， ∴CD＝2． 故选：C． 3．抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是C，直线x＝1与抛物线的交点为A，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0），下列结论：①2a+b＜0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：①由题可知抛物线的对称轴在直线x＝1的右侧， 则， 则2a+b＞0， 故①错误，不符合题意； ②∵抛物线开口向下，则a＜0， ∵对称轴在y轴右侧，则b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0， ∴abc＜0， 故②错误，不符合题意； ③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意； ④∵抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）， ∴抛物线对称轴是直线x＝1，B（4，0）， 抛物线对称轴是直线x＝1，B（4，0） 故④错误，不符合题意． 则有一个正确， 故选：A． 4．小轩在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 2 4 … y … 12 0 ﹣3 ﹣3 5 … 则下列关于这个函数的结论错误的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．在函数图象上有两点（x1，﹣1），（x2，﹣2），则x1＞x2 C．该函数图象经过点（3，0） D．当x＞1时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解答】解：由题意可得： ， ∴， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∵1＞0， ∴该函数图象开口向上，A正确，不符合题意； 抛物线经过（0，﹣3）、（2，﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝1， 顶点坐标为（1，﹣4）， 当这两点（x1，﹣1），（x2，﹣2）在对称轴左侧时，x1＜x2，在对称轴右侧时，x1＞x2， B不正确，符合题意； 把（3，0）代入y＝x2﹣2x﹣3，左右两个相等，C正确，不符合题意； 因为抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，所以当x＞1时，y随x的增大而增大， D正确，不符合题意； 故选：B． 5．很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（如图①中的R1），R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图②），空气中一氧化碳体积浓度（ppm）与一氧化碳质量浓度c的关系见图③．下列说法不正确的是（　　） A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小 B．当0g/m3时，R1的阻值小于50Ω C．当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，燃气报警器为报警状态 D．当R1＝20Ω时，燃气报警器为报警状态 【答案】D 【解答】解：对于A选项：由图②可知，R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的增大而减小，故A选项说法正确，不符合题意； 对于B选项：由图②可知，当c＝0g/m3时，R1＜50Ω，故B选项说法正确，不符合题意； 对于C选项：由图③可知，一氧化碳体积浓度＝一氧化碳质量浓度c（g/m3）×103×0.80，当c＞0.5g/m3时报警器报警，此时体积浓度V＝0.5×103×0.8＝400ppm，当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，480ppm＞400ppm，故燃气报警器为报警状态，C选项说法正确，不符合题意； 当R1＝20Ω时，由图②可知对应的一氧化碳质量浓度c＝0.3g/m3，而报警条件是c＞0.5g/m3，故此时燃气报警器不为报警状态，D说法错误，符合题意． 故选：D． 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③m≠1时，a+b＜am2+bm，④a﹣b+c＜0，⑤当且x1≠x2时，x1+x2＝2，⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②④⑥ C．②⑤⑥ D．②③⑤ 【答案】D 【解答】解：①由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下可得a＞0， 由对称轴在y轴的右边可得x0，从而有b＜0， 由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c＜0， 则abc＞0，故①错误； ②由对称轴方程x1得b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确； ③由图可知，当x＝1时，y＝a+b+c最小，则对于任意实数m（m≠1），都满足a+b+c＜am2+bm+c，即a+b＜am2+bm，故③正确； ④由图像可知，x＝﹣1所对应的函数值为正， ∴x＝﹣1时，有a﹣b+c＞0，故④错误； ⑤若，且x1≠x2， 则， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴对称， ∴1﹣x1＝x2﹣1，即x1+x2＝2，故⑤正确． ⑥由图可知，当﹣1＜x＜3时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误； 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（3，1），点M（0，m）为y轴上一点，且m＞0．现连接OA，OB，AM，BM，若四边形AOBM所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（　　） A．2＜m＜3 B．2＜m≤3 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示，此时，C（1，2）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， ∴， 当x＝0时，， ∴， ∴； 如图3所示，此时，D（﹣1，2）， 设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，由条件可得： ， 解得， ∴y＝x+3， 当x＝0时，y＝x+3＝3， ∴M（0，3）， ∴m＝3； 综上，． 故选：C． 8．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】A 【解答】解：由图象可知a＜0， ∵二次函数的对称轴为， ∴b＝﹣2a＞0，故结论①正确，符合题意； 由函数图象可知，当x＜1时，y随着x的增大而增大；故结论②正确，符合题意； 图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴抛物线经过（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故结论③错误，不符合题意； ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故结论④错误，不符合题意； 二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴y＝a+b+c是最大值， ∴am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故结论⑤正确，符合题意； 故选：A． 9．如图，抛物线与抛物线相交于点P（﹣2，m），过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是PN的中点，则的值是（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解答】解：抛物线的对称轴为x＝0，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点P（﹣2，m）， ∴由抛物线的对称性可知M（2，m），N（2，m）， ∴PM＝4，， ∵点M是PN的中点， ∴4，即：b＝﹣4a2， 将P（﹣2，m），代入，可知：4a1＝m，4a2﹣2b＝m， 则a1＝a2b， ∴a1＝a2﹣（﹣2a2）， ∴a1＝3a2， ∴3， 故选：D． 10．在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A．灯丝的阻值RL为2Ω B．用含R的代数式表示I为 C．当滑动变阻器的电阻为2Ω时，串联电路电流为3A D．要使通过灯泡的电流不低2A，则调节滑动变阻器电阻的范围为R＜4Ω 【答案】D 【解答】解：观察图象得：当R＝0时，I＝6， ∴，解得：RL＝2， 即灯丝的阻值RL为2Ω，故A选项正确，不符合题意； ∴用含R的代数式表示I为，故B选项正确，不符合题意； 当R＝2时，， 即当滑动变阻器的电阻为2Ω时，串联电路电流为3A，故C选项正确，不符合题意； ∵通过灯泡的电流不低2A， ∴，解得：R≤4， 即要使通过灯泡的电流不低2A，则调节滑动变阻器电阻的范围为R≤4Ω，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 11．已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 【答案】B 【解答】解：由题知：抛物线的对称轴为直线， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B， ∴y1＜y3＜y2， 故选：B． 12．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是（　　） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】B 【解答】解：连接OD，过点A作AF⊥CD，垂足为F， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ECB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠CBE+∠ECB＝90°， ∴∠ACE＝∠CBE， ∵OB＝OC， ∴∠CBE＝∠OCB， ∴∠ACE＝∠OCB， ∵CD平分∠OCE， ∴∠OCD＝∠ECD， ∴∠ACE+∠DCE＝∠OCB+∠OCD∠ACB＝45°， ∴∠ACD＝45°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝90°， 在Rt△ACF中，AC＝10， ∴AF＝AC•sin45°＝105， CF＝AC•cos45°＝105， 在Rt△AOD中，AO＝ODAB＝13， ∴ADAO＝13， ∴DF12， ∴CD＝CF+DF＝17， ∴△ACD的面积CD•AF 175 ＝85， 故选：B． 13．已知函数y＝3﹣|x﹣2|的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（　　） A．点A的坐标为（4，0） B．直线AB的解析式为y＝﹣x+5 C．不等式3﹣|x﹣2|＞0的解集为﹣1＜x＜4 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解答】解：将y＝0代入y＝3﹣|x﹣2|， 0＝3﹣|x﹣2|， 解得x＝5或x＝﹣1， ∴点A的坐标为（5，0），故选项A错误，不符合题意； 由图象可知，当x≥2时，y＝3﹣（x﹣2）＝﹣x+5，即直线AB的解析式为y＝﹣x+5，故选项B正确，符合题意； 由y＝0可得x＝5或x＝﹣1，故不等式3﹣|x﹣2|＞0的解集为﹣1＜x＜5，故选项C错误，不符合题意； 当x＞1时，y随x的增大先增大，后减小，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 14．已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0），y与x的部分对应值如表所示： x … 1 2 3 4 5 … y … m ﹣4 ﹣3 0 5 … 下面四个结论中，正确的有（　　） ①a＜0； ②抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的顶点为（2，﹣4）； ③关于x的方程ax2+bx＝5的解为x1＝﹣1，x2＝5； ④m＝﹣3． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：∵y＝ax2+bx（a≠0）， ∴x＝0时，y＝0， ∴图象经过点（0，0）， ∵图象经过（4，0）， ∴图象对称轴为直线x2， 由表格可得，x＞2时，y随x的增大而增大， ∴抛物线图象开口向上，a＞0，故①不正确； ∵图象对称轴为直线x＝2， ∴抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的顶点为（2，﹣4），故②正确； ∵图象对称轴为直线x＝2， ∴点（5，5）关于直线x＝2的对称点为（﹣1，5）， ∴抛物线经过（﹣1，5），（5，5）， ∴关于x的方程ax2+bx＝5的解为x1＝﹣1，x2＝5，故③正确； ∵抛物线经过（3，﹣3），抛物线对称轴为直线x＝2， ∴抛物线经过点（1，﹣3）， ∴m＝﹣3，故④正确． 故选：B． 15．为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图1，固定展板ABCD（顶点A、C在直线展台MN上）与移动展板EFGH（顶点E、G在直线展台MN上），移动展板可沿MN平移．设固定展板顶点C与移动展板顶点E的距离为x（单位：m）（0≤x≤8），两个展板重叠部分的面积为y（单位：m2），y关于x的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（　　） A．正方形的对角线长为 B．当x＝2时，重叠面积y＝2m2 C．当x＝5时，重叠面积y＝6m2 D．函数图象的最高点的坐标为（4，10） 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的正方形，AC与EG是对角线， ∴AC＝EG，AD＝CD，∠DCA＝∠DAC＝45°＝∠HEG，∠D＝∠DCB＝90°＝∠HEF， ∴AD∥EH， 由图1及图2知：当x＝0（即点E与点C重合）时，y＝0， 当x＝8（即CE＝8）时，y＝0， 此时8＝CE＝AC+EG＝AC+AC＝2AC， ∴EG＝AC＝4，故选项A不正确； ∴， ∴，即正方形ABCD与正方形EFGH的边长为， 当x＝2时，此时点E为AC的中点，如图，设CD交EH于点P，BC交EF于点Q， ∴CE＝2， ∵AD∥EH，∠D＝∠DCB＝90°＝∠HEF， ∴∠EPC＝∠D＝90°＝∠DCB＝∠HEF， ∴四边形EPCQ是矩形， ∵∠DCA＝45°＝∠HEG， ∴EP＝CP， ∴四边形EPCQ是正方形， ∴， ∴， ∴重叠面积，故选项B正确； 当x＝5时，如图，设AD交GH于点R，AB交GF于点S， ∴CE＝5，四边形ARGS是正方形， ∵AC＝EG＝4，AR＝RG， ∴AE＝CE﹣AC＝5﹣4＝1， ∴AG＝EG﹣AE＝4﹣1＝3， ∴， ∴， ∴重叠面积，故选项C不正确； 由图1及图2知：当x＝4（即点E与点A重合）时，y取得最大值， 此时正方形EFGH与正方形ABCD重合， ∵正方形ABCD的边长为， ∴此时重叠面积， ∴函数图象的最高点的坐标为（4，8），故选项D不正确， 故选：B． 二．填空题（共15小题） 16．新定义：我们把二次函数y＝ax2+bx+c（其中abc≠0）与y＝ax2+cx+b称为“相关函数”．例如：二次函数y＝x2+2x+3的“相关函数”为y＝x2+3x+2．已知二次函数的“相关函数”为C2． （1）二次函数C2的对称轴为直线x＝﹣2　 ； （2）已知二次函数C1的图象与x轴交于点M，N，二次函数C2的图象与x轴交于点P，Q，若MN＝PQ，则二次函数C1与C2对称轴之间的距离为　6　 ． 【答案】（1）x＝﹣2； （2）6． 【解答】解：（1）由“相关函数”的定义，得C2的解析式为y＝ax2+4ax+（4a+1）， ∴二次函数C2的对称轴为直线； 故答案为：x＝﹣2； （2）对于二次函数y＝Ax2+Bx+C，设其与x轴两交点横坐标为x1，x2，由根与系数的关系得：，， ∴， ∴两交点距离， 对于，判别式，则，由Δ1≥0得且a≠0， 对于，判别式，则，由Δ2≥0且a≠0得a＜0， 综上，a的取值范围为， 由MN＝PQ，得， 因为|a|≠0，两边同乘|a|得， 两边平方得：8a+1＝﹣4a， 解得，符合取值范围， C1的对称轴为直线， C2的对称轴为直线x2＝﹣2，则两对称轴之间的距离为|4﹣（﹣2）|＝6． 故答案为：6． 17．如图，四边形ABCD为正方形，点P为平面内一点，已知PA＝2，PB＝4，则PC的最大值为　2+4　 ． 【答案】． 【解答】解：过点B作BE⊥BP，且BE＝PB，连接AE、PE、PC， ∵BE＝PB，PB＝4，BE2+PB2＝PE2， ∴， ∵四边形是ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠ABE＝∠ABP+90°，∠CBP＝∠ABP+90°， ∴∠ABE＝∠CBP， 在△ABE和△CBP中， ， ∴△ABE≌△CBP（SAS）， ∴AE＝PC， ∵AE≤PE+AP， ∴当点A、P、E三点共线时，AE最大，此时AE＝AP+PE， ∵PA＝2， ∴， 即PC的最大值为， 故答案为：2+4． 18．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，M，N分别是边AD，AB上任意一点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A落在对角线BD上的点E处，下列结论．①△MED∽△ENB；②若∠DME＝24°，则∠ENM＝42°；③若M是AD的中点，则四边形MNBE是菱形；④若菱形边长为6，M是AD的中点，去掉点A落在对角线BD上的条件，则CE的最小值为．其中所有正确结论的序号是　①②③　 ． 【答案】①②③． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ABD＝60°， ∵将菱形ABCD沿MN翻折，点A落在对角线BD上的点E处， ∴∠MEN＝∠A＝60°， ∴∠MED+∠BEN＝120°， 又∵∠MED+∠DME＝120°， ∴∠DME＝∠BEN， ∴△MED∽△ENB， ∴结论①正确，符合题意； ∵∠DME＝24°， 由①可知，∠DME＝∠BEN＝24°， 在△ENB中，∠ENB＝180°﹣∠EBN﹣∠BEN＝180°﹣60°﹣24°＝96°， 由折叠可知，， ∴∠ANE＝180°﹣∠ENB＝180°﹣96°＝84°， ∴， 结论②正确，符合题意； 如图1，M是AD的中点， ∴AM＝DM， 由折叠可知，AM＝EM， ∴DM＝EM， ∴∠MDE＝∠MED＝60°， ∴△DEM是等边三角形， 同理可得△BEN是等边三角形， ∴DE＝EM＝AM＝BN＝EN， ∴四边形MNBE是平行四边形， 又∵EN＝BN， ∴四边形MNBE是菱形， 结论③正确，符合题意； ∵菱形边长为6，M是AD的中点， ∴， 由折叠可知，AM＝EM＝3， ∴点E的轨迹是以点M为圆心，AM＝3为半径的圆上， 当C，E，M三点共线时，CE取得最小值， 此时CE＝CM﹣EM， 如图2，过点M作MF⊥CD交CD延长线于点F， ∵∠CDM＝120°， ∴∠FDM＝60°， 在Rt△DFM中，， 由勾股定理得：， ∴， 在Rt△CFM中，由勾股定理得：， ∴， ∴结论④错误，不符合题意， 综上所述，正确结论序号是①②③， 故答案为：①②③． 19．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，，连接BD．点E为BC上的一点，连接DE，且DE平分∠BDC，连接AE交BD于点F，则AF的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝1，， ∴AB＝CD＝1， ， ∴∠BDC＝60°， ∵DE平分∠BDC， ∴∠EDC＝30°， ， ∴，， ， ∵AD∥BC， ∴△BEF～△DAF， ∴， ， 故答案为：． 20．在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长为　或　 ． 【答案】或． 【解答】解：∵△ABC为“中垂三角形”，即AD⊥BE于点P， 又∵AB＝4，∠DAB＝30°， ∴， ∴， ∵AD、BE分别是中线，连接DE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴EF∥AB， ∵∠BAP＝∠EDP，∠ABP＝∠DEP， ∴△ABP∽△DEP， ∴， ∴， ∵DP2+BP2＝DB2， ∴， ∴； 如图，当CF⊥AD时， 同理可得，，，PF＝1， ∵DP2+CP2＝DC2， ∴ ∴； 如果△ABC是“中垂三角形”，设三条中线相交于P，当BE⊥CF时，取BF中点G，连接PG，过G作GH⊥AD于H， ∵E为AB中点， ∴， ∵G为EB中点， ∴， 又BE⊥CF， ∴， ∵GH⊥AD，∠DAB＝30°，AG＝AE+EG＝3， ∴， ∴GH＞PG，这与垂线段最短相矛盾， ∴不存在CF⊥BE； 综上，BC的长为或． 故答案为：或． 21．如图，点A，B是⊙O上两点，连接AB，直径CD与AB垂直于点E，点F在⊙O上，连接AF，BF，过点A作AG⊥BF交⊙O于点G，过点D作⊙O的切线交FG的延长线于点H，若，CD＝8，∠H＝60°，则DE＝　2　 ，AF＝　　 ． 【答案】2；． 【解答】解：如图，连接AO、BO、OG、OF、BG，过点B作BM⊥AF于点M，设BF交AG于点N， ∵直径CD与AB垂直于点E，，CD＝8， ∴∠AEO＝90°，，，， ∴，， ∴，DE＝OD﹣EO＝4﹣2＝2， ∴∠AOE＝60°， ∴和的度数为60°，即的度数为120°， ∴∠AOB＝60°+60°＝120°， ∴， ∵， ∴∠AGB＝∠AFB＝60°， ∵AG⊥BF， ∴∠BNG＝90°， ∴∠FBG＝90°﹣∠BGN＝90°﹣60°＝30°， ∵，且所对的圆心角为∠FOG， ∴∠FAG＝∠FBG＝30°， ∴∠FOG＝2∠FAG＝2×30°＝60°， ∵OG＝OF，∠H＝60°，DH切⊙O于点H， ∴△OFG为等边三角形，∠CDH＝90°， ∴∠OGF＝60°＝∠H， ∴OG∥DH， ∴∠DOG＝180°﹣∠CDH＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOG＝∠AOD+∠DOG＝60°+90°＝150°，即的度数为150°， ∴， ∴∠BFG＝∠AFG﹣∠AFB＝75°﹣60°＝15°， ∵， ∴∠BAG＝∠BFG＝15°， ∴∠BAF＝∠BAG+∠GAF＝15°+30°＝45°， 在△ABF中，BM⊥AF，，∠BAF＝45°，∠AFB＝60°， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2；． 22．如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AB＝2，则的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作CM⊥AB交AB延长线于M，CN⊥AD于N， ∵AB是圆内接正六边形的一边， ∴的度数， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝2， ∴该圆的半径为2； ∵AC是圆内接正方形的一边， ∴的度数， ∴的度数＝90°﹣60°＝30°， ∵AD是圆内接正三边形的一边， ∴的度数， ∴的度数＝120°﹣90°＝30°， ∴， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴AC平分∠BAD， ∴的长， 故答案为：． 23．在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图所示，过点F分别作AB，AD的垂线，分 别交AB，AD于点H，N． ∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴四边形AHFN是矩形． ∵AF⊥BE，AB＝AD＝10，BF＝6， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴线段DF的长是， 故答案为：． 24．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2，E为CD的中点，连接AE，过点A作AF⊥AE，与CB延长线交于点F． （1）的值为　3　 ． （2）已知BC边上有一点G，连接AG．若AG平分∠FAE，则AG的长度为　　 ． 【答案】（1）3； （2）． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AD＝3，AB＝2， ∴∠BAD＝∠ADE＝∠ABC＝90°，DC＝AB＝2， ∵AF⊥AE， ∴∠FAE＝∠BAD＝90°， ∴∠FAE﹣∠BAE＝∠BAD﹣∠BAE， ∴∠FAB＝∠EAD， ∵∠ABF＝∠ADE＝90°， ∴△AFB∽△AED， ∴， ∵E为CD的中点， ∴DEDC＝1， ∵AD＝3， ∴， 故答案为：3； （2）如图，过点G作GH⊥AF于点H， ∵， ∴，则， ∵∠F＝∠F，∠ABF＝∠GHF＝90°， ∴△ABF∽△GHF， ∴． ∵AF⊥AE，AG平分∠FAE， ∴∠GAE＝∠FAG＝45°， ∴∠HGA＝45°， ∴AH＝GH，即， 解得， ∴， 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，点A（8，4）、B为反比例函数图象上两点，BC⊥y轴于点C． （1）S△BOC＝ 　16　 ； （2）若∠BOC+2∠AOB＝90°，则B点坐标为 　　 ． 【答案】（1）16；（2）． 【解答】解：（1）∵点A（8，4），B为反比例函数图象上两点， ∴k＝8×4＝32， ∴反比例函数解析式为：， ∵BC⊥y轴于点C， ∴， 故答案为：16， （2）如图，延长OA交CB的延长线于F，过A作AD⊥x轴于D， ∵A（8，4）， ∴， ∵∠BOC+2∠AOB＝90°，∠BOC+∠AOB+∠AOD＝90°， ∴∠AOB＝∠AOD， ∵BC⊥y轴， ∴BC∥x轴， ∴∠F＝∠AOD， ∴∠AOB＝∠F， ∴BO＝BF，， ∴CF＝2CO， 设， ∴，， ∴， 解得：舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 26．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，AC＝4，AB＝5，则AD的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5， ∴BC3， 由折叠可得：CD＝DE，∠AED＝∠C＝90°，BE＝CB＝3， ∴AE＝AB﹣BE＝2， 设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝4﹣x， 在直角三角形ADE中，AD2＝AE2+DE2， ∴（4﹣x）2＝22+x2， 解得：x， ∴AD＝4， 故答案为：． 27．已知抛物线的顶点为坐标原点O，过O作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点A、B，连接AB．求AB边上的高的最大值为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：如图，过点A，B分别作x轴垂线，交x轴于点C，D， 设点，， 则：直线AB的表达式为：， 直线OA的表达式为：， 直线OB的表达式为：， ∵OA⊥OB， ∴∠ACO＝∠AOB＝∠ODB＝90°， ∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠DOB， ∴△CAO∽△DOB， ∴， ∴ab＝﹣16， 则直线AB的表达式为：， ∴直线AB必过（0，4）点， ∴当AB与x轴平行时，AB边上的高有最大值，为4， 故答案为：4． 28．如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．记函数的图象为曲线L． （1）若曲线L过点T3，则它必定还过另一点Tm，则m＝　6　 ； （2）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k为整数时，曲线L离原点最近的k的值为　﹣29　 ． 【答案】（1）6； （2）﹣29． 【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8）， ∵L过点T3， ∴k＝﹣12×3＝﹣36， ∴反比例函数解析式为：， 当x＝﹣6时，y＝6， ∴T6在反比例函数图象上， ∴m＝6． 故答案为：6； （2）∵若曲线L过点T1（﹣16，1）、T8（﹣2，8）时，k＝﹣16， 若曲线L过点T2（﹣14，2）、T7（﹣4，7）时，k＝﹣28， 若曲线L过点T3（﹣12，3）、T6（﹣6，6）时，k＝﹣36， 若曲线L过点T4（﹣10，4）、T5（﹣8，5）时，k＝﹣40， ∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴﹣36＜k＜﹣28， ∴整数k＝﹣35、﹣34、﹣33、﹣32、﹣31、﹣30、﹣29共7个， ∵|k|越小反比例函数图象离原点越近， ∴曲线 L 离原点最近的k 的值为﹣29． 故答案为：﹣29． 29．如图，已知AB＝3，AC＝1，CB＝CD，∠BCD＝90°，则线段AD长的最大值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵CB＝CD，∠BCD＝90°， 将△ABC绕点C逆时针旋转90°，使CB与CD重合，得到△EDC， 根据旋转的性质可知：△ABC≌△EDC， ∴DE＝AB＝3，CE＝AC＝1，∠ACE＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，AC＝1，CE＝1， 根据勾股定理可得：， 在△ADE中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得AD≤AE+DE， 当A、E、D三点共线，且点E位于A、D两点之间时，AD取得最大值，此时AD＝AE+DE， ∵， ∴AD的最大值为， 故答案为：． 30．如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线分别交⊙O、AB于点D，M，则线段DM的长为　cm ． 【答案】DMcm． 【解答】解：连接AD，BD，过B作BH⊥CD于H， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC8（cm）， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°， ∴△BCH是等腰直角三角形， ∴CH＝BHBC＝4（cm）， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BD， ∴△ADB是等腰直角三角形， ∴BDAB＝5（cm），∠MBD＝45°， ∴DH3（cm）， ∴CD＝CH+DH＝7（cm）， ∵∠MBD＝∠BCD＝45°，∠BDM＝∠CDB， ∴△DBM∽△DCB， ∴DB：DC＝DM：DB， ∴5：7DM：5， ∴DM（cm）． 故答案为：cm． 三．解答题（共15小题） 31．抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为直线x＝3，D为对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积； （3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）． 【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣3； （2）4； （3）．． 【解答】解：（1）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3； （2）∵△DEF是等腰直角三角形， 故DE＝DF且∠EDF＝90°， 故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m， 故点F（3+m，m）， 则△DEF的面积EF•m2m•m＝m2， 将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）2+6（m+3）﹣3， 解得m＝﹣3（舍去）或2， 则△DEF的面积＝m2＝4； （3）∵y＝﹣x2+6x﹣3＝﹣（x﹣3）2+6， ∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣3的顶点为（3，6）． 设点Q的坐标为（p，q）（q≤6）， ∵点Q在抛物线y＝﹣x2+6x﹣3上， ∴q＝﹣p2+6p﹣3 则PQ2＝（p﹣3）2+（q﹣t）2＝p2﹣6p+9+q2﹣2tq+t2， 将q＝﹣p2+6p﹣3代入上式得： PQ2＝q2﹣（2t+1）q+t2+6． ∵二次项系数为1＞0， ∴PQ2有最小值， 当t时，6， ∴q＝6时，PQ2最小，即PQ最小． ≤36﹣12t﹣6+t2+6＝t2﹣12t+36＝（t﹣6）2， ∴PQ＝|t﹣6|． 当t时，6， ∴q时，PQ2最小，即PQ最小． ∴PQ2， ∴PQ的最小值为． 综上所述PQ的最小值． 32．在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1．某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且∠CEF＝∠GHK＝∠NMR＝15°，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度AB＝26cm，宽BC＝4cm，解决下列问题： （1）图中∠HKF的度数为　60　 °； （2）求FK的长（精确到0.1cm）； （3）请直接写出格挡的宽度BT的大小（精确到1cm）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 【答案】（1）60； （2）FK的长约为11.1cm； （3）BT的长约为37cm． 【解答】解：（1）延长HG交BT于点X， 由题意得：∠ECF＝90°，EF∥HG， ∵∠CEF＝15°， ∴∠EFC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠HXF＝∠EFC＝75°， ∵∠GHK＝15°， ∴∠HKF＝75°﹣15°＝60°， 故答案为：60； （2）延长NK交HG于点Y，则∠HKY＝90°， 由题意得：∠FGX＝90°，FG＝4cm，HK＝26cm， ∵∠HXF＝75°， ∴∠KXY＝75°， ∴FX4.12cm， ∵∠GHK＝15°， ∴YK＝26×tan15°≈7.02cm，∠Y＝75°， ∴∠Y＝∠KXY， ∴XK＝KY＝7.02cm， ∴FK＝FX+XK≈11.1（cm）， 答：FK的长约为11.1cm； （3）延长MN，SR交于点Z，则∠KNZ＝∠MRZ＝90°， ∵∠NKT＝∠XKY＝90°﹣60°＝30°，KN＝4cm， ∴KC14.62cm，∠KC1M＝60°， ∵∠NMR＝15°， ∴∠MRC1＝45°， ∴∠KRZ＝∠SRT＝45°， 作ZA1⊥BT于点A1，则∠ZA1C1＝∠ZA1R＝90°， 由题意得：ZR＝YK＝7.02cm， ∴A1Z＝A1R4.98cm， ∴A1C12.89cm， ∵SR＝4cm， ∴RT2.84cm， 由题意得：EF＝26cm，∠ECF＝90°， ∵∠CEF＝15°， ∴CF＝26×sin15°≈26×0.26≈6.8cm， ∴BT＝4+6.8+11.1+4.62+2.89+4.98+2.84≈37（cm）． 答：BT的长约为37cm． 33．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，矩形OBEF的顶点E在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）点M为直线BE上一动点，连接BF，MF，当∠MFB＝∠OBF时，求点M的坐标； （3）左右平移抛物线，当平移后的抛物线与线段BF只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）（﹣5.2，3）或（2，3）； （3）1≤n≤4或﹣1≤n≤0． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）， 把A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）分别代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）分两种情况：①当点M在第一象限时， ∵四边形OFEB是矩形， ∴OB∥EF，BE＝OF， ∴∠OBF＝∠BFE， ∴点M与点E重合， ∵B（0，3）， ∴yE＝3， ∴3＝﹣x2+2x+3 整理得，x（x﹣2）＝0， ∴x1＝0，x2＝2， ∴E（2，3）， ∴F（2，0）， ∴点M的坐标为（2，3） ②如图，点M在第二象限，设点M的坐标为（m，3）， 过点B作BG⊥MF于点G， BG⊥MF，BE⊥EF， ∴BE＝FG＝2， ， ∵， ∴， ∴， 整理得，5m2+16m﹣52＝0， 解得，m1＝2，m2＝﹣5.2， ∴点M的坐标为（﹣5.2，3）， 综上所述，点M的坐标为（﹣5.2，3）或（2，3）； （3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线顶点坐标为（1，4）， 当点A（﹣1，0）向右平移3个单位与点F（2，0）重合时，在平移过程中抛物线与线段BF．只有一个公共点，此时抛物线顶点平移到点（4，4）， ∴1≤n≤4； 当点C（3，0）向左平移1 个单位与点F（2，0）重合时，顶点由（1，4）平移到（0，4），此时在平移过程中抛物线与线段BF有一个交点； 当点C继续向左平移2个单位长度到点O（0，0）时，此过程中抛物线与线段BF只有一个交点，此时抛物线的顶点坐标为（﹣2，4）， ∴n的取值范围是﹣1≤n≤0， 综上所述，n的取值范围为1≤n≤4或﹣1≤n≤0． 34．问题提出 （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝48°，D是△ABC外一点，且AD＝AC．以点A为圆心，AB长为半径作圆，则∠BDC的度数为　24°　 ； 问题探究 （2）如图2，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E是AB边的中点，F是BC边上的一个动点，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连接B′C，求线段B′C长度的最小值； 问题拓展 （3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝10，动点M，N分别在边BC，CD上移动，且满足CM＝DN．连接AN和DM，交于点O．当点N从点D开始运动到点C时，点O也随之运动，请求出点O的运动路径长． 【答案】（1）24°； （2）； （3）． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝48°，AD＝AC， ∴AB＝AC＝AD， ∴B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的圆上， ∴； 故答案为：24°； （2）连接AC，CE，如图2， ∵菱形ABCD中，AB＝4， ∴BC＝AB＝4， ∵∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∵E是AB边的中点， ∴BE＝AE＝2，CE⊥AB， 在直角三角形BCE中，由勾股定理得：， ∵将△BEF沿EF折叠得到△B′EF， ∴BE＝B′E＝2， ∴B′在以点E为圆心，半径为2的圆上， ∴B′C≥CE﹣B′E， ∴当B′，C，E三点共线时，B′C长度最小为； （3）连接AC，BD，交于点P，取AD的中点E，连接EP，OE，如图3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝10，AP＝DP， 在△ADN和△DCM中， ， ∴△ADN≌△DCM（SAS）， ∴∠CDM＝∠DAN， ∴∠CDM+∠DNA＝∠DAN+∠AND＝90°， ∴∠DON＝90°， ∴∠AOD＝90°， ∵点E为AD的中点， ∴， ∴点O在以E为圆心，半径为5的圆上运动，点A，D，O三点共圆， 当点N运动到C时，则点M与点B重合，此时点O与点P重合， ∴点O的运动路径为， ∵AP＝DP，E为AD的中点， ∴PE⊥AD， ∴∠DPE＝90°， ∴的长为：，即：点O的运动路径长为． 35．综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，A′为斜边AC的中点，将与△ABC全等的△A'B'C'绕点A′旋转得到△A′OD． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记A′D和A′O分别与BC交于点E，F，当A′D⊥AC时，猜想EF和A′F的数量关系为 EF＝A'F ，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段A′D经过点B时，连接BO，试判断四边形AA′OB的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当△A′OD在AC下方，且△A′OD的直角边恰好与AC垂直时，设线段A′O与直线BC交于点G，直线BC交射线DO于点H，连接A′H，请直接写出A′H的长． 【答案】（1）相等，证明过程见解答； （2）平行四边形，证明过程见解答； （3）或． 【解答】解：（1）EF＝A'F； 理由：∵A′D⊥AC， ∴∠A'EC+∠A'CE＝90°， ∵△ABC≌△A'B'C'， ∴∠B＝∠B'＝90°， 根据旋转的性质得∠B'＝∠O＝90°，∠D＝∠C'＝∠A'CE， ∴∠D+∠EA'F＝90°， ∴∠A'EC＝∠EA'F， ∴EF＝A'F； （2）四边形AA′OB是平行四边形； 理由：由题意，得 AB＝A'B'＝A'O， 在Rt△ABC中，A'是边AC的中点， ∴AA'＝A'B， ∴∠A＝∠A'BA， ∵△ABC≌△A'B'C'， ∴∠A＝∠B'A'C'， 由旋转的性质，得∠B'A'C'＝∠BA'O， ∴∠A'BA＝∠BA'O， ∴AB∥A'O， ∴四边形AA'OB是平行四边形； （3）A'H 的长为 ． 理由：分两种情况讨论：①当A'O⊥AC时，∵AB＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AC＝5， ∵A'是AC的中点， ∴A'C AC， 在Rt△ABC中，， 由旋转的性质得A'O＝AB＝3， ∴， ∴A'G， ∴， ∵∠GA'C＝∠O＝90°， ∴A'C∥OD， ∴∠GHO＝∠A'CB， ∴， ∴， ∴A'H； ②当OD⊥AC时，如图，设AD交BC于点I，点G与点C重合， ∵∠A＝∠CAD， ∴AB∥A'D， ∴△A'IC∽△ABC， ∴， ∵A'为AC的中点， 则A'C， ∴，， ∴OG＝A'O﹣A'C， ∵AB∥A'D， ∴∠B＝∠A'IG＝90°， ∵OD⊥AC， ∴∠HOG＝∠A'IG＝90°， ∵∠HGO＝∠A'GI， ∴△HGO∽△A'GI， ∴， ∴HO， ∴A'H． 综上所述A'H的长为 或 ． 36．如图，抛物线yx2+bx+c过点C（﹣1，m）和D（5，m），A（4，﹣1）． 求：（1）抛物线的对称轴； （2）抛物线的函数表达式和顶点B的坐标； （3）直线AB的函数表达式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点C（﹣1，m）和D（5，m）， ∴点C和点D为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2； （2）∵2， ∴b， 把A（4，﹣1）代入yx2x+c得c＝﹣1，解得c＝﹣1， ∴抛物线解析式为yx2x﹣1； ∵yx2x﹣1（x﹣2）2， ∴顶点B的坐标为（2，）； （3）设直线AB的解析式为y＝px+q， 把A（4，﹣1），B（2，）代入得，解得， ∴直线AB的解析式为yx． 37．某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状．在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头A到水面x轴的距离为2m，抛物线C1；C2是从喷水头A处喷出的两股水流．经测量得，抛物线C2的最高点C距离水面2.5m，且与喷水头A的水平距离为2m，设抛物线C2的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距水面的高度． （1）求抛物线C2的表达式； （2）若抛物线C1可以看作是C2向左平移n个单位长度得到的． ①求n的值； ②求抛物线C1与x轴的交点B的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线C1，C2之间（阴影区域）飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于0.5m（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头A的水平距离为km，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）yx2x+2． （2）①4；②22． （3）0.5＜k＜6． 【解答】（1）根据题意h＝2，k＝2.5，则抛物线C2的表达式为y＝a（x﹣2）2+2.5． 将点A（0，2）代入得：2＝a（0﹣2）2+2.5，． 所以抛物线C2的解析式为：y（x﹣2）2+2.5x2x+2． （2）①根据平移的性质，设抛物线C1的解析式为：y（x﹣2+n）2+2.5． 由于抛物线C1经过点A（0，2），则2（0﹣2+n）2+2.5． 解得：n＝4． ②由①可知抛物线C1解析式为：y（x+2）2+2.5． 令y＝0，则（x+2）2+2.5＝0． 解得：x＝22． ∴点B的横坐标为22． （3）根据题意yc2﹣yc1＞0.5且yc2＞0.5． 即（x﹣2）2+2.5﹣[（x+2）2+2.5]＞0.5且（x﹣2）2+2.5＞0.5． 解得：0.5＜x＜6． ∴0.5＜k＜6． 38．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，△AOB的面积等于18． （1）求点B的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t，试用含t的式子表示S△BOP（S△BOP表示△BOP的面积），并直接写出t的取值范围； （3）如图2，若点P在AO上，点Q在BO上，AQ与BP交于点C，过点B作BH⊥AQ交直线AQ于点H，交y轴于点D，当△BHC的面积等于△OHC的面积时，求点D的坐标． 【答案】（1）（﹣6，0）； （2）； （3）（0，﹣3）． 【解答】解：（1）∵A（0，6），△AOB的面积等于18，点B在x轴的负半轴上， ∴OA＝6， ∵， 解得：OB＝6． ∴点B的坐标为（﹣6，0）； （2）当点P在AO上时，； 当点P在AO的延长线上时，， 综上所述，； （3）如图2，BH⊥AQ，过点O作OM⊥AQ于M， ∴， ∵S△BHC＝S△OHC， ∴BH＝OM， 在△BHQ和△OMQ中， ， ∴△BHQ≌△OMQ（AAS）， ∴， ∵∠BHQ＝∠AOQ＝90°，∠BQH＝∠AQO， ∴∠QBH＝∠QAO， 在△AOQ和△BOD中， ， ∴△AOQ≌△BOD（ASA）， ∴OD＝OQ＝3， ∴点D的坐标为（0，﹣3）． 39．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是﹣1． （1）若该抛物线的对称轴为直线x＝1，并且经过点（﹣1，3），求抛物线对应的函数表达式． （2）若直线y＝ax+c经过抛物线y＝ax2+bx+c的顶点． ①求抛物线的顶点坐标； ②A（p﹣4，y1），B（p，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，求p的取值范围． 【答案】（1）y＝x2﹣2x； （2）①（﹣1，﹣1）；②p＜1． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0，且a＞0）的最小值是﹣1． 根据题意，得抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）． 设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x﹣1）2﹣1， 把（﹣1，3）代入，可得3＝4a﹣1 解得a＝1， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x； （2）①根据y＝ax2+bx+c， 可得二次函数的顶点为， 把代入y＝ax+c， 得， 化简，得． ∵， ∴， ∴b＝2a， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）； ②设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2﹣1． ∴，． ＝a（p﹣3）2﹣a（p+1）2 ＝8a（1﹣p）． ∵y1＞y2， ∴8a（1﹣p）＞0， ∵a＞0， ∴1﹣p＞0， ∴p＜1． 40．几何探究： 【问题发现】 （1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是BD＝CE （选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案） 【类比探究】 （2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1：2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若BC＝2，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长． 【答案】（1）BD＝CE，理由见解答； （2）不成立，理由见解答； （3）或，理由见解答． 【解答】解：（1）∵△ADE和△ABC均为等边三角形 ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD＝CE， 故答案为：BD＝CE； （2）不成立； 理由如下： 在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠DAE＝∠BAC＝30°， ∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°， ∴cos∠ADE＝cos30°， ∴， 同理：， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∴BDCE， 故（1）中的结论不成立； （3）①如答图1所示， ∵△ADE和△ABC均为等腰直角三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝45° ∴∠DEC＝90°， ∴CE⊥BD， 由题意可知：DEBC， 设BD＝CE＝x，则BE＝BD﹣DE＝x， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2+BE2＝BC2， ∴x2+（x）2＝（2）2， ∴x或x（舍去）， ∴BD； ②如答图2所示， 同①的方法得，△ABD≌△ACE（SAS），CE⊥BD 设BD＝CE＝x，则BE＝x， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2+BE2＝BC2， ∴x2+（x）2＝（2）2， ∴x或x（舍去）， ∴BD； 综上所述，BD或． 41．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线yx+3上有一点A，x轴上有一点B（6，0），且满足∠OAB＝45°，直接写出点A的坐标． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）B（﹣2，2），D（0，）； （3）A1（6，6），A2（，）． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠E＝∠D＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△BEC和△CDA中， ． ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （2）解：过C作GH∥x轴，过A作AG⊥GH于G，过B作BH⊥GH于H，如图： 设B（m，n）， ∵∠ACB＝90°，AG⊥GH，BH⊥GH， ∴∠G＝∠H＝90°，∠ACG＝90°﹣∠BCH＝∠CBH， ∵AC＝BC， ∴△ACG≌△CBH（AAS）， ∴AG＝CH，CG＝BH， ∵A（4，0），C（0，﹣2）， ∴2＝﹣m，4＝n﹣（﹣2）， 解得m＝﹣2，n＝2， ∴B（﹣2，2）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（﹣2，2）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为yx， 令x＝0得y， ∴D（0，）； （3）解：作BK⊥AB于B，交AO的延长线于K，作AT⊥x轴于T，KF⊥x轴于F，如图： 设A（a，a+3），则ATa+3，BT＝6﹣a， ∵∠ABK＝90°＝∠BFK＝∠ATB， ∴∠ABT＝90°﹣∠KBF＝∠BKF， ∵∠OAB＝45°， ∴△ABK是等腰直角三角形， ∴BK＝AB， ∴△ATB≌△BFK（AAS）， ∴BF＝ATa+3，KF＝BT＝6﹣a， ∴OF＝OB﹣BF＝6﹣（a+3）＝3a， ∴K（3a，a﹣6）， 设直线AO解析式为y＝k'x， 把A（a，a+3）、K（3a，a﹣6）代入得： ， ∴， ∴a（a﹣6）＝（3a）（3a）， ∴a（a﹣6）﹣（3a）（3a）＝0， ∴（a﹣3）（2a+3a）＝0， 解得：a1＝6，a2， ∴A1（6，6），A2（，）． 42．如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边． 例如：若△ABC中，∠A＝2∠B，则△ABC为以边AB为底边的倍角三角形． （1）已知△ABC为倍角三角形，且∠ABC＝2∠C． ①如图1，若BD为△ABC的角平分线，则图中相等的线段有 BD＝CD ，图中相似三角形有 　△ADB和△ABC ； ②如图2，若AC的中垂线交边BC于点E，连接AE，则图中等腰三角形有 　△AEC，△ABE ． 问题解决 （2）如图3，现有一块梯形板材ABCD，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝48，BC＝132，AD＝68．工人师傅想用这块板材裁出一个△BCP型部件，使得点P在梯形ABCD的边上，且△BCP为以BC为底边的倍角三角形．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①作BC的中垂线l交BC于点E； ②在BC上方的直线l上截取EF＝33，连接CF并延长，交AD于点P； ③连接BP，得△BCP． 1）请问，若按上述作法，裁得的△BCP型部件是否符合要求？请证明你的想法． 2）是否存在其它满足要求的△BCP？若存在，请画出图形并求出CP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）1）是，证明见解析；2）存在，． 【解答】解：（1）①∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝2∠C， ∴∠DBC＝∠C， ∴BD＝CD， ∴图中相等的线段有BD＝CD， ∵∠A＝∠A，∠ADB＝∠ABC＝2∠C， ∴△ADB∽△ABC． 故答案为：BD＝CD，△ADB和△ABC； ②∵∠AEB＝2∠C，∠ABC＝2∠C， ∴AB＝AE， ∴△ABE是等腰三角形． ∵AC的中垂线交边BC于点E， ∴AE＝EC， ∴△AEC是等腰三角形， 故答案为：△AEC，△ABE； （2）1）符合要求，延长EF交AD于 N，则四边形ABEN为矩形． ∴AB＝EN＝48，， ∵EF＝33， ∴NF＝EN﹣EF＝48﹣33＝15， ∵PN∥BC， ∴△PFN∽△CFE， ∴， ∴， ∴PN＝30， ∴， ∴AP＝AN﹣PN＝66﹣30＝36， ∵∠A＝90°， ∴， ∴， ∴， 作FK⊥BP于K， ∴， ∴， ∴FK＝EF， ∵FK⊥BP，FE⊥BC， ∴BF平分∠PBC， ∴， ∵F在BC的垂直平分线上， ∴FB＝FC， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠PBC＝2∠PCB， ∴符合要求； 2）存在，． I．若P在AD上时，连接BD，如图所示， ∴∠PBC＞∠DBC，∠PCB＜∠DCB， 取BD的中垂线交BC与G，作DH⊥BC于H， ∴四边形ABHD为矩形， ∴HD＝AB＝48，BH＝AD＝68，DG＝GB，CH＝BC﹣BH＝132﹣68＝64， ∴DC80， 设GH＝x，则BG＝DG＝68﹣x， ∵∠DHG＝90°， ∴由勾股定理GH2+DH2＝DG2， ∴（68﹣x）2＝482+x2， ∴136x＝682﹣482＝116×20， ∴， 在CH上取点M，使，连接DM， ∴∠DMB＞∠DCB＞∠PCB， ∵DG＝BG， ∴∠DBC＝∠GDB， ∴∠DGC＝∠GDB+∠DBC＝2∠DBC＜2∠PBC， ∴HM＝GH，DH⊥MG， ∴DG＝DM， ∴∠DMB＝∠DGC， ∴2∠PBC＞∠PCB， ∴在AD上所有点都满足2∠PBC＞∠PCB， ∴不存在； II．若P在AB上时，如图所示， ∵BP＜AB＜BC， ∴∠BCP＜45°， ∴∠PBC≠2∠BCP， ∴在AB上不存在其它满足要求的△BCP； Ⅲ．若P在AB上时，如图所示，作BC的垂直平分线交AD于点L、交BC于点R，作∠BCD的平分线交RL于点O，连结BO并延长交DC于点P，此时有∠BCD＝2∠BCO＝2∠PBC， ∴△BCP是以BC为底边的倍角三角形， 作OU⊥DC于点U，连结OA、OD， ∵CO平分∠BCD，OR⊥BC，OU⊥DC， ∴OR＝OU， 设OR＝x，则OU＝x，OL＝48﹣x， ∵S梯形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD， ∴， ∴x＝22， 在Rt△BOR中，， ∴， ∵∠OCP＝∠OCB＝∠PBC，∠POC＝∠PBC+∠OCB＝2∠PBC＝∠PCB， ∴△PBC∽△PCO， ∴， ∴，， ∵BP﹣OP＝OB ∴， ∴． 43．【教材再现】 （1）如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．求证：BE＝DF，BE⊥DF； 【纵向探变】 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC相交于点F．若CE＝2DE，求FG的长； 【横向拓展】 （3）保持（2）中AB，AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A＝120°，如图③所示．E是CD边上一点且满足CE＝2DE，点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出DG•DF的值． 【答案】（1）如图①，延长BE交DF于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCF＝90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDF，BE＝DF， ∵∠BEC＝∠DEH，∠BEC+∠BCE+∠CBE＝∠DEH+∠CDF+∠DHE＝180°， ∴∠BCE＝∠DHE＝90°， ∴BE⊥DF； （2）； （3）DG•DF的值为2或3． 【解答】（1）证明：如图①，延长BE交DF于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCF＝90°， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDF，BE＝DF， ∵∠BEC＝∠DEH，∠BEC+∠BCE+∠CBE＝∠DEH+∠CDF+∠DHE＝180°， ∴∠BCE＝∠DHE＝90°， ∴BE⊥DF； （2）解：如图②，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，CE＝2DE，延长BE交DF于点H． ∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，DE＝1，CE＝2， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：， ∵△BED沿BE折叠得△BEG， ∴BE垂直平分DG，即DH＝HG，BH⊥DF， ∴∠DHE＝90°＝∠BCE， ∵∠BEC＝∠DEH， ∴△BCE∽△DHE， ∴，∠CDF＝∠CBE， ∴， 解得：， ∴， ∵， 在Rt△DCF中，，CD＝3， ∴， 由勾股定理得：， ∴； （3）解：DG•DF的值为2或3．理由如下： 由（2）得DE＝1，CE＝2，BC＝CD＝3． 情况1：∠BGF＝60°，则∠DGE＝120°， 如图③，过点E作EP⊥BC交BC延长线于P，延长BG交AD延长线于N． ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝120°， ∴∠BCD＝∠A＝120°，AD∥BC，BC＝AD＝4， ∴∠ECP＝60°， ∵EP⊥BC， ∴∠CEP＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△CEP中，， ∴BP＝BC+CP＝5， 在直角三角形BEP中，由勾股定理得：， ∵∠BCD＝∠DGE＝120°，∠BEC＝∠DEG， ∴△BCE∽△DGE， ∴， ∴， 解得：，， ∴BG＝BE+EG， ∵AD∥BC， ∴△NDE∽△BCE， ∴ ∴，， ∴NG＝NE﹣EG， ∵AD∥BC， ∴△NDG∽△BFG， ∴， ∴， 解得：FG（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴， ∴； 情况2：当∠BGD＝60°时，如图④， ∵∠BGD＝60°，∠BCD＝120°， ∴∠DGE＝∠DCF＝180°﹣120°＝60°， ∵∠EDG＝∠FDC， ∴△DGE∽△DCF， ∴， ∴DG•DF＝DC•DE＝3×1＝3， 综上所述，DG•DF的值为2或3． 44．张老师开展“45°角”主题学习活动，收到了同学们分享的几道优质习题，现邀请你一同思考解答． （1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AB＝4，D是BC的中点，则AD＝　　 ． （2）如图2，正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，连接BD分别交AE，AF于点H，G，试猜想BE，DF，EF的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）基础上，点E为正方形ABCD的BC边上的点，点F在射线BC上，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】（1）； （2）BE+DF＝EF，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°， ∵BM＝DF， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∵∠BAM＝∠DAF， ∴∠BAE+∠BAM＝45°，即∠MAE＝45°， ∵AM＝AF，∠MAE＝∠FAE，AE＝AE， ∴△MAE≌△FAE（SAS）， ∴ME＝EF， ∵ME＝BE+BM，BM＝DF， ∴BE+DF＝EF； （3）． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠B＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AB＝4， ∴2AC2＝42， 解得：， ∵D是BC的中点， ∴， 由勾股定理可得，， 解得：． 故答案为：； （2）BE+DF＝EF， 理由：延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°， ∵BM＝DF， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∵∠BAM＝∠DAF， ∴∠BAE+∠BAM＝45°，即∠MAE＝45°， ∵AM＝AF，∠MAE＝∠FAE，AE＝AE， ∴△MAE≌△FAE（SAS）， ∴ME＝EF， ∵ME＝BE+BM，BM＝DF， ∴BE+DF＝EF． （3）如图，作正方形ABCD的外接圆，连接AC，取AC的中点O，此时O为圆心， ∴∠AGB＝∠ACB＝∠EAF＝45°， ∴BG∥AF， ∵∠AEF＝∠BEG， ∴△AEF∽△GEB， ∴， 过点G作GH⊥BF于点H， ∴AB∥GH， ∵∠AEB＝∠GEH， ∴△AEB∽△GEH， ∴， ∴， 设AB＝m，则⊙O的半径， ∴当GH最大时，的值最大， ∵点G在⊙O上运动， ∴当点G，H，O三点共线时，GH有最大值为OG﹣OH＝r﹣OH， 当OH⊥BC时，OH的值最小， ∴OH的最小值为， ∴GH的最大值为， ∴的最大值为． 45．如图1，在▱ABCD中，． （1）求AC的长． （2）把△ABC绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F． ①当点B的对应点E落在对角线AC上时，EF与DC的交点为G，求四边形ADGE的面积； ②如图2，点E在对角线AC下方时，线段EF的反向延长线交BD与点P，连接AP，求DP﹣AP的最小值． 【答案】（1）3； （2）①；②． 【解答】解：（1）如图，作CH⊥AB，交AB的延长线H， 在平行四边形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC， ∴∠CBH＝∠DAB， ∴tan∠DAB＝tan∠CBH3， 设BH＝a，则CH＝3a， ∴CBa， 解得a＝1， ∴CH＝3，BH＝1， 则AH＝AB+BH＝6， 在Rt△ACH中，AC3； （2）①如图，作GM⊥AC，交AC于点M， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAH， ∴tan∠DCA＝tan∠CAH， ∴， ∴CM＝2GM， 由旋转可知∠AEF＝∠ABC，AE＝AB＝5， ∴， ∴∠MEG＝∠CBH， ∴tan∠MEG＝tan∠CBH＝3，即， 设GM＝m，则，CM＝2m， ∴， 解得：， ∴，S△CDA＝S△CAB， ∴S四边形ADGE； ②如图，过点A作AQ⊥BD于点Q，过D作DM⊥AB于点M， 由（1）得tan∠DAB＝3，设AM＝k，则DM＝3k， ∵∴， 解得k＝1， ∴AM＝1，DM＝3． ∴BM＝AB﹣AM＝4， 在Rt△DMB中，， ∵， 又∵，且BD＝5， ∴， 解得AQ＝3， 在Rt△AQD中，， ∵P在BD上， ∴DP＝DQ+QP＝1+QP， ∴DP﹣AP＝1+QP﹣AP， 在Rt△AQP中，AP2＝AQ2+QP2， ∴AP2﹣QP2＝9，即（AP﹣QP）（AP+QP）＝9， ∴， ∴， 要最小化DP﹣AP，需最大化，即最小化AP+QP． 由旋转性质得，△ABC≌△AEF， ∴S△AEF＝S△ABC， 由（2）得，， 当AP⊥EF时，AP最小，QP也最小， 此时AP是△AEF中EF边上的高， 由旋转性质得，， ∴，即， ∴， 解得， 在Rt△AQP中，， ∴， ∴DP﹣AP的最小值为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $