【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-2）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-2） 一．选择题（共15小题） 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论： ①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论中，正确的有（　　）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④4a+2b+c＞0；⑤3a+c＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，将正方形纸片ABCD对折得到折痕EF，连接线段CE，沿折痕CM折叠使CD落在线段CE上，点D的对应点为点N，连接线段MN．图中与正方形纸片ABCD的边长成黄金比的线段是（　　） A．线段EN B．线段AM C．线段MN D．线段CM 4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（0，2），给出以下结论：①abc＜0；②当x＞3时，y随x的增大而减小；③当y＞2时，x＜0或x＞3；④2a﹣c＞0；⑤若二次函数经过点（﹣1，﹣2），则其图象必经过点（4，﹣2）．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，4），B（3，0），其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则△APB的面积是（　　） A．30 B．24 C．18 D．15 6．已知关于x的整式，其中m为正整数，a0为自然数，a1，a2，⋯⋯，am为正整数，且满足m+am+am﹣1+⋯⋯+a1+a0＝7．下列说法： ①当m＝3，x＝1时，所有满足条件的整式P3的值的总和为16； ②若规定a0，a1，a2，⋯⋯，am均为正整数，则m的可能取值有3种； ③若，则Q2025的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点A处放空水，同时有1个水斗刚好在点B处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径OA为5m，点A到水面的距离为7m，则水面宽度CB为（　　） A．6m B．7m C．7m或9m D．6m或8m 9．已知抛物线y＝ax2+2x+3（a为常数）的对称轴为直线x＝2，平移该抛物线，使其顶点始终在直线y＝x+3上，则平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标有（　　） A．最大值 B．最大值3 C．最小值﹣3 D．最小值 10．如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向平移，得到菱形A′B′C′D′，A′B′，A′D′分别交BC，CD于点G，H，若AA′＝x（0＜x＜AC），GH＝y，则y与x之间的关系大致可以用函数图象表示为（　　） A． B． C． D． 11．已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，OD的延长线交AC的延长线于E，OA＝1，AE＝3．则下列结论错误的是（　　） A．∠B＝∠CAD B．点C是AE的中点 C． D． 12．关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 13．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为（　　） A． B． C． D．9 14．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（　　） A．1：1 B． C． D． 15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+cm．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共15小题） 16．如图，已知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上一动点，连接ED，△DEF为等腰直角三角形，连接CF，则当CF+DF之和取最小值时，△DCF的周长为　 　 ．（用含a的代数式表示） 17．如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，且满足∠BPC＝30°，则BC的取值范围是　 　 ． 18．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点．动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线AB﹣BC匀速运动，到达点C后停止，连接DE．设点E的运动时间为x（单位：秒），DE2为y．在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示． （1）线段AD的长为 　 　 ； （2）在整个运动过程中，y的最大值为 　 　 ． 19．如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE＝2cm，则菱形ABCD的面积等于　 　 cm2． 20．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAF＝2∠ACD，边AF与DC的延长线相交于点F，BC的延长线与AF相交于点M，过点C作CE⊥AF于点E．若CE＝1，CD＝2，则tanF＝　 　 ． 21．对于一个四位自然数，若它的各数位数字互不相等且均不为0，千位数字a与十位数字c的和等于百位数字b与个位数字d的差的3倍，则称这样的四位数M为“腰果数”．规定百位数字与千位数字组成的两位数加上个位数字与十位数字组成的两位数的和等于F（M）．若F（N）＝85，则b﹣d＝　 　 ；若一个四位数（p，q，s，t均为整数，且1≤p≤8，1≤q≤7，1≤s≤4，1≤t≤8）是“腰果数”，且F（A）被11除余4，则满足条件的A的最大值和最小值的和为　 　 ． 22．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AB＝5，点E、F分别是BC、AD上的点，连接AE、BF交于点M，以AE为直径的圆O交BM于点G，且，∠DAE+∠C＝180°，则GE＝　 　 ；若BE＝6，BG＝　 　 ． 23．如图，已知点O是等腰直角三角形ABC的重心，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，则的值是　 　 ． 24．如图，在菱形ABCD中，点E为AD边上一点，将CD沿着CE翻折得到CF．点G为CF中点，连接DG，过点F作FH⊥AB于点H．若AB＝10，tan∠BAD＝3，则FH+DG的最小值为　 　 ． 25．新定义：我们把二次函数y＝ax2+bx+c（其中abc≠0）与y＝ax2+cx+b称为“相关函数”．例如：二次函数y＝x2+2x+3的“相关函数”为y＝x2+3x+2．已知二次函数的“相关函数”为C2． （1）二次函数C2的对称轴为直线　 　 ； （2）已知二次函数C1的图象与x轴交于点M，N，二次函数C2的图象与x轴交于点P，Q，若MN＝PQ，则二次函数C1与C2对称轴之间的距离为　 　 ． 26．按一定顺序排列的3个数a1＝2、a2、a3叫做数列，对这个数列进行如下操作得到一组新数：a1＝2、a1﹣a2、a1﹣a2+a3，这三个新数中最大的数叫做数列a1＝2、a2、a3的“最佳值”．例如数列2，﹣3，4，因为2，2﹣（﹣3）＝5，2﹣（﹣3）+4＝9，所以数列2，﹣3，4的“最佳值”是9；而数列﹣3，2，4，因为﹣3，﹣3﹣2＝﹣5，﹣3﹣2+4＝﹣1，所以数列﹣3，2，4的“最佳值”是﹣1． （1）数列﹣3，4，2的“最佳值”是　 　 ； （2）将三个数﹣2，7，m排列成不同的数列，且每个数列的“最佳值”为10，则m的取值共有　 　 种． 27．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，M，N分别是边AD，BC上的点，连接MN，CM，过点D作MN的垂线交NM的延长线于点E，若MN平分矩形ABCD的面积，且AM＝5，则DE的长为 　 　 ． 28．如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为 　 　 ． 29．如图，正方形ABCD的边长为8，M、N为AB、BC边上的动点，以MN为斜边作等腰Rt△MPN（其中MP＝NP，∠MPN＝90°），点E在CD边上，且DE＝3，连接PE、PC，则△CPE的周长最小值为 　 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2． （1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h； （2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标． 32．在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），若g＝y﹣tx（t为常数，t≠0），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数y＝2x+1的“2.5型相关量”为g＝（2x+1）﹣2.5x＝﹣0.5x+1． 【理解】（1）一次函数y＝3x的“t型相关量”为g＝5x，则t＝　 　 ； 【探究】（2）已知g是y＝kx+2（k≠0）的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若g＝y﹣tx，亦称g为y的“t型相关量”．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+3tx+t2﹣3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值． 33．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； （2）若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象G，当图象G的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作PE∥y轴交直线BC与点E，求线段PE长的最大值； ③连接BP、CP，若△BCP的内角∠PBC或∠PCB中至少有一个角与∠BAC相等．请直接写出点P的坐标． 34．问题提出 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，连接AE，BF，交于点G，且AE⊥BF，求证：AE＝BF； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块正方形ABCD的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路AE，AG，GF，EF，其余部分种植各种不同的花卉．已知点E，F，G分别在边BC，AB，CD上，且AE⊥GF于点H．若AB＝60m，CE＝2BE，求小路AG+EF的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 35．当45°角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含45°角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯． 【初步感知】 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠BAD＝45°，∠ADE＝90°，EF⊥BC于点F，求证：EF＝CD； 【解决问题】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点M在正方形ABCD的内部，且∠EMF＝90°，∠BEM＝45°．若EM＝3，FM＝5，求正方形ABCD的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，点D是BC边上的中点，点E在AC边上，连接BE交AD于点F，若∠BFD＝45°，CE＝4，求BE的长． 36．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D． （1）如图1，延长DA至点S，使得AS＝AD，连接BS、CS．若∠BSD＝∠ACS，且，求BD的长度； （2）如图2，过点C作∠ACB的角平分线交AB于点E，过E作EF⊥BC交BC于点F，点H是BC上一点，点G是AC上一点，满足∠GEH﹣∠GEA＝∠FEH，请你猜想FH、GH和AG之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，如图3，过点E作EM⊥CE交BC于点M，点P在线段BE上，点Q在线段EC上，且满足BP＝EQ．连接MP、MQ．若AB＝6，AC＝8，当MP+MQ取得最小值时，请直接写出的值． 37．（1）已知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，求该抛物线的顶点坐标． （2）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，分别过点C，B作CE∥AB，BE∥CD，CE与BE相交于点E．求证：四边形CDBE是菱形． 38．如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°． （1）在图2中，∠BCD＝　 　 ； （2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm． ①∠ACD＝　 　 °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，， 39．问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠APB最大时，点P的坐标为　 　 ． 问题解决 （2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形ABCD为水鸟园的建设用地，其中AB＝24m，BC＝78m，CD＝100m，∠B＝90°，．根据修建要求，四边形ABCD内部为水鸟戏水区，A为游客观测点，在CD边上要修建一段长为48m的水岸MN（M在上，N在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C？如果存在，求出此时CN的长；如果不存在，请说明理由． 40．综合与探究 如图，抛物线yx2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长． 41．在排球比赛中，通常情况下，一名球员（二传手）在网前将球垫起来，球在本方球场的网前与球网平行的方向飞行，其飞行路线是抛物线的一部分，进攻队员跳起扣球．如图，球网AB的长度为10米，高OA为2.4米，二传手在距边界O处0.5米的E点传球，球（看成一个点）从点M处开始沿抛物线MHN飞行，点M的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．以点O为坐标原点，建立直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）甲球员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？ （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点O多远的范围内起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：，） 42．【问题提出】 （1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD　 　 S△BCD；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB＝12，求△ABC面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，△ABC为某市一块空地示意图，∠ACB＝90°，AB＝200米，BC＝100米，根据设计要求，现要在△ABC外选择一点D，将这块地扩大改造为一个四边形便民服务区ABCD，要求点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，AC，BD为服务区内两条主步道，在BD上修建一个引导台点E，使CE∥AD，再修建两条新的小道CE，AE，为了让服务区功能更加合理，要使四边形AECD的面积尽可能大，请求出满足设计要求的四边形ADCE面积的最大值． 43．综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 44．如图1，AC＝4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC． （1）尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD、DC，并证明四边形ABCD为平行四边形； （2）如图2，延长AC至点F，使得CF＝AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC＝45°，且△ABC∽△FCE． ①求证：△ABC∽△CBE； ②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 45．在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题． 【问题情境】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．判断线段AE，FG的数量关系并证明． 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值； 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE，分别交线段BC，PC于点M，N． ①求∠DMC的度数； ②连接AC，交DE于点H，直接写出的值． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C C D D B D A D B 题号 12 13 14 15 答案 C B D B 一．选择题（共15小题） 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论： ①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称， ∴1， ∵a＞0， ∴b＝﹣2a＜0， ∵c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故②正确； ∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1， ∴x＝2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b， 故④错误； ∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＞0． 故⑤正确． 故选：B． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论中，正确的有（　　）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④4a+2b+c＞0；⑤3a+c＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵图象开口向下，图象交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错，不符合题意； ∵b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故②对，符合题意； ∵图象与x轴两个交点， ∴△b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对，符合题意； 根据图象可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0）， 故开口向下，图象与x轴交点在﹣1和3之间， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对，符合题意； 由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤错，不符合题意；共三个对， 故选：C． 3．如图，将正方形纸片ABCD对折得到折痕EF，连接线段CE，沿折痕CM折叠使CD落在线段CE上，点D的对应点为点N，连接线段MN．图中与正方形纸片ABCD的边长成黄金比的线段是（　　） A．线段EN B．线段AM C．线段MN D．线段CM 【答案】C 【解答】解：如图，延长CM，交BA的延长线于点R， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， ∴∠R＝∠DCM，△CDM∽△RAM， ∴， 由折叠得，DM＝MN，∠NCM＝∠DCM， ∴∠R＝∠NCM， ∴ER＝EC， 设BE＝AE＝1，则AB＝BC＝CD＝AD＝2，ER＝CE， ∴AR＝ER﹣AE1， ∴， ∴1， ∴ ∴DM1， ∴MN1， ∴， ∴图中与正方形纸片ABCD的边长成黄金比的线段是MN， 故选：C． 4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（0，2），给出以下结论：①abc＜0；②当x＞3时，y随x的增大而减小；③当y＞2时，x＜0或x＞3；④2a﹣c＞0；⑤若二次函数经过点（﹣1，﹣2），则其图象必经过点（4，﹣2）．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：由函数图象可知，a＜0，c＞0，0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当x时，y随x的增大而减小， ∴当x＞3时，y随x的增大而减小，故②正确； ∵二次函数图象经过点（0，2），对称轴为直线， ∴点（0，2）关于对称轴的对称点为（3，2）， ∴当y＞2时，0＜x＜3，故③错误； ∵， ∴b＝﹣3a， 由图象可知，a+b+c＞0， ∴﹣2a+c＞0， ∴2a﹣c＜0，故④错误； ∵对称轴为直线， ∴二次函数经过点（﹣1，﹣2），则其图象必经过点（4，﹣2），故⑤正确． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，4），B（3，0），其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则△APB的面积是（　　） A．30 B．24 C．18 D．15 【答案】D 【解答】解：如图，过点P分别作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，PC⊥AB于点C， ∵OE⊥OD， ∴四边形ODPE是矩形， ∵△AOB两个锐角的外角平分线相交于点P， ∴PE＝PC， 同理PD＝PC， ∴PE＝PD， ∴四边形ODPE是正方形， 设P（m，m）， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 解得m＝6或m＝﹣6（舍去）， ∴PC＝PE＝6， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴， ∴S△APB． 故选：D． 6．已知关于x的整式，其中m为正整数，a0为自然数，a1，a2，⋯⋯，am为正整数，且满足m+am+am﹣1+⋯⋯+a1+a0＝7．下列说法： ①当m＝3，x＝1时，所有满足条件的整式P3的值的总和为16； ②若规定a0，a1，a2，⋯⋯，am均为正整数，则m的可能取值有3种； ③若，则Q2025的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：由题知，m为正整数，a0为自然数，a1，...，am为正整数，满足m+am+...+a0＝7．验证①： 当m＝3时，∵3+a3+a2+a1+a0＝7， ∴a3+a2+a1+a0＝4， ∵a3，a2，a1是正整数， ∴a3+a2+a1≥3， 又a0≥0， ∴a3+a2+a1＝3或4， 当a3+a2+a1＝3，仅a3＝a2＝a1＝1， 此时a0＝1，P3（1）＝1+1+1+1＝4， 当a3+a2+a1＝4， 正整数解共3种：（2，1，1），（1，2，1），（1，1，2）， 此时a0＝0，每个P3（1）＝4+0＝4． 所有P3的值总和为4+3×4＝16， ∴①正确，符合题意； 验证②： 若所有a0，...，am均为正整数，共有m+1个系数，每个系数至少为1， ∴a0+...+am≥m+1． ∵a0+...+am＝7﹣m， ∴7﹣m≥m+1， 解得m≤3． m是正整数， ∴m＝1，2，3，共3种可能， ∴②正确，符合题意． 验证③， ∵， ∴Q2025的所有奇次项系数之和为a1+a3+a5+⋯+a2025， 令x＝1，∴， 即（1）， 令x＝﹣1，∴， 即（2）， （1）﹣（2）得， ∴， ∴Q2025的所有奇次项系数之和， ∴③正确，符合题意； 综上，正确的说法共3个． 故选：D． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：由题意，∵a+b＝﹣1， ∴b＝﹣1﹣a． 把b＝﹣1﹣a代入y＝ax2+bx+1， ∴y＝ax2﹣（a+1）x+1． 又∵图象过点（﹣1，0）， ∴a•（﹣1）2﹣（a+1）•（﹣1）+1＝0，则a+a+1+1＝0． ∴a＝﹣1＜0． ∴二次函数图象开口向下，必有最大值，故①正确； ∵二次函数为y＝ax2﹣（a+1）x+1， ∴对称轴是直线x， 又∵当0＜x＜1时，y随x增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当a＞0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴直线x， ∴0＜a≤1； 当a＜0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴是直线x0， ∴a≥﹣1． ∵a＜0， ∴﹣1≤a＜0． 综上，﹣1≤a＜0或0＜a≤1，故②错误； 由题意，∵函数图象过点（4，1）， ∴16a﹣4（a+1）+1＝1． ∴a，则b＝﹣1， ∴不等式ax2+bx＞0化为：x2﹣4x＞0． ∴x＜0或x＞4，故③正确； 由题意，方程ax2+bx+1＝0可化为ax2﹣（a+1）x+1＝0， ∴（ax﹣1）（x﹣1）＝0． ∴x1，x2＝1． 又∵一根x1满足﹣2＜x1＜﹣1，即﹣2， ∴a＜0． ∴﹣1， ∴﹣1＜2a+1＜0． 又∵b＝﹣1﹣a，则a﹣b＝a﹣（﹣1﹣a）＝2a+1， ∴a﹣b＜0，则a＜b，故④错误． 故选：B． 8．水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点A处放空水，同时有1个水斗刚好在点B处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径OA为5m，点A到水面的距离为7m，则水面宽度CB为（　　） A．6m B．7m C．7m或9m D．6m或8m 【答案】D 【解答】解：如图，作OD⊥BC、AE⊥BC交BC于点D、E，作OF⊥AG于点F， 设OD＝xm， ∵OD⊥BC，AE⊥BC，OF⊥AG， ∴∠ODE＝∠DEA＝∠OFE＝∠OFA＝90°（垂直的定义）， ∴四边形ODEF是矩形， ∴∠DOF＝90°，OD＝EF＝xm， ∵点A到水面的距离为7m， ∴AE＝7m，则AF＝AE﹣EF＝（7﹣x）m， ∵圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ∴， ∴∠FOA+∠BOF＝90°， 又∵∠DOF＝90°，即∠DOB+∠BOF＝90°， ∴∠DOB＝∠FOA， 在△DOB和△FOA中， ， ∴△DOB≌△FOA（AAS）， ∴DB＝AF＝（7﹣x）m（全等三角形对应边相等）， 在Rt△DOB中，OB＝5m， 则根据勾股定理得，DB2+OD2＝OB2，即（7﹣x）2+x2＝52， 整理得，2x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝3，x2＝4， ∴DB＝7﹣x＝3m或4m， ∵OD⊥BC， ∴点D是BC的中点，即BC＝2DB， ∴BC＝6m或8m． 则水面宽度CB为6m或8m． 故选：D． 9．已知抛物线y＝ax2+2x+3（a为常数）的对称轴为直线x＝2，平移该抛物线，使其顶点始终在直线y＝x+3上，则平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标有（　　） A．最大值 B．最大值3 C．最小值﹣3 D．最小值 【答案】A 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2x+3的对称轴为直线x＝2， ∴， 解得：， ∴， ∵平移该抛物线的顶点始终在直线y＝x+3上， 设平移后抛物线的顶点坐标为（b，b+3）， ∴平移后抛物线的解析式为， 当x＝0时， 可得：， 整理得：， ∵， ∴y有最大值， 即当b＝1时，y取最大值，最大值为． ∴则平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标有最大值为． 故选：A． 10．如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向平移，得到菱形A′B′C′D′，A′B′，A′D′分别交BC，CD于点G，H，若AA′＝x（0＜x＜AC），GH＝y，则y与x之间的关系大致可以用函数图象表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，记GH交A′C于点O，连接BD， ∵AB∥CD，AD∥BC，AD＝AB，BD⊥AC， 由平移的性质可得：A′B′∥AB，C′D′∥CD，C′B′∥CB，A′D′∥AD， ∴A′G∥HC，A′H∥GC， ∴四边形A′HCG是平行四边形， ∵A′B′∥AB，A′D′∥AD， ∴△A′GC∽△ABC，△A′HC∽△ADC， ∴，， ∴A′G＝A′H， ∴四边形A′HCG是菱形， ∴GH⊥AC， 设AC＝m，BD＝n，则A′C＝m﹣x， ∵A′B′∥AB， ∴∠GA′C＝∠BAC， 故，， 即， 整理得：， ∵为定值， ∵， ∴y随x的增大而减小． 故选：D． 11．已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，OD的延长线交AC的延长线于E，OA＝1，AE＝3．则下列结论错误的是（　　） A．∠B＝∠CAD B．点C是AE的中点 C． D． 【答案】B 【解答】解：∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B+∠DAB＝90°， ∵∠CAD+∠DAB＝90°， ∴∠B＝∠CAD，故A正确，不符合题意； ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵∠CDE＝∠ODB， ∴∠CAD＝∠B＝∠ODB＝∠CDE， ∵∠E＝∠E， ∴△ECD∽△EDA， ∴， ∵OA＝1，AE＝3， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，故B不正确，符合题意； ∵△ECD∽△EDA， ∴， ∵∠ADC＝∠ADB＝90°，∠CAD＝∠B， ∴△ACD∽△BAD， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意， 故选：B． 12．关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】C 【解答】解：在y＝x2﹣（m+1）x+m中， ∵1＞0， ∴开口向上，故①错误； ∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝（m﹣1）2≥0， ∴当m＝1时，抛物线与x轴有一个交点， 由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，故②错误； 令x＝1，则y＝0， 故一定过点 （1，0），故③正确； y＝x2﹣（m+1）x+m， 当时，， ∴顶点一定不在第二象限，故④正确； ∴正确的有③④， 故选：C． 13．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为（　　） A． B． C． D．9 【答案】B 【解答】解：∵矩形ABCD与矩形EABF相似， ∴，即， 解得，AD＝6， 故选：B． 14．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（　　） A．1：1 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝DA＝AB． ∵点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB， ∴． ∵四边形AEHF是正方形， ∴EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE， ∴△FHG∽△BEG， ∴， ∴， ∴GHHEAE， ∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°， ∴四边形BCIE是矩形， ∴IC＝BE， ∴S△BCI：S△FGH•••． 故选：D． 15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+cm．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0， 故结论①错误； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， ∵抛物线开口向上， ∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0， 故结论②正确； ③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1， ∴x， ∴b＝2a， 把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得： ax2+2ax+c＝c， ∴x2+2x＝0， 解得x＝0或﹣2， ∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0， 故结论③正确； ④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得： a﹣b+c＝m，a+b+c＝0， ∴b， ∵b＝2a， ∴a， ∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∴c， ∴b+c， 故选：B． 二．填空题（共15小题） 16．如图，已知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上一动点，连接ED，△DEF为等腰直角三角形，连接CF，则当CF+DF之和取最小值时，△DCF的周长为　　 ．（用含a的代数式表示） 【答案】． 【解答】解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，则∠EGF＝90°， ∵△DEF为等腰直角三角形， ∴∠DEF＝90°，EF＝DE， ∴∠AED+∠GEF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠EGF＝90°， ∴∠AED+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠GEF， 在△AED和△GFE中， ， ∴△AED≌△GFE（AAS）， ∴FG＝AE，EG＝DA， ∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C′， ∴BC＝BC′＝a， ∵EG＝DA＝AB，FG＝AE， ∴AE＝BG， ∴BG＝FG， ∴∠FBG＝45°， ∴∠CBF＝45°， ∴∠CBF＝∠FBG＝45°， ∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动， ∴C′点在AB的延长线上， 当D、F、C′三点共线时，DF+CF＝DC′最小， 在Rt△ADC'中，AD＝a，AC′＝2a， ∴， ∴DF+CF的最小值为， ∴此时的周长为， 故答案为：． 17．如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，且满足∠BPC＝30°，则BC的取值范围是　　 ． 【答案】． 【解答】解：①如图1，四边形ABCD是矩形，当点P与点A重合时， ∴∠B＝90°， ∵AB＝12，∠BPC＝30°， ∴，即， 解得：，此时BC是满足题意的最大值； ②当点P是AD的中点时，此时BC最小，如图2，过点B作BE⊥CP于E， 设BE＝a，AP＝x，则BC＝2x， ∵∠BPC＝30°， ∴PC＝BP＝2BE＝2a， 在直角三角形BPE中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴． ∴此时BC是满足题意的最小值． 综上所述，． 故答案为：． 18．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点．动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线AB﹣BC匀速运动，到达点C后停止，连接DE．设点E的运动时间为x（单位：秒），DE2为y．在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示． （1）线段AD的长为 　3　 ； （2）在整个运动过程中，y的最大值为 　54　 ． 【答案】（1）3；（2）54． 【解答】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点（0，9），（4，9）， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点E运动到达点C后，， 当AE＝4时，，此时，图象如图所示， 作DF⊥AE于点F，连接CE， 当点E与点B重合时，y的值最大， ∵DA＝DE＝DC＝3， ∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC， ∵∠DAE+∠DCE+∠DEC+∠DEA＝180°， ∴∠AEC＝∠DEA+∠DEC＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠A＝∠B， ∵∠ACB＝∠AEC＝90°， ∴△ACE∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AE×AB， ∴， ∵DA＝DE，AE＝4， ∴， ∴DF2＝AD2﹣AF2＝32﹣22＝5，BF＝AB﹣AF＝7， ∴， ∴y的最大值为54， 故答案为：54． 19．如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE＝2cm，则菱形ABCD的面积等于　6　 cm2． 【答案】6． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O， 在菱形ABCD中，∠BCD＝60°， ∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD＝30°，OCAC，OBBD，AC⊥BD， ∵EF垂直平分BC， ∴CFBC，∠EFC＝90°， ∴cos∠ACB， ∵CE＝2cm， ∴CFcm， ∴BC＝2cm， ∴OBBCcm，OCBC＝3cm， ∴BD＝2cm，AC＝6cm， ∴菱形ABCD的面积AC•BD＝6（cm2）， 故答案为：6． 20．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAF＝2∠ACD，边AF与DC的延长线相交于点F，BC的延长线与AF相交于点M，过点C作CE⊥AF于点E．若CE＝1，CD＝2，则tanF＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，∠BAF＝2∠ACD，边AF与DC的延长线相交于点F，BC的延长线与AF相交于点M， ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵CE⊥AF， ∴∠CEF＝∠ADF＝90°， ∵∠F＝∠F，∠BAF＝2∠ACD， ∴∠ECF＝∠BAF＝2∠ACD＝∠ACB， 又∠ACD＝∠BCD＝∠MCF， ∴∠ECM＝∠MCF，即CM平分∠ECF， 作MN⊥CF于点N， ∵CE⊥AF，MN⊥CF， ∴MN＝ME， ∵CM＝CM， ∴Rt△CMN≌Rt△CME（HL）， ∴CN＝CE＝1， ∴ND＝3， ∵MN⊥CF，CD⊥AB， ∴MN∥BD， ∴△CMN∽△CBD， ∴，即， ∴AD＝BD＝2MN， ∵MN∥AD， ∴△FMN∽△FAD， ∴，即， ∴FD＝2FN， ∴FN＝ND＝3， ∴FC＝4， 在Rt△CEF中，CE＝1，FC＝4， ∴， ∴， 故答案为：． 21．对于一个四位自然数，若它的各数位数字互不相等且均不为0，千位数字a与十位数字c的和等于百位数字b与个位数字d的差的3倍，则称这样的四位数M为“腰果数”．规定百位数字与千位数字组成的两位数加上个位数字与十位数字组成的两位数的和等于F（M）．若F（N）＝85，则b﹣d＝　5　 ；若一个四位数（p，q，s，t均为整数，且1≤p≤8，1≤q≤7，1≤s≤4，1≤t≤8）是“腰果数”，且F（A）被11除余4，则满足条件的A的最大值和最小值的和为　12334　 ． 【答案】5，12334． 【解答】解：设， ∵a+c＝3（b﹣d）， ∴， ∵1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9（a，b，c，d为整数），且a，b，c，d（b＞d）是互不相等， ∴a+c是正整数，b﹣d是正整数，且a+c是3的整数倍，3≤a+c≤17， ∴a+c＝3或a+c＝6或a+c＝9或a+c＝12或a+c＝15， ∵F（N）＝a+c+10b+10d＝（a+c）+10（b+d）＝85， ∴， 当a+c＝9时，则b﹣d＝3，（不符合题意）； 当a+c＝12时，则b﹣d＝4，（不符合题意）； 当a+c＝3时，则b﹣d＝1，（不符合题意）； 当a+c＝6时，则b﹣d＝2，（不符合题意）； 当a+c＝15时，则b﹣d＝5，（符合题意）； ∴b﹣d＝5； ∵是“腰果数”， ∴四位数A的千位数字为p+1，个位数字为s，百位数字为q+2，十位数字为t+1，且（p+1）+（t+1）＝3[（q+2）﹣s]， ∴， ∵p，q，s，t均为整数，且1≤p≤8，1≤q≤7，1≤s≤4，1≤t≤8， ∴q﹣s，p+t﹣4是整数，且p+t﹣4是3的整数倍， ∵1≤p≤8，1≤t≤8， ∴﹣2≤p+t﹣4≤12， ∴p+t﹣4＝0或p+t﹣4＝3或p+t﹣4＝6或p+t﹣4＝9或p+t﹣4＝12， ∵q+2＞s， ∴q﹣s＞﹣2， ∵F（A）被11除余4， ∴F（A）﹣4是11的整数倍， 当p+t﹣4＝3，时，则q﹣s＝1，即q＝s+1， ∵F（A）﹣4＝10（q+2）+（p+1）+10s+（t+1）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22， ∴F（A）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22＝20s+35， ∵1≤s≤4，且为整数， ∴20s+35＝55，75，95，115（除55都不是11的整数倍）， ∴20s+35＝55， ∴s＝1， ∴q+2＝s+2+1＝4， ∵p+t﹣4＝3， ∴（p+1）+（t+1）＝9， ∴或或或， ∴A＝2471或A＝7421或A＝3461或A＝6431； 当p+t﹣4＝12，时，则q﹣s＝4，即q＝s+4， ∵F（A）﹣4＝10（q+2）+（p+1）+10s+（t+1）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22， ∴F（A）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22＝20s+74， ∵1≤s≤4，且为整数， ∴20s+74＝94，114，134，154（除154都不是11的整数倍）， ∴20s+74＝154， ∴s＝4， ∴q+2＝s+4+2＝10（舍去）， 当p+t﹣4＝0，时，则q﹣s＝0，即q＝s， ∵F（A）﹣4＝10（q+2）+（p+1）+10s+（t+1）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22， ∴F（A）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22＝20s+22， ∵1≤s≤4，且为整数， ∴20s+22＝42，62，82，102（都不是11的整数倍，舍去）， 当p+t﹣4＝6，时，则q﹣s＝2，即q＝s+2， ∵F（A）﹣4＝10（q+2）+（p+1）+10s+（t+1）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22， ∴F（A）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22＝20s+48， ∵1≤s≤4，且为整数， ∴20s+48＝68，88，108，128（除88都不是11的整数倍）， ∴20s+48＝88， ∴s＝2， ∴q+2＝s+2+2＝6， ∵p+t﹣4＝6， ∴（p+1）+（t+1）＝12， ∴或或或或或， ∴A＝3692或A＝9632或A＝4682或A＝8642或A＝5672或A＝7652； 当p+t﹣4＝9，时，则q﹣s＝3，即q＝s+3， ∵F（A）﹣4＝10（q+2）+（p+1）+10s+（t+1）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22， ∴F（A）﹣4＝p+t﹣4+10（q+s）+22＝20s+61， ∵1≤s≤4，且为整数， ∴20s+61＝81，101，121，141（除121都不是11的整数倍）， ∴20s+61＝121， ∴s＝3， ∴q+2＝s+3+2＝8， ∵p+t﹣4＝9， ∴（p+1）+（t+1）＝15， ∴或， ∴A＝6893或A＝9863； ∵9863＞9632＞8642＞7652＞7421＞6893＞6431＞5672＞4682＞3692＞3461＞2471， ∴满足条件的A的最大值和最小值的和为9863+2471＝12334． 故答案为：5，12334． 22．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AB＝5，点E、F分别是BC、AD上的点，连接AE、BF交于点M，以AE为直径的圆O交BM于点G，且，∠DAE+∠C＝180°，则GE＝　　 ；若BE＝6，BG＝　　 ． 【答案】，． 【解答】解：∵∠DAE+∠C＝180°， ∴∠D+∠AEC＝180°， 在平行四边形ABCD中，∠D＝∠ABC， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， 又∵∠AEB+∠AEC＝180°， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝5． 设圆O与BE交于点K，连接AG、AK． ∵AE是直径， ∴∠AGE＝∠AKE＝90°， 在Rt△AGE中，， ∴AG：GE：AE＝9：13：5， ∴，． 在等腰三角形ABE中，AK⊥BE， ∴． 在Rt△AKE中，． ∵△AGT∽△EKT， ∴， 设AT＝3x，，则TK＝4﹣3x， 在Rt△TKE中，， 解得x＝1或x＝﹣25（舍）， ∴AT＝3，TK＝1，TE， ∴． 过G作GL⊥BE于点L， 则EL＝GE•cos∠BEG，GL＝GE•sin∠BEG， ∴BL＝BE﹣EL， 在Rt△BGL中，BG； 故答案为：，． 23．如图，已知点O是等腰直角三角形ABC的重心，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，则的值是　　 ． 【答案】 【解答】解：延长BO交AC于H，连接AO， 则A、O、D在同一条直线上， 设AB＝x，则AC＝x， 由勾股定理得，BCx， ∵点O是等腰直角三角形ABC的重心，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E， ∴ADBCx， ∴ODADx， ∵OE⊥AC，∠BAC＝90°， ∴OE∥AB， ∴， ∴OEABx， 则， 故答案为：． 24．如图，在菱形ABCD中，点E为AD边上一点，将CD沿着CE翻折得到CF．点G为CF中点，连接DG，过点F作FH⊥AB于点H．若AB＝10，tan∠BAD＝3，则FH+DG的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，过点D作DP⊥AB于点P，作线段CD的中点K，连接FK，过点K作KH′⊥AB于点H′， ∴AB∥CD，AD＝AB＝10， ∴DP＝KH′ 根据翻折的性质可得，CF＝CD，CK＝CG， 在△GCD和△KCF中， ， ∴△GCD≌△KCF（SAS）， ∴GD＝KF， ∴FH+DG＝FH+FK， ∴当点H，F，K共线时，FH+DG的值最小，即为线段KH′的长度， ∵， 设AP＝x，则DP＝3x， 在直角三角形ADP中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 即FH+DG的最小值为． 25．新定义：我们把二次函数y＝ax2+bx+c（其中abc≠0）与y＝ax2+cx+b称为“相关函数”．例如：二次函数y＝x2+2x+3的“相关函数”为y＝x2+3x+2．已知二次函数的“相关函数”为C2． （1）二次函数C2的对称轴为直线x＝﹣2　 ； （2）已知二次函数C1的图象与x轴交于点M，N，二次函数C2的图象与x轴交于点P，Q，若MN＝PQ，则二次函数C1与C2对称轴之间的距离为　6　 ． 【答案】（1）x＝﹣2； （2）6． 【解答】解：（1）由“相关函数”的定义，得C2的解析式为y＝ax2+4ax+（4a+1）， ∴二次函数C2的对称轴为直线； 故答案为：x＝﹣2； （2）对于二次函数y＝Ax2+Bx+C，设其与x轴两交点横坐标为x1，x2，由根与系数的关系得：，， ∴， ∴两交点距离， 对于，判别式，则，由Δ1≥0得且a≠0， 对于，判别式，则，由Δ2≥0且a≠0得a＜0， 综上，a的取值范围为， 由MN＝PQ，得， 因为|a|≠0，两边同乘|a|得， 两边平方得：8a+1＝﹣4a， 解得，符合取值范围， C1的对称轴为直线， C2的对称轴为直线x2＝﹣2，则两对称轴之间的距离为|4﹣（﹣2）|＝6． 故答案为：6． 26．按一定顺序排列的3个数a1＝2、a2、a3叫做数列，对这个数列进行如下操作得到一组新数：a1＝2、a1﹣a2、a1﹣a2+a3，这三个新数中最大的数叫做数列a1＝2、a2、a3的“最佳值”．例如数列2，﹣3，4，因为2，2﹣（﹣3）＝5，2﹣（﹣3）+4＝9，所以数列2，﹣3，4的“最佳值”是9；而数列﹣3，2，4，因为﹣3，﹣3﹣2＝﹣5，﹣3﹣2+4＝﹣1，所以数列﹣3，2，4的“最佳值”是﹣1． （1）数列﹣3，4，2的“最佳值”是　﹣3　 ； （2）将三个数﹣2，7，m排列成不同的数列，且每个数列的“最佳值”为10，则m的取值共有　5　 种． 【答案】（1）﹣3； （2）5． 【解答】解：（1）对于数列﹣3，4，2， ∵﹣3，﹣3﹣4＝﹣7，﹣3﹣4+2＝﹣5，且﹣3＞﹣5＞﹣7， ∴数列﹣3，4，2的“最佳值”是﹣3． （2）将﹣2，7，m所有可能的数列排列及对应计算如下： ①数列：﹣2，7，m ∵﹣2，﹣2﹣7＝﹣9，﹣2﹣7+m＝m﹣9，最佳值为10，且﹣2＜10，﹣9＜10， ∴m﹣9＝10，解得：m＝19． ②数列：﹣2，m，7 ∵﹣2，﹣2﹣m，﹣2﹣m+7＝5﹣m，最佳值为10， ∴若5﹣m＝10，解得m＝﹣5，此时﹣2﹣m＝3，三个数﹣2，3，10的最大值为10，符合要求． 若﹣2﹣m＝10，解得m＝﹣12，此时5﹣m＝17＞10，最佳值为17，不符合要求． ﹣2≠10，故m＝﹣5． ③数列：7，﹣2，m ∵7，7﹣（﹣2）＝9，7﹣（﹣2）+m＝m+9，最佳值为10，且7＜10，9＜10， ∴m+9＝10，解得m＝1； ④数列：7，m，﹣2 ∵7，7﹣m，7﹣m+（﹣2）＝5﹣m ∴若7﹣m＝10，解得m＝﹣3，此时5﹣m＝8＜10，三个数7，10，8的最大值为10，符合要求． 若5﹣m＝10，解得m＝﹣5，此时7﹣m＝12＞10，最佳值为12，不符合要求． 7≠10，故m＝﹣3． ⑤数列：m，﹣2，7 ∵m，m﹣（﹣2）＝m+2，m﹣（﹣2）+7＝m+9，m+9＞m+2＞m， ∴最佳值为m+9，令m+9＝10，解得m＝1，与③中m＝1重复． ⑥数列：m，7，﹣2 ∵m，m﹣7，m﹣7+（﹣2）＝m﹣9，m＞m﹣7＞m﹣9， ∴最佳值为m，即m＝10，此时三个数10，3，1的最大值为10，符合要求． 综上，m的取值为19，﹣5，1，﹣3，10，共5种． 27．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，M，N分别是边AD，BC上的点，连接MN，CM，过点D作MN的垂线交NM的延长线于点E，若MN平分矩形ABCD的面积，且AM＝5，则DE的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点M作MH⊥BC于点H． ∵AD＝2AB＝8， ∴AB＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠ADC＝90°， ∵AM＝5， ∴DM＝AD﹣AM＝3， ∴CM5， ∵MN平分矩形ABCD的面积， ∴CN＝AM＝5，BN＝DM＝3， ∵四边形MHCD是矩形， ∴CH＝DM＝3，CD＝MH＝4， ∴NH＝CN﹣CH＝2， ∴MN2， ∵AD∥BC， ∴∠AMN＝∠CNM， ∵∠AMN＝∠DME， ∴∠DME＝∠MNH， ∵∠E＝∠MHN＝90°， ∴△DEM∽△MHN， ∴， ∴， ∴DE． 故答案为：． 28．如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵点C是OB的中点， ∴OC＝BC， 又由反比例函数的对称性可知，OD＝OC， ∴OB：BD＝2：3， ∴S△AOBS△ABD18＝12， 设点C的横坐标为m，则C（m，）， ∴B（2m，）， ∴A（2m，0）， ∴OA＝2m，AB， ∴•2m•12， 解得，k＝6． 故答案为：6． 29．如图，正方形ABCD的边长为8，M、N为AB、BC边上的动点，以MN为斜边作等腰Rt△MPN（其中MP＝NP，∠MPN＝90°），点E在CD边上，且DE＝3，连接PE、PC，则△CPE的周长最小值为 　5　 ． 【答案】5 【解答】解：连接AP，AE，BD， 在正方形ABCD中，有AD＝CD＝8，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC， ∴AE，CE＝5， ∵∠ABC+∠MPN＝180°， ∴M，N，B，P在以MN为直径的圆上， ∵NP＝NP， ∴∠ABP＝∠CBP∠ABC＝45°， ∴点P在BD上运动， ∴CP+PE＝AP+PE≥AE， ∴△CPE的周长最小值为：5， 故答案为：5． 30．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． 则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′， EA′2， ∴AC+BD的最小值为2． 故答案为：2． 三．解答题（共15小题） 31．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2． （1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h； （2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：yx+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD， ∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC， S△ABMAB×MEAB×h1， S△AMCAC×MFAC×h2， 又∵S△ABCAC×BDAC×h，AB＝AC， ∴AC×hAB×h1AC×h2， ∴h1+h2＝h． （2）解：如图所示： h1﹣h2＝h． （3）解：在yx+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4， 所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）． AB5，AC＝5，所以AB＝AC， 即△ABC为等腰三角形． ①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：My＝OB，My＝3， 把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx， 所以此时M（，）． ②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：MyOB，My＝3， 把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx， 所以此时M（，）． ③当点M在BC的延长线上时，h1h，不存在； 综上所述：点M的坐标为M（，）或（，）． 32．在平面直角坐标系中，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），若g＝y﹣tx（t为常数，t≠0），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数y＝2x+1的“2.5型相关量”为g＝（2x+1）﹣2.5x＝﹣0.5x+1． 【理解】（1）一次函数y＝3x的“t型相关量”为g＝5x，则t＝　﹣2　 ； 【探究】（2）已知g是y＝kx+2（k≠0）的“t型相关量”， ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而增大，试比较t与k的大小关系； 【迁移】（3）类似的，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），若g＝y﹣tx，亦称g为y的“t型相关量”．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣x2+3tx+t2﹣3的“t型相关量”g的最大值为2，请直接写出t的值． 【答案】（1）﹣2； （2）①k＝t，g为定值2；②k＞t； （3）t＝﹣1或． 【解答】解：（1）g＝y﹣tx＝3x﹣tx＝5x，则t＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）①由题意得：g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2， 当k＝t时，g为定值2； ②g＝kx﹣tx+2＝（k﹣t）x+2， 若g随x的增大而增大，则k＞t； （3）由题意得：g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx， 函数g的对称轴为直线x＝t，顶点为（t，2t2﹣3）， 当x＝﹣2时，g＝﹣x2+3tx+t2﹣3﹣tx＝t2﹣4t﹣7，同理可得：当x＝1时，g＝t2+2t﹣4， 当t≥1时，x＝1时，ymax＝t2+2t﹣4＝2，则t＝﹣1（不合题意的值已舍去）； 当t≤﹣2时，当x＝﹣2时，ymax＝t2﹣4t﹣7＝2，则t＝2±（舍去）； 当﹣2＜t＜1时，顶点处取得最大值，即2t2﹣3＝2，则t， 综上，t＝﹣1或． 33．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点C的坐标； （2）若点P为抛物线上一动点（点P不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m． ①设抛物线上点P，C之间的部分（含P、C）为图象G，当图象G的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值； ②如图2，点P在第四象限抛物线上，过点P作PE∥y轴交直线BC与点E，求线段PE长的最大值； ③连接BP、CP，若△BCP的内角∠PBC或∠PCB中至少有一个角与∠BAC相等．请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得：， 故抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3， 点C的坐标为（0，﹣3）； （2）①由（1）知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 由图象G的最高点和最低点的纵坐标之差为8，可分以下两类讨论： 当点P在y轴左侧时，有m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）＝8， 解得m1＝4（舍去），m2＝﹣2； 当点P在y轴右侧时，有m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝8， 解得m1（舍去），m2， 综上所述，m的值为﹣2或； ②由待定系数法可知直线BC的表达式为y＝x﹣3， 则PE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， 故当m时，线段PE长的最大值为； ③（Ⅰ）：当P在y轴左边时，只有∠PBC＝∠BAC，如图1所示， 过点B作直线BE∥AC交y轴于点E，可得直线BE的解析式为y＝﹣3x+9， 故∠BAC＝∠ABE， 又∵∠PBC＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠PBC， ∴∠EBP＝∠ABC＝45°． 设BP交y轴于点D，作DF⊥PB于点D，交BE于点F，作FG⊥y轴于点G， ∴BD＝FD． ∵∠GDF+∠GFD＝90°，∠GDF+∠ODB＝90°， ∴∠GFD＝∠ODB， 在Rt△GFD和Rt△ODB中， ， ∴Rt△GFD≌Rt△ODB（AAS）， ∴BO＝GD＝3，OD＝GF， 设D（0，m），则GF＝m， 故点F坐标为（m，m+3），再把F点坐标代入直线BE解析式中， 即m+3＝﹣3m+9，解得m，即D（0，）． 则直线BD的解析式为y， 联立抛物线，得x2﹣2x﹣3， 整理得x2x0，由韦达定理可知3xP， 解得xP， 故点P的坐标为（，）； （Ⅱ）：当P在y轴右边时，只有∠PCB＝∠BAC，如图2所示， 作CD∥x轴，延长AC至点E， ∴∠DCE＝∠BAC， ∴∠DCE＝∠PCB， ∴∠BCD＝∠PCE＝45°， 作AF⊥AC于点A，交PC于点F，作FG⊥x轴于点G， 易知△AFC为等腰直角三角形， 同理可证△AOC≌△FGA， ∴AG＝OC＝3，GF＝AO＝1， 故点F的坐标为（﹣4，﹣1）， 则根据待定系数法可得直线CF的表达式为y， 联立抛物线，得x2﹣2x﹣3， 整理得x2x＝0，解得x1＝0（舍），x2， 故点P的坐标为（，）， 综上所述，点P的坐标为（，）或（，）． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，得： ，解得：， 故抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3， 点C的坐标为（0，﹣3）； （2）①由（1）知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 由图象G的最高点和最低点的纵坐标之差为8，可分以下两类讨论： 当点P在y轴左侧时，有m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）＝8， 解得m1＝4（舍去），m2＝﹣2； 当点P在y轴右侧时，有m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝8， 解得m1（舍去），m2， 综上所述，m的值为﹣2或； ②由待定系数法可知直线BC的表达式为y＝x﹣3， 则PE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， 故当m时，线段PE长的最大值为； ③（Ⅰ）：当P在y轴左边时，只有∠PBC＝∠BAC，如图1所示， 过点B作直线BE∥AC交y轴于点E，可得直线BE的解析式为y＝﹣3x+9， 故∠BAC＝∠ABE， 又∵∠PBC＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠PBC， ∴∠EBP＝∠ABC＝45°． 设BP交y轴于点D，作DF⊥PB于点D，交BE于点F，作FG⊥y轴于点G， ∴BD＝FD． ∵∠GDF+∠GFD＝90°，∠GDF+∠ODB＝90°， ∴∠GFD＝∠ODB， 在Rt△GFD和Rt△ODB中， ， ∴Rt△GFD≌Rt△ODB（AAS）， ∴BO＝GD＝3，OD＝GF， 设D（0，m），则GF＝m， 故点F坐标为（m，m+3），再把F点坐标代入直线BE解析式中， 即m+3＝﹣3m+9，解得m，即D（0，）． 则直线BD的解析式为y， 联立抛物线，得x2﹣2x﹣3， 整理得x2x0，由韦达定理可知3xP， 解得xP， 故点P的坐标为（，）； （Ⅱ）：当P在y轴右边时，只有∠PCB＝∠BAC，如图2所示， 作CD∥x轴，延长AC至点E， ∴∠DCE＝∠BAC， ∴∠DCE＝∠PCB， ∴∠BCD＝∠PCE＝45°， 作AF⊥AC于点A，交PC于点F，作FG⊥x轴于点G， 易知△AFC为等腰直角三角形， 同理可证△AOC≌△FGA， ∴AG＝OC＝3，GF＝AO＝1， 故点F的坐标为（﹣4，﹣1）， 则根据待定系数法可得直线CF的表达式为y， 联立抛物线，得x2﹣2x﹣3， 整理得x2x＝0，解得x1＝0（舍），x2， 故点P的坐标为（，）， 综上所述，点P的坐标为（，）或（，）． 34．问题提出 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，连接AE，BF，交于点G，且AE⊥BF，求证：AE＝BF； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块正方形ABCD的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路AE，AG，GF，EF，其余部分种植各种不同的花卉．已知点E，F，G分别在边BC，AB，CD上，且AE⊥GF于点H．若AB＝60m，CE＝2BE，求小路AG+EF的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠AGB＝90°， ∴∠ABF+∠FBC＝∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠FBC＝∠BAE， 又∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）小路AG+EF的最小值为40m． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠AGB＝90°， ∴∠ABF+∠FBC＝∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠FBC＝∠BAE， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）解：如图所示：过B作AE的垂线，交CD于点M，过点F作FK∥BC，交CD于K， 把线段AG平移至A′F，过点A′作A′H⊥BC于H，连接A′E， 由（1）可知：CM＝BE＝20m， 由平移得：AG＝A′F， ∴AG+EF＝A′F+EF≥A′E，当且仅当A′、F、E三点共线时，AG+EF＝A′E为最小值； 设BF＝xm， ∵FG∥BM，AB∥CD， ∴四边形BFGM是平行四边形， ∴GM＝BF＝xm， ∴GD＝CD﹣CM﹣GM＝（40﹣x）m， 同理DK＝AF＝（60﹣x）m， ∴GK＝DK﹣DG＝20m， 由平移得：A′H＝60﹣20＝40（m），BH＝60m， ∴EH＝BE+BH＝20+60＝80（m）， ∴A′E40（m）， ∴小路AG+EF的最小值为40m． 35．当45°角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含45°角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯． 【初步感知】 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠BAD＝45°，∠ADE＝90°，EF⊥BC于点F，求证：EF＝CD； 【解决问题】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点M在正方形ABCD的内部，且∠EMF＝90°，∠BEM＝45°．若EM＝3，FM＝5，求正方形ABCD的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，点D是BC边上的中点，点E在AC边上，连接BE交AD于点F，若∠BFD＝45°，CE＝4，求BE的长． 【答案】（1）∵∠BAD＝45°，∠ADE＝90°， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AD＝DE， ∵EF⊥BC， ∴∠EFD＝90°， ∴∠C＝∠ADE＝∠EFD＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝∠ADC+∠EDF＝90°， ∴∠CAD＝∠EDF， ∴△ACD≌△DFE（AAS）， ∴EF＝CD； （2）； （3）． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝45°，∠ADE＝90°， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AD＝DE， ∵EF⊥BC， ∴∠EFD＝90°， ∴∠C＝∠ADE＝∠EFD＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝∠ADC+∠EDF＝90°， ∴∠CAD＝∠EDF， ∴△ACD≌△DFE（AAS）， ∴EF＝CD； （2）解：过点M作GH⊥CD于点H，交AB于点G，如图所示： 则∠GHD＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵∠A＝∠D＝∠GHD＝90°， ∴四边形AGHD为矩形， ∴AD＝GH，∠AGH＝∠GHD＝90°， ∵∠BEM＝45°， ∴△GEM为等腰直角三角形， ∴，∠GME＝90°﹣45°＝45°， ∵∠EMF＝90°， ∴∠FMH＝180°﹣45°﹣90°＝45°， ∴△MFH为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． （3）解：过点E作EG⊥AD于点G，延长AD，过点B作BH⊥AD于点H，如图所示： 则∠AGE＝∠EGF＝∠FHB＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∵点D为BC的中点， ∴， 设，则，， ∴在Rt△ACD中，根据勾股定理得：， ，， ∴在Rt△AEG中，，， ∴， ， ∵∠BFD＝45°， ∴∠EFG＝∠BFH＝45°， ∴△EFG，△BFH为等腰直角三角形， ∴，BH＝FH， ∵∠C＝∠BHF＝90°，∠ADC＝∠BDH， ∴∠DBH＝∠CAD， ∴，， ∴，， ∴FH＝BH＝2x， ∴FD＝2x﹣x＝x， ∴AD＝AG+FG+FD ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 36．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D． （1）如图1，延长DA至点S，使得AS＝AD，连接BS、CS．若∠BSD＝∠ACS，且，求BD的长度； （2）如图2，过点C作∠ACB的角平分线交AB于点E，过E作EF⊥BC交BC于点F，点H是BC上一点，点G是AC上一点，满足∠GEH﹣∠GEA＝∠FEH，请你猜想FH、GH和AG之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，如图3，过点E作EM⊥CE交BC于点M，点P在线段BE上，点Q在线段EC上，且满足BP＝EQ．连接MP、MQ．若AB＝6，AC＝8，当MP+MQ取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）FH+AG＝GH，延长CA使得AI＝FH，连接EI， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠FCE， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°＝∠EAC， ∵CE＝CE， ∴△ACE≌△FCE（AAS）， ∴∠CEA＝∠CEF，EA＝EF， ∵FH＝AI， ∴△EFH≌△EAI（SAS）， ∴∠FEH＝∠AEI，EH＝EI， ∵∠GEH﹣∠GEA＝∠FEH， ∴∠GEH＝∠GEA+∠FEH＝∠GEA+∠AEI＝∠GEI， ∵EH＝EI，EG＝EG， ∴△EGH≌△EGI（SAS）， ∴GH＝GI， ∵GI＝AI+AG＝FH+AG， ∴FH+AG＝GH； （3）． 【解答】解：（1）过点S作CE∥BC，延长BA与SC交于点F， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠ABD，∠CAF＝180°﹣∠BAC＝90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴， ∴AC•BD＝AB•AD， ∵AS＝AD， ∴SD＝2AD， ∵∠CAF＝90°＝∠SDB，∠BSD＝∠ACS， ∴△SBD∽△CFA， ∴， ∴AC•BD＝2AF•AD＝AB•AD， ∴， ∴， ∵SE∥BC， ∴∠ABD＝∠AES，∠ADB＝∠ASE， ∵AD＝AS， ∴△ABD≌△AES（AAS）， ∴，BD＝ES， ∴， ∵SE∥BC， ∴△BCF∽△ESF， ∴， ∴BC＝3ES＝3BD， ∴CD＝BC﹣BD＝2BD， ∵△ABD∽△CAD， ∴， ∴AD2＝BD•CD＝2BD2， 由勾股定理可得，， 解得（负值舍去）， ∴； （2）FH+AG＝GH，证明如下： 延长CA使得AI＝FH，连接EI， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠FCE， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°＝∠EAC， ∵CE＝CE， ∴△ACE≌△FCE（AAS）， ∴∠CEA＝∠CEF，EA＝EF， ∵FH＝AI， ∴△EFH≌△EAI（SAS）， ∴∠FEH＝∠AEI，EH＝EI， ∵∠GEH﹣∠GEA＝∠FEH， ∴∠GEH＝∠GEA+∠FEH＝∠GEA+∠AEI＝∠GEI， ∵EH＝EI，EG＝EG， ∴△EGH≌△EGI（SAS）， ∴GH＝GI， ∵GI＝AI+AG＝FH+AG， ∴FH+AG＝GH； （3）作EF⊥BC于点F，以EC为边作∠CEJ交AC于点J，使得∠CEJ＝∠CBA，在EJ上截取线段EK＝BM，连接MK、QK，过点M作EJ的垂线，交JE的延长线于点N， 在△BPM和△EQK中， ， ∴△BPM≌△EQK（SAS）， ∴MP＝KQ， ∴MP+MQ＝KQ+MQ， ∵KQ+MQ≥MK， ∴当M、Q、K三点共线时，KQ+MQ最小，即MP+MQ取得最小值， ∵CE平分∠ACB， 又∵∠CAE＝90°，EF⊥BC， ∴EF＝AE，∠ACE＝∠FCE， 在直角△ABC中，， ∵S△ABC＝S△ACE+S△BCE， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∵EM⊥CE， ∴∠CEM＝90°＝∠CAE， ∵∠ACE＝∠FCE， ∴△CEM∽△CAE， ∴， ∴，， ∴， ∵MN⊥JN， ∴∠MNE＝90°＝∠BAC， ∴∠MEN+∠EMN＝90°， ∵∠CEJ+∠MEN＝180°﹣∠CEM＝90°， ∴∠EMN＝∠CEJ＝∠CBA， ∴△NME∽△ABC， ∴，即， ∴， 在△BPM和△EQK中， ， ∴△BPM≌△EQK（SAS）， ∴S△BPM＝S△EQK， ∴， ∵， ∴． 37．（1）已知抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3，求该抛物线的顶点坐标． （2）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，分别过点C，B作CE∥AB，BE∥CD，CE与BE相交于点E．求证：四边形CDBE是菱形． 【答案】（1）（2，﹣1）； （2）∵CE∥AB，BE∥CD， ∴四边形CDBE是平行四边形， ∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴CD＝BD＝AD， ∴四边形CDBE是菱形． 【解答】（1）解：将函数表达式y＝x2﹣4x+3化为顶点式得：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）； （2）证明：∵CE∥AB，BE∥CD， ∴四边形CDBE是平行四边形， ∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴CD＝BD＝AD， ∴四边形CDBE是菱形． 38．如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝15cm，∠ABC＝37°． （1）在图2中，∠BCD＝　127°　 ； （2）靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若乘客水杯FG竖直放在杯托E处（F与E重合，水杯FG宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小于0.6cm． ①∠ACD＝　53　 °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，， 【答案】（1）127°； （2）①53°； ②乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）． 【解答】解：（1）过点B作BF∥CD， ∴∠CBF+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝37°， ∴∠CBF＝90°﹣37°＝53°， ∴∠BCD＝180°﹣53°＝127°， 故答案为：127°； （2）①当靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置， 由（1）知∠BCD＝127°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BCD＝53°， 故答案为：53°； ②如图，过点E作CD的垂线交AB于点F，过点G作GH⊥CF于点H． 在Rt△CEF中，EF＝CEtan∠FCE＝15×tan53°≈1520（cm）， 在Rt△FGH中，FG1（cm） 乘客水杯的最大高度约为20﹣1+0.7＝19.7（cm）． 39．问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠APB最大时，点P的坐标为　　 ． 问题解决 （2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形ABCD为水鸟园的建设用地，其中AB＝24m，BC＝78m，CD＝100m，∠B＝90°，．根据修建要求，四边形ABCD内部为水鸟戏水区，A为游客观测点，在CD边上要修建一段长为48m的水岸MN（M在上，N在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C？如果存在，求出此时CN的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C；CN＝42m． 【解答】解：（1）如图1，过点A、B作⊙M，且⊙M与y轴相切于点N，连接AN，BN，MN，MA，作MC⊥AB于点C，在y轴上任取一点Q，点Q与点N不重合，连接AQ，BQ，AQ交⊙M于点D，连接BD， ∵， ∴∠ANB＝∠ADB， ∵∠ADB为△BDQ的外角， ∴∠ADB＞∠AQB， ∴∠ANB＞∠AQB， ∴当点P在点N处时，∠APB最大， ∵A（2，0），B（4，0）， ∴AB＝4﹣2＝2，OA＝2， ∵MC⊥AB， ∴，∠MCO＝90°， ∴OC＝OA+AC＝3， ∵⊙M与y轴相切于点N， ∴MN⊥y轴， ∴∠MNO＝90°， ∵∠MCO＝∠MNO＝∠CON＝90°， ∴四边形OCMN为矩形， ∴MN＝OC＝3，ON＝MC， ∴MA＝MN＝3， 在直角三角形ACM中，由勾股定理得：， ∴， ∴点N的坐标为， 即当∠APB最大时，点P的坐标为， 故答案为：； （2）存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C；理由如下： 如图2，∠B＝90°，过点A作AE⊥AB，AE交CD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AG⊥CD于点G，则∠AGE＝∠BAE＝∠BFE＝90°， ∴四边形ABFE为矩形， ∴EF＝AB＝24m，AE＝BF，∠AEF＝90°， ∵， ∴， ∴， ∴BF＝BC﹣CF＝78﹣18＝60（m）， ∴AE＝BF＝60m， ∵∠AEG+∠CEF＝∠CEF+∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠C， ∴， 设AG＝4xm，则EG＝3xm， 在直角三角形AEG中，由勾股定理得： m， ∴5x＝60， 解得：x＝12， ∴AG＝4×12＝48（m）； ∴点A到CD的距离为48m， 如图3，作△AMN的外接圆，圆心为O，过点O作OE′⊥MN于点E′，连接OM，ON，OA，则OM＝ON， ∴，， ∵， ∴， ∴∠MOE′＝∠MAN， ∵∠MAN＝∠C， ∴∠MOE′＝∠C， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形OE′M中，由勾股定理得：， ∴OA+OE′＝30+18＝48（m）， ∵点A到CD的距离为48m， ∴当∠MAN＝∠C时，点E′在点E处，且点O在AE上， 如图4，延长BA，CD，交于点P， ∵， ∴BP＝104m， 在直角三角形BCP中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：PE＝64（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∵OE⊥MN， ∴， ∴CN＝PC﹣PE﹣EN＝42m． 40．综合与探究 如图，抛物线yx2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长． 【答案】（1）y＝3x﹣6； （2）①存在：（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）； ②3． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0， 解得x1＝﹣6，x2＝2， ∴A（﹣6，0），B（2，0）， 当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， ∵A（﹣6，0），C（0，﹣6）， ∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6； （2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵B（2，0），C（0，﹣6）， ∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2， ∵DE∥BC， ∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形， ∴BD2＝BC2， ∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40， 解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣2）， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）； 如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形， ∴CD2＝CB2， ∴2m2＝40， 解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣2，26）， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为（2﹣2，2）； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）； ②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0， ∵A（﹣6，0），B（2，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC， ∴设直线l的解析式为y＝3x+b， ∵点D的坐标（m，﹣m﹣6）， ∴b＝﹣4m﹣6， ∴M（﹣2，﹣4m﹣12）， ∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N． ∴N（﹣2，﹣4）， ∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8， ∵S△DMN＝S△AOC， ∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）6×6， 整理得：m2+4m﹣5＝0， 解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣5，﹣1）， ∴点M的坐标为（﹣2，8）， ∴DM3， 答：DM的长为3． 41．在排球比赛中，通常情况下，一名球员（二传手）在网前将球垫起来，球在本方球场的网前与球网平行的方向飞行，其飞行路线是抛物线的一部分，进攻队员跳起扣球．如图，球网AB的长度为10米，高OA为2.4米，二传手在距边界O处0.5米的E点传球，球（看成一个点）从点M处开始沿抛物线MHN飞行，点M的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．以点O为坐标原点，建立直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）甲球员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？ （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点O多远的范围内起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：，） 【答案】（1）； （2）甲队员能扣到球； （3）乙队员在离边界O点2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24范围时起跳扣球，可扣球成功且避免对方拦网． 【解答】解：（1）以O为坐标原点，OC为x轴正方向，OA为y轴正方向建立直角坐标系． 令y＝a（x﹣h）2+k，把（5.5，3.8）代入，得y＝a（x﹣5.5）2+3.8， 由题意可得：1.8＝a（0.5﹣5.5）2+3.8， 解得， ∴； （2）当x＝2.5时，， ∵3.08＜3.10， ∴甲队员能扣到球； （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米， 当y＝3.4时，， 解得x1＝7.74，x2＝3.26． 当y＝3.2时，， 解得x1＝8.24，x2＝2.76． ∵，抛物线开口向下， ∴当3.2＜y≤3.4时，2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24． ∴乙队员在离边界O点2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24范围时起跳扣球，可扣球成功且避免对方拦网． 42．【问题提出】 （1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD　＝　 S△BCD；（填“＞”“＜”或“＝”） 【问题探究】 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB＝12，求△ABC面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，△ABC为某市一块空地示意图，∠ACB＝90°，AB＝200米，BC＝100米，根据设计要求，现要在△ABC外选择一点D，将这块地扩大改造为一个四边形便民服务区ABCD，要求点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，AC，BD为服务区内两条主步道，在BD上修建一个引导台点E，使CE∥AD，再修建两条新的小道CE，AE，为了让服务区功能更加合理，要使四边形AECD的面积尽可能大，请求出满足设计要求的四边形ADCE面积的最大值． 【答案】（1）＝； （2）108； （3）平方米． 【解答】解：（1）如图①，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N， ∵a∥b， ∴∠MAB＝∠AMN＝90°， ∴四边形AMNB是矩形， ∴AM＝BN， ∴CD•AM＝CD•BN， 又∵， ∴S△ACD＝S△BCD； 故答案为：＝； （2）如图②，取优弧的中点记为C1，过C1作AB的垂线，垂足为D， 由垂径定理知：C1D过点O，且AD＝BD． 过点C作AB的平行线CE， ∵当直线CE向上平移时，CE与AB的距离增大，即△ABC的AB边上的高增大， ∴当CE运动到最高点C时，△ABC的AB边上的高最大． 又∵AB为定值， ∴当C运动到C1时，△ABC的面积最大， 连接OB， ∵AB＝12，⊙O的直径为20， ∴BD＝6，BO＝10，OC1＝10， 在Rt△OBD中，由勾股定理得：． ∴C1D＝OD+OC1＝8+10＝18． ∴△ABC1的面积为． ∴△ABC面积的最大值为108； （3）如图③﹣1，过点C作CF∥BD交AD的延长线于F． ∵CF∥BD． ∴∠F＝∠ADB＝60°． ∵AD∥CE， ∴四边形DECF是平行四边形． ∴DF＝CE，FC＝DE． 在△DFC和△CED中， ， ∴△DFC≌△CED（SSS）． ∴S△DFC＝S△CED． 又由（1）的结论知S△DAC＝S△DAE， ∴S四边形ADCE＝S△DAE+S△CED＝S△DAC+S△DFC＝S△AFC． ∴只需求得S△AFC最大值即得的S四边形ADCE最大值． 以AC为边向△ABC外作等边△AGC，再作等边△AGC的外接圆，过点G作GJ⊥AC于点J．如图③﹣2， ∵∠F＝60°， ∴点F在△AGC的外接圆上． 由第（2）问的解决知，当点F运动到点G时，S△AFC最大＝S△ACG． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝200米，BC＝100米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（平方米）． ∴四边形ADCE面积的最大值为平方米． 43．综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　45°　 ，k的值为　　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中∠ABC＝β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAB＝∠DAC＝45°，ADOA， ∴旋转角为45°，k， ∴k， 故答案为：45°，； （2）根据题意得△AEF∽△AOB， ∴∠EAF＝∠OAB，， ∴∠FAB＝∠EAO，， ∴△AFB∽△AEO， ∴， ∠OAB＝45°，∠AOB＝90°， ∴， ∴， （3）的值与α无关，理由如下，如图， 同理可证△AFB∽△AEO， ∴， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∵O是AB的垂直平分线与BD的交点， ∴AO＝BO， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， 过点O作OG⊥AB于点G， ∴AB＝2BG，cos∠ABO， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）同理可证，∠BAO，2cos， ∴BF＝OE•2cos，BA＝OB•2cos， ∵BE＝OE+OB， ∴BF+BA＝OE•2cos ＝2（OE+OB）cos， 即BF+BA＝2BEcos． 44．如图1，AC＝4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC． （1）尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD、DC，并证明四边形ABCD为平行四边形； （2）如图2，延长AC至点F，使得CF＝AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC＝45°，且△ABC∽△FCE． ①求证：△ABC∽△CBE； ②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②存在，最大值为2，理由见解析． 【解答】（1）解：如图，连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD＝OB，点D即为所作， ∵O为AC中点， ∴AO＝OC， 根据作图可得BO＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， （2）①∵△ABC∽△FCE， ∴∠F＝∠BAC，∠ACB＝∠FEC， ∵∠ACE＝∠F+∠CEF＝∠ECB+∠ACB， ∴∠BCE＝∠F＝∠BAC， ∵△ABC∽△FCE， ∴且CF＝AC， ∴， ∴△ABC∽△CBE； ②∵∠AEC＝45°，AC＝4， ∴E在△AEC的外接圆上运动， 设△AEC的外接圆为⊙O，如图，设EF与⊙O交于点G，连接AG，OA，OC， ∴∠AOC＝2∠AEC＝90°， ∴， ∵， ∴∠GAF＝∠CEF， ∵∠CEF＝∠ACB， ∴∠GAF＝∠BCA， 又∵∠F＝∠BAC， ∴△BAC∽△GFA， 又∵CF＝AC，则AF＝2AC， ∴， 若， ∴当AG为⊙O的直径时，AG取得最大值为， ∴BC的最大值为． 45．在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题． 【问题情境】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．判断线段AE，FG的数量关系并证明． 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值； 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE，分别交线段BC，PC于点M，N． ①求∠DMC的度数； ②连接AC，交DE于点H，直接写出的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AE＝FG，理由如下： 如图1﹣1所示，过点B作BH∥FG交AE于K，交CD于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°， ∴四边形BFGH是平行四边形， ∴BH＝FG， ∵FG⊥AE， ∴BH⊥AE， ∴∠BKE＝90°， ∴∠KBE+∠BEK＝90°， ∵∠BEK+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBH， 在△ABE和△BCH中， ， ∴△ABE≌△BCH（ASA）， ∴AE＝BH， ∴AE＝FG； （2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示： ∴∠AOC＝∠FDC， 设正方形网格的边长为单位1， 则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4， 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴CF2+CD2＝DF2， ∴∠FCD＝90°． ∴； （3）①连接AF、PE、PD，AC，如图3， ∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形， ∴AP＝CP，PB＝PF，∠APC＝∠CPB＝90°，∠DPC＝∠FPE＝45°，，， ∴∠DPE＝90°，△APF≌△CPB（SAS）， ∴∠BCP＝∠PAF，BC＝AF， ∵，∠DPE＝∠APF， ∴△DPE∽△APF， ∴∠PCB＝∠PDE＝∠PAF， ∵∠DNC＝∠CPD+∠PDE＝∠DMC+∠PCB， ∴∠DMC＝∠DPC＝45°； ②∵∠PDC＝∠PAC＝45°，∠PDE＝∠PCB＝∠PAF， ∴∠CAF＝∠CDH， 又∵∠ACF＝∠DCH＝45°， ∴△DCH∽△ACF， ∴， ∵BC＝AF， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $