【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-1）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-1） 一．选择题（共15小题） 1．如图1，在Rt△ABC中，D是边AB的中点．点E在斜边AC上，从点A出发，运动到点C时停止．设AE为x，DE2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点P（0，100），且经过N（n﹣9，100）和最高点M（n，m）两点．下列选项正确的是（　　） A．∠A＝30° B．m＝325 C．n＝24 D．y的最小值为64 2．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 3．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次，第一次折叠纸片使点A与点E重合（如图2），折痕为MN，连结ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合（如图3），点B落在B'处，折痕为HG，连结HE，则tan∠EHG的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，G是△ABC的重心，点D在边BC上，DG⊥GC，如果，则值是（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论中不正确的是（　　） A．abc＞0 B．c+5a＝0 C．5a+b＞0 D．a+b+c＞0 8．已知一个二次函数y＝ax2﹣4ax+4（a＜0），当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6，则当﹣2≤x≤3时，y的最小值是（　　） A． B．﹣2 C． D． 9．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（　　） A．AC＝4 B．BC＝2 C．tan∠BAP D．AB2+BC2＝AC2 10．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ybx与x轴的一个交点为A（﹣8，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连接OD，则OD的最大值是（　　） A． B． C． D． 11．已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+…+a1x+a0，其中an，n为正整数，an﹣1，an﹣2，…，a1，a0为自然数，若n+an+an﹣1+an﹣2+…+a1+a0＝5． ①满足条件的所有整式M中，次数最高的是5次；②满足条件的所有整式M共有15个； ③满足条件的所有整式M的和为x4+5x3+11x2+15x+11．下列说法中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 13．如图①，在菱形ABCD中，∠B＝45°，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．图②是点P，Q运动时△BPQ的面积S与运动时间t的函数关系的图象，则m的值为（　　） A．2 B． C． D． 14．从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间满足h＝﹣3t2+6at+12﹣3a2（0≤t≤2a）．则下列选项中正确的是（　　） A．t＝0.5s和t＝3s时，小球离地面的高度相同 B．t＝2.5s时，小球到达最高点 C．t＝3.5s时，小球回到地面 D．2＜t＜3时，小球处于下降阶段 15．如图，分别经过原点O和点A（8，0）的动直线a，b，其夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则AM的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 二．填空题（共15小题） 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝2，连结AC，BD，若△ABD与△CBD的面积相等，则AC的长为　 　 ． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD．将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，连接CF．当CF∥AB时，CF的长为　 　 ． 18．如图，在边长为4的正方形ABCD的外侧，作直角三角形ADE，∠AED＝90°，且∠ADE＝30°． （Ⅰ）AE与DE的长度和为 　 　 ； （Ⅱ）若O为AC的中点，连接OE，则OE的长为 　 　 ． 19．如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 　 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3）．D为线段OA上任一点，作DE⊥BD交线段AB于E，当AE的长最大时，点E的坐标为　 　 ． 21．如图，正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 　 　 ． 22．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠B＝120°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B的对应点B′落在对角线AC上，B′C′交CD于点E，则四边形DAB′E的面积等于　 　 ． 23．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝5，∠ADC＝90°，AD＝2CD，连接AC，BD，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，则AE的最大值为　 　 ． 24．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH•OH；④sin∠AQO；其中正确的结论有 　 　 ． 25．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，则S的取值范围是　 　 ． 26．已知各位数字均不为零的四位自然数M，若满足a+d＝9，b+c＝9那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数1278，因为1+8＝9且2+7＝9，所以1278是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是　 　 ；若M是“和九数”，记F（M），且为整数，则满足条件的M的最大值为　 　 ． 27．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a•b＝c+d2，那么称这个四位数为“积方和数”．例如：四位数1732，因为1×7＝3+22，所以1732是“积方和数”．已知四位数M是“积方和数”，将“积方和数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N能被22整除，则满足条件的M的最小值是　 　 ． 28．在边长为1的正方形ABCD中，，连接CE，将△CBE沿CE折叠得到△CGE，CG交BD于点M，延长CG交AD于点F，则点G到AB的距离是　 　 ． 29．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1，顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若△ACB为等边三角形，则m的值为　 　 ． 30．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF．若，∠ECF＝∠B＝45°，则四边形AECF的面积是　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连结AE，CD，DE，AB＝CD，EB＝ED，DE平分∠BDC． （1）求证：∠DEB＝∠AEC． （2）若BE＝4，CE＝6，求AC． （3）如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求的值． 32．综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE． 猜想证明： （1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长． 33．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线AC下方抛物线上的点． （1）求a+b的值； （2）连接AP，CP，BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标． 34．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0），B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在对称轴上找一点Q，使△BCQ的周长最小，求点Q的坐标； （3）若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 35．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标． 36．【问题呈现1】 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是斜边AB上的一点，连接CD，试说明AD、BD、CD间的数量关系，小敏同学思考后是这样做的：如图1将△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CBE，连接DE，请写出AD、BD、CD之间的数量关系　 　 ； 【问题呈现2】 如图2，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断S△ABC是否存在最小值，若存在，请求出最小的面积值；若不存在，请说明理由； 【问题解决】 为迎接新春佳节，西安市城市管理部门在古城墙段安装了全息投影射灯．工作人员选择在城墙的E点安装射灯，该城墙段的几何结构如图3：城墙顶部凸起部分为墙垛，如四边形KLMJ，凹陷部分为垛口，如四边形HIJK，本题中墙垛与垛口均为正方形．现从E点发射全息投影光束，其投影画面可绕E点转动，但始终保持∠FEG＝60°，其中F、G分别是BC与DC边上的动点．已知墙垛边长HI为0.5m，墙面区域∠C＝60°，∠B＝90°，AD∥BC，城墙楼梯DC长度为8m．墙垛面积在本问题中可忽略不计．现需分析在全息投影表演过程中，投影到城墙区域（四边形EFCG）的面积是否存在最大值．若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． 37．【定义新知】 婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （1）如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BD、OA、OB、OC、OD，AC与BD交于点E，已知∠BOC+∠AOD＝180°．试说明：四边形ABCD是“婆氏四边形”； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD．其中，AB＝6，BC＝10，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长； 【问题拓展】 （3）如图3，某公园欲规划一个圆形景观区⊙O，并在其内部设计一个四边形ABCD区域，作为花海，其中点A、B、C、D均在⊙O上，AC、BD为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形ABCD是“婆氏四边形”，且AD与BC的长度之和为400米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 38．【问题探究】 （1）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若△ABC的面积为9，则△BCD的面积为　 　 ； （2）如图②，半圆O的直径AB＝8，点C是半圆O上的一个动点，求△ABC面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某公园有一个三角形的演艺广场ABC，其中AB＝20米，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°．在演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点A和点B处的射灯发出的光线夹角∠AMB始终等于45°，且光线AM在∠BAC的内部运动．点C处的射灯发出的光线与AM交于点N，且光线CN始终与光线BM平行．请探究四边BMCN的面积是否存在最大值，若存在，请求出四边形BMCN面积的最大值；若不存在，请说明理由． 39．在平面直角坐标系中，直线y＝3x+k+4交x轴于点A，交y轴于点C，直线y＝﹣x+3k经过点C，交x轴于点B． （1）如图①，k＝　 　 ； （2）如图②，在线段BC上取点P，连接AP交y轴于点T，若点P的横坐标为t，△CPT的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； （3）如图③，在（2）的条件下，过点P的直线交AC于点G，过点G作GE⊥PG交x轴于点E，连接PE．若以PC，PE，AE为边长的三角形面积与△CPT的面积比为3：2，求点P的坐标． 40．【综合与探究】 问题情境：将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′，点A，B，D的对应点分别为点A′，B′，D′，设直线AD与直线A′D′交于点E． 猜想证明： （1）猜想DE与D′E的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点B′恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A′恰好落在AD的延长线上（即点A′与点E重合），连接A′C，求证：四边形A′DBC是平行四边形； 问题解决： （3）在矩形ABCD绕点C顺时针旋转的过程中，若AB＝5，BC＝3，当A′，B′，D三点在同一条直线上时，请直接写出A′D的值． 41．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝30°，点D在AC边上，BD平分∠ABC，AD＝2，求AB的长； （2）如图2，若∠BAC＝30°，点D在AC边上（点D不与点A，C重合），将射线BD绕点B顺时针旋转60°，在旋转后的射线上取一点E，连接AE，使得AE＝BE，过点E作EG⊥AC于点G，过点D作DH⊥AB于点H，探索线段BC，EG，DH之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点D在直线AB下方，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AD，AE，∠EAD＝75°，AB＝6，当四边形ADBE的面积取最小值时，在直线AB上取一点P，连接DP，将△DBP沿BD翻折到四边形ADBE所的平面内得到△BDQ，连接AQ，当AQ取最小值时，请直接写出△ADQ的面积． 42．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题： 【观察猜想】 （1）如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°得到线段DP，连接AD，BD，CP．的值是 　 　 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 　 　 ． 【类比探究】 （2）如图2，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC、PC于点M、N． ①求∠BME的度数； ②连接AC交DE于点H，若DH＝2，则BC的值为 　 　 ； 【拓展延伸】 （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D、E分别是AB、BC的中点，连接DE，如图4，将△BDE绕着点B顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°），直线DE交BC于点F，连接AD，若射线AD将∠BDE分成的两个角度之比是1：3，则的值为多少？请直接写出答案． 43．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）与x轴交于B，C两点（C在B的右侧），顶点为A点． （1）求抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴； （2）当a＞0时，P为对称轴上一点，作PQ∥BC交抛物线于点Q（Q在P的右边），当四边形BPQC是平行四边形时，它的面积为6，求此时a的值； （3）①已知E（x1，y1），F（x2，y2）为抛物线上的两点，若对于a﹣1＜x1＜a+1，x2＝2，都有y2＜y1，求a的取值范围； ②已知E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3）是抛物线上的三个点．若对于1＜x1＜3，x2＝﹣2，x3＝3a，都有y1＜y3＜y2，求a的取值范围（直接写出答案）． 44．已知点M为抛物线y＝x2+bx﹣1（b＜0）的顶点，其对称轴与x轴的交点为D，点N为抛物线所在平面内一点（不与M重合）．直线与抛物线分别交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若抛物线经过点（2，﹣3），求b的值； （2）若b≥﹣2， ①直线y＝﹣x﹣1与直线MD交于点P，求MP的最大值； ②点E与点B关于点D对称．当，∠END＝90°时，比较MN与DE的大小，并说明理由． 45．【知识技能】 （1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC． 【数学理解】 （2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′． 【拓展探索】 （3）如图3，在△ABC中，tanB，点D在AB上，AD．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（10-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D B D D D B C B C 题号 12 13 14 15 答案 B C D C 一．选择题（共15小题） 1．如图1，在Rt△ABC中，D是边AB的中点．点E在斜边AC上，从点A出发，运动到点C时停止．设AE为x，DE2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点P（0，100），且经过N（n﹣9，100）和最高点M（n，m）两点．下列选项正确的是（　　） A．∠A＝30° B．m＝325 C．n＝24 D．y的最小值为64 【答案】B 【解答】解：由图2可知，当x＝0时，y＝100，即AD2＝100， ∴AD＝10， ∵D是边AB的中点， ∴AB＝20； ∵N（n﹣9，100）， 即DE2＝100，DE＝10，x＝n﹣9， 此时AD＝10＝DE，AE＝n﹣9， 如图，过点D作DF⊥AC交AC于点F，则有△ADE为等腰三角形， ∴，， 由图2知，点M（n，m）为最高点， ∵当点E和点C重合时，DE最大， ∴AC＝n，DC2＝m， ∴， ∴， 整理得n2﹣9n﹣400＝0， 解得n＝25或﹣16（负值舍去），故选项C错误； ∴AC＝25，， ∴DC2＝DB2+BC2＝102+152＝325＝m，，故选项B正确； ∴∠A≠30°，故选项A错误； 由上图可知，当DE⊥AC，即点E和点F重合时，DE有最小值，即y＝DE2最小， 此时， ∴DF2＝AD2﹣AF2＝102﹣82＝36， ∴y的最小值为36，故选项D错误． 故选：B． 2．在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 【答案】B 【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意； B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6）， ∴抛物线的对称轴为：直线x2000， ∵抛物线的开口向下， ∴x＝2000时，y有最大值， 故B选项正确，符合题意； C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000， ∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 故C选项错误，不符合题意； D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次，第一次折叠纸片使点A与点E重合（如图2），折痕为MN，连结ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合（如图3），点B落在B'处，折痕为HG，连结HE，则tan∠EHG的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图3，连结AE交MN于点P，设GH交EN于点Q， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝10， ∴∠D＝∠DAB＝90°，CD＝AB＝12， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CECD＝6， 由折叠得∠MEN＝∠MAN＝90°，MN垂直平分AE，EN垂直平分GH， ∴∠APM＝∠HQN＝∠MEN＝90°， ∴GH∥EM， ∴∠EHG＝∠NHG＝∠EMN＝∠AMN， ∵∠AMN＝∠AED＝90°﹣∠DAE， ∴∠EHG＝∠AED， ∴tan∠EHG＝tan∠AED， 故选：D． 4．如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：延长FA与直线b交于点H， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴， ∴∠2＝∠H， ∵a∥b， ∴∠3＝∠H， ∴∠2＝∠3＝180°﹣∠F﹣∠1＝180°﹣120°﹣40°＝20°， 若∠1＝40°，则∠2的度数是20°． 故选：B． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，G是△ABC的重心，点D在边BC上，DG⊥GC，如果，则值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图所示，连接AG并延长交BC于点F，延长CG交AB于点E，连接EF， 由条件可知AF，CE都是△ABC的中线， ∴EF为△ABC的中位线， ∴， ∴△EFG∽△CAG，∠CFE＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴， 设EG＝a，CG＝2a，则CE＝3a， ∵， ∴可设CD＝2b，BD＝3b，则BC＝BD+CD＝5b， ∴， 由条件可知∠CGD＝∠CFE＝90°， 又∵∠FCE＝∠GCD， ∴△FCE∽△GCD， ∴， ∴6a2＝5b2， ∴或（舍去）， ∴， 故选：D． 6．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3＝（x﹣m）2+2m+3， ∴图象开口向上，顶点为（m，2m+3），对称轴为直线x＝m， ∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m． 故选：D． 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论中不正确的是（　　） A．abc＞0 B．c+5a＝0 C．5a+b＞0 D．a+b+c＞0 【答案】D 【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2判断如下：． 由图象可知，a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线， ∴b＜0， ∴abc＞0，故选项A不符合题意； 当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0， ∵， ∴b＝﹣4a， ∴a﹣（﹣4a）+c＝0，即c+5a＝0，故选项B不符合题意； ∵b＝﹣4a， ∴5a+b＝a＞0，故选项C不符合题意； 根据函数图象可知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故选项D符合题意； 故选：D． 8．已知一个二次函数y＝ax2﹣4ax+4（a＜0），当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6，则当﹣2≤x≤3时，y的最小值是（　　） A． B．﹣2 C． D． 【答案】B 【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+4， ∵对称轴为直线x2， 当x＝2时，y有最大值为y＝4a﹣8a+4＝4﹣4a， ∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是6， ∴4﹣4a＝6， ∴a， ∴yx2+2x+4， ∴x＝﹣2时，y2×（﹣2）+4＝﹣2， ∴当﹣2≤x≤3时，y的最小值是﹣2， 故选：B． 9．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（　　） A．AC＝4 B．BC＝2 C．tan∠BAP D．AB2+BC2＝AC2 【答案】C 【解答】解：如图所示， ①当点P在点A处时，即当AP＝0时，AB＝2， ②当点P到达AC边高（BH）的位置时，AH＝1，此时BP最小，即BH， ③当AP＝4时，点P对应图2末端x＝4时，即AC＝4，则HC＝AC﹣AH＝4﹣1＝3， 则：BC， ∴， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴． 综上所述，选项A、B、D不合题意，选项C符合题意． 故选：C． 10．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ybx与x轴的一个交点为A（﹣8，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连接OD，则OD的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，取点H（8，0），连结PH， ∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣8，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点与点A（﹣8，0）， ∴对称轴为， 当x＝﹣4时，． ∴顶点C（﹣4，5）， ∵⊙C与y轴相切， ∴⊙C的半径为4， ∵点D为PA的中点， ∴， ∴PH最大时，OD有最大值， ∴当PH过点C时，PH有最大值， ∴PH的最大值为， ∴OD的最大值为， 故选：B． 11．已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+…+a1x+a0，其中an，n为正整数，an﹣1，an﹣2，…，a1，a0为自然数，若n+an+an﹣1+an﹣2+…+a1+a0＝5． ①满足条件的所有整式M中，次数最高的是5次； ②满足条件的所有整式M共有15个； ③满足条件的所有整式M的和为x4+5x3+11x2+15x+11． 下列说法中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+…+a1x+a0，其中an，n为正整数，an﹣1，an﹣2，…，a1，a0为自然数，若n+an+an﹣1+an﹣2+…+a1+a0＝5．由题意可得： ①分析整式M的次数； 因为n+an+an﹣1+an﹣2+⋯+a1+a0＝5，且n，an为正整数，an﹣1，an﹣2，⋯，a1＝2，a0为自然数． 要使整式M的次数n最大，那么an，an﹣1，an﹣2，⋯，a1，a0应尽可能小． 当an＝1，an﹣1＝an﹣2＝⋯＝a1＝a0＝0时，n最大，此时n＝5﹣1＝4， M的次数最高是4次，故说法①错误； ②分析满足条件的整式M的个数： 当n＝4时，4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，即a4+a3+a2+a1+a0＝1． 因为a4为正整数，a3，a2，a1＝2，a0为自然数，所以只有a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0这一种情况，此时整式M为x4； 当n＝3时，3+a3+a2+a1+a0＝5，即a3+a2+a1+a0＝2． 因为a3为正整数，a2，a1＝2，a0为自然数，有以下几种情况： a3＝2，a2＝a1＝a0＝0，整式M为2x3； a3＝1，a2＝1，a1＝a0＝0，整式M为x3+x2； a3＝1，a2＝0，a1＝1，a0＝0，整式M为x3+x； a3＝1，a2＝0，a1＝0，a0＝1，整式M为x3+1； 共4种情况． 当n＝2时，2+a2+a1+a0＝5，即a2+a1+a0＝3． 因为a2为正整数，a1＝2，a0为自然数，有以下几种情况： a2＝3，a1＝a0＝0，整式M为3x2； a2＝2，a1＝1，a0＝0，整式M为2x2+x； a2＝2，a1＝0，a0＝1，整式M为2x2+1； a2＝1，a1＝2，a0＝0，整式M为x2+2x； a2＝1，a1＝1，a0＝1，整式M为x2+x+1； a2＝1，a1＝0，a0＝2，整式M为x2+2． 共6种情况． 当n＝1时，1+a1+a0＝5，即a1+a0＝4， 因为a1＝2为正整数，a0为自然数，有以下几种情况： a1＝4，a0＝0，整式M为4x； a1＝3，a0＝1，整式M为3x+1； a1＝2，a0＝2，整式M为2x+2； a1＝1，a0＝3，整式M为x+3． 所以满足条件的整式M共有1+4+6+4＝15（个），故②正确； ③M的和为： x4+2x3+x3+x2+x3+x+x3+1+3x2+2x2+x+2x2+1+x2+2x+x2+x+1+x2+2+4x+3x+1+2x+2+x+3+5＝x4+（2+1+1+1）x3+（3+2+1+1+1+1）x2+（4+3+2+1）x+（5+1+1+2+1+2+3+5） +x2+2+4x+3x+1+2x+2+x+3 ＝x4+（2+1×3）x3+（3+2+2+1×4）x2+（4+2×2+1×4+3）x+（4×1+2×2+3）＝x4+5x3+11x2+15x+11，故③正确． 故选：C． 12．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝CB＝BA，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∵CE＝DH， ∴△EBC≌△HCD（SAS）， ∴CH＝BE，故①正确； 由①得∠EBC＝∠HCD， ∵∠BCF+∠HCD＝90°， ∴∠EBC+∠BCF＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴BE⊥CH，故②正确； ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°，即DB是∠ADC的角平分线， ∴点G到AD边与CD边的距离相等， 即△GDH中DH边的高与△GCE中CE边的高相等， 又∵EC＝HD， ∴S△GCE＝S△GDH，故③正确； 设正方形ABCD的边长为4a， 当E是CD的中点时，BC＝CD＝4a，EC＝HD＝2a， 由勾股定理得：，， ∵∠HGD＝∠CGB，∠HDG＝∠CBG＝45°， ∴△HGD∽△CGB， ∴， ∴． ∵∠ECB＝∠EFC＝90°，∠BEC＝∠CEF， ∴△ECB∽△EFC， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当E是CD的中点时，，故④错误； 当EC＝2DE时，， ∵DH＝CE，DC＝BC， ∴， ∵△HGD∽△CGB， ∴， ∵△GDH中DH边的高与△DGC中CD边的高相等，， ∴， 设S△HGD＝4b，则S△DGC＝6b，S△CGB＝9b， ∴S△BCD＝9b+6b＝15b， ∴S正方形ABCD＝2S△BCD＝30b， ∵EC＝2DE， ∴， ∴， ∴S△DEG＝2b， ∴S四边形DEGH＝2b+4b＝6b， ∴S正方形ABCD＝5S四边形DEGH，故⑤错误． 故选：B． 13．如图①，在菱形ABCD中，∠B＝45°，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B﹣C﹣D运动到点D停止．图②是点P，Q运动时△BPQ的面积S与运动时间t的函数关系的图象，则m的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题图2得，t＝6时，点P停止运动， ∴点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了6秒， ∴AB＝BC＝CD＝6， 由点P和点Q的运动可知，AP＝t，BP＝6﹣t， 当点Q在CD上时，即3≤t≤6时， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴， 过点P作PM⊥BC交BC于M，， 当点Q在BC上时，即0≤t＜3时，BQ＝2t， 过点P作PM⊥BC交BC于M， ∵∠B＝45°， ∴， ∴， 由上可知，当点Q到达点C时，S＝m， 即当t＝3时，， 故选：C． 14．从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间满足h＝﹣3t2+6at+12﹣3a2（0≤t≤2a）．则下列选项中正确的是（　　） A．t＝0.5s和t＝3s时，小球离地面的高度相同 B．t＝2.5s时，小球到达最高点 C．t＝3.5s时，小球回到地面 D．2＜t＜3时，小球处于下降阶段 【答案】D 【解答】解：由题意得，当t＝0时，h＝0， ∴0＝0+0+12﹣3a2， ∴a＝2或a＝﹣2（舍去）； ∴h＝﹣3t2+12t＝﹣3（t﹣2）2+12（0≤t≤4）， 当t＝0.5s时，h＝﹣3×0.52+12×0.5＝﹣0.75+6＝5.25 当t＝3s时，h＝﹣3×32+12×3＝﹣27+36＝9， ∴t＝0.5s和t＝3s时，小球离地面的高度不相同，故A说法错误； ∵﹣3＜0， ∴当t＝2s时，h有最大值， ∴t＝2s时，小球到达最高点，故B说法错误； 当t＝3.5s时，h＝﹣3×3.52+12×3.5＝﹣36.75+42＝5.25≠0， ∴t＝3.5s时，小球没有回到地面，故C说法错误； ∵h＝﹣3（t﹣2）2+12（0≤t≤4），﹣3＜0， ∴当2＜t＜3时，h随t的增大而减小， ∴当2＜t＜3时，小球处于下降阶段，故D说法正确； 故选：D． 15．如图，分别经过原点O和点A（8，0）的动直线a，b，其夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则AM的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示， ∵OA＝8，∠OBA＝30°， ∴点B在以△AOB的外接圆⊙N上运动， 在x轴上截取AE＝OA， 则AMBE， 所以当BE取最小值时，AM取最小值， 连接NE，与x轴的交点为B′，此时AM的长度最小， ∵OA＝8，∠OBA＝30°， ∴∠ONA＝60°， ∴△ONA为等边三角形， 过点N作NC⊥OA， ∴∠ANC＝30°， ∴NC＝AN×cos30°＝84， 在Rt△NCE中， NE8， B′E＝NE﹣NB′＝88， ∴AM的最小值为（88）＝44． 故选：C． 二．填空题（共15小题） 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝2，连结AC，BD，若△ABD与△CBD的面积相等，则AC的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，设AC，BD交于点G，则∠AEG＝∠CFG＝90°， ∵△ABD与△CBD的面积相等， ∴， ∴AE＝CF， ∵∠AGE＝∠CGF，∠AEG＝∠CFG＝90°， ∴△AEG≌△CFG（AAS）， ∴CG＝AG， ∵BC＝CD＝2， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠BDC＝∠CAD， ∵∠ACD＝∠DCG， ∴△CDG∽△CAD， ∴，即， ∴． 故答案为：． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，连接BD．将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，连接CF．当CF∥AB时，CF的长为　或　 ． 【答案】或． 【解答】解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是AC的中点，作BG⊥CF于点G， ∴CD＝1，∠ABC＝45°， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：， ∵将△BCD绕点B旋转，得到△BEF， ∴△DCB≌△FEB， ∴， ∵CF∥AB， ∴∠ABC＝∠BCG＝45°， ∴， 在直角三角形BFG中，由勾股定理得：， ∴； 当点D运动点F′时，此时CF′∥AB， 同理可得，，， ∴， 综上所述，CF的长为或， 故答案为：或． 18．如图，在边长为4的正方形ABCD的外侧，作直角三角形ADE，∠AED＝90°，且∠ADE＝30°． （Ⅰ）AE与DE的长度和为 　　 ； （Ⅱ）若O为AC的中点，连接OE，则OE的长为 　　 ． 【答案】； 【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4， ∴AD＝4， ∵∠AED＝90°，∠ADE＝30°， ∴AE， 由勾股定理得DE， ∴AE+DE＝2， 故答案为：2； （2）如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点O作ON⊥AD于点N，过点E作EP⊥ON的延长线于点P， ∴∠EMN＝∠MNP＝∠EPN＝90°， ∴四边形EMNP是矩形， ∴MN＝EP，ME＝NP， ∵∠AED＝90°，∠ADE＝30°， ∴∠DAE＝60°， ∴∠AEM＝30°， ∴AM， 由勾股定理得，ME， ∴， ∵O为AC的中点，ON⊥AD，∠DAC＝45°， ∴AN＝DN＝ON＝2， ∴MN＝AN﹣AM＝2﹣1＝1， ∴EP＝1， ∴OP＝ON+NP＝2， 在Rt△EOP中，由勾股定理得， 故答案为：． 19．如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，在图中标注C，D， 设NC＝x， ∵AD∥NB， ∴∠MAD＝∠ANC， ∵∠MDA＝∠ACN， ∴△ANC∽△MAD， ∵AC＝AD＝1， ∴， ∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1， ∴S△AMD+S△ANC＝3﹣1＝2， ∴MD×ADNC×AC＝2， 即2， ∴x4， 解得x1＝2，x2＝2（舍去）， ∵AN2＝AC2+NC2 ＝1+4+43 ＝8+4， ∴AN， ∴sin∠MNB＝sin∠ANC． 20．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3）．D为线段OA上任一点，作DE⊥BD交线段AB于E，当AE的长最大时，点E的坐标为　（3，）　 ． 【答案】（3，） 【解答】解：设BE的中点为F，连接DF 以点F为圆心，BF为半径作⊙F， ∵∠BDE＝90°， ∴点D在⊙F上， 由于点D在线段OA上， ∴当⊙F与OA相切时，此时BE最短，AE最大， ∴∠FDA＝90°， ∴FD∥OB， ∴△AFD∽△ABO， ∴， ∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴由勾股定理可知：AB＝5， 设DF＝r ∴， 解得：r， ∴AE＝5﹣2r， ∴过点E作CE⊥OA，垂足为C， ∴sin∠BAO， ∴CE， ∴由勾股定理可知：CA＝1， ∴OC＝3， ∴E（3，）， 故答案为：（3，） 21．如图，正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 　32　 ． 【答案】32． 【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM， ∵∠EDF＝∠ODM＝90°， ∴∠EDO＝∠FDM， 在△EDO与FDM中， ， ∴△EDO≌△FDM（SAS）， ∴FM＝OE＝2， ∵正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点， ∴OC＝3， ∴OD3， ∴OM3， ∵OF+MF≥OM， ∴OF≥32， ∴线段OF长的最小值为32， 故答案为：32． 22．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠B＝120°，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B的对应点B′落在对角线AC上，B′C′交CD于点E，则四边形DAB′E的面积等于　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠B＝120°，连接BD，交AC于点O， ∴AD∥BC，∠DAC∠DAB，AC⊥BD， ∴∠DAB＝60°， ∴∠DAC＝30°，∠BCD＝60°，∠DCA＝30°，△ABD为等边三角形， ∴BD＝AB＝2， ∴BO＝1， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA， ∴， ∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B的对应点B′落在对角线AC上， ∴∠DAB′＝∠DAC＝30°，AB′＝AB＝2，∠AB′C′＝120°， ∴∠CB′E＝60°，B′C＝AC﹣AB′＝2， ∵∠DCA＝30°， ∴∠B′EC＝90°， ∴B′EB′C，CEB′E＝3， ∴四边形DAB′E的面积等于S△ADC﹣S△B′EC ＝3； 故答案为：． 23．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝5，∠ADC＝90°，AD＝2CD，连接AC，BD，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，则AE的最大值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，作∠BAO＝∠CAD，作BO⊥AO，垂足为O，取AB的中点F，连接OD、OF、DF， 在直角△ACD中，， ∴， ∵BO⊥AO， ∴∠AOB＝90°＝∠ADC， ∵∠BAO＝∠CAD， ∴△ABO∽△ACD， ∴， ∴， ∵∠DAO＝∠CAD+∠CAO，∠CAB＝∠BAO+∠CAO， ∴∠CAB＝∠DAO， ∴△ABC∽△AOD， ∴， ∴， 在直角△ABO中，点F是斜边AB的中点， ∴， 由线段公理可得，，当F、O、D三点共线时，FD取得最大值， ∵DE＝BD，点F是AB的中点， ∴FD是△ABE的中位线， ∴AE＝2FD， ∴AE最大值为， 故答案为：． 24．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH•OH；④sin∠AQO；其中正确的结论有 　①②③④　 ． 【答案】①②③④． 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，OQ⊥OP， ∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，∠OAD＝∠ODC＝45° ∴∠AOD＝∠NOF＝90°， ∴∠AON＝∠DOF， ∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO， ∵DF⊥AE， ∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF， ∴∠OAF＝∠ODF， 在△ANO和△DFO中， ， ∴△ANO≌△DFO（ASA）， ∴ON＝OF， ∴∠AFO＝45°，故①正确； ②如图，过点O作OK⊥AE于K， 又∵DF⊥AE， ∴∠OKG＝90°＝∠DFG， ∵CE＝2DE， ∴AD＝CD＝CE+DE＝3DE， ∵， ∴AF＝3DF， ∵△ANO≌△DFO， ∴AN＝DF， ∴NF＝2DF， ∵ON＝OF，∠NOF＝90°， ∴， ∴OK＝DF， 在△OKG和△DFG中， ， ∴△OKG≌△DFG（AAS）， ∴OG＝DG，故②正确； ③在△AOH和△DOP中， ， ∴△AOH≌△DOP（ASA）， ∴AH＝DP， ∵∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠OAH，∠AHN＝∠OHA， ∴△AHN∽△OHA， ∴， ∴AH2＝HO•HN， ∴DP2＝NH•OH，故③正确； ④∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°， ∴∠NAO＝∠AQO， ∵OG＝DG， ∴AO＝DO＝2OG， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②③④． 25．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，则S的取值范围是　　 ． 【答案】． 【解答】解：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，3）和B（3，1）． 把点B（3，1）分别代入y＝﹣x+b和得： ﹣3+b＝1， 解得：b＝4， ， 解得：k＝3， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4，反比例函数的表达式为； ∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4）， 把点A（m，3）代入可得m＝1， ∴1≤n≤3， ∴， ∵，且1≤n≤3， ∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2， 当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是， ∴S的取值范围为． 故答案为：． 26．已知各位数字均不为零的四位自然数M，若满足a+d＝9，b+c＝9那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数1278，因为1+8＝9且2+7＝9，所以1278是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是　1188　 ；若M是“和九数”，记F（M），且为整数，则满足条件的M的最大值为　3816　 ． 【答案】1188；3816． 【解答】解：已知各位数字均不为零的四位自然数M，若满足a+d＝9，b+c＝9那么称这个四位数为“和九数”． ∵最小的“和九数”需满足千位数字a最小，且各位数字非零， ∴a＝1，d＝8，b＝1，c＝8，得M＝1188． 由“和九数”定义，M＝1000a+100b+10c+d，且a+d＝9，b+c＝9， 故d＝9﹣a，c＝9﹣b， M＝1000a+100b+10（9﹣b）+（9﹣a）＝999a+90b+99， ， ∵为整数， ∴4a+9b+7能被13整除． 当a＝1，b＝6时，4a+9b+7＝65能被13整除，∴M＝1638． 当a＝2，b＝7时，4a+9b+7＝78能被13整除，∴M＝2727． 当a＝3，b＝8时，4a+9b+7＝91能被13整除，∴M＝3816． ∴M的最大值为3816． 故填：1188和3816． 27．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a•b＝c+d2，那么称这个四位数为“积方和数”．例如：四位数1732，因为1×7＝3+22，所以1732是“积方和数”．已知四位数M是“积方和数”，将“积方和数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N能被22整除，则满足条件的M的最小值是　1842　 ． 【答案】1842． 【解答】解：设，则， 有M+N＝11×[100（a+b）+（c+d）]． ∵M+N需被22整除，且11已整除， 故c+d为偶数． 同时M需满足a•b＝c+d2，且数字互异且非0． 为求最小M，取a＝1， 则a•b＝b，故b＝c+d2． ∵b≤9， 有c+d2≤9，推出d≤2（若d≥3，则d2≥9，c≥1，c+d2≥10＞9，矛盾）． 若d＝1， 则b＝c+1， 但a＝1与d＝1重复， 违反互异条件，故d≠1． 若d＝2， 则b＝c+4，且b≤9， 故c≤5． 数字互异要求a＝1，d＝2， 故b≠1，2，c≠1，2， ∴c≥3，c≤5， 即c＝3，4，5． 需c+d为偶数， 即c+2为偶数： c＝3时3+2＝5奇数，无效； c＝4时4+2＝6偶数，有效； c＝5时5+2＝7奇数，无效． 故唯一解c＝4，b＝8，M＝1842． 验证：a•b＝1×8＝8，c+d2＝4+22＝8， 满足；数字1，8，4，2互异； （千位百位对调为81，十位个位对调为24）， M+N＝1842+8124＝9966， 9966÷22＝453，整除成立． 故最小值为1842． 故答案为：1842． 28．在边长为1的正方形ABCD中，，连接CE，将△CBE沿CE折叠得到△CGE，CG交BD于点M，延长CG交AD于点F，则点G到AB的距离是　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE＝90°， 由折叠可知：CG＝CB＝1，，∠CGE＝∠CBE＝90°， 如图，AB⊥BC，过点G作GH⊥AB于H，作GK⊥BC于K． ∴四边形BHGK为矩形， 设GH＝h，GK＝k． 在Rt△CGK中，由勾股定理得：CG2＝GK2+CK2， ∴12＝k2+（1﹣h）2， 整理得：k2+h2＝2h①， 在Rt△GEH中，由勾股定理得：GE2＝GH2+EH2， ∴， 整理得：， 联立①②得：， ， 代入①中得：， 解得：或h＝0（不合题意，舍去）， 故答案为：． 29．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1，顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若△ACB为等边三角形，则m的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2﹣1沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B（2+m，﹣1）， ∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣2﹣m）2﹣1， 联立，得（x﹣2）2＝（x﹣2﹣m）2， ∴x﹣2＝x﹣2﹣m或x﹣2＝﹣（x﹣2﹣m）， 当x﹣2＝x﹣2﹣m时，m＝0，不符合题意； 当x﹣2＝﹣（x﹣2﹣m）时，， 在y＝（x﹣2）2﹣1中，当时，， ∴， ∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣1，顶点为A， ∴A（2，﹣1）， 如图所示，过点C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝|2+m﹣2|＝m（向右平移，m是正数）， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得或m＝0（舍去）， 故答案为：． 30．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF．若，∠ECF＝∠B＝45°，则四边形AECF的面积是　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，过点C分别作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N， ∴∠B＝∠D，BC＝DC，∠CMA＝∠CMB＝∠CND＝∠CNA＝90°， 在△CMB和△CND中， ， ∴△CMB≌△CND（AAS）， ∴CM＝CN， 在菱形ABCD中，∠ECF＝∠B＝45°， ∴∠D＝∠B＝45°，∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣45°＝135°， 在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠B＝90°﹣45°＝45°， 在Rt△CDN中，∠DCN＝90°﹣∠D＝90°﹣45°＝45°， ∴∠MCN＝∠BCD﹣∠BCM﹣∠DCN＝135°﹣45°﹣45°＝45°， ∴∠ECF＝∠MCN， ∴∠ECF﹣∠MCF＝∠MCN﹣∠MCF， ∴∠ECM＝∠FCN， 在△CME和△CNF中， ， ∴△CME≌△CNF（ASA）， ∴S△CME＝S△CNF， 在Rt△ACM和Rt△ACF中， ， ∴△ACM≌△ACF（HL）， ∴S△ACM＝S△ACF， ∴S四边形AECF＝S四边形AECF﹣S△CME+S△CNF ＝S△ACM+S△ACF ＝2S△ACM， 在菱形ABCD中，∠B＝45°，，∠CMB＝90°， ∴， ∴BM＝BC•cosBcos45°1，MC＝BC•sinBsin45°1， ∴S△ABCAB•MC1，S△BCMBM•MC1×1， ∴S△ACM＝S△ABC﹣S△BCM， ∴S四边形AECF＝2S△ACM， ∴四边形AECF的面积是． 故答案为：． 三．解答题（共15小题） 31．如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连结AE，CD，DE，AB＝CD，EB＝ED，DE平分∠BDC． （1）求证：∠DEB＝∠AEC． （2）若BE＝4，CE＝6，求AC． （3）如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求的值． 【答案】（1）∵EB＝ED， ∴∠EBA＝∠EDB， ∵DE平分∠BDC， ∴∠EDC＝∠EDB＝∠EBA， 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CED， ∴∠AEB﹣∠AED＝∠CED﹣∠AED， 即∠DEB＝∠AEC； （2）； （3）． 【解答】（1）证明：∵EB＝ED， ∴∠EBA＝∠EDB， ∵DE平分∠BDC， ∴∠EDC＝∠EDB＝∠EBA， 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CED， ∴∠AEB﹣∠AED＝∠CED﹣∠AED， 即∠DEB＝∠AEC． （2）解：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F， ∵△ABE≌△CDE， ∴AE＝CE＝6， ∴∠EAC＝∠ACB， ∵∠DEB＝∠AEC， ∴，即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵BE＝4，CE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10，AE＝CE＝6， ∴， ∴EF＝CE﹣CF＝1， ∴， ∴． （3）解：过点A作BC的平行线交FD于点M，作EN⊥AM， ∴∠CEG＝∠EAN，∠CGE＝∠ENA， ∵EA＝EC， ∴△CEG≌△EAN（AAS）， ∴EG＝AN， ∵∠DEB＝∠AEC，∠EMA＝∠DEB， ∴∠EMA＝∠EAM， ∴EM＝EA， ∴AM＝2AN， ∵∠MAD＝∠B＝∠BDE＝∠MDA， ∴MA＝MD， ∵∠FAD＝90°， ∴∠F＝∠FAM， ∴MF＝MA， ∴FD＝2AM＝4AN， ∴． 32．综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE． 猜想证明： （1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形， 理由如下： ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°， 又∵∠BEF＝90°， ∴四边形BE'FE是矩形， 又∵BE＝BE'， ∴四边形BE'FE是正方形； （2）CF＝E'F； 理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H， ∵DA＝DE，DH⊥AE， ∴AHAE， ∴∠ADH+∠DAH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠EAB＝90°， ∴∠ADH＝∠EAB， 又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°， ∴△ADH≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BEAE， ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， ∴AE＝CE'， ∵四边形BE'FE是正方形， ∴BE＝E'F， ∴E'FCE'， ∴CF＝E'F； （3）如图①，过点D作DH⊥AE于H， ∵四边形BE'FE是正方形， ∴BE'＝E'F＝BE， ∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2， ∴225＝E'B2+（E'B+3）2， ∴E'B＝9＝BE， ∴CE'＝CF+E'F＝12， 由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12， ∴HE＝3， ∴DE3． 33．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线AC下方抛物线上的点． （1）求a+b的值； （2）连接AP，CP，BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标． 【答案】（1）3； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0）， ∴， 解得， ∴； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 把x＝0代入，得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵A（﹣4，0），B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣4）＝5， ∴， ∵， ∴， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣4，0）和C（0，﹣3）代入得， ， 解得， ∴直线AC的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得m1＝m2＝﹣2， ∴； （3）如图，设直线AM交y轴于D， ∵， ∴△AOD≌△AOC（ASA）， ∴OD＝OC＝3， ∴D（0，3）， 同理可得直线AD的解析式为， 由， 解得或， ∵点M是直线AC上方的抛物线上一动点， ∴． 34．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0），B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在对称轴上找一点Q，使△BCQ的周长最小，求点Q的坐标； （3）若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x+5； （2）Q（﹣2，3）； （3）A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0），B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，5）．将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5； （2）设点Q（﹣2，m），点A（﹣5，0），C（0，5）， A与B关于对称轴对称， 连接AC与对称轴交于点Q， ∴QB＝QA， 此时△BCQ的周长＝QC+QB+BC＝QC+QA+BC＝CA+BC取得最小值， 设AC解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴AC解析式为y＝x+5， 当x＝﹣2时，得：y＝3， ∴Q（﹣2，3）； （3）A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．理由如下： ∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， 设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5）， 分三种情况： ①当AC为平行四边形对角线时， 依题意得：﹣5＝x﹣2， 解得：x＝﹣3， ∴点M的坐标为（﹣3，8）； ②当AM为平行四边形对角线时， 依题意得：x﹣5＝﹣2， 解得：x＝3， ∴点M的坐标为（3，﹣16）； ③当AN为平行四边形对角线时， 依题意得：﹣5﹣2＝x， 解得：x＝﹣7， ∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）， 综上所述，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）． 35．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）△PBC面积的最大值为此时； （3）点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2， 设P（a，a2﹣2a﹣3）， ∴M（a，a﹣3）， ∴， 当时，， ∴， ∴△PBC面积的最大值为， ∴； （3）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， y′的对称轴为x＝2． ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°， 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F， ∵D在y′的对称轴上， ∴FD＝2， ∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠DCF＝45°， ∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5）， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）； 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4， ∵D在y′的对称轴上， ∴FO＝2， ∴BF＝3﹣2＝1， ∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°， FD＝1，即点D（2，1）， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）； 当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为， 依意得：， 解得：， 又∵DE＝BC， ∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或． 36．【问题呈现1】 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是斜边AB上的一点，连接CD，试说明AD、BD、CD间的数量关系，小敏同学思考后是这样做的：如图1将△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到△CBE，连接DE，请写出AD、BD、CD之间的数量关系DB2+AD2＝2CD2 ； 【问题呈现2】 如图2，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断S△ABC是否存在最小值，若存在，请求出最小的面积值；若不存在，请说明理由； 【问题解决】 为迎接新春佳节，西安市城市管理部门在古城墙段安装了全息投影射灯．工作人员选择在城墙的E点安装射灯，该城墙段的几何结构如图3：城墙顶部凸起部分为墙垛，如四边形KLMJ，凹陷部分为垛口，如四边形HIJK，本题中墙垛与垛口均为正方形．现从E点发射全息投影光束，其投影画面可绕E点转动，但始终保持∠FEG＝60°，其中F、G分别是BC与DC边上的动点．已知墙垛边长HI为0.5m，墙面区域∠C＝60°，∠B＝90°，AD∥BC，城墙楼梯DC长度为8m．墙垛面积在本问题中可忽略不计．现需分析在全息投影表演过程中，投影到城墙区域（四边形EFCG）的面积是否存在最大值．若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】【问题呈现1】DB2+AD2＝2CD2； 【问题呈现2】S△ABC存在最小值；； 【问题解决】投影到城墙区域（四边形EFCG）的面积存在最大值；． 【解答】解：【问题呈现1】DB2+AD2＝2CD2；理由如下： ∵将△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到对应的△CBE，连接DE， ∴CD＝CE，∠DCE＝90°，AD＝BE， ∴△DCE是等腰直角三角形， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵∠ACB＝90°＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝90°＝∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD＝∠ECB， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠A＝∠CBE＝45°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝45°+45°＝90°， 在直角三角形BDE中，由勾股定理得：DB2+BE2＝DE2， 在直角三角形CDE中，∠DCE＝90°， 由勾股定理得：CD2+CE2＝2CD2＝DE2， ∴DB2+AD2＝2CD2， 故答案为：DB2+AD2＝2CD2； 【问题呈现2】S△ABC存在最小值；理由如下： 如图2中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E． 设OA＝OC＝2x， ∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB， ∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°， ∴OEOA＝x，AE， ∵OC+OE≥CD， ∴2x+x≥4， ∴， ∴x的最小值为， ∵， ∴AB的最小值为， ∴S△ABC的最小值AB×CD4． 【问题解决】投影到城墙区域（四边形EFCG）的面积存在最大值；理由如下： 如图，根据题意可得CD＝8m，DE＝0.5×16＝8m，AE＝0.5×8＝4m，∠B＝90°，∠C＝60°，AD∥BC，CD＝DE＝8m， ∴∠ADC＝180°﹣∠C＝120°，∠A＝∠B＝90°， 连接CE， 则∠DEC＝∠DCE30°， ∴∠ECB＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ECB＝∠DCE＝30°， 即EC平分∠DCB， 如图3，过点E作EM⊥BC于M，点E作EN⊥CD交CD的延长线于点N，则EM＝EN， 过点D作DH⊥BC于H， ∵∠C＝60°，∠DHC＝90°，CD＝8m， ∴CHCD＝4m，DHCH＝4， ∵AD∥BC，∠A＝∠B＝∠EMB＝∠EMC＝∠DHB＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠EMB＝∠EMC＝∠DHB＝∠EDH＝90°， ∴四边形AEMB，ADHB是矩形， ∴， ∵∠EMC＝90°，∠ECM＝30°， ∴MCEM＝412（m）， 在△EMC和△ENC中， ， ∴△EMC≌△ENC（HL）， ∴S△EMC＝S△ENC， ∴S四边形EMCN＝S△EMC+S△ENC＝2S△EMC＝2MC×EM＝12×448（m2）， ∴S四边形EFCG＝S四边形EMCN﹣S△EMF﹣S△ENG＝S四边形EMCN﹣（S△EMF+S△ENG）， 要使S四边形EFCG最大，则S△EMF+S△ENG最小， 如图4，将△EMF旋转至△ENF′，使EM和EN重合， ∵∠EMF＝∠END＝∠ENF′＝90°， ∴点F′，N，D共线， 此时S△EMF+S△ENG＝S△ENF′+S△ENG＝S△EF′G， ∵∠C＝60°，∠EMC＝∠ENC＝90°， ∴∠MEN＝120°， ∵∠FEG＝60°， ∴∠MEF+∠GEN＝120°﹣60°＝60°， 根据旋转可得∠MEF＝∠NEF′， ∴∠F′EG＝∠NEF′+∠GEN＝60°， 如图5，作△EF′G的外接圆⊙O'，则连接O′F′，O′G，O′E，作O′P⊥F′G． 设O′F′＝O′G＝2ym， ∵∠GO′F′＝2∠GEF′＝120°，O′F′＝O′G，O′P⊥F′G， ∴F′P＝GP，∠F′O′P＝∠GO′P＝60°， ∴ m， ∵O′E+O′P≥EP， ∴， ∴， ∴y的最小值为， ∵ m， ∴F′G的最小值为8， ∴S△EF′G的最小值F′G×EN8×416（m2）， ∴S四边形EFCG最大值为：S四边形EMCN﹣（S△EMF+S△ENG）＝S四边形EMCN﹣S△EF'G＝4832（m2）， ∴S四边形EFCG最大为． 37．【定义新知】 婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （1）如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BD、OA、OB、OC、OD，AC与BD交于点E，已知∠BOC+∠AOD＝180°．试说明：四边形ABCD是“婆氏四边形”； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD．其中，AB＝6，BC＝10，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长； 【问题拓展】 （3）如图3，某公园欲规划一个圆形景观区⊙O，并在其内部设计一个四边形ABCD区域，作为花海，其中点A、B、C、D均在⊙O上，AC、BD为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形ABCD是“婆氏四边形”，且AD与BC的长度之和为400米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵， ∴， ∴∠CED＝90°， 即AC⊥BD， 又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴四边形ABCD是“婆氏四边形”； （2）3 （3）存在，20000π，过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BC于点N，连接OA、OB、OC、OD， ∴， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵OA＝BO＝CO＝DO， ∴， ∵四边形ABCD是“婆氏四边形”， ∴AC⊥BD， ∴∠ACD+∠CDB＝90°， ∵∠BOC＝2∠CDB，∠AOD＝2∠ACD， ∴∠BOC+∠AOD＝2∠ACD+2∠CDB＝2×（∠ACD+∠CDB）＝2×90°＝180°， ∴， ∴∠OAM＝∠BON， 在△OAM和△BON 中， ， ∴△OAM≌△BON（AAS）， ∴， 设ON＝AM＝n，则AD＝2n， ∵AD+BC＝400， ∴BC＝400﹣2n， ∴BN＝200﹣n， ∵， ∴当n＝100时，BO的长取最小值，且最小值为， ∴⊙O半径的最小值为， ∴圆形景观区的面积否存在最小值，圆形景观区面积的最小值（平方米）． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴∠CED＝90°， 即AC⊥BD， 又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴四边形ABCD是“婆氏四边形”； （2）∵BC＝10，∠BAC＝90°，AB＝6， ∴BD为直径，， ∴∠BED＝∠DEC＝90°， ∵四边形ABED是“婆氏四边形”， ∴AE⊥BD， ∴AD＝DE，AB＝BE＝6， 设AD＝DE＝m，则EC＝10﹣6＝4，DC＝8﹣m， 在Rt△EDC中， DE2+EC2＝DC2， 即：m2+42＝（8﹣m）2， m2+16＝m2﹣16m+m2， 解得m＝3， 即DE＝3； （3）圆形景观区的面积存在最小值，20000π； 理由：过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BC于点N，连接OA、OB、OC、OD， ∴， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵OA＝BO＝CO＝DO， ∴， ∵四边形ABCD是“婆氏四边形”， ∴AC⊥BD， ∴∠ACD+∠CDB＝90°， ∵∠BOC＝2∠CDB，∠AOD＝2∠ACD， ∴∠BOC+∠AOD＝2∠ACD+2∠CDB＝2×（∠ACD+∠CDB）＝2×90°＝180°， ∴， ∴∠OAM＝∠BON， 在△OAM和△BON 中， ， ∴△OAM≌△BON（AAS）， ∴， 设ON＝AM＝n，则AD＝2n， ∵AD+BC＝400， ∴BC＝400﹣2n， ∴BN＝200﹣n， ∵， ∴当n＝100时，BO的长取最小值，且最小值为， ∴⊙O半径的最小值为， ∴圆形景观区的面积否存在最小值，圆形景观区面积的最小值（平方米）． 38．【问题探究】 （1）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若△ABC的面积为9，则△BCD的面积为　9　 ； （2）如图②，半圆O的直径AB＝8，点C是半圆O上的一个动点，求△ABC面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某公园有一个三角形的演艺广场ABC，其中AB＝20米，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°．在演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点A和点B处的射灯发出的光线夹角∠AMB始终等于45°，且光线AM在∠BAC的内部运动．点C处的射灯发出的光线与AM交于点N，且光线CN始终与光线BM平行．请探究四边BMCN的面积是否存在最大值，若存在，请求出四边形BMCN面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）9； （2）16； （3）平方米． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴点A和点C到BC的距离相等， ∴S△BCD＝S△ABC＝9． 故答案为：9； （2）如图，当CO⊥AB时，点C到AB的距离最大，此时△ABC面积最大， ∵AO＝BO，CO⊥AB， ∴AC＝BC， 又∵∠ACB＝90°，AB＝8， ∴， ∴， 即△ABC面积的最大值为16； （3）存在，理由如下： 如图，过点C作CD∥NM交BM的延长线于点D， ∵CN∥BM， ∴四边形CNMD为平行四边形，S△CNB＝S△CNM， ∴S△CDM＝S△CNM， ∴S△CDM＝S△CNB， ∴S四边形BMCN＝S△CNB+S△CBM＝S△CDM+S△CBM＝S△CBD， ∵CD∥NM， ∴∠CDB＝∠AMB＝45°， ∵AB＝20米，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，∴米， ∴点D在⊙O上运动， 连接OB、OD，过点O作OG⊥BC于G，GO的延长线交⊙O于点D′，过点D作DH⊥BC于点H， 则∠BOC＝2∠CDB＝90°，D'G≥DH， ∵∠BOC＝90°，OB＝OC，OG⊥BC， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∴（平方米）， ∴四边形BMCN面积的最大值为平方米． 39．在平面直角坐标系中，直线y＝3x+k+4交x轴于点A，交y轴于点C，直线y＝﹣x+3k经过点C，交x轴于点B． （1）如图①，k＝　2　 ； （2）如图②，在线段BC上取点P，连接AP交y轴于点T，若点P的横坐标为t，△CPT的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； （3）如图③，在（2）的条件下，过点P的直线交AC于点G，过点G作GE⊥PG交x轴于点E，连接PE．若以PC，PE，AE为边长的三角形面积与△CPT的面积比为3：2，求点P的坐标． 【答案】（1）2； （2）； （3）点P的坐标为（1，5）． 【解答】解：（1）∵直线y＝3x+k+4交x轴于点A，交y轴于点C，直线y＝﹣x+3k经过点C， ∴当x＝0时，得：k+4＝3k， 解出：k＝2， 故答案为：2； （2）由（1）得：直线BC表达式为y＝﹣x+6， ∵直线y＝﹣x+6交x轴于点B，交y轴上于点C， 当x＝0时，得：y＝6； 当y＝0时，得：﹣x+6＝6， 解得：x＝6， ∴点B（6，0），点C（0，6）， 直线AC表达式为y＝3x+6， 当y＝0时，得：3x+6＝0， 解得：x＝﹣2， ∴点A（﹣2，0）， ∴点P的坐标为（t，﹣t+6）， 令直线AP表达式为y＝kx+b，将点A，点P的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线AP表达式为， 当x＝0时，得：， ∴点T的坐标为， ∴； （3）如图③，在PG延长线上截取GH＝GP，连接AH、HE， ∵P点坐标为（t，﹣t+6），代入，得： ， 解得：， 故直线PG表达式为， 结合直线AC表达式y＝3x+6，得： ， 解得：x＝﹣1， 故点G坐标为（﹣1，3）， ∵点G为HP中点，由中点公式， 可得点H横坐标为2×（﹣1）﹣t＝﹣2﹣t，纵坐标为2×3﹣（﹣t+6）＝t， ∴点H的坐标为（﹣2﹣t，t）， ∴点G恰为AC中点， ∴AG＝CG， 在△CGP和△AGH中， ， ∴△CGP≌△AGH（SAS）， ∴HA＝CP， ∵GE平分HP，且GE⊥HP， 故GE垂直平分HP， ∴PE＝PH， 故以PC，PE，AE为边长的三角形可为△HAE， 令点E坐标为（x，0）， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∵S△HAE：S△CPT＝3：2， ∴， 化简得：7t2+3t﹣10＝0， 解得：t＝1或（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为（1，5）． 40．【综合与探究】 问题情境：将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′，点A，B，D的对应点分别为点A′，B′，D′，设直线AD与直线A′D′交于点E． 猜想证明： （1）猜想DE与D′E的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点B′恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A′恰好落在AD的延长线上（即点A′与点E重合），连接A′C，求证：四边形A′DBC是平行四边形； 问题解决： （3）在矩形ABCD绕点C顺时针旋转的过程中，若AB＝5，BC＝3，当A′，B′，D三点在同一条直线上时，请直接写出A′D的值． 【答案】（1）解：DE与D′E，理由如下： 如图①，连接CE， 由题知四边形ABCD与四边形A′B′CD′都是矩形， ∴∠ADC＝∠CD′E＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝90°， 即∠CDE＝∠CD′E， ∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′， ∴CD＝CD′， 在Rt△CDE和Rt△CD′E中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△CD′E（HL）， ∴DE＝D′E； （2）证明：如图2：连接AC， 根据旋转的性质可得：AC＝A′C， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°， 即CD⊥AA′， 又∵AC＝A′C， ∴AD＝A′D， ∴A′D＝BC， ∵A′D∥BC，A′D＝BC， ∴四边形A′DBC是平行四边形； （3）A′D的值为1或9． 【解答】（1）解：DE与D′E，理由如下： 如图①，连接CE， 由题知四边形ABCD与四边形A′B′CD′都是矩形， ∴∠ADC＝∠CD′E＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝90°， 即∠CDE＝∠CD′E， ∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′， ∴CD＝CD′， 在Rt△CDE和Rt△CD′E中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△CD′E（HL）， ∴DE＝D′E； （2）证明：如图2：连接AC， 根据旋转的性质可得：AC＝A′C， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°， 即CD⊥AA′， 又∵AC＝A′C， ∴AD＝A′D， ∴A′D＝BC， ∵A′D∥BC，A′D＝BC， ∴四边形A′DBC是平行四边形； （3）解：当点A′、B′在CD的同一侧时，如图3， 根据旋转的性质可得：BC＝B′C＝3，AB＝A′B′＝5，∠A′B′C＝∠ABC＝90°， ∴∠DB′C＝90°， 在Rt△CDB′中，由勾股定理得：B'D4， ∴A′D＝A′B′+B′D＝5+4＝9； 当点A′，B′在CD的异侧时，如图4， 根据旋转的性质可得：BC＝B′C＝3，AB＝A′B′＝5， ∠A′B′C＝∠ABC＝90°， ∴∠DB′C＝90°， 在Rt△CDB′中，由勾股定理得：B'D4， ∴A′D＝A′B′﹣B′D＝5﹣4＝1； 综上，A′D的值为1或9． 41．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD． （1）如图1，若∠BAC＝30°，点D在AC边上，BD平分∠ABC，AD＝2，求AB的长； （2）如图2，若∠BAC＝30°，点D在AC边上（点D不与点A，C重合），将射线BD绕点B顺时针旋转60°，在旋转后的射线上取一点E，连接AE，使得AE＝BE，过点E作EG⊥AC于点G，过点D作DH⊥AB于点H，探索线段BC，EG，DH之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点D在直线AB下方，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AD，AE，∠EAD＝75°，AB＝6，当四边形ADBE的面积取最小值时，在直线AB上取一点P，连接DP，将△DBP沿BD翻折到四边形ADBE所的平面内得到△BDQ，连接AQ，当AQ取最小值时，请直接写出△ADQ的面积． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图，连接ED，过点E作EK⊥AB， ∵AE＝BE， ∴△AEB是等腰三角形， ∴EK为△AEB的中垂线， ∴AK＝BK， 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，2BC＝AB， ∴AK＝BK＝BC，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°， 又∵∠EBD＝60°， ∴∠EBK+∠KBD＝∠KBD+∠DBC＝60°， ∴∠EBK＝∠DBC， 在△BEK和△BDC中， ， ∴△BEK≌△BDC（ASA）， ∴BE＝BD， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝BD，∠BDE＝60°， 又∵DH⊥AB，∠BAC＝30°， ∴∠ADH＝90°﹣∠BAC＝60°， ∴∠ADE+∠EDH＝∠EDH+∠HDB＝60°， ∴∠ADE＝∠HDB， ∵AE＝BE， ∴AE＝DE， 又∵EG⊥AD， ∴AG＝GD，即， 在Rt△ADH中，∠HAD＝30°，，， ∴AG＝GD＝DH， 在△EGD和△BHD中， ， ∴△EGD≌△BHD（SAS）， ∴EG＝BH， ∵2BC＝AB， ∴AH+BHEG＝2BC＝AB， 即； （3）． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， 又∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠BAC＝∠ABD＝30°， ∴AD＝DB＝2， 在Rt△DBC中，， 由勾股定理得，， 在Rt△ABC中，； （2），证明如下： 如图，连接ED，过点E作EK⊥AB， ∵AE＝BE， ∴△AEB是等腰三角形， ∴EK为△AEB的中垂线， ∴AK＝BK， 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，2BC＝AB， ∴AK＝BK＝BC，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°， 又∵∠EBD＝60°， ∴∠EBK+∠KBD＝∠KBD+∠DBC＝60°， ∴∠EBK＝∠DBC， 在△BEK和△BDC中， ， ∴△BEK≌△BDC（ASA）， ∴BE＝BD， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝BD，∠BDE＝60°， 又∵DH⊥AB，∠BAC＝30°， ∴∠ADH＝90°﹣∠BAC＝60°， ∴∠ADE+∠EDH＝∠EDH+∠HDB＝60°， ∴∠ADE＝∠HDB， ∵AE＝BE， ∴AE＝DE， 又∵EG⊥AD， ∴AG＝GD，即， 在Rt△ADH中，∠HAD＝30°，，， ∴AG＝GD＝DH， 在△EGD和△BHD中， ， ∴△EGD≌△BHD（SAS）， ∴EG＝BH， ∵2BC＝AB， ∴AH+BHEG＝2BC＝AB， 即； （3）如图，将BA绕点B逆时针旋转60°得BH，连接AH，DH， ∵BE＝BD，∠EBD＝60°， ∴∠EBA+∠ABD＝∠ABD+∠DBH＝60°， ∴∠EBA＝∠DBH， 在△EBA和△DBH中， ， ∴△EBA≌△DBH（SAS）， ∴∠AEB＝∠BDH， 又∵AB＝BH＝6，∠ABH＝60°， ∴△ABH为等边三角形， ∴S四边形ADBE＝S△ABD+S△ABE＝S△ABD+S△BDH＝S△ABH﹣S△ADH， ∵△ABH的面积为定值，要使四边形ADBE的面积最小， ∴△ADH的面积为最大， ∵∠EAD＝75°， ∴∠AEB+∠ADB＝360°﹣∠EAD﹣∠EBD＝225°， ∴∠ADB+∠BDH＝225°， ∴∠ADH＝360°﹣（∠ADB+∠BDH）＝135°， ∴如图构造△ADH的外接圆⊙O，劣弧的圆周角为180°﹣∠ADH＝45°， ∴圆心角为45°×2＝90°，即∠AOH＝90°， ∴半径为，即⊙O是定圆， ∴点D的轨迹是以点O为圆心，半径为的上运动， 当OD⊥AH时，△ADH的面积最大，记此时D为D'， ∵OA＝OH，BA＝BH， ∴OB垂直平分AH， ∴点O，D，B三点共线， 记AH与OB的交点为G， ∵点P是AB上一动点，△D′BP沿D′B翻折得△BD'Q， ∴BP＝BQ，∠PBD'＝∠D'BQ， ∵等边三角形△ABH中，BO⊥AH， ∴∠ABG＝∠HBG， ∴∠D′BQ＝∠D'BH， ∴点Q在直线BH上， 当AQ'⊥BH时，AQ有最小值，即点Q'为BH中点，连接D'Q'，GQ'， ∵OB垂直平分AH，即点G为AH的中点， ∴GQ'∥AB， ∴△GHQ'∽△AHB， ∴由三角形中位线定理得：， ∴， ∵， ∴在Rt△ABG 中，， ∴， ∴， ∵点G为等腰Rt△AOH斜边AH中点， ∴， ∴， 过点Q'作Q'M⊥BG， ∵Q'M∥GH， ∴△MBQ'∽△GBH， 又∵点Q'为BH中点， ∴， ∴， 解得， ∴SΔAD'Q'＝S△ABH﹣S△ABQ'﹣SΔAD'G﹣S△GHQ﹣SΔGD'Q' ． 42．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题： 【观察猜想】 （1）如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°得到线段DP，连接AD，BD，CP．的值是 　1　 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 　60°　 ． 【类比探究】 （2）如图2，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC、PC于点M、N． ①求∠BME的度数； ②连接AC交DE于点H，若DH＝2，则BC的值为 　2　 ； 【拓展延伸】 （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D、E分别是AB、BC的中点，连接DE，如图4，将△BDE绕着点B顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°），直线DE交BC于点F，连接AD，若射线AD将∠BDE分成的两个角度之比是1：3，则的值为多少？请直接写出答案． 【答案】（1）1，60°； （2）①45°； ②2； （3）或3． 【解答】解：（1）如图1， 设直线BD和CP交于点E，CP交AB于O， ∵CA＝CB，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∵线段AP绕点P逆时针旋转60°得到线段DP， ∴∠PAD＝60°，AP＝AD， ∴∠PAD＝∠BAC， ∴∠PAC＝∠BAD， ∴△PAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CP，∠ACP＝∠ABD， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠E＝∠CAB＝60°， 故答案为：1，60°； （2）①如图2， 连接DP，PE， ∵四边形ADCP和四边形BEFP是正方形， ∴∠BPF＝90°，∠CPD＝∠EPF＝45°，， ∴∠DPE＝∠BPF＝90°， ∴△DPE∽△CPB， ∴∠PED＝∠PBC， ∴点B、E、M、P共圆， ∴∠BME＝∠BPE＝45°； ②如图3， 连接DP，EP，延长EF，交AC于G， 可得：△CFG是等腰直角三角形，CD∥EF， ∴CF＝FG，∠CDH＝∠GEH，∠EGH＝∠DCH， ∴CD＝CP＝CF+PF＝FG+EF＝EG， ∴△DCH≌△EGH（ASA）， ∴EH＝DH＝2， ∴DE＝4， 由①知， △DPE∽△CPB， ∴， ∴BC； 故答案为：2； （3）如图4， 当∠EDH：∠BDH＝3：1时，连接EC，作BH⊥AD于H， ∵∠BDE＝∠BAC＝120°， ∴∠BDH＝30°， ∴∠ABD+∠BAD＝30°， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠DBE＝30°， ∴∠ABD＝∠CBE， ∵， ∴△ABD∽△CBE， ∴∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BDH＝150°，， ∴∠CEF＝∠BEC﹣∠BED＝120°， ∴∠CEF＝∠BDE＝120°， ∴BD∥CE， ∴△BDF∽△CEF， ∴， 设BH＝a，则BD＝2a，DHa，AB＝2BD＝4a， ∴AH， ∴AD＝AH﹣DH， ∴CE（33）a， ∴， 如图5， 当∠BDH：∠EDH＝3：1时， ∴∠ADB＝∠BDH＝90°， ∵BDAD， ∴∠BAD＝30°， ∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝30°， ∵∠BDF＝180°﹣∠BDE＝60°， ∴∠BFD＝90°， 设DF＝k，则BD＝2k，AB＝2BD＝4k，BFk， ∴BCAB＝4k， ∴CF＝BC﹣BF＝3， ∴． 综上所述：或3． 43．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）与x轴交于B，C两点（C在B的右侧），顶点为A点． （1）求抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴； （2）当a＞0时，P为对称轴上一点，作PQ∥BC交抛物线于点Q（Q在P的右边），当四边形BPQC是平行四边形时，它的面积为6，求此时a的值； （3）①已知E（x1，y1），F（x2，y2）为抛物线上的两点，若对于a﹣1＜x1＜a+1，x2＝2，都有y2＜y1，求a的取值范围； ②已知E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3）是抛物线上的三个点．若对于1＜x1＜3，x2＝﹣2，x3＝3a，都有y1＜y3＜y2，求a的取值范围（直接写出答案）． 【答案】（1）x＝a； （2）a＝1； （3）①a＜0；②或1≤a＜2． 【解答】解：（1）对于抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）， 由对称轴公式， 故对称轴为直线x＝a； （2）令y＝0，则ax2﹣2a2x＝0， 因式分解得ax（x﹣2a）＝0， 解得x＝0或x＝2a． ∵a＞0且C在B右侧， ∴B（0，0），C（2a，0），BC＝2a． ∵四边形BPQC是平行四边形且PQ∥BC， ∴PQ＝BC＝2a． ∵P在对称轴x＝a上，Q在P右侧， ∴Q的横坐标为a+2a＝3a． 将x＝3a代入抛物线方程，得y＝a（3a）2﹣2a2•3a＝3a3， 故P（a，3a3），Q（3a，3a3）． ∵平行四边形BPQC的面积为6， ∴2a•3a3＝6a4＝6， 解得a4＝1． ∵a＞0， ∴a＝1； （3）①对于函数y＝ax2﹣2a2x＝a（x﹣a）2﹣a3，对称轴为直线x＝a； 当a＞0时，抛物线开口向上， ∵a﹣1＜x1＜a+1，a﹣1＜a＜a+1， ∴当x1＝a时，y1有最小值，不满足y2＜y1； 当a＜0时，抛物线开口向下， ∵a﹣1＜x1＜a+1，a﹣1＜a＜a+1， ∴当x1＝a﹣1或a+1时，y1有最小值， 要使y2＜y1，需要|2﹣a|≥|a﹣1﹣a|，即2﹣a≥1，解得a≤1， 又∵a＜0， 综上所述a＜0； ②∵E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3）是抛物线上的三个点，且对于1＜x1＜3，x2＝﹣2，x3＝3a，都有y1＜y3＜y2，抛物线的对称轴为直线x＝a， 当a＜0时，如图2，抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， ∴， 解得， 当a＞0，如图1，抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小， ∴， 解得1≤a＜2； 综上所述，满足条件的a的取值范围为或1≤a＜2． 44．已知点M为抛物线y＝x2+bx﹣1（b＜0）的顶点，其对称轴与x轴的交点为D，点N为抛物线所在平面内一点（不与M重合）．直线与抛物线分别交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若抛物线经过点（2，﹣3），求b的值； （2）若b≥﹣2， ①直线y＝﹣x﹣1与直线MD交于点P，求MP的最大值； ②点E与点B关于点D对称．当，∠END＝90°时，比较MN与DE的大小，并说明理由． 【答案】（1）b＝﹣3； （2）①MP的最大值为； ②MN≤DE，理由如下： 设点A（x1，y1），点B（x2，y2）， 联立， 消y得， ∴， ∴点，点， 设E（x0，y0）， ∵点E与点B关于点D对称，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得b＝﹣2， 此时A（0，﹣1），B（3，2），D（1，0），E（﹣1，﹣2），M（1，﹣2）， ∴， ∵∠END＝90°， ∴点N在以DE为直径的圆上，圆心坐标为（0，﹣1），半径为， M（1，﹣2）到圆心的距离为， ∴点M（1，﹣2）在圆上， ∴MN的最大值为直径， ∴MN≤DE． 【解答】解：（1）将点（2，﹣3）代入y＝x2+bx﹣1（b＜0）得4+2b﹣1＝﹣3， 解得b＝﹣3； （2）①∵抛物线y＝x2+bx﹣1（b＜0）的顶点， ∴直线MD的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵﹣2≤b＜0， ∴当b＝﹣1时，MP取得最大值，其最大值为； ②MN≤DE，理由如下： 设点A（x1，y1），点B（x2，y2）， 联立， 消y得， ∴， ∴点，点， 设E（x0，y0）， ∵点E与点B关于点D对称，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得b＝﹣2， 此时A（0，﹣1），B（3，2），D（1，0），E（﹣1，﹣2），M（1，﹣2）， ∴， ∵∠END＝90°， ∴点N在以DE为直径的圆上，圆心坐标为（0，﹣1），半径为， M（1，﹣2）到圆心的距离为， ∴点M（1，﹣2）在圆上， ∴MN的最大值为直径， ∴MN≤DE． 45．【知识技能】 （1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC． 【数学理解】 （2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′． 【拓展探索】 （3）如图3，在△ABC中，tanB，点D在AB上，AD．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明详见解析；（3）存在，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC'，且E'与A重合， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠DEA＝∠BCA， ∴∠DAE＝∠BCA， ∴AB＝BC． （2）证明：连接AA'， ∵旋转， ∴∠ADA′＝∠CDC′，AD＝A'D，CD＝C'D， ∴， ∴△ADA′∽△CDC′， ∴， ∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线， ∴AD＝BD，BF＝A'F， ∴DF是△AA'B的中位线， ∴AA'＝2DF， ∴， ∴2DF•CD＝BD•CC' （3）解：存在，理由如下， 解法一：取AD中点M，CE中点N，连接MN， ∵AD是⊙M直径，CE是⊙N直径， ∴∠AGD＝90°，∠CGE＝90°， ∴∠AGD+∠CGE＝180°， ∵tanB，BE＝3， ∴BD＝5， ∵CE， ∴ENCE， ∴BN＝BE+EN， ∵DE⊥CE， ∴DE是⊙N的切线，即DE在⊙N外， 作NF⊥AB， ∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BFN＝90°， ∴△BDE∽△BNF， ∴， ∴NF，即NF＞rn， ∴AB在⊙N外， ∴G点在四边形ADEC内部． 作MH⊥BC， ∵BM，tanB， ∴BH，MH， ∴NH， ∴MN7.4＜AM+CN ∴⊙M和⊙N有交点． 故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°． 解法二：相似互补弓形， 分别以AD，CE为弦作⊙O2和⊙O，使得△O2AD∽△OEC，两圆的交点即为所求． 作图步骤：①在四边形ADEC内任取一点F，作△EFC得外接圆，圆心为O，连接OE，OC， ②作AD的中垂线， ③以D为圆心，OC为半径画圆交AD中垂线于点O2， ④以O2为圆心，O2A为半径画圆，交⊙O于点G，点G即为所求． 证明：∵， ∴△O2AD∽△OEC， ∴∠AO2D＝∠EOC， ∵∠AGD（360°﹣∠AO2D）＝180°∠AO2D， ∠EGC∠EOC， ∴∠AGD+∠EGC＝180°． 故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $