【高考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编40题（10-8）

【高考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编40题（10-8） 一．选择题（共10小题） 1．（2026•东湖区校级一模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足，则椭圆离心率的范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•和平区校级模拟）已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，下列说法正确的是（　　） A．直线是函数g（x）的图象的一条对称轴 B．点是函数g（x）图象的对称中心 C．函数g（x）在上单调递增 D．函数g（x）在上的值域是[1，2] 3．（2026•孝感模拟）若，则下列不等关系一定不成立的是（　　） A．x3＜x1＜x2 B．x1＜x2＝x3 C．x2＜x1＜x3 D．x1＜x2＜x3 4．（2026•西城区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，，AA1＝2，D，E，F分别在棱AB，BB1，CC1上，且满足A1D⊥平面AEF．给出下列三个结论： ①平面AEF⊥平面ABB1A1， ②△AEF面积的最大值为， ③平面AEF与平面ABC所成角的最大值为， 其中所有正确结论的序号为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2026•香坊区校级一模）统计学中，常以前n个区间的平均长度估计所有区间的平均长度．某工厂生产的零件以n个为一箱，成箱出售（n∈N*）．每箱中的零件按照生产顺序，从1到n连续编号．现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为n的估计值，最合适的一项是（　　） A．61 B．70 C．98 D．120 6．（2026•南海区模拟）定义：双曲正弦函数sinh（x），双曲余弦函数cosh（x），双曲正切函数tanh（x），则（　　） A．函数tanh（x）是偶函数 B．函数tanh（x）在R上单调递减 C．cosh（sinh（﹣1））+cosh（sinh（1））＜2cosh（sinh（2）） D．sinh（cosh（﹣1））＞sinh（cosh（2）） 7．（2026•大同一模）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若对于定义域内给定的任意x1，x2（x1≠x2），都有，则不等式的解集为（　　） A． B． C．（0，3） D．（3，+∞） 8．（2026•贵阳模拟）已知数列{an}满足a1＝1，．若对于任意n∈N*，都有an＜an+1＜2成立，则实数c的取值范围是（　　） A． B． C． D．（2，3） 9．（2024•桂林三模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，BC⊥CA，且PB＝BC＝CA＝2，M为PA的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 10．（2026•上海校级模拟）已知圆锥曲线Γ的对称中心为原点O，若对于Γ上的任意一点A，均存在Γ上两点B，C，使得原点O到直线AB，AC和BC的距离都相等，则称曲线Γ为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（　　） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 二．多选题（共10小题） （多选）11．（2026•东湖区校级一模）已知曲线下有一系列正三角形，第n个正三角形Qn﹣1PnQn（Q0为坐标原点）的边长为an，数列{an}的前n项和为Sn，则（　　） A．第1个正三角形Q0P1Q1的周长为2 B．Pn+1为 C． D．数列{an}的通项公式为 （多选）12．（2026•孝感模拟）已知双曲线为坐标原点，F1、F2分别是双曲线的左右焦点，P是双曲线位于第一象限上的点，I、G分别是△PF1F2的内心、重心，则下列说法正确的是（　　） A．I的横坐标为a B．直线PI与双曲线相切 C．|OI|的最大值是c D．若IG∥x轴，则 （多选）13．（2026•香坊区校级一模）已知点Q在圆F：（x﹣2）2+y2＝1上，A（﹣2，0），O为坐标原点，动点P满足：在△APF中，|PA|cos∠PAF＝|PF|．则（　　） A．P的轨迹方程为：y2＝8x（x≠0） B．|PQ|的最小值为2 C．的最小值是 D．∠PAQ的最大值为 （多选）14．（2026•南海区模拟）已知数列{an}的每一项都是整数．当n为奇数时，有an+2+an≥2an+1+1；当n为偶数时，有an+2+an≥2an+1．记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，a2＝3，则（　　） A．数列{an}为递增数列 B．S5的最小值为32 C．若k＝100，则ak的最小值为2649 D．若ak＝2026，则k的最大值为86 （多选）15．（2026•大同一模）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，棱AE⊥底面ABCD，CF∥AE，且AE＝CF＝a，则下列表述一定正确的是（　　） A．EF∥平面ABCD B．几何体ABCDEF外接球表面积是2a2π C．几何体ABCDEF的体积是 D．当a＝1时，几何体ABCDEF一定有内切球 （多选）16．（2026•贵阳模拟）古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与平面所成角α的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为2β，则曲线的离心率为．如图，圆锥SO的底面半径为4，母线长为12，△SAB是圆锥的一个轴截面，D为SA中点，过B，D两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆Γ，则（　　） A．椭圆Γ的长轴为 B．椭圆Γ的离心率为 C．SO与BD的交点是椭圆Γ的一个焦点 D．内接于椭圆的菱形周长最大值为20 （多选）17．（2026•金坛区校级模拟）已知函数f（x）＝ln（e2x+1）x，下列结论正确的有（　　） A．y＝f（x）是奇函数 B．y＝f（x）在上单调递增 C．y＝f（x）无极大值 D．y＝f（x）的最小值为 （多选）18．（2026•山东模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，左顶点为A1，点P是C的右支上一点，过点P向双曲线两渐近线作垂线，垂足分别为M、N，则（　　） A．双曲线C的离心率为2 B．若直线PF2与C交于另一点Q，则|PQ|的最小值为6 C．|PM|•|PN|为定值 D．若I为△PA1F2的内心，则|IF1|﹣|IF2|为定值 （多选）19．（2026•凯里市校级模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣2x）ex+2，则（　　） A．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣2x）e﹣x﹣2 B．曲线y＝f（x）在x＝1处的切线过点（0，2） C．函数f（x）有5个零点 D．若对任意x＞0，f（x）≥ax+2恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e] （多选）20．（2026•岳阳模拟）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+10（a≠0），则（　　） A．若b＝﹣3，且曲线y＝f（x）的对称中心为（1，﹣1），则a+c＝﹣8 B．若a＝c，且曲线y＝f（x）的对称中心为（1，﹣1），则f（x）有极值 C．若bc＞0，且，则存在实数m，n（m≠n），使得f（m）＝f（n） D．若a＞0且b2＞3ac，直线g（x）＝mx+n（m＜0）是曲线y＝f（x）在对称中心处的切线，定点M（t，p）满足g（t）＜p＜f（t），则过点M与曲线y＝f（x）相切的直线有三条 三．填空题（共10小题） 21．（2026•秦都区校级模拟）已知正实数x，y满足e1﹣2x＝（2x+y）ey，则的最小值为 　 　 ． 22．（2026•和平区校级模拟）定义在R上的函数f（x）满足3f（x）＝f（x+1），且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|．若关于x的方程f（x）＝ax2﹣2ax+1（a＞0）至多有三个不同的解，则正实数a的取值范围是 　 　 ． 23．（2026•孝感模拟）已知（2x+1）（22x+1）（23x+1）…（2nx+1）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn（n≥2，n∈N*），则a0＝　 　 ；a2＝　 　 ． 24．（2026•西城区校级模拟）函数，其中a∈R，给出下列四个结论： ①对任意实数a，f（x）的定义域为R； ②存在实数a，使得f（x）在定义域内无零点； ③当a＜0时，对任意m＞0，存在实数x0，使得|f（x0）|＞m； ④当a＞0时，存在m＞0，使得对任意实数x，都有|f（x）|≤m． 其中所有正确结论的序号为　 　 ． 25．（2026•香坊区校级一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”．若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有　 　 种． 26．（2026•南海区模拟）函数f（x）＝x3+ax+b在区间[1，+∞）上存在零点，则a2+b2的最小值为　 　 ． 27．（2026•大同一模）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，M是线段AB的中点，且点M纵坐标为2，则p＝　 　 ． 28．（2026•贵阳模拟）已知点M为正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球上的动点，且MB＝2MA，若AA1＝2，AB＝3，则点M的轨迹长度为　 　 ． 29．（2026•金坛区校级模拟）已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R），若a＝1，则函数f（x）的最小值为 　 　 ；若∀x1＜x2，都有，则实数a的取值范围为 　 　 ． 30．（2025•青浦区模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕直线DB1旋转，直线AB旋转至直线A'B'，则直线AB与直线A′B′所成角的大小为 　 　 ． 四．解答题（共10小题） 31．（2025•鄢陵县三模）设a∈R，已知函数f（x）＝ex﹣asinx，g（x）＝lnx+acosx． （1）若a＝1，判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性； （2）若，判断g（x）的零点个数，并给出证明； （3）若f（x）≥g（x），求正整数a的值． 32．（2026•和平区校级模拟）已知函数． （1）当x＞0时，f（x）＞1，求a的取值范围； （2）设a＝1，，n∈N*，且． （i）证明：数列{xn}是递减数列； （ii）证明：． 33．（2026•孝感模拟）已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P是抛物线C上的一点且有． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点T（3，0），连接P、T并延长交抛物线C于另外一点Q． （i）若抛物线C上有且仅有3个点M1、M2、M3使得△M1PQ、△M2PQ、△M3PQ的面积均为定值S，求S的值； （ii）已知点A、B是抛物线C上异于P、Q的两点，且PQ是∠APB的角平分线．请问直线AB是否过定点G，若过定点，求出G点的坐标，若不过定点，请说明理由． 34．（2025•朝阳区二模）已知{an}是无穷正整数数列，且对任意的n≥3，an+1＝card{k|ak＝an，k∈{1，2，⋯，n}}，其中cardS表示有穷集合S的元素个数． （Ⅰ）若a1＝2，a2＝3，a4＝2，求a5的所有可能取值； （Ⅱ）求证：数列{an}中存在等于1的项； （Ⅲ）求证：存在t∈N*，使得集合{k∈N*|ak＝t}为无穷集合． 35．（2026•香坊区校级一模）如图，一动点P从点A出发，在正方形ABCD的各顶点上移动．每次移动时，动点P有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立．设动点P移动了2n（n∈N*）步之后，停在点A的概率为pn． （1）求p1，p2； （2）求{pn}的通项公式； （3）记点P的前2n次移动中，到达过点B的次数为X，求证：． 参考公式：若随机变量Xi服从两点分布且P（Xi＝1）＝pi，1≤i≤n，i∈N*，则． 36．（2026•南海区模拟）设椭圆的上焦点为Fn，过Fn且斜率为k的直线l与该椭圆交于An，Bn两点．当l与y轴垂直时，有||，其中O为坐标原点． （1）求该椭圆的离心率； （2）设点Mn（0，bn+1），且满足：对任意的斜率k，都有∠AnMnO＝∠BnMnO； （i）证明：； （ii）定义：若无穷数列{dn}是公比为q（0＜q＜1）的等比递减数列，则其所有项之和为S，其中d1为数列{dn}的首项．记△AnBnMn的面积为Sn，求数列的所有项和的最小值（结果用a1或b1表示）． 37．（2026•大同一模）已知函数． （1）当时，求f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2） ①求a的取值范围； ②证明：． 38．（2026•贵阳模拟）已知函数，． （1）令h（x）＝xf（x），求h（x）在点（e﹣1，h（e﹣1））处的切线方程； （2）讨论g（x）在（0，1）上的单调性； （3）证明：（i）当x＞0时，； （ii）1＜g（x）≤2ln2． 39．（2026•金坛区校级模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣ax，其中a＞0． （Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若f（x）的最大值是alna﹣a，求a的值； （Ⅲ）设函数，若g（x）有两个极值点x1，x2，证明：． 40．（2024•信阳模拟）已知函数y＝f（x），其中f（x），k∈R．若点A在函数y＝f（x）的图像上，且经过点A的切线与函数y＝f（x）图像的另一个交点为点B，则称点B为点A的一个“上位点”．现有函数y＝f（x）图像上的点列M1，M2，…，Mn，…，使得对任意正整数n，点Mn都是点Mn+1的一个“上位点”． （1）若k＝0，请判断原点O是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点M1的坐标为（3k，0），请分别求出点M2、M3的坐标； （3）若M1的坐标为（3，0），记点Mn到直线y＝m的距离为dn．问是否存在实数m和正整数T，使得无穷数列dT、dT+1、…、dT+n、…严格减？若存在，求出实数m的所有可能值；若不存在，请说明理由． 【高考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编40题（10-8） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B C A B C A 二．多选题（共10小题） 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 ABD ABD AC ABC AC ABD BC ACD BCD ABD 一．选择题（共10小题） 1．（2026•东湖区校级一模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足，则椭圆离心率的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为椭圆上的点P，所以设P（acosθ，bsinθ），θ∈[0，2π]，椭圆的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）， ，， ＝a2cos2θ﹣c2+b2sin2θ＝a2cos2θ﹣c2+（a2﹣c2）（1﹣cos2θ）＝3c2． 化简得，因0≤cos2θ≤1，所以， 整理得，，所以．即． 故选：B． 2．（2026•和平区校级模拟）已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，下列说法正确的是（　　） A．直线是函数g（x）的图象的一条对称轴 B．点是函数g（x）图象的对称中心 C．函数g（x）在上单调递增 D．函数g（x）在上的值域是[1，2] 【答案】D 【解答】解：因为f（x）的图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以f（x）的周期为π， 所以ω＝2，故， 将f（x）的图象向左平移个单位长度得y＝2sin（2x），再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象， 所以， 对于A，， 所以直线不是函数g（x）的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以点不是函数g（x）图象的对称中心，故B错误； 对于C，因为，所以，所以函数g（x）在上不单调递增，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 所以，所以函数g（x）在上的值域是[1，2]，故D正确． 故选：D． 3．（2026•孝感模拟）若，则下列不等关系一定不成立的是（　　） A．x3＜x1＜x2 B．x1＜x2＝x3 C．x2＜x1＜x3 D．x1＜x2＜x3 【答案】C 【解答】解：已知， 当x3＝0时，显然不成立， 当x3＞0时，由， 令， 设f（x1）＝g（x2）＝h（x3）＝a， 在同一直角坐标系内画出三个函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：只有选项C不可能． 故选：C． 4．（2026•西城区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，，AA1＝2，D，E，F分别在棱AB，BB1，CC1上，且满足A1D⊥平面AEF．给出下列三个结论： ①平面AEF⊥平面ABB1A1， ②△AEF面积的最大值为， ③平面AEF与平面ABC所成角的最大值为， 其中所有正确结论的序号为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解答】解：对于①，因为A1D⊥平面AEF，而A1D⊂平面ABB1A1，所以平面AEF⊥平面ABB1A1，①正确； 对于②，因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB＝90°， 故以C为坐标原点，CB，CA，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， 其中， 则，， 因为A1D⊥AE，A1D⊥AF，A1D⊥EF， 所以， ， 解得， 因为，所以，故n∈[0，1]， 故， ， ， 所以， 故， 故当n＝1时，△AEF面积取得最大值，最大值为，②正确； 对于③，平面AEF的一个法向量为，， 平面ABC的一个法向量为， 设平面AEF与平面ABC所成角的大小为θ，， 则， 由于y＝cosθ在上单调递减， 故当时，θ取得最大值，最大值为，③正确． 故选：D． 5．（2026•香坊区校级一模）统计学中，常以前n个区间的平均长度估计所有区间的平均长度．某工厂生产的零件以n个为一箱，成箱出售（n∈N*）．每箱中的零件按照生产顺序，从1到n连续编号．现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为n的估计值，最合适的一项是（　　） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【解答】解：已知编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以n＝70． 故选：B． 6．（2026•南海区模拟）定义：双曲正弦函数sinh（x），双曲余弦函数cosh（x），双曲正切函数tanh（x），则（　　） A．函数tanh（x）是偶函数 B．函数tanh（x）在R上单调递减 C．cosh（sinh（﹣1））+cosh（sinh（1））＜2cosh（sinh（2）） D．sinh（cosh（﹣1））＞sinh（cosh（2）） 【答案】C 【解答】解：因为sinh（﹣x）＝﹣sinh（x）， 可得是奇函数，在R上单调递增（导数cosh（x）＞0）； ，偶函数（cosh（﹣x）＝cosh（x）），在[0，+∞）上单调递增（导数sinh（x）＞0，当x＞0），在（﹣∞，0]上单调递减； ，奇函数（tanh（﹣x）＝﹣tanh（x）），导数（在R上单调递增）， 对于选项A：anh（x），故tanh（x）是奇函数，A错误； 对于选项B：由，tanh（x）在R上单调递增，B错误； 对于选项C：左边化简：cosh（sinh（﹣1））+cosh（sinh（1））＝cosh（﹣sinh（1））＝2cosh（sinh（1））（因cosh（x）是偶函数）， 右边为2cosh（sinh2）， 需证2cosh（sinh1）＜2cosh（sinh2）， 即cosh（sinh（1））＜cosh（sinh（2））， 因sinh（x）递增，故sinh（1）＜sinh（2）；又sinh（1），sinh（2）＞0，且cosh（x）在[0，+∞）递增，故cosh（sinh（1））＜cosh（sinh（2）），C正确． 对于选项D：左边sinh（cosh（﹣1））＝sinh（cosh（1））（因cosh（x）是偶函数）， 右边sinh（cosh（2））， 需比较cosh（1）与cosh（2）：因cosh（x）在[0，+∞）递增，1＜2，故cosh（1）＜cosh（2）； 又sinh（x）递增，故sinh（coshh（1））＜sinh（coshh（2）），D错误． 故选：C． 7．（2026•大同一模）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若对于定义域内给定的任意x1，x2（x1≠x2），都有，则不等式的解集为（　　） A． B． C．（0，3） D．（3，+∞） 【答案】A 【解答】解：因为f（x）满足对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有， 设x1＞x2＞0，所以x2f（x1）﹣x1f（x2）＞0，即x2f（x1）＞x1f（x2）， 所以， 令， 当x1＞x2＞0时，都有g（x1）＞g（x2）， 所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增． 又不等式， 得x2f（2x）＞2xf（x2﹣3）+3f（2x），即（x2﹣3）f（2x）＞2xf（x2﹣3）， 即，所以g（2x）＞g（x2﹣3）， 故，解得． 故选：A． 8．（2026•贵阳模拟）已知数列{an}满足a1＝1，．若对于任意n∈N*，都有an＜an+1＜2成立，则实数c的取值范围是（　　） A． B． C． D．（2，3） 【答案】B 【解答】解：因a1＝1，，且对于任意n∈N*，都有an＜an+1＜2成立， 则，可得c＞2， 由a2＜2可得c﹣1＜2，即得c＜3，即2＜c＜3． 又由a1＝1，，且对于任意n∈N*，都有an＜an+1＜2成立， 可得，则， 易知{an}为递增数列，则an≥a1＝1，且an＜2， 因函数在[1，2）上为增函数，则， 由题意可知数列{an}单调递增且有上界2，故极限存在．设，则1＜A≤2． 对取极限得，即． 函数在（1，2]上单调递增，故f（1）＜c≤f（2），解得． 故实数c的取值范围是． 故选：B． 9．（2024•桂林三模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，BC⊥CA，且PB＝BC＝CA＝2，M为PA的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：取PC的中点N，连接MN、BN，如图所示： ∵M、N分别为PA、PC的中点，则MN∥CA且， ∴异面直线BM与AC所成的角为∠BMN或其补角． ∵PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PB⊥BC，， ∴，同理可得， ∴BN2+MN2＝BM2， ∴BN⊥MN，则， 故选：C． 10．（2026•上海校级模拟）已知圆锥曲线Γ的对称中心为原点O，若对于Γ上的任意一点A，均存在Γ上两点B，C，使得原点O到直线AB，AC和BC的距离都相等，则称曲线Γ为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（　　） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【解答】解：因为圆锥曲线Γ的对称中心为原点O，若对于Γ上的任意一点A，均存在Γ上两点B，C， 使得原点O到直线AB，AC和BC的距离都相等，则称曲线Γ为“完美曲线”， 所以依据新定义分别判断两命题如下： 判断命题①： 已知过椭圆上任意一点A作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于B，C两点，连接BC． 根据直线与圆的位置关系，当BC与圆相切时，满足给定条件． 当BC与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近BC，直到BC与圆相切； 同理，当BC与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近BC直至相切． 所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得BC与圆相切，故①正确； 判断命题②： 当A在双曲线顶点时，过A作圆的切线，交双曲线于另外两点B，C． 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段BC， 其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的． 这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向， 使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确． 故选：A． 二．多选题（共10小题） （多选）11．（2026•东湖区校级一模）已知曲线下有一系列正三角形，第n个正三角形Qn﹣1PnQn（Q0为坐标原点）的边长为an，数列{an}的前n项和为Sn，则（　　） A．第1个正三角形Q0P1Q1的周长为2 B．Pn+1为 C． D．数列{an}的通项公式为 【答案】ABD 【解答】解：对于A，设第1个正三角形Q0P1Q1的边长为a1，由xa1代入y，可得y•a1，解得a1， 则第1个正三角形Q0P1Q1的周长为3a1＝2，A正确； 对于B，前n个正三角形的边长和为Sn＝a1+a2+⋯+an，则Qn+1的坐标为（Sn，0）， 第n+1个正三角形Qn+1Pn+1Qn+2的边长为an+1，因此Pn+1的横坐标为，纵坐标为， 则，B正确； 对于C，因为Pn+1在曲线上，所以， 两边平方得：，即，C错误； 对于D，当n≥2时，由，可得， 两式相减可得， 化为，由an＞0，可得， 而，所以数列{an}是首项和公差均为的等差数列，所以，故D正确． 故选：ABD． （多选）12．（2026•孝感模拟）已知双曲线为坐标原点，F1、F2分别是双曲线的左右焦点，P是双曲线位于第一象限上的点，I、G分别是△PF1F2的内心、重心，则下列说法正确的是（　　） A．I的横坐标为a B．直线PI与双曲线相切 C．|OI|的最大值是c D．若IG∥x轴，则 【答案】ABD 【解答】解：如图所示，内切圆与△PF1F2三边的切点分别为A、B、C， 延长PI交F1F2于Q，连接F1I、F2I． 对于A选项：由题意可知PA＝PB、F1B＝F1C、F2C＝F2A， 因为F1C+F2C＝2c，PF1﹣PF2＝2a，可知F1C＝a+c， 因为IC⊥F1F2，因此内心I的横坐标为a，因此A选项正确； 对于B选项：PI与∠F1PF2的外角平分线相互垂直， 由双曲线的光学性质可知直线PI是双曲线在P点处的切线，因此B选项正确； 对于C：设P（x0，y0）（x0＞a，y0＞0），则有PF1＝ex0+a，PF2＝ex0﹣a， 其中e为双曲线的离心率，设内切圆的半径为r（r＞0）， 则有，化简可得， 两边同时平方，代入， 化简可得，因此OI2＝OC2+r2＜a2+b2＝c2，因此OI＜c，因此C选项错误； 对于D选项：GI∥x轴，由重心的性质可知， 由题意及角平分线定理可知， 则PF2＝2c﹣a，PF1＝2c+a， 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 代入数据可得 ， 因为e＞1，因此， 因此，因此D选项正确． 故选：ABD． （多选）13．（2026•香坊区校级一模）已知点Q在圆F：（x﹣2）2+y2＝1上，A（﹣2，0），O为坐标原点，动点P满足：在△APF中，|PA|cos∠PAF＝|PF|．则（　　） A．P的轨迹方程为：y2＝8x（x≠0） B．|PQ|的最小值为2 C．的最小值是 D．∠PAQ的最大值为 【答案】AC 【解答】解：由题意可知F（2，0），设P（x，y）（y≠0），过点P作PN⊥x轴于点N，如图： 对于A，则， ∵在△APF中，|PA|cos∠PAF＝|PF|， ∴， ∴两边平方化简可得： y2＝8x（x≠0），A选项正确； 对于B，， |PQ|＝|PF|﹣1≥1， ∴当P点为（0，0）时，|PQ|的最小值为1，B选项不正确； 对于C，， 当且仅当x＝2时，的最小值是，C选项正确； 对于D，由对称性可假设点P在一象限，则， ∵，当且仅当，即x＝2时取等号， ∴∴，∴∠PAF最大值为， 当AQ与圆F相切时，，∴∠QAF的最大值， ∴，D选项错误． 故选：AC． （多选）14．（2026•南海区模拟）已知数列{an}的每一项都是整数．当n为奇数时，有an+2+an≥2an+1+1；当n为偶数时，有an+2+an≥2an+1．记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，a2＝3，则（　　） A．数列{an}为递增数列 B．S5的最小值为32 C．若k＝100，则ak的最小值为2649 D．若ak＝2026，则k的最大值为86 【答案】ABC 【解答】解：当n为奇数时，有an+2+an≥2an+1+1，即an+2﹣an+1≥an+1﹣an+1； 当n为偶数时，有an+2+an≥2an+1，即an+2﹣an+1≥an+1﹣an； 所以若a1＝1，a2＝3，则当n为奇数时， ； 当n为偶数时，， 所以数列{an}为递增数列，所以A正确； 由题可知，a3+a1≥2a2+1，a4+a2≥2a3，a5+a3≥2a4+1， 所以a3≥2a2﹣a1+1＝6，a4≥2a3﹣a2≥9，a5≥2a4﹣a3+1＝a4+（a4﹣a3）+1≥a4+a3﹣a2+1≥13， 所以S5的最小值为1+3+6+9+13＝32，所以B正确； 由A项分析知，当n为奇数时，； 当n为偶数时，； 所以a100﹣a99≥a2﹣a1+49＝51， a99﹣a98≥a2﹣a1+49＝51， a98﹣a97≥a2﹣a1+48＝50， a97﹣a96≥a2﹣a1+48＝50， …… a3﹣a2≥a2﹣a1+1＝3， a2﹣a1＝2， 累加得，， 所以a100≥2648+a1＝2649，所以C正确； 若ak＝2026，结合C分析得，当k为奇数时， ， 所以， 即， 则，所以D不正确． 故选：ABC． （多选）15．（2026•大同一模）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，棱AE⊥底面ABCD，CF∥AE，且AE＝CF＝a，则下列表述一定正确的是（　　） A．EF∥平面ABCD B．几何体ABCDEF外接球表面积是2a2π C．几何体ABCDEF的体积是 D．当a＝1时，几何体ABCDEF一定有内切球 【答案】AC 【解答】解：因为CF∥AE且CF＝AE， 所以四边形ACFE为平行四边形， 所以EF∥AC，又EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以EF∥平面ABCD，故A正确； 几何体ABCDEF外接球即为长方体ABCD﹣EGFH的外接球， 所以， 所以外接球表面积是（2+a2）π，故B错误； 对于C选项，可以将几何体ABCDEF补成长方体ABCD﹣EGFH，如图： 所以几何体ABCDEF的体积为，故C正确； 当a＝1时，假设几何体ABCDEF有内切球， 则根据等体积法可得， 即， 因为平面ADE上的点与平面BCF上的点的距离是1，即内切球半径为，矛盾， 故几何体ABCDEF没有内切球，故D错误． 故选：AC． （多选）16．（2026•贵阳模拟）古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与平面所成角α的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为2β，则曲线的离心率为．如图，圆锥SO的底面半径为4，母线长为12，△SAB是圆锥的一个轴截面，D为SA中点，过B，D两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆Γ，则（　　） A．椭圆Γ的长轴为 B．椭圆Γ的离心率为 C．SO与BD的交点是椭圆Γ的一个焦点 D．内接于椭圆的菱形周长最大值为20 【答案】ABD 【解答】解：在Rt△SOA中，SA＝12，OA＝4，∠OSA＝∠OSB＝β， 所以， 对于A，椭圆的长轴为BD的长， 在△SBD中，SB＝12，SD＝6， ． 所以根据余弦定理得BD2＝SD2+SB2﹣2SD×SB×cos2β＝36+144﹣2×6×1268， 所以，故A正确； 对于B，如图：设SO与BD的交点为E，由线面角定义可知∠OEB＝α， 由上可知，AD＝6，AB＝8， 在△ABD中，， 在Rt△OBE中，． 由题设可知，故B正确； 对于C，由上可知，， 又，所以c＝3， 在Rt△OEB中，， 所以， ，所以E不为椭圆焦点，故C选项错误； 对于D，如图，椭圆方程为，令该椭圆内接菱形为四边形MNPQ， 设M（tcosθ，tsinθ），则，，即N（﹣t′sinθ，t′cosθ）， 则|OM|2＝t2cos2θ+t2sin2θ＝t2，， 化简得， 同理， 菱形MNPQ中，， 则当θ＝0或时，|MN|2取得最大值为25，即|MN|max＝5， 因此菱形MNPQ周长的最大值为4|MN|＝20，故D正确． 故选：ABD． （多选）17．（2026•金坛区校级模拟）已知函数f（x）＝ln（e2x+1）x，下列结论正确的有（　　） A．y＝f（x）是奇函数 B．y＝f（x）在上单调递增 C．y＝f（x）无极大值 D．y＝f（x）的最小值为 【答案】BC 【解答】解：对于A，， ∴，故A错误； 对于B，， 当时，，， 且e2x+1为增函数， 所以在上，，f（x）单调递减； 在上，，f（x）单调递增； 且，故B正确； 对于C，由f（x）单调区间可知，f（x）无极大值，C正确； 对于D，由单调区间可知，，故D错误． 故选：BC． （多选）18．（2026•山东模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，左顶点为A1，点P是C的右支上一点，过点P向双曲线两渐近线作垂线，垂足分别为M、N，则（　　） A．双曲线C的离心率为2 B．若直线PF2与C交于另一点Q，则|PQ|的最小值为6 C．|PM|•|PN|为定值 D．若I为△PA1F2的内心，则|IF1|﹣|IF2|为定值 【答案】ACD 【解答】解：对于A选项，a＝1，，则， 故双曲线C的离心率为，故A正确； 对于B选项，由题意可知F2（2，0），若直线PF2的斜率不存在，此时直线PF2的方程为x＝2， 联立可得，此时|PQ|＝6， 当直线PF2的斜率存在时，设直线PF2的方程为y＝k（x﹣2），设点P（x1，y1）、Q（x2，y2）， 联立，可得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3＝0， 所以，解得， 由韦达定理可得，， 所以， 当时，， 当k＝0时，； 当时，， 综上所述，|PQ|≥2，故B错误； 对于C选项，设点P（x0，y0），则， 双曲线C的两渐近线方程分别为、， 则为定值，故C正确； 对于D选项，如下图所示： 设I（x，y）、P（x0，y0），其中y0≠0，易知点F2（2，0），， 则， ，， 因为I为△PA1F2的内心，则与向量共线， 且， 所以①， 同理可知与向量共线，且， ， 所以②， 联立①②解得，， 因为 ， 所以I在双曲线上，易知I在双曲线C的右支上， 故|IF1|﹣|IF2|＝2a＝2为定值，故D正确． 故选：ACD． （多选）19．（2026•凯里市校级模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣2x）ex+2，则（　　） A．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣2x）e﹣x﹣2 B．曲线y＝f（x）在x＝1处的切线过点（0，2） C．函数f（x）有5个零点 D．若对任意x＞0，f（x）≥ax+2恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e] 【答案】BCD 【解答】解：对于A，当x＜0时，﹣x＞0， f（x）＝﹣[f（﹣x）]＝﹣[（x2+2x）e﹣x+2]＝﹣（x2+2x）ex﹣2，A选项错误； 对于B，当x＞0时，f'（x）＝（2x﹣2）ex+（x2﹣2x）ex＝（x2﹣2）ex，f′（1）＝﹣e， 又f（1）＝﹣e+2，∴y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣（﹣e+2）＝﹣e（x﹣1）， 令x＝0，则y＝2，切线过点（0，2），B选项正确； 对于C，由f'（x）＝（x2﹣2）ex可知，f（x）在上单调递减，上单调递增， 当x→0+时，f（x）→2，又f（1）＝﹣e+2＜0，f（2）＝2＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上有且仅有2个零点， 又f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上有且仅有2个零点， 又f（0）＝0，所以函数f（x）在R上有5个零点，C选项正确； 对于D，当x＞0时，由f（x）≥ax+2，得a≤（x﹣2）ex， 设g（x）＝（x﹣2）ex，x＞0，则g'（x）＝（x﹣1）ex， 当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， ∴当x＝1时，g（x）取得最小值﹣e，∴a≤﹣e，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e]，D选项正确． 故选：BCD． （多选）20．（2026•岳阳模拟）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+10（a≠0），则（　　） A．若b＝﹣3，且曲线y＝f（x）的对称中心为（1，﹣1），则a+c＝﹣8 B．若a＝c，且曲线y＝f（x）的对称中心为（1，﹣1），则f（x）有极值 C．若bc＞0，且，则存在实数m，n（m≠n），使得f（m）＝f（n） D．若a＞0且b2＞3ac，直线g（x）＝mx+n（m＜0）是曲线y＝f（x）在对称中心处的切线，定点M（t，p）满足g（t）＜p＜f（t），则过点M与曲线y＝f（x）相切的直线有三条 【答案】ABD 【解答】解：二阶导数f'″（x）＝6ax+2b，对称中心横坐标，对称中心为（x0，f（x0））； 一阶导数f′（x）＝3ax2+2bx+c，判别式Δ＝4（b2﹣3ac）＞0时函数有两个极值点，Δ≤0时函数在R上单调． 选项A：由b＝﹣3，对称中心为（1，﹣1），得，解得a＝1； 对称中心在函数图像上，故f（1）＝﹣1，得c＝﹣9， 因此a+c＝1﹣9＝﹣8，A正确； 选项B：由a＝c，对称中心为（1，﹣1），得，得b＝﹣3a， f（1）＝﹣1，即f（1）＝a﹣3a+a+10 ＝﹣a+10＝﹣1，解得a＝11，则b＝﹣33，c＝11； 导数为f'（x）＝33x2﹣66x+11，判别式：Δ＝（﹣66）2﹣4×33×11＝2904＞0，f（x）存在极值，B正确； 选项C：由bc＞0，且，得b2＜3ac， 导数判别式Δ＝4（b2﹣3ac）＜0，故f′（x）恒正或恒负，f（x）在R上单调， 单调函数不存在m≠n使得f（m）＝f（n），C错误． 选项D：a＞0且b2＞3ac，g（x）是对称中心处的切线，g（t）＜p＜f（t）： 设切点为（x，f（x）），切线过点M（t，p），由切线方程得p﹣f（x）＝f'（x）（t﹣x）， 令h（x）＝f（x）+f'（x）（t﹣x）﹣p，切线条数等价于h（x）＝0的实根个数． h'（x）＝f''（x）（t﹣x）＝6a（x﹣x0）（t﹣x），其中为对称中心横坐标，h（x）的极值点为x＝x0和x＝t． 由对称中心处切线性质，，代入x＝t得． 因a＞0且f（t）＞g（t），故，即t＞x0． x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x→﹣∞时h（x）→+∞，且h（x0）＝g（t）﹣p＜0，故（﹣∞，x0）有1个零点； x0＜x＜t时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，从h（x0）＜0递增到h（t）＝f（t）﹣p＞0，故（x0，t）有1个零点； x＞t时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，从h（t）＞0递减到x→+∞时h（x）→﹣∞，故（t，+∞）有1个零点． h（x）＝0共有3个实根，即过点M与曲线相切的直线有三条，选项D正确． 故选：ABD． 三．填空题（共10小题） 21．（2026•秦都区校级模拟）已知正实数x，y满足e1﹣2x＝（2x+y）ey，则的最小值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：e1﹣2x＝（2x+y）ey变形为e1﹣2x＝ey+ln（2x+y）， 则1﹣2x＝y+ln（2x+y），即2x+y+ln（2x+y）＝1， 令g（t）＝lnt+t，（t＞0），则恒成立， 则g（t）＝lnt+t，（t＞0），单调递增， 又g（1）＝1，所以2x+y＝1， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为2． 故答案为：2． 22．（2026•和平区校级模拟）定义在R上的函数f（x）满足3f（x）＝f（x+1），且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|．若关于x的方程f（x）＝ax2﹣2ax+1（a＞0）至多有三个不同的解，则正实数a的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设g（x）＝ax2﹣2ax+1（a＞0），h（x）＝f（x）﹣g（x）， 作出y＝f（x）及y＝g（x）的图象，如图所示： 因为， 根据零点存在定理，存在，使得h（x1）＝f（x1）﹣g（x1）＝0， 同理，， 根据零点存在定理，存在，使得h（x2）＝f（x2）﹣g（x2）＝0． 因此，要使f（x）与g（x）至多有三个交点， 结合图象可知，当时，f（x）与g（x）的函数图象应相切或没有公共点， 即g（x）≥f（x）在上恒成立． 当时，f（x）＝18x﹣36， 则g（x）﹣f（x）恒成立， 因为x（x﹣2）＞0， 所以恒成立， 因为a＞0，考虑18x﹣37＞0的情况即可， 令18x﹣37＝t，t∈（0，8]， 则， 当且仅当t，即时，取到等号． 因此，． 所以正实数a的取值范围为． 故答案为：． 23．（2026•孝感模拟）已知（2x+1）（22x+1）（23x+1）…（2nx+1）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn（n≥2，n∈N*），则a0＝　1　 ；a2＝　2n+2　 ． 【答案】1；2n+2． 【解答】解：因为（2x+1）（22x+1）（23x+1）…（2nx+1）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn（n≥2，n∈N*）， 令x＝0得： a0＝1×1×1×…×1＝1， 即a0＝1． 令S＝2+22+23+…+2n， 这是首项为2，公比为2的等比数列， 根据等比数列求和公式可得：S＝2n+1﹣2， a2是（2x+1）（22x+1）（23x+1）…（2nx+1）展开后x2项的系数， 它等于所有两两不同因式取x项、其余取1的乘积之和， 即a22i•2j2i+j， 又（2k）2（2k）2+22i+j， 即2i+j[（2k）2（2k）2][S2（2k）2] 所以a2[S2（2k）2] [S2﹣（22+24+26+…+22n）] [S2] [S2]， 即a2[S2]． 把S＝2n+1﹣2代入上式可得： a2[（2n+1﹣2）2] [22n+2﹣4×2n+1+4] [22n+2﹣2n+3+4] [] [（）（）] [] 2n+2 2n+2． 即a22n+2． 所以a0＝1；a22n+2． 故答案为：1；2n+2． 24．（2026•西城区校级模拟）函数，其中a∈R，给出下列四个结论： ①对任意实数a，f（x）的定义域为R； ②存在实数a，使得f（x）在定义域内无零点； ③当a＜0时，对任意m＞0，存在实数x0，使得|f（x0）|＞m； ④当a＞0时，存在m＞0，使得对任意实数x，都有|f（x）|≤m． 其中所有正确结论的序号为　②③④　 ． 【答案】②③④． 【解答】解：对于①，当a＜0时，则要使函数有意义，那么1+ax2≠0，因此，因此定义域不是R，①错误； 对于②，当a＝﹣1时，，定义域为{x|x≠±1}，令f（x）＝0， 则x＝1，不在定义域内，因此f（x）无零点，②正确； 对于③，当a＜0时，函数的定义域为，取时，1+ax2→0，1﹣x＞0， 因此|f（x）|→+∞，即f（x）函数图象必有竖直渐近线，故③正确； 对于④，当a＞0时，函数的定义域为R，对函数求导得． 当a（x﹣1）2﹣a﹣1＞0时，即或， 因此函数在上单调递增； 当a（x﹣1）2﹣a﹣1＜0时，即， 因此函数在上单调递减； 而， 当x→+∞时，f（x）→0，且函数在R上连续，因此函数在R上有界， 即存在m＞0使得对任意x∈R都有|f（x）|≤m，④正确． 故答案为：②③④． 25．（2026•香坊区校级一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”．若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有　200　 种． 【答案】200． 【解答】解：将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 先将有阴影的圆分别标为a，b，c， 由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 当阴影的圆中的数字为7，6，5时，则将7，6，5填在a，b，c中有种方法，接着剩下的4个数字填到圆中有种方法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为7，6，4时，若将4填到c，则接着安排7，6有种方法，与c相邻的两个圆只能从1，2，3中选两个有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 若将4填到a或b，有2种方法，则接着安排7，6有种方法，与4相邻的三个圆只能填1，2，3有种方法，剩下一个数有1种填法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为7，6，3时，则3只能填到c，则接着安排7，6有种方法，与c相邻的两个圆只能安排1，2有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 所以总共有144+24+24+8＝200种填法． 故答案为：200． 26．（2026•南海区模拟）函数f（x）＝x3+ax+b在区间[1，+∞）上存在零点，则a2+b2的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设t为f（x）在1，+∞）上的零点， 则t3+at+b＝0， 即点（a，b）在直线tx+y+t3＝0， 又a2+b2为点（a，b）到原点的距离的平方， 原点到直线tx+y+t3＝0的距离为， 因此， 所以a2+b2的最小值， 即为在t∈[1，+∞）上能成立， 令函数，t≥1， 求导得， 所以函数g（t）在[1，+∞）上单调递增， 则， 所以， 所以a2+b2的最小值为． 故答案为：． 27．（2026•大同一模）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，M是线段AB的中点，且点M纵坐标为2，则p＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题知，设，则，， 延长AB交准线l于点D，过A作AA′⊥l，过B作BB′⊥l， 则|AA′|＝|AF|＝3m，|BB′|＝|BF|＝m，显然△AA′D相似于△BB′D， 所以，即， 所以|DB|＝2m，所以|DA|＝6m， 所以，所以∠A′AF＝60°， 所以直线AB的斜率为， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， 得，所以， 所以kAB•yM＝p， 又因为yM＝2，所以． 故答案为：． 28．（2026•贵阳模拟）已知点M为正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球上的动点，且MB＝2MA，若AA1＝2，AB＝3，则点M的轨迹长度为　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为点M为正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球上的动点，且MB＝2MA，若AA1＝2，AB＝3， 所以作出示意图如下： 设点O为正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC的中心，O1为其外接球的球心， 易得O1O⊥平面ABC，且，又AB＝3， 则， 则该外接球的半径为， 以点O为坐标原点，分别以OA，OO1所在直线为x，z轴，以过点O与BC平行的直线为y轴建立空间直角坐标系． 则，设点M（x，y，z）， 由MB＝2MA可得， 两边取平方，展开整理得， 则点M的轨迹为以点为球心，半径为2的球面． 因球O1，O2的球心距为， 两球半径都是2，则两球的交线圆的半径r满足， 故点M的轨迹为交线圆，其周长为，即点M的轨迹长度为． 故答案为：． 29．（2026•金坛区校级模拟）已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R），若a＝1，则函数f（x）的最小值为 　1　 ；若∀x1＜x2，都有，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，2]　 ． 【答案】1；（﹣∞，2]． 【解答】解：若a＝1，则f（x）＝x﹣lnx（x∈（0，+∞））， ∴， 当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ∴f（x）min＝f（1）＝1， 若∀x1＜x2，都有， 则， ∴在x∈（0，+∞）单调递增， ∴在x∈（0，+∞）恒成立， ∴x2﹣ax+1≥0即， 又，当且仅当x＝1时，等号成立， ∴a≤2， 即实数a的取值范围为（﹣∞，2]． 故答案为：1；（﹣∞，2]． 30．（2025•青浦区模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕直线DB1旋转，直线AB旋转至直线A'B'，则直线AB与直线A′B′所成角的大小为 　arccos　 ． 【答案】arccos 【解答】解：根据题意，将A1B1绕直线DB1旋转到A1′B1， 则∠A1′B1A1（或其补角）就是直线AB与直线A′B′的所成角． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，cos∠A1B1D． 设B1A1、B1A1′是圆锥B1O的两条母线，∠A1′OA1， 设A1B1＝a，在Rt△B1OA1中，cos∠OB1A1，可得B1OA1B1a， 所以OA1， 在△OA1A1′中，OA1＝OA1′，∠A1′OA1，所以△A1′OA1是正三角形，可得A1A1′． 在△A1′B1A1中，由余弦定理得cos∠A1′B1A1． 所以∠A1′B1A1＝arccos，即直线AB与直线A′B′的所成角等于arccos． 故答案为：arccos． 四．解答题（共10小题） 31．（2025•鄢陵县三模）设a∈R，已知函数f（x）＝ex﹣asinx，g（x）＝lnx+acosx． （1）若a＝1，判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性； （2）若，判断g（x）的零点个数，并给出证明； （3）若f（x）≥g（x），求正整数a的值． 【答案】（1）单调递增． （2）g（x）的零点数为1，证明见解析； （3）a＝1． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣sinx，f'（x）＝ex﹣cosx＞0在（0，+∞）上恒成立， 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增． （2）g（x）的零点数为1，证明如下： 由题意可得，g′（x）asinx，x＞0， 当0＜a时，sinx∈[﹣1，1]，当x＞0时，0， 所以当x足够小时，asinx，即g（x）＞0．g（x）在（0，+∞）上递增， 又g（1）＝acos1＞0，且当x→0时，lnx→﹣∞，所以g（x）→﹣∞． 结合单调性可知，g（x）有且仅有一个零点， （3）f（x）≥g（x），即ex﹣asinx≥lnx+acosx，所以ex﹣lnx≥a（sinx+cosx）， 令h（x）＝ex﹣lnx，x＞0，则h′（x）＝ex， 因为h′（x）在 （0，+∞） 上单调递增，且h′（）2＜0，h′（1）＝e﹣1＞0， 由零点存在性定理可得，存在x0∈（，1），使得h′（x0）0， 即，所以x0＝﹣lnx0，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 所以h（x）的极小值也是最小值为h（x0）lnx0＝x0， 因为x0∈（，2），所以h（x0）∈（2，）， 因为y＝sinx+cosxsin（x）的值域为[，]， 当a＝1时，a（sinx+cosx）的最大值为，而h（x）的最小值h（x0），满足题意； 当a≥2时，a（sinx+cosx）的最大值为a，大于h（x）的最小值h（x0）， 不满足ex﹣lnx≥a（sinx+cosx），不合题意； 所以正整数a＝1． 32．（2026•和平区校级模拟）已知函数． （1）当x＞0时，f（x）＞1，求a的取值范围； （2）设a＝1，，n∈N*，且． （i）证明：数列{xn}是递减数列； （ii）证明：． 【答案】（1）[l，+∞）； （2）证明：因为a＝1，由（1）知，当x＞0时，f（x）＞1， （i）因为，所以，所以x2＞0， 因为x2＞0，所以，所以x3＞0，以此类推，， 因为， 令g（x）＝x﹣（ex﹣1），则g'（x）＝1﹣ex， 当x＞0时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）单减，即g（x）＜g（0）＝0，即x+1﹣ex＜0（x＞0）， 所以0＜x＜ex﹣1，所以， 所以，所以xn+1﹣xn＜0，故数列{xn}是递减数列； （ii）由题意， 于是，要证，只需证，n∈N*， 因为xn＞0，只需证，即证， 令h（x）＝（ex）2﹣2xex﹣1（x＞0），则h'（x）＝2（ex）2﹣2（ex+xex）＝2ex（ex﹣x﹣1）， 由（i）知，当x＞0时，ex﹣x﹣1＞0，所以h′（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增， 又h（0）＝0，故对任意的x＞0，h（x）＞0， 所以h（xn）＞0，即，n∈N*，原题得证． 【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）＞1，即axex﹣ex+1＞0， 令g（x）＝axex﹣ex+1，则g'（x）＝ex（ax+a﹣1）， 当a≤0时，因为x＞0，所以ax+a﹣1＜0， 即g'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以g（x）＜g（0）＝0，不合题意； 当0＜a＜1时，令g'（x）＝0，解得，所以当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减， 当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，则，不合题意； 当a≥1时，令g'（x）＝0，解得， 此时g'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）＝0恒成立，符合题意， 综上，a的取值范围为[l，+∞）； （2）证明：因为a＝1，由（1）知，当x＞0时，f（x）＞1， （i）因为，所以，所以x2＞0， 因为x2＞0，所以，所以x3＞0，以此类推，， 因为， 令g（x）＝x﹣（ex﹣1），则g'（x）＝1﹣ex， 当x＞0时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）单减，即g（x）＜g（0）＝0，即x+1﹣ex＜0（x＞0）， 所以0＜x＜ex﹣1，所以， 所以，所以xn+1﹣xn＜0，故数列{xn}是递减数列； （ii）由题意， 于是，要证，只需证，n∈N*， 因为xn＞0，只需证，即证， 令h（x）＝（ex）2﹣2xex﹣1（x＞0），则h'（x）＝2（ex）2﹣2（ex+xex）＝2ex（ex﹣x﹣1）， 由（i）知，当x＞0时，ex﹣x﹣1＞0，所以h′（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增， 又h（0）＝0，故对任意的x＞0，h（x）＞0， 所以h（xn）＞0，即，n∈N*，原题得证． 33．（2026•孝感模拟）已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P是抛物线C上的一点且有． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点T（3，0），连接P、T并延长交抛物线C于另外一点Q． （i）若抛物线C上有且仅有3个点M1、M2、M3使得△M1PQ、△M2PQ、△M3PQ的面积均为定值S，求S的值； （ii）已知点A、B是抛物线C上异于P、Q的两点，且PQ是∠APB的角平分线．请问直线AB是否过定点G，若过定点，求出G点的坐标，若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）y2＝4x （2）（i）16；（ii）直线AB过定点G（﹣3，﹣2）． 【解答】解：（1）由题意可知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，因此， 因为P是抛物线C上的一点且有，则P点的坐标为， 代入抛物线方程解得p＝2或p＝﹣2（舍去），因此抛物线C的方程为y2＝4x； （2）（i）由题意可知直线PT的方程为y＝﹣x+3， 直线PT与抛物线y2＝4x联立可得y2+4y﹣12＝0， 解得y1＝2，y2＝﹣6， 因此P（1，2），Q（9，﹣6），因此． 如图所示，由图象可知，对任意面积S，抛物线位于直线PQ右上方的部分均存在2点使得△M2PQ、△M3PQ的面积均为定值S， 则抛物线在直线PQ的左下方部分存在唯一的一点M1满足条件， 此时M1到直线PQ的距离达到最大值，即在M1处的切线与直线PQ平行， 当y＜0时，抛物线方程为，因此M1（1，﹣2）， 则M1到直线PQ的距离为， 因此定值； （ii）因为PQ是∠APB的角平分线，因此T点到直线PA、PB的距离相等， 设该距离为定值r（r＞0）． 当PA的斜率不存在时， 由题意可知，易知此时r＝2，PB与x轴平行，不满足题意， 因此r≠2，PA、PB的斜率均存在． 设过P点的直线斜率为k，则过P点的直线可表示为kx﹣y﹣k+2＝0， 则有，则有kPAkPB＝1， 设A（x1，y1）、B（x2，y2），则， 两式相减可得， 利用点斜式方程可得lAB：4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0， 由，化简可得，﹣12+2（y1+y2）+y1y2＝0， 结合lAB：4x﹣（y1+y2）y+y1y2＝0，易知直线AB过定点G（﹣3，﹣2）． 34．（2025•朝阳区二模）已知{an}是无穷正整数数列，且对任意的n≥3，an+1＝card{k|ak＝an，k∈{1，2，⋯，n}}，其中cardS表示有穷集合S的元素个数． （Ⅰ）若a1＝2，a2＝3，a4＝2，求a5的所有可能取值； （Ⅱ）求证：数列{an}中存在等于1的项； （Ⅲ）求证：存在t∈N*，使得集合{k∈N*|ak＝t}为无穷集合． 【答案】（Ⅰ）2，3； （Ⅱ）证明见解答； （Ⅲ）证明见解答． 【解答】解：（Ⅰ）因为a4＝2，则a1，a2，a3中与a3相等的数有且仅有2个，除去a3本身，a1，a2中与a3相等的数有且只有1个， 所以a3＝a1＝2或a3＝a2＝3． 当a3＝2时，a5＝3；当a3＝3时，a5＝2， 所以a5的所有可能取值为2，3． （Ⅱ）证明：假设{an}中不存在等于1的项，则ai≥2，i∈N*， 又a4≤3，所以a4∈{2，3}， 当a4＝3时，由a5≥2，则存在i∈{1，2，3}，使得ai＝a4＝3， 所以a1＝a2＝a3＝3，a5＝4，a6＝1，与假设矛盾． 当a4＝2时，由a5≥2，则存在i∈{1，2，3}，使得ai＝a4＝2，且a1，a2中有且只有一项与a3相等． ①若a1，a2，a3中有两项为2，一项为3， 则a5＝3，a6＝2，a7＝4，a8＝1，与假设矛盾． ②若a1，a2，a3中有两项为2，一项为m（m≥4）， 则a5＝3，a6＝1，与假设矛盾． ③若a1，a2，a3中有一项为2，两项为3， 则a5＝2，a6＝3，a7＝3，a8＝4，a9＝1，与假设矛盾． ④若a1，a2，a3中有一项为2，两项为k（k≥4）， 则a5＝2，a6＝3，a7＝1，矛盾． 综上，假设不成立，所以{an}中存在等于1的项． （Ⅲ）证明：假设∀t∈N*，{k∈N*|ak＝t}均为有限集合， 当t＝1时，max{k∈N*|ak＝1}＝k0， 则当n＞k0时，an≥2（*）， 令M＝max{ai|i∈{1，2，⋯，k0}}，下证当n＞k0时，an≤M． 否则假设，则与（*）矛盾， 所以当n＞k0时，2≤an≤M， 因为已知数列{an}是无穷正整数数列， 所以存在l⊂{2，3，…，M}，使得集合{n∈N*|ak＝l}为无穷集合，矛盾， 所以假设错误，所以存在t∈N*，使得集合{k∈N*|ak＝t}为无穷集合． 35．（2026•香坊区校级一模）如图，一动点P从点A出发，在正方形ABCD的各顶点上移动．每次移动时，动点P有的概率沿水平方向向左或右移动一次，有的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立．设动点P移动了2n（n∈N*）步之后，停在点A的概率为pn． （1）求p1，p2； （2）求{pn}的通项公式； （3）记点P的前2n次移动中，到达过点B的次数为X，求证：． 参考公式：若随机变量Xi服从两点分布且P（Xi＝1）＝pi，1≤i≤n，i∈N*，则． 【答案】（1）； （2），n∈N*； （3）设移动2n﹣1步之后，动点停留在点B的概率为qn， 则根据全概率公式，，n≥2， 又因为，所以，n∈N*， 设随机变量Xi满足：①当移动2i﹣1步之后，动点停留在点B，则Xi＝1； ②当移动2i﹣1步之后，动点不停留在点B，则Xi＝0； 显然Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝qi， 所以 ． 【解答】解：（1）设事件An表示第n次沿水平方向移动，事件Bn表示第n次沿竖直方向移动， ， ； 另一种计算p2的方法： 四次移动中，两次水平移动和两次竖直移动的概率为， 四次移动中，全部水平移动的概率为， 四次移动中，全部竖直移动的概率是， 相加得； （2）设连续移动两步，动点位置变化的概率为p，动点位置不变的概率为q， 则， 根据全概率公式，， 则， 因为，所以， 所以，n∈N*； 证明：（3）设移动2n﹣1步之后，动点停留在点B的概率为qn， 则根据全概率公式，，n≥2， 又因为，所以，n∈N*， 设随机变量Xi满足：①当移动2i﹣1步之后，动点停留在点B，则Xi＝1； ②当移动2i﹣1步之后，动点不停留在点B，则Xi＝0； 显然Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝qi， 所以 ． 36．（2026•南海区模拟）设椭圆的上焦点为Fn，过Fn且斜率为k的直线l与该椭圆交于An，Bn两点．当l与y轴垂直时，有||，其中O为坐标原点． （1）求该椭圆的离心率； （2）设点Mn（0，bn+1），且满足：对任意的斜率k，都有∠AnMnO＝∠BnMnO； （i）证明：； （ii）定义：若无穷数列{dn}是公比为q（0＜q＜1）的等比递减数列，则其所有项之和为S，其中d1为数列{dn}的首项．记△AnBnMn的面积为Sn，求数列的所有项和的最小值（结果用a1或b1表示）． 【答案】（1）； （2）（i）证明：由（1）可知，，，故，即bn＝cn． Fn（0，bn），椭圆方程为， 设直线l的方程，， 联立，消去y可得， 所以，， 由，可知， 则，即，即， 代入韦达定理，可得，于是（2bn﹣bn+1）＝0， 因为该式子对任意的斜率k都成立，所以bn+1＝2bn， 所以数列{bn}是公比为2的等比数列． 因为，所以， 于是；（ii）． 【解答】解：（1）由，可得． 设Fn（0，cn），当l与y轴垂直时，有，所以， 即，即， 即，化简得，因为0＜en＜1，所以； （2）（i）证明：由（1）可知，，，故，即bn＝cn． Fn（0，bn），椭圆方程为， 设直线l的方程，， 联立，消去y可得， 所以，， 由，可知， 则，即，即， 代入韦达定理，可得，于是（2bn﹣bn+1）＝0， 因为该式子对任意的斜率k都成立，所以bn+1＝2bn， 所以数列{bn}是公比为2的等比数列． 因为，所以， 于是； （ii）， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以的所有项和， 设，则k2＝t2﹣1，， 当且仅当t＝1，即k＝0的时候等号成立， 所以数列的所有项和S的最小值为． 37．（2026•大同一模）已知函数． （1）当时，求f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2） ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）①（，）； ②证明：由①可知，即， 所以， ， 要证，即证，即证， 由，得，即证， 由于x1＜x2，所以，即证，即证，即证， 令k＝x1﹣x2（k＜0），即证， 令，则， 所以m（k）在（﹣∞，0）上单调递增，所以，即， 所以不等式成立． 【解答】解：（1）当时，， ， 令f′（x）＝0，， 当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增， 当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减， 综上，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①， 由题意知x1，x2（x1＜x2）是方程（2a+1）e2x﹣2ex+2＝0的两个不同的根， 设t＝ex（t＞0），则方程（2a+1）t2﹣2t+2＝0有两个不同的正实数根t1，t2， 所以，解得， 即a的取值范围是（，）； ②证明：由①可知，即， 所以， ， 要证，即证，即证， 由，得，即证， 由于x1＜x2，所以，即证，即证，即证， 令k＝x1﹣x2（k＜0），即证， 令，则， 所以m（k）在（﹣∞，0）上单调递增，所以，即， 所以不等式成立． 38．（2026•贵阳模拟）已知函数，． （1）令h（x）＝xf（x），求h（x）在点（e﹣1，h（e﹣1））处的切线方程； （2）讨论g（x）在（0，1）上的单调性； （3）证明：（i）当x＞0时，； （ii）1＜g（x）≤2ln2． 【答案】（1）x﹣ey+1＝0； （2）g（x）在（0，1）单调递增； （3）证明：（i）令，则， 所以t（x）在（0，+∞）上单调递增，所以t（x）＞t（0）＝0，即当x＞0时t（x）＞0， 所以当x＞0时，； （ii）由（i）可知当x＞0时，，故， 由于，则，故， 由（2）可知g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故在（1，+∞）单调递减，即g（x）在（1，+∞）单调递减， 故g（x）≤g（1）＝2ln2，所以1＜g（x）≤2ln2． 【解答】解：（1）h（x）＝xf（x）＝ln（x+1），则，，h（e﹣1）＝1， 所以h（x）在点（e﹣1，h（e﹣1））处的切线方程为，即x﹣ey+1＝0； （2）g（x）＝f（， 则， 记， 故m'， 设F（，则， 当0＜x＜1时，F'（x）＜0，F（x）单调递减，所以F（x）＜F（0）＝0，即m'（x）＜0，所以g'（x）单调递减， 所以g'（x）＞g'（1）＝0，故g（x）在（0，1）单调递增； （3）证明：（i）令，则， 所以t（x）在（0，+∞）上单调递增，所以t（x）＞t（0）＝0，即当x＞0时t（x）＞0， 所以当x＞0时，； （ii）由（i）可知当x＞0时，，故， 由于，则，故， 由（2）可知g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故在（1，+∞）单调递减，即g（x）在（1，+∞）单调递减， 故g（x）≤g（1）＝2ln2，所以1＜g（x）≤2ln2． 39．（2026•金坛区校级模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣ax，其中a＞0． （Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若f（x）的最大值是alna﹣a，求a的值； （Ⅲ）设函数，若g（x）有两个极值点x1，x2，证明：． 【答案】（Ⅰ）x+y+1＝0； （Ⅱ）a＝1； （Ⅲ）证明见解析． 【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，则， 可得f（1）＝﹣2，f′（1）＝﹣1， 即切点坐标为（1，﹣2），切线斜率k＝﹣1， 所以切线方程为y﹣（﹣2）＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0； 解：（Ⅱ）f（x）＝lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），而， 当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以f（x）的最大值为， 故alna﹣a＝﹣1﹣lna，整理得到，其中a＞0， 设，则， 故h（a）为（0，+∞）上的减函数，而h（1）＝0， 故h（a）＝0的唯一解为a＝1，故的解为a＝1， 综上所述，a＝1； 证明：（Ⅲ）由题意得：函数的定义域为（0，+∞），且a＞0， ，令m（x）＝﹣ax2+x﹣a， 因为函数g（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程m（x）＝0的两个根， 得Δ＞0，即，且， ， 令，则， 当时，n′（x）＜0，则n（x）在区间上单调递减， 从面， 故． 40．（2024•信阳模拟）已知函数y＝f（x），其中f（x），k∈R．若点A在函数y＝f（x）的图像上，且经过点A的切线与函数y＝f（x）图像的另一个交点为点B，则称点B为点A的一个“上位点”．现有函数y＝f（x）图像上的点列M1，M2，…，Mn，…，使得对任意正整数n，点Mn都是点Mn+1的一个“上位点”． （1）若k＝0，请判断原点O是否存在“上位点”，并说明理由； （2）若点M1的坐标为（3k，0），请分别求出点M2、M3的坐标； （3）若M1的坐标为（3，0），记点Mn到直线y＝m的距离为dn．问是否存在实数m和正整数T，使得无穷数列dT、dT+1、…、dT+n、…严格减？若存在，求出实数m的所有可能值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不存在，理由见解析． （2）M2（0，0），M3． （3）． 【解答】解：（1）k＝0时，，所以f'（x）＝x2，f'（0）＝0， 所以函数过点A（0，0）的切线方程为y＝0， 其与函数图像无其他交点，所以原点O不存在“上位点”． （2）设点Mn的横坐标为tn，n为正整数， 则函数y＝f（x）图像在点Mn+1处的切线方程为y﹣f（tn+1）＝f'（tn+1）（x﹣tn+1）， 代入其“上位点”Mn（tn，f（tn）），得f（tn）﹣f（tn+1）＝f'（tn+1）（tn﹣tn+1）， 化简得， 即得2tn+1+tn＝3k（*）； 又点M1的坐标为（3k，0）， 所以点M2的坐标为（0，0），点M3的坐标为． （若没有写出递推公式，直接求出M2的坐标给（4分），M3的坐标给2分） （3）将（3，0）代入y＝f（x），得9﹣9k＝0，解得k＝1． 由（*）得，2tn+1+tn＝3，即， 所以，即dn＝|f（tn）﹣m|． 令un＝|tn﹣1|，则严格单调递减． 因为（3x﹣x3）′＝3﹣3x2，所以函数y＝3x﹣x3在区间（0，1）上严格单调递增． 当时，，所以当n≥3时，{dn}严格单调递减，符合要求； 当时，． 因为n≥3时，， 所以当时，， 从而当时，{dn}严格单调递增，不存在正整数T，使得无穷数列dT，dT+1，…，dT+n，…严格单调递减． 综上，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $