专题16 三角函数与解三角形解答题综合（六大考点，65题）（全国通用）-【好题汇编】十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编

专题16 三角函数与解三角形解答题综合 （六大考点，65题） 考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势 考点 1: 求面积的值及范围或最值 2024 年北京卷：求三角形面积；2023 年全国乙卷、2023 年全国甲卷：求三角形面积；2022 年浙江卷、2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：求三角形面积；2022 年上海卷：求五边形面积最大值；2021 年新高考全国 Ⅱ 卷：求三角形面积；2020 年全国 I 卷、2020 年北京卷：求三角形面积；2019 年全国 III 卷：求三角形面积取值范围；2017 年上海卷、2017 年北京卷、2017 年全国 III 卷：求三角形面积；2016 年全国 I 卷：结合面积求三角形周长 1. 面积计算常与正余弦定理、三角恒等变换结合，涉及公式直接应用或变形。2. 实际问题及几何综合场景中面积求解是重点，求面积范围或最值时多与不等式结合。 考点 2: 求边长、周长的值及范围或最值 2024 年新课标 Ⅱ 卷：求三角形周长；2024 年新课标 Ⅰ 卷：求边长；2023 年新课标 Ⅱ 卷：求边长；2022 年全国乙卷：求三角形周长；2022 年北京卷：求三角形周长；2020 年全国 II 卷：求三角形周长最大值；2020 年山东卷：判断三角形是否存在并求边长；2019 年北京卷：求边长及三角函数值；2019 年江苏卷：求边长及三角函数值；2018 年全国 I 卷：求边长；2017 年全国 II 卷：结合边长关系求三角函数值；2017 年全国 I 卷：求三角形周长；2016 年全国 I 卷：求三角形周长；2016 年山东卷：求边长关系及最值 1. 边长、周长计算常与正余弦定理结合，涉及边角互化。2. 求范围或最值时多与不等式、三角函数性质结合，实际应用场景中边长求解是重点。 考点 3: 求角和三角函数的值及范围或最值 2025 年天津卷：求角及三角函数值；2024 年天津卷：求三角函数值；2023 年天津卷：求三角函数值；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：求角及三角函数最值；2022 年天津卷：求三角函数值；2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：求角及三角函数值；2021 年天津卷：求三角函数值；2020 年浙江卷：求角及三角函数范围；2020 年江苏卷：求三角函数值；2020 年天津卷：求三角函数值；2019 年天津卷：求三角函数值；2019 年全国 I 卷：求角及三角函数值；2018 年天津卷：求角及三角函数值；2018 年浙江卷：求三角函数值；2018 年江苏卷：求三角函数值；2017 年天津卷：求三角函数值；2017 年天津卷：求三角函数值；2016 年天津卷：求三角函数值；2016 年浙江卷：求角及三角函数值；2016 年山东卷：求角及三角函数值 1. 角和三角函数值计算常与正余弦定理、三角恒等变换结合，涉及诱导公式、二倍角公式等。2. 求范围或最值时多与三角函数图象和性质结合，注重角之间的关系转化。 考点 4: 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段的长 2025 年北京卷：求三角形边上的高；2023 年新课标 Ⅰ 卷：求 AB 边上的高；2021 年北京卷：求 BC 边上中线的长；2018 年北京卷：求 AC 边上的高 1. 高、中线、角平分线等线段长度计算常与正余弦定理结合，通过构造直角三角形或利用面积公式转化求解。2. 注重在几何图形中利用边角关系进行计算。 考点 5: 三角形中的证明问题 2022 年全国乙卷：证明边的关系；2020 年全国 II 卷：证明三角形为直角三角形；2016 年浙江卷：证明角的关系；2016 年四川卷：证明三角函数关系；2016 年四川卷：证明三角函数关系 1. 证明问题多与正余弦定理、三角恒等变换结合，通过边角互化、式子变形进行推导。2. 注重逻辑推理和公式的灵活应用。 考点 6: 三角函数与三角恒等变换综合 2025 年全国二卷：求函数值域和单调区间；2023 年北京卷：求函数参数及性质；2023 年全国乙卷：涉及极坐标与三角函数综合；2020 年山东卷：求函数参数及最值；2021 年浙江卷：求函数周期和最值；2018 年北京卷：求函数周期和参数最小值；2017 年山东卷：求函数参数和最值；2019 年浙江卷：求函数参数和值域；2017 年浙江卷：求函数值和周期、单调区间；2017 年北京卷：求函数周期和证明不等式 1. 常与三角函数图象和性质结合，涉及函数解析式化简、周期、最值、单调区间等。2. 注重三角恒等变换公式的综合应用，包括辅助角公式、二倍角公式等。 考点01：求面积的值及范围或最值 1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 5．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称； (1)若点P与点C重合，求的大小； (2)求五边形面积S的最大值， 6．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 7．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 8．（2020·全国I卷·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 9．（2020·北京·高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ）和的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 10．（2019·全国III卷·高考真题）的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 11．（2017·上海·高考真题）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 12．（2017·北京·高考真题）在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 13．（2017·全国III卷·高考真题）的内角的对边分别为已知. （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且,求的面积. 考点02：求边长、周长的值及范围或最值 14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 15．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 16．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 17．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 18．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 19．（2020·全国II卷·高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 20．（2020·山东·高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 21．（2019·北京·高考真题）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B–C）的值． 22．（2019·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值； （2）若，求的值． 23．（2018·全国I卷·高考真题）在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 24．（2017·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 25．（2017·全国I卷·高考真题）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 26．（2016·全国I卷·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求的周长. 考点03：求角和三角函数的值及范围或最值 27．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 28．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 29．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 30．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 31．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 32．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 33．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 34．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 35．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 36．（2020·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 37．（2019·天津·高考真题） 在中，内角所对的边分别为.已知，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 38．（2019·全国I卷·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 39．（2018·天津·高考真题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B的大小； （2）设a=2，c=3，求b和的值. 40．（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 41．（2018·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 42．（2017·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为.已知，. （I）求的值； （II）求的值. 43．（2017·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为.已知，，. （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值. 44．（2016·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知. （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若，求sinC的值. 45．（2016·浙江·高考真题）在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角的大小． 46．（2016·山东·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值． 考点04：求三角形的高、中线、角平分线及其他线段的长 47．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 48．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 49．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 50．（2018·北京·高考真题）在中，． （1）求； （2）求边上的高． 考点05：三角形中的证明问题 51．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 52．（2020·全国II卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 53．（2016·浙江·高考真题）在ABC中，内角所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B. （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若cos B=，求cos C的值． 54．（2016·四川·高考真题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若，求tanB． 55．（2016·四川·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，求. 考点06：三角函数与三角恒等变换综合 56．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 57．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 58．（2023·全国乙卷·高考真题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）. (1)写出的直角坐标方程； (2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围. 59．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 60．（2021·浙江·高考真题）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 61．（2018·北京·高考真题）已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 62．（2017·山东·高考真题）设函数，其中.已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值. 63．（2019·浙江·高考真题）设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 64．（2017·浙江·高考真题）已知函数 （I）求的值 （II）求的最小正周期及单调递增区间. 65．（2017·北京·高考真题）已知函数. （I）求f(x)的最小正周期； （II）求证：当时，． 试卷第66页，共66页 试卷第65页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 三角函数与解三角形解答题综合 （六大考点，65题） 考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势 考点 1: 求面积的值及范围或最值 2024 年北京卷：求三角形面积；2023 年全国乙卷、2023 年全国甲卷：求三角形面积；2022 年浙江卷、2022 年新高考全国 Ⅱ 卷：求三角形面积；2022 年上海卷：求五边形面积最大值；2021 年新高考全国 Ⅱ 卷：求三角形面积；2020 年全国 I 卷、2020 年北京卷：求三角形面积；2019 年全国 III 卷：求三角形面积取值范围；2017 年上海卷、2017 年北京卷、2017 年全国 III 卷：求三角形面积；2016 年全国 I 卷：结合面积求三角形周长 1. 面积计算常与正余弦定理、三角恒等变换结合，涉及公式直接应用或变形。2. 实际问题及几何综合场景中面积求解是重点，求面积范围或最值时多与不等式结合。 考点 2: 求边长、周长的值及范围或最值 2024 年新课标 Ⅱ 卷：求三角形周长；2024 年新课标 Ⅰ 卷：求边长；2023 年新课标 Ⅱ 卷：求边长；2022 年全国乙卷：求三角形周长；2022 年北京卷：求三角形周长；2020 年全国 II 卷：求三角形周长最大值；2020 年山东卷：判断三角形是否存在并求边长；2019 年北京卷：求边长及三角函数值；2019 年江苏卷：求边长及三角函数值；2018 年全国 I 卷：求边长；2017 年全国 II 卷：结合边长关系求三角函数值；2017 年全国 I 卷：求三角形周长；2016 年全国 I 卷：求三角形周长；2016 年山东卷：求边长关系及最值 1. 边长、周长计算常与正余弦定理结合，涉及边角互化。2. 求范围或最值时多与不等式、三角函数性质结合，实际应用场景中边长求解是重点。 考点 3: 求角和三角函数的值及范围或最值 2025 年天津卷：求角及三角函数值；2024 年天津卷：求三角函数值；2023 年天津卷：求三角函数值；2022 年新高考全国 Ⅰ 卷：求角及三角函数最值；2022 年天津卷：求三角函数值；2021 年新高考全国 Ⅰ 卷：求角及三角函数值；2021 年天津卷：求三角函数值；2020 年浙江卷：求角及三角函数范围；2020 年江苏卷：求三角函数值；2020 年天津卷：求三角函数值；2019 年天津卷：求三角函数值；2019 年全国 I 卷：求角及三角函数值；2018 年天津卷：求角及三角函数值；2018 年浙江卷：求三角函数值；2018 年江苏卷：求三角函数值；2017 年天津卷：求三角函数值；2017 年天津卷：求三角函数值；2016 年天津卷：求三角函数值；2016 年浙江卷：求角及三角函数值；2016 年山东卷：求角及三角函数值 1. 角和三角函数值计算常与正余弦定理、三角恒等变换结合，涉及诱导公式、二倍角公式等。2. 求范围或最值时多与三角函数图象和性质结合，注重角之间的关系转化。 考点 4: 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段的长 2025 年北京卷：求三角形边上的高；2023 年新课标 Ⅰ 卷：求 AB 边上的高；2021 年北京卷：求 BC 边上中线的长；2018 年北京卷：求 AC 边上的高 1. 高、中线、角平分线等线段长度计算常与正余弦定理结合，通过构造直角三角形或利用面积公式转化求解。2. 注重在几何图形中利用边角关系进行计算。 考点 5: 三角形中的证明问题 2022 年全国乙卷：证明边的关系；2020 年全国 II 卷：证明三角形为直角三角形；2016 年浙江卷：证明角的关系；2016 年四川卷：证明三角函数关系；2016 年四川卷：证明三角函数关系 1. 证明问题多与正余弦定理、三角恒等变换结合，通过边角互化、式子变形进行推导。2. 注重逻辑推理和公式的灵活应用。 考点 6: 三角函数与三角恒等变换综合 2025 年全国二卷：求函数值域和单调区间；2023 年北京卷：求函数参数及性质；2023 年全国乙卷：涉及极坐标与三角函数综合；2020 年山东卷：求函数参数及最值；2021 年浙江卷：求函数周期和最值；2018 年北京卷：求函数周期和参数最小值；2017 年山东卷：求函数参数和最值；2019 年浙江卷：求函数参数和值域；2017 年浙江卷：求函数值和周期、单调区间；2017 年北京卷：求函数周期和证明不等式 1. 常与三角函数图象和性质结合，涉及函数解析式化简、周期、最值、单调区间等。2. 注重三角恒等变换公式的综合应用，包括辅助角公式、二倍角公式等。 考点01：求面积的值及范围或最值 1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 5．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称； (1)若点P与点C重合，求的大小； (2)求五边形面积S的最大值， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得，则，设，则，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）解：若点P与点C重合，连接， ， 在中，， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）解：连接， 因为曲线CMD上任一点到O距离相等， 所以， 因为P，Q关于OM对称， 所以， 设，则， 则 ，其中， 当时，取得最大值， 所以五边形面积S的最大值为. 6．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． 【详解】（1）由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． （2）因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 7．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 8．（2020·全国I卷·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论； （2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得， 的面积； （2）[方法一]：多角换一角 ， ， ， . [方法二]：正弦角化边 由正弦定理及得．故． 由，得． 又由余弦定理得 ，所以，解得． 所以． 【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角. 9．（2020·北京·高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ）和的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ； 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, . 【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果； 选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ） （Ⅱ） 由正弦定理得： 选择条件②（Ⅰ） 由正弦定理得： （Ⅱ） 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 10．（2019·全国III卷·高考真题）的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】(1) [方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2) [方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则 ． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积． 因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是．      【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法； 方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围； 方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用. 11．（2017·上海·高考真题）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，，令求解； （2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解. 【详解】（1）解：，， 令，解得， 所以其单调增区间为. （2）由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 12．（2017·北京·高考真题）在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理得. （2）因为，所以， 由余弦定理得， 解得或（舍）， 所以的面积. 13．（2017·全国III卷·高考真题）的内角的对边分别为已知. （1）求角和边长； （2）设为边上一点，且,求的面积. 【答案】（1），；（2）. 【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出 从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果. 试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故. (2)，，，，，. 考点02：求边长、周长的值及范围或最值 14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 15．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 16．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 17．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 18．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 19．（2020·全国II卷·高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得： ， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以 ，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得 ，易知当时，， 所以周长的最大值为． 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题； 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 20．（2020·山东·高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由可得：，不妨设， 则：，即. 若选择条件①： 据此可得：，，此时. 若选择条件②： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 若选择条件③： 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由，得． 由，得，即， 得．由于，得．所以． 若选择条件①： 由，得，得． 解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件②： 由，得，解得，则． 由，得，得． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件③： 由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解； 方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出． 21．（2019·北京·高考真题）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B–C）的值． 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【分析】(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值； (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值. 【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：. (Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：， 结合正弦定理可得：， 很明显角C为锐角，故， 故. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22．（2019·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值. 【详解】（1）因为， 由余弦定理，得，即. 所以. （2）因为， 由正弦定理，得，所以. 从而，即，故. 因为，所以，从而. 因此. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力. 23．（2018·全国I卷·高考真题）在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得； （2）方法一：根据第一问的结论可以求得，在中，根据余弦定理即可求出． 【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系 在中，由正弦定理得，代入数值并解得．又因为，所以，即为锐角，所以． ［方法2］：余弦定理 在中，，即，解得：，所以， ． ［方法3］：【最优解】利用平面几何知识 如图，过B点作，垂足为E，，垂足为F．在中，因为，，所以．在中，因为，则． 所以． ［方法4］：坐标法 以D为坐标原点，为x轴，为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）． 设，则．因为，所以． 从而，又是锐角，所以，． （2）［方法1］：【通性通法】余弦定理 在，由（1）得，， ，所以． ［方法2］：【最优解】利用平面几何知识 作，垂足为F，易求，，，由勾股定理得． 【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法； 方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法； 方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算． 方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现． （2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法． 方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算． 24．（2017·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 【答案】（1）；（2）2． 【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出. 试题解析：（1），∴，∵， ∴，∴，∴； （2）由（1）可知， ∵，∴， ∴， ∴． 25．（2017·全国I卷·高考真题）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为. 试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 26．（2016·全国I卷·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求的周长. 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 试题解析：（1）由已知可得 （2） 又 ， 的周长为 考点：正余弦定理解三角形. 考点03：求角和三角函数的值及范围或最值 27．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 28．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 29．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 30．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 31．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 32．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 33．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 【答案】（I）；（II）；（III） 【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以 . 34．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 35．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法 由余弦定理得，所以. 由正弦定理得. [方法二]【最优解】：几何法 过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以． 在中，，因此． （2）[方法一]：两角和的正弦公式法 由于，，所以. 由于，所以，所以. 所以 . 由于，所以. 所以. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法   在（1）的方法二的图中，由，可得，从而． 又由（1）可得，所以． [方法三]：几何法+正弦定理法   在（1）的方法二中可得． 在中，， 所以． 在中，由正弦定理可得， 由此可得． [方法四]：构造直角三角形法   如图，作，垂足为E，作，垂足为点G． 在（1）的方法二中可得． 由，可得． 在中，． 由（1）知，所以在中，，从而． 在中，． 所以． 【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 36．（2020·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案； （Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得 ， 又因为，所以； （Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得 ； （Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ， 进而， 所以 . 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 37．（2019·天津·高考真题） 在中，内角所对的边分别为.已知，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值. 【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得， 又由，得，即. 又因为，得到，. 由余弦定理可得 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得， 从而，. 故. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 38．（2019·全国I卷·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果； （2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得． 【详解】（1）， 即：， 由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦 由（1）知，，所以由， 得， 整理得，即． 又，所以，即， 则． [方法二]正弦定理+方程思想 由，得 ， 代入， 得， 整理得，则． 由，得， 所以． [方法三]余弦定理 令．由，得． 将代入中，可得， 即，解得或（舍去）． 所以， 从而． [方法四]摄影定理 因为，所以， 由射影定理得， 所以． 【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值； 方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值； 方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 39．（2018·天津·高考真题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B的大小； （2）设a=2，c=3，求b和的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，. 【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=． （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得， 又由，得， 即，可得． 又因为，可得B=． （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=， 有，故b=． 由，可得．因为a<c，故． 因此， 所以， 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 40．（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 . 【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得， 所以. （Ⅱ）由角的终边过点得， 由得. 由得， 所以或. 点睛：三角函数求值的两种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 41．（2018·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 42．（2017·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为.已知，. （I）求的值； （II）求的值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出， 进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得. 由，及余弦定理，得. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得. 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是， ，故 . 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 43．（2017·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为.已知，，. （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值. 【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）. 【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出， 进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以. 由正弦定理,得. 所以，的值为，的值为. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以， .故. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 44．（2016·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知. （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若，求sinC的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解. 试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得； （Ⅱ）解：由，可得，则 . 【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 45．（2016·浙江·高考真题）在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【详解】试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果. 试题解析：（1）由正弦定理得，故，于是． 又，故，所以或，因此（舍去）或，所以． （2）由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，． 综上，或． 考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理. 46．（2016·山东·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值. 试题解析：（1）由题意知，， 化简得： 即，因为，所以， 从而，由正弦定理得. （2）由（1）知，，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理. 【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键. 考点04：求三角形的高、中线、角平分线及其他线段的长 47．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 48．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由 ， 由正弦定理，，可得， ， . 49．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1），则由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得， 与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得， 设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得， ， 则周长， 解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得，即， 则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为： . 50．（2018·北京·高考真题）在中，． （1）求； （2）求边上的高． 【答案】（1）∠A=；（2）AC边上的高为． 【分析】（1）方法一：先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得； （2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求，即可解得边上的高． 【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理 在中,∵.由正弦定理得      ［方法二］：余弦定理的应用 由余弦定理知．因为，代入上式可得或（舍）．所以，又，所以． （2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义 在△ABC中， ∵ =． 如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==， ∴AC边上的高为． ［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义 如图1，由（1）得，则． 作，垂足为E，则，故边上的高为． ［方法三］:等面积法 由（1）得，易求．如图1，作，易得，即．所以根据等积法有，即， 所以边上的高为． 【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出； 方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角； （2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出； 方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出； 方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 考点05：三角形中的证明问题 51．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． 【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 52．（2020·全国II卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出； （2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为，所以， 即， 解得，又， 所以； （2）因为，所以， 即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以， 故， 即是直角三角形． 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题． 53．（2016·浙江·高考真题）在ABC中，内角所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B. （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若cos B=，求cos C的值． 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（Ⅱ）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得． 【详解】（Ⅰ）由正弦定理得， 故， 于是， 又，故，所以或， 因此（舍去）或， 所以，. （Ⅱ）由，得，， 故，， . 54．（2016·四川·高考真题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若，求tanB． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4. 【详解】试题分析：本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，利用正弦定理，将边角进行转化，结合诱导公式进行证明；第（Ⅱ）问，利用余弦定理解出cos A=，再根据平方关系解出sin A，结合（Ⅰ）可解出tan B的值. 试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设， 则a=ksinA，b=ksin B，c=ksinC. 代入中，有 ，变形可得 sin A sin B="sin" Acos B+cosAsinB="sin" （A+B）. 在ABC中，由A+B+C=π，有sin （A+B）="sin" （π–C）="sin" C， 所以sin A sin B="sin" C. （Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有 . 所以sin A=. 由（Ⅰ），sin Asin B="sin" Acos B +cos Asin B， 所以sin B=cos B+sin B， 故tan B==4. 【考点】正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数的基本关系 【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形时，凡是遇到等式中有边又有角，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一种是化为代数式的变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个定理，否则难以得出结论． 55．（2016·四川·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，求. 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 【详解】试题分析：（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可 试题解析：（1）根据正弦定理，设===k（k>0）． 则a=ksinA，b=ksinB，c=ksin C． 代入+=中，有+=，变形可得 sin Asin B=sinAcos B+cos Asin B=sin（A+B）． 在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）="sin" C， 所以sin Asin B=sinC． （2）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有cos A==． 所以sin A==． 由（Ⅰ），sin Asin B="sin" Acos B+cos Asin B，所以sin B=cos B+sin B， 故tan B==4． 考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理 考点06：三角函数与三角恒等变换综合 56．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 57．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 58．（2023·全国乙卷·高考真题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）. (1)写出的直角坐标方程； (2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意的取值范围； （2）根据曲线的方程，结合图形通过平移直线分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】（1）因为，即，可得， 整理得，表示以为圆心，半径为1的圆， 又因为， 且，则，则， 故. （2）因为（为参数，）， 整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线过，则，解得； 若直线，即与相切，则，解得， 若直线与均没有公共点，则或， 即实数的取值范围.   【点睛】 59．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是. 【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可. （2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值. 【详解】（1）由表可知，则， 因为，，所以，解得，即， 因为函数图象过点，则，即， 所以，，解得，， 又因为，所以. （2）由（1）可知. 因为，所以， 因此，当时，即时，， 当时，即时，. 所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是. 60．（2021·浙江·高考真题）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 61．（2018·北京·高考真题）已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）. 【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）， 所以的最小正周期为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知. 因为，所以. 要使得在上的最大值为， 即在上的最大值为1. 所以，即. 所以的最小值为. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 62．（2017·山东·高考真题）设函数，其中.已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值. 【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ) . 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到 由题设知及可得. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 从而. 根据得到，进一步求最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为， 所以 由题设知， 所以，. 故，，又， 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以. 因为， 所以， 当， 即时，取得最小值. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 63．（2019·浙江·高考真题）设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值； (2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：， 函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为. (2)由函数的解析式可得： . 据此可得函数的值域为：. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 64．（2017·浙江·高考真题）已知函数 （I）求的值 （II）求的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，. 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值． （Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间． 【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x， ＝﹣cos2xsin2x， ＝﹣2， 则f（）＝﹣2sin（）＝2， （Ⅱ）因为． 所以的最小正周期是． 由正弦函数的性质得 ， 解得， 所以，的单调递增区间是． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解． 65．（2017·北京·高考真题）已知函数. （I）求f(x)的最小正周期； （II）求证：当时，． 【答案】（1）（2）见解析 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，最后根据公式求周期；（Ⅱ）先求的范围再求函数的最小值. 试题解析:（Ⅰ）. 所以的最小正周期. （Ⅱ）因为， 所以. 所以. 所以当时，. 【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值. 试卷第66页，共66页 试卷第65页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $$