精品解析：重庆市西街初中教共体 2026年 九年级“一诊”考试数学试题

西街初中教共体2026年(上)九年级“一诊”考试数学试题 (满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有理数3的绝对值是（　　） A. 3 B. C. D. 2. 为完成下列任务，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某市种植水蜜桃甜度和含水量 B. 调查某种灯泡的使用寿命 C. 在某市调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 D. 对全校所有学生通过问卷进行全面调查 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个数用科学记数法表示为，则这个数（ ） A. 39600 B. 396000 C. 0.00396 D. 0.0000396 5. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小一同学用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第①个图案中有5颗围棋子，第②个图案中有9颗围棋子，第③个图案中有13颗围棋子，第④个图案中有17颗围棋子，…，按此规律摆放下去，第⑧个图案中围棋子的个数是（ ） A. 29 B. 31 C. 33 D. 35 9. 如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为（ ） A 1 B. C. D. 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，，的直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 12. 现有三张完全相同的卡片，上面分别标有数字，，，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则两次都抽到的负数的概率是________． 13. 若为正整数，且满足，则_____． 14. 若实数、同时满足，则________． 15. 如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 16. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为，所以2541是“开心数”；又如，四位数6745，，所以6745不是“开心数”．则最大的“开心数”为___________；已知是“开心数”，将去掉个位数字后所得的三位数记为，记，若能够被9整除，则满足条件的最大值与最小值的和为___________． 三、解答题：(本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，①__________， ∴∠ABE=∠CDF ∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB ∴∠BAE=∠BAD，②___________， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴③_______________ ∴∠BAE=∠DCF 在△ABE与△CDF中 ∴△ABE≌△CDF（ASA） ∴BE=DF 19. 为进一步营造良好的通信科技人才成长环境，提升信息科技素养，培养科技创新后备人才，某学校开展了以“青少年通信科技创新大赛”为主题的科技系列活动，初赛采用标准试题线上答题．其中该校对七、八年级学生进行了初赛测试，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：63，72，76，82，82，86，86，86，97，100 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：84，86，82，87，87． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 84 a 众数 b 87 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的初赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有480人、八年级有560人参加了此次初赛测试，请估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于90分的共有多少人． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． （1）求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ （2）在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 22. 如图，在中，，，，动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接，．点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒（），过点N作于点E．的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，当时，请直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 25. 在中，，，点D在的内部，连接，，点M为线段的中点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，将绕点M逆时针旋转至，连接，求证：； （3）如图3，延长交于点N，点P为延长线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G，连接．若，当最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西街初中教共体2026年(上)九年级“一诊”考试数学试题 (满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有理数3的绝对值是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：有理数3绝对值是， 故选：A． 2. 为完成下列任务，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某市种植水蜜桃的甜度和含水量 B. 调查某种灯泡的使用寿命 C. 在某市调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 D. 对全校所有学生通过问卷进行全面调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是判断全面调查与抽样调查，解题关键是熟练掌握全面调查与抽样调查的区别． 根据全面调查与抽样调查的区别结合选项进行判断即可． 【详解】解：选项，了解某市种植水蜜桃的甜度和含水量，采用全面调查影响销售，适合抽样调查，不符合题意，选项错误； 选项，调查某种灯泡的使用寿命，采用全面调查影响销售，适合抽样调查，不符合题意，选项错误； 选项，在某市调查中央电视台春节联欢晚会的收视率，范围较大，适合抽样调查，不符合题意，选项错误； 选项，对全校所有学生通过问卷进行全面调查，适合全面调查，符合题意，选项正确． 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相除，合并同类项，积的乘方，幂的乘方．根据同底数幂相除，合并同类项，积的乘方，幂的乘方法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ） A. 39600 B. 396000 C. 0.00396 D. 0.0000396 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； A.，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意； B. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； C. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； D. ，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质可得，由于，则． 【详解】解：根据题意得，四边形是的内接四边形，， 则 由于 则 故选：D． 7. 某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，第二次降价后的售价是原来的，列出方程，即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， ∵商品原价为元，经连续两次降价后售价为元， ∴方程为：， 故选：B． 8. 小一同学用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第①个图案中有5颗围棋子，第②个图案中有9颗围棋子，第③个图案中有13颗围棋子，第④个图案中有17颗围棋子，…，按此规律摆放下去，第⑧个图案中围棋子的个数是（ ） A. 29 B. 31 C. 33 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形中棋子的个数，发现后一个图形比前一个图形多4个棋子，据此发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中，棋子的数量为； 第2个图案中，棋子的数量为； 第3个图案中，棋子的数量为； 所以第个图案中，棋子的数量为个． 当时， （个， 即第8个图案中，棋子的数量为33个． 故选：C． 9. 如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：过E作于N，过E作于G，易证四边形是正方形，可得，；再证明可得，进而得到，然后证明可得，即；根据三角形中位线的性质可得，即，运用勾股定理可得，最后代入求比值即可． 【详解】解：如图：过E作于N，过E作于G， ∵正方形， ∴平分， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的定义、系数绝对值和的性质以及二次函数与x轴交点的条件． 对于说法①，考虑三项式时n的最小值及系数绝对值的最小值；对于说法②，枚举时所有可能的整式A；对于说法③，在，的条件下，枚举所有二次函数并与判别式条件结合． 【详解】解：说法①， 整式为三项式， 当三项式的系数绝对值为1，且最小时，最小， 即，且，，， ，说法①正确； 说法②， ，，，n为自然数， 分情况讨论：（1）当时，，， ，符合条件的有1个； （2）当时，，； （i）时，，， 或，符合条件的有2个； （ii）时，，， ，符合条件的有1个； （3）当时，，， ，，，，，， ，符合条件的有1个； （4）当时，，，与说法②矛盾，没有符合条件的情况； 综上分析，符合条件的A共有个，说法②正确； 说法③， 当，时，，即，， 二次函数与x轴有交点，即， 分情况讨论：（1）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，， 当，时，，符合条件的有2个； （iii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （2）当时，， （i），时，，，， 当时，，符合条件的有1个； （ii），时，，，，符合条件的有2个； 当时，符合条件的共个； （3）当时，，，函数为与x轴交于原点，符合条件的有1个； 综上分析，符合条件的A共有个，说法③正确； 故选：D． 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，，的直角顶点在直线上，若，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．如图，根据平角的性质可得即可求得，再由平行线的性质可得即可求解． 【详解】解：如图， 由题意，得， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 现有三张完全相同的卡片，上面分别标有数字，，，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则两次都抽到的负数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都抽到的负数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次都抽到的负数的只有1种情况， ∴两次都抽到的负数的概率是：． 故答案为． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 若为正整数，且满足，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简式子，再估算化简后式子的取值范围，进而确定的值． 【详解】解：， 因为， 所以， 即， ， 即， 所以． 14. 若实数、同时满足，则________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，负整数指数幂，根据已知得，，即可得、的取值范围，由①，②，可得关于的方程，进而可解得，，代入表达式计算即可． 【详解】解：∵实数、同时满足①， ∴，， ∴，， ∴由得，②， ②①得， 当时，不成立， ∴， ∴， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴． 故答案为：． 15. 如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M．证明是垂直平分线，得到，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理即可求出．根据圆内接四边形和平行四边形证明，，得到，．设，根据勾股定理得，求出．证明四边形为矩形，得到，．．即可求出． 【详解】解：如图，连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M． ∵点A为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴点都在垂直平分线上， ∴是垂直平分线， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， 设， 在中，根据勾股定理得， 即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴在中，． 【点睛】本题为与圆有关综合题，考查了垂径定理，圆内接四边形性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的判定等知识，综合性强，难度较大，根据题意正确添加辅助线是解题关键． 16. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且满足十位和个位数字的和的平方等于由千位和百位数字组成的两位数，则称这个四位数为“开心数”，例如：四位数2541，因为，所以2541是“开心数”；又如，四位数6745，，所以6745不是“开心数”．则最大的“开心数”为___________；已知是“开心数”，将去掉个位数字后所得的三位数记为，记，若能够被9整除，则满足条件的最大值与最小值的和为___________． 【答案】 ①. 8172 ②. 0 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，分式化简，解题的关键是理解新定义．根据“开心数”的定义，即四位数满足十位与个位数字和的平方等于千位与百位数字组成的两位数，且各位数字互不相等且均不为零，首先寻找最大的“开心数”，需千位数字尽可能大，且满足条件的平方数；通过化简的表达式，并利用整除条件确定的值，进而计算的所有可能值，求其最大值与最小值的和即可． 【详解】解：设四位数，则“开心数”满足，且a，b，c，d互不相等且均不零， ∵为两位数， ∴， 要使得M最大，则需千位数字a最大， ∴a最大可能值为8，此时，故， 此时， ∵数字互不相等， ∴c和d不能为8或1， 可能组合中，，时十位数字最大， 故，且数字8，1，7，2互不相等，满足条件，为最大“开心数”； 由定义，，代入得： ， 根据题意得：， ∴ ， 设， ∵， ∴， 则， ∵能够被9整除， ∴能被9整除， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 当时，，故，，，且数字互不相等， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，，故，，，且数字互不相等， ∴或或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴可能值为1，，，，，，，， ∴最大值为1，最小值为， 最大值与最小值的和为． 故答案为：8172；0． 三、解答题：(本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而可得出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为 ∴原不等式组的所有整数解是． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，①__________， ∴∠ABE=∠CDF ∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB ∴∠BAE=∠BAD，②___________， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴③_______________ ∴∠BAE=∠DCF 在△ABE与△CDF中 ∴△ABE≌△CDF（ASA） ∴BE=DF 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求； （2）根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，根据角平分线得，，根据平行四边形的性质得，即∠BAE=∠DCF，根据ASA即可得△ABE≌△CDF，即BE=DF． 【小问1详解】 解：如图，在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求． 【小问2详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，， ∴∠ABE=∠CDF， ∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB， ∴，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠BAE=∠DCF， 在△ABE与△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE=DF， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点． 19. 为进一步营造良好的通信科技人才成长环境，提升信息科技素养，培养科技创新后备人才，某学校开展了以“青少年通信科技创新大赛”为主题的科技系列活动，初赛采用标准试题线上答题．其中该校对七、八年级学生进行了初赛测试，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：63，72，76，82，82，86，86，86，97，100 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：84，86，82，87，87． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 84 a 众数 b 87 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生的初赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有480人、八年级有560人参加了此次初赛测试，请估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于90分的共有多少人． 【答案】（1）86.5，86，30 （2）八年级学生的初赛成绩更好，理由见解析 （3）264 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）先求七年级成绩众数，再分别求出八年级各个等级的人数，即可求出结论； （2）根据中位数或众数都可判断八年级的学生的初赛成绩更好； （3）根据样本估计总体，计算初赛测试成绩不低于90分的七、八年级学生所占百分比即可求出结论． 【小问1详解】 解：八年级抽取的学生成绩， 在组的人数为：（人）， 在组的人数为：（人）， 在组的人数为：（人）， ∴，解得：； 八年级抽取的学生成绩的中位数就是排序后第5和第6个成绩的平均数，它们分别是86和87， ∴八年级抽取的学生成绩的中位数为：（分）； 七年级抽取的学生成绩中，86分出现3次，次数最多， ∴七年级抽取的学生成绩的众数是（分）， 故答案为：86.5，86，30； 【小问2详解】 解：八年级学生的初赛成绩更好，理由是：两个年级的平均数都是83分，但八年级初赛成绩的中位数86.5分大于七年级初赛成绩的中位数84分；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：（人） 答：估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于90分的共有264人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算是解题关键． 先化简原式，再计算的值，最后代入求值． 【详解】解：原式 = =， = = =， 将代入原式，得原式． 21. 某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． （1）求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ （2）在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】（1）甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套 （2）甲车间每天生产套“穿楼积木” 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套，结合题意列式求解即可； （2）设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套， ∴， 解得，， ∴（套）， ∴甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套； 【小问2详解】 解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴甲车间每天生产套“穿楼积木”． 22. 如图，在中，，，，动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接，．点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒（），过点N作于点E．的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，当时，请直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）；； （2）见解析，性质：当时，随的x增大而增大，当时，随x的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，当点M在C→A上运动时，由相似三角形的性质，即边长成比例，求解的高；当点M运动到上时，可得，即，根据三角形面积公式表示即可；先求出的周长，再根据相似三角形的性质表示出的周长即可求解； （2）先列表，再描点画函数图象即可，再根据一次函数的性质，观察增减性可得到其一条性质； （3）根据一次函数与一元一次不等式的关系观察图象找到函数的图象在函数的图象的上方的x的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， 由勾股定理可得，， ∵动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 当点M在C→A上运动时，即时， ∴， 过点M作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点M在C→A→B上运动，即点M运动到上时，即时， 连接，如图， ∴，即， ∴； ∴； ∵，，， ∴的周长为， ∵点N以每秒个单位长度速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴的周长为， 的周长与的周长之比为， 即； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 列表如下： 1 5 7 6 3 10 2 函数、图象如图， 性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小． 【小问3详解】 解：根据图象可知，若， 则表示函数的图象在函数的图象的上方的x的取值范围， ∴由图象可得，x的取值范围为． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质并正确观察图象是解决本题的关键． 23. 某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 【答案】（1） （2）1.6千米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过B作于点E，则，解求出，即可解答； （2）由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，则令其距离恰好为1千米进行计算，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，设，则，利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【小问1详解】 解：由题可知，千米，，， 则中，， ∴，千米， 如图，过B作于点E，则， 在中，（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米； 小问2详解】 解：由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄， 如图，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，则， 设， ∵无人机的速度是热气球速度的3倍 ∴， ∵B在A的正东方向，D在C的正西方向，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， 即 解得， ∵， ∴（千米）； 答：热气球飞离B处1.6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 【答案】（1） （2）， （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据以及抛物线的对称轴是直线，再建立方程组求解即可． （2）如图，连接，过作轴交于，当最大时，最大，求解直线为：，设，则，可得当时，的面积最大，此时最大，，求解，如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点，可得当三点共线时，，此时最小，最小，再进一步求解即可． （3）求解新抛物线为，结合，如图，在轴上取，作直线交新抛物线于，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于，此时，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． 【小问2详解】 解：如图，连接，过作轴交于， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴，而， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 当三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：． 【小问3详解】 解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向上平移3个单位，再向右平移1个单位为： ，即， ∵， ∴， 如图，在轴上取，作直线交新抛物线于， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， 作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，线段最值问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 25. 在中，，，点D在的内部，连接，，点M为线段的中点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，将绕点M逆时针旋转至，连接，求证：； （3）如图3，延长交于点N，点P为延长线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G，连接．若，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意设，则，利用勾股定理表示出，从而得到a的值，进而求得，然后利用证明，即可解答； （2）延长至点F，使得，连接，得到，求得，证明，得到，，然后证明，得到，，进而得到，即可根据等腰直角三角形的性质即可证的结论； （3）过点B作，过点C作于点Q，以点Q为圆心，为半径画圆，当点D在劣弧上时，，得到点D的轨迹，然后取的中点O，连接，，得到，从而得到点N的轨迹，可知当且仅当三点共线时，取得最小值，接着过点M作于点H，过点D作于点K，利用勾股定理和，求得，再利用相似三角形和全等三角形求得和，即可解答 【小问1详解】 解：∵，， ∴设，则， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴， 在中，， ∴， 如图1， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长至点F，使得，连接， ∵将绕点M逆时针旋转至， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点B作，过点C作于点Q， 则， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， 以点Q为圆心，为半径画圆，当点D在劣弧上时， 此时， ∴点D在以Q为圆心，为半径的圆的劣弧上运动， 如上图所示，取的中点O，连接，， 则， ∵点M为上的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点M的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的一段弧， 当且仅当三点共线时，取得最小值， 如下图所示，过点M作于点H，过点D作于点K， 此时， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G， ∴，，， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等，正确地作出辅助线，得到点N的轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $