精品解析：山西省运城市运城慧翔学校等校2025-2026学年第二学期阶段测试卷(一)八年级数学试卷

2025-2026学年第二学期月考测试卷（一） 八年级数学试卷（北师） 时间：90分钟 满分：120分 考试范围：第一章~第二章第3节 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为等腰三角形的两个底角相等， 又因为顶角是40°， 所以其底角为=70°． 故选：D． 2. 下列实数中，不是x+4≥2的解的是（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 0 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，将不等式左边的常数项1改变符号以后移到右边，再合并同类项，解出x的解集，即可求解． 【详解】解：∵x+4≥2， ∴x≥﹣2． ∴﹣2、0、3.5是不等式的解， ﹣3不是不等式的解． 故选：A． 【点睛】题目主要考查解不等式确定不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 3. 已知a<b，则下列关系式不成立的是（ ） A. 4a<4b B. 4a4b C. a+4<b+4 D. a－4<b－4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】∵a<b，∴-4a＞-4b 故B不成立，选B. 【点睛】此题主要考查不等式，解题的关键是熟知不等式的性质. 4. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，，，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故A选项不符合题意； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故B选项不符合题意； C、两个锐角分别相等的两个直角三角形，不能得出这两个直角三角形是全等三角形，故C选项符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故D选项不符合题意； 故选： C． 5. 青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正八边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：八边形是正八边形， ， 由对称性可知， 故选：D． 6. 如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到，，的距离相等，供水台应该选在（ ） A. 三条角平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条高线所在的直线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【解析】 【分析】由于供水台到，，的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三条角平分线的交点，由此即可确定供水台位置. 【详解】∵供水台到，，的距离相等， ∴供水台应该选在三条角平分线的交点处, 故选A. 【点睛】本题考查的是角平分线的性质的实际应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键. 7. 某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为(　　) A. 3×5+3×0.8x≤27 B. 3×5+3×0.8x≥27 C. 3×5+3×0.8(x﹣5)≤27 D. 3×5+3×0.8(x﹣5)≥27 【答案】C 【解析】 【分析】设小聪可以购买该种商品x件，根据总价=3×5+3×0.8×超出5件的部分结合总价不超过27元，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】设小聪可以购买该种商品x件， 根据题意得：3×5+3×0.8（x-5）≤27． 故选C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 8. 如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的特征，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质证明三角形全等．由题可证，，则，由直角三角形的性质得，，因为，所以． 【详解】解：， ， ， 同理， 又，， ，，， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ） A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线来表示各角之间的关系，首先求出与是等腰三角形，再证明为等边三角形即可． 【详解】解：连接，， 的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于， ，， ，， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键． 10. 如图，在第1个，同；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长，到，使，得到第3个，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，，， ， ，是△的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，是关于的不等式的解集示意图，则该不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得出2为实心点，表示包括2，向左表示比2小，据此即可得出结果． 【详解】解：∵根据题意，可得：2为实心点，表示包括2，向左表示比2小， ∴不等式的解集为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意实心圆点表示包括该点，空心圆圈表示不包括该点． 12. 已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是________，该逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 ①. 如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形 ②. 真 【解析】 【分析】由题意根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题. 故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 14. 如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点，若，，则的长为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质全等三角形的对应边相等来求的长度． 【详解】解：连接． 为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于， ， 在和中， 已知，公共边， ， ， 又， ， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定()以及全等三角形的性质(全等三角形的对应边相等)．连接利用勾股定理是解决本题的关键． 15. 如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， ∵， ∴． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算、解答 （1）用不等式的性质解不等式：．并在数轴上表示其解集． （2）如图，是的边上的一点，．求的度数． 【答案】（1）， 不等式的解集在数轴上表示为： （2） 【解析】 【分析】（1）根据移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，在数轴上表示恶行式的解集即可； （2）由三角形外角性质得出，根据三角形内角和定理得的度数． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解：， 又， ， 在中，， ． 17. 如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，再根据，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 18. 如图，在中，，，是的平分线，是边上的高，请从图中找出一个等边三角形，并说明理由． 【答案】 结论：为等边三角形， 理由：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】结论：为等边三角形，想办法证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 如图，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数． 【答案】（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°． 【解析】 【分析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线． （2）要求∠CAD的度数，只需求出∠CAB，而由（1）可知：∠BAD=∠B 【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）． （2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°． 又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°． ∴∠CAD=53°—37°=16°． 20. 已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线． （1）求证：BD＝2CD； （2）若CD＝2，求△ABD的面积． 【答案】 （1）证明：如图，过D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线， ∴DE=CD， 又∵∠B=30°， ∴Rt△BDE中，DE=BD， ∴BD=2DE=2CD； （2）6 【解析】 【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论； （2）依据AD=BD=2CD=4，即可得到Rt△ACD中，，再根据△ABD的面积=进行计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴AD=BD=2CD=4， ∴Rt△ACD中，AC=， ∴△ABD的面积为. 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的运用，利用角平分线的性质是解决问题的关键． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AB的长为________，BC的长为________，CD的长为________； （2）连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC各是什么特殊三角形． 【答案】（1），5，；（2）为等腰三角形，为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）把线段AB、BC、CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出AC=AD，即可判断△ACD的形状；由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）由勾股定理得AB＝＝，BC＝＝5，CD＝＝2； 故答案为：，5，； （2）∵AC＝＝2，AD＝＝2， ∴AC＝AD， ∴△ACD是等腰三角形； ∵AB2＋AC2＝5＋20＝25＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 22. 随着科技的发展，智能机器人进入现代化车间，某智能制造车间有A、B两种机器人组装同一款玩具，一台种机器人比一台种机器人每小时多组装60个玩具，10台种机器人和5台B种机器人每小时共组装3000个． （1）求一台种机器人、一台种机器人每小时分别能组装多少个玩具？ （2）因玩具市场销售火爆，销售商决定向该车间追加订单，该车间随即对A、B两种机器人进行技术升级．升级工作全面完成后，种机器人每小时组装的玩具数量增加10%，B种机器人每小时组装的玩具数量增加20%．已知升级改造后，投入生产的A种机器人的台数比B种机器人台数的2倍还多15台，且A、B两种机器人每小时组装的玩具数量之和不低于23630个，那么该车间最少应安排多少台种机器人投入生产？ 【答案】（1）一台种机器人每小时能组装个玩具，一台种机器人每小时能组装个玩具 （2）该车间最少应安排台种机器人投入生产 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用； （1）设一台种机器人每小时组装 个玩具，则一台种机器人每小时组装  个玩具，根据题意，列出方程，解方程，即可求解； （2）先分别求得的工作效率，根据题意列出一元一次不等式，然后求得不等式的最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设一台种机器人每小时组装 个玩具，则一台种机器人每小时组装  个玩具，根据题意，得 解得， （个） 答：一台种机器人每小时能组装个玩具，一台种机器人每小时能组装个玩具． 【小问2详解】 种机器人效率提升，新效率为个小时，种机器人效率提升，新效率为个小时； 设投入生产的种机器人台数为台，则种机器人台数为  台，依题意得， ， 解得：． ∵为正整数， ∴最小值为． 答：该车间最少应安排台种机器人投入生产． 23. 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题： （1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由． （2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由． 【答案】（1）点Q到达点C时，PQ与AB垂直， （2）能，当时，△BPQ是等边三角形 【解析】 【分析】（1）先求出AP的长，可得点P是AB的中点，由等边三角形的性质可求解； （2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解． 【小问1详解】 点Q到达点C时，PQ与AB垂直，理由如下： ∵， ∴当点Q到达点C时，s， ∴， ∴点P为AB的中点， ∴； 【小问2详解】 假设点P与点Q的运动过程中，△BPQ是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴当时，△BPQ是等边三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期月考测试卷（一） 八年级数学试卷（北师） 时间：90分钟 满分：120分 考试范围：第一章~第二章第3节 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 2. 下列实数中，不是x+4≥2的解的是（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. 0 D. 3.5 3. 已知a<b，则下列关系式不成立的是（ ） A. 4a<4b B. 4a4b C. a+4<b+4 D. a－4<b－4 4. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 5. 青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到，，的距离相等，供水台应该选在（ ） A. 三条角平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条高线所在的直线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 7. 某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为(　　) A. 3×5+3×0.8x≤27 B. 3×5+3×0.8x≥27 C. 3×5+3×0.8(x﹣5)≤27 D. 3×5+3×0.8(x﹣5)≥27 8. 如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ） A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 10. 如图，在第1个，同；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长，到，使，得到第3个，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，是关于的不等式的解集示意图，则该不等式的解集为________． 12. 已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是________，该逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 13. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 14. 如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点，若，，则的长为_____________ 15. 如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算、解答 （1）用不等式的性质解不等式：．并在数轴上表示其解集． （2）如图，是的边上的一点，．求的度数． 17. 如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点，交于点．求证：是等腰三角形． 18. 如图，在中，，，是的平分线，是边上的高，请从图中找出一个等边三角形，并说明理由． 19. 如图，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等． （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数． 20. 已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线． （1）求证：BD＝2CD； （2）若CD＝2，求△ABD的面积． 21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AB的长为________，BC的长为________，CD的长为________； （2）连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC各是什么特殊三角形． 22. 随着科技的发展，智能机器人进入现代化车间，某智能制造车间有A、B两种机器人组装同一款玩具，一台种机器人比一台种机器人每小时多组装60个玩具，10台种机器人和5台B种机器人每小时共组装3000个． （1）求一台种机器人、一台种机器人每小时分别能组装多少个玩具？ （2）因玩具市场销售火爆，销售商决定向该车间追加订单，该车间随即对A、B两种机器人进行技术升级．升级工作全面完成后，种机器人每小时组装的玩具数量增加10%，B种机器人每小时组装的玩具数量增加20%．已知升级改造后，投入生产的A种机器人的台数比B种机器人台数的2倍还多15台，且A、B两种机器人每小时组装的玩具数量之和不低于23630个，那么该车间最少应安排多少台种机器人投入生产？ 23. 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题： （1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由． （2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $