专题05 二次函数综合压轴题8大题型（题型专练）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 二次函数的综合压轴题 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数与线段的综合问题 题型02 二次函数与线段和最值综合问题 题型03二次函数与面积的综合问题 题型04 二次函数与角度的综合问题 题型05 二次函数与特殊三角形的综合问题 题型06 二次函数与特殊四边形的综合问题 题型07 二次函数与几何变换综合题 题型08 二次函数与动态几何的综合问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数与线段的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津河北·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． (1)若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； (2)若，且，求a的值． 【答案】(1)①该抛物线顶点D的坐标为；②； (2)． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点的坐标；②求出点坐标，根据，得到，解直角三角形，求出的值，进而得到点的坐标即可； （2）根据，得到抛物线的解析式为，分别求出的坐标，同法（1）②求出的坐标，过D点向x轴引垂线，垂足记为点H，解直角三角形，求出，进行求解即可． 【详解】（1）解：①抛物线经过点， ，即， ∵抛物线过点，且， 得解得， ∴， ， 该抛物线顶点D的坐标为； ②把代入抛物线，解得，即， ∵， ∴， ∵点M在y轴负半轴上，． ∴在中，， ∵在中，， ∴ ∴， ∴； （2）由，得：，代入，得：， ∴， ， ． 由点M在y轴负半轴上，． 在中，， 在中，， ∴， ∵抛物线与y轴负半轴相交于点C， ，即， ∴， 过D点向x轴引垂线，垂足记为点H， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即． 方法透视 考向解读 考查线段长度、坐标转化、线段比例、动点线段表示、线段最值；常结合坐标、距离公式、函数表达式出题，是天津中考最基础的二次函数几何题型。 方法技能 1. 坐标化线段：水平线段 = 横坐标差，竖直线段 = 纵坐标差，斜线段用两点间距离公式。 2. 动点线段表示：设动点横坐标，表示纵坐标，再做差。 2. 线段最值：转化为二次函数顶点最值或几何最短路径。 4. 线段比例：转化为坐标比例、相似三角形、三角函数。 变式演练 【变式01】（2025·天津河西·一模）已知抛物线（b、c为常数）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)若，，求点P和点A的坐标； (2)当，且时，求点P的坐标； (3)当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H，当的最大值为4时，求b的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）抛物线的表达式为：，令，则，，即可求解； （2）抛物线解析式为：，顶点，当时，，则点A、B的坐标分别为：，，判断为等边三角形，进而即可求解； （3）设，则，设，故，其对称轴为，且，分两种情况：①当时，即；②当时，得；根据的最大值为4，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意：， ， 当时，， 解得，， 又∵点A在B左侧， ； （2）解：抛物线解析式为：，顶点， 当时，， 解得，， ，， ； 由抛物线对称性可知：， ， 为等边三角形，， 过点P作于T，则，， 在中，， ， 解得（舍），， ； （3）解：设，则，， 当时，， 令， 解得，， ， ， ∴点G在H的上方（如图1）， 设，故， 其对称轴为，且， 分以下两种情况： ①当时，即， 由图2可知： 当时，t取得最大值， 解得或（舍去）； ②当时，得，由图3可知： 当时，t取得最大值， 解得（舍去）． 综上所述，b的值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式02】（2025·天津河北·一模）已知抛物线（b，c为常数），与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在抛物线上，过点M作直线的垂线，垂足为点N． (1)若点C的坐标为，对称轴为直线． ①求抛物线解析式及其顶点D的坐标； ②若点M在直线右侧，且直线经过点A，求点M的坐标； (2)若，点M在直线的下方，且直线，若，求c的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，画出图形，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）①利用待定系数法即可解答； ②画出图形，过点作轴，交于点，利用等腰直角三角形的性质，求得点的坐标，即可求得的坐标； （2）画出图形，可得解析式为，求得点，再得到的坐标，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，证明，再根据列方程即可解答． 【详解】（1）解：①对称轴为直线， ， 解得， 点C的坐标为， ， 抛物线解析式为， 把代入可得， ； ②如图，过点作轴，交于点， 当，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 列方程， 解得， 当时，， ； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点， 把代入抛物线可得， ， 故抛物线的解析式为， 当时，， 解得， 故，， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线， ， ， 四边形为平行四边形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 把代入，可得， ， ， 则可得， 解得（舍去）， 【变式03】（2025·天津·模拟）抛物线 与x 轴负半轴交于点A，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，是轴上方的对称轴上一点，交对称轴右侧的抛物线于点．若，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，进而求解； （3）过点作 交轴于点，则，当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值，进而求解． 【详解】（1）解： 对称轴为， ， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设对称轴交轴于点，过点作于点， ∴ ∵ ∴ ∴ 则， ， 设， 由，解得：，， ， ． 则， ， ， 点的坐标为， ， 解得：或（舍去）， 点的坐标为； （3）解：设点，的横坐标分别为，， 联立和抛物线的表达式并整理得：， ，， ， 由，，得， 当 时，， ， 点在直线上， 设直线交轴于点，则， 过点作 交轴于点， 则， 当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值， 设的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式并整理得：， 由， 解得，此时， 的最大值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．一次函数的解析式与性质、相似三角形的判定与性质，公式法解方程，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 【变式04】（2025·天津南开·二模）已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）结合点在抛物线上，且，得，再根据抛物线的顶点为，把把代入，得，然后得点的坐标为，结合轴对称的性质得，即可作答． （2）因为点在抛物线上，故，与（1）同理得，点的坐标为，点；根据得，即，化简计算，得，故，，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）与（2）同理得，点的坐标为，，，结合抛物线上点的横坐标，得，因为，故，化简得，再表示，然后得的表达式，代入进行计算得，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点为，且抛物线的对称轴为直线， ∴把代入， 得， 即； ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∵， ∴， ∵，，为坐标原点，， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 即， ∴， 则． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∴， ∵抛物线上点的横坐标，且抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即， ∵，， ∴， ， ， 连接， ∵， ∴在中，， 即， 整理得， 则， ∴， ∴， 整理得， 解得． ∵， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数的图象性质，平行的性质，勾股定理，轴对称．性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型02 二次函数与线段和最值综合问题 典例引领 【典例01】（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)该抛物线顶点的坐标为 (2)10 (3)1 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 方法透视 考向解读 考查最短路径、线段和 / 差最值，核心是将军饮马、胡不归、阿氏圆三类模型；天津中考高频压轴考法，常结合对称、平移、旋转出题。 方法技能 1. 将军饮马：对称点→共线→最短，直接求最小值。 2. 胡不归：k・PA+PB 型，构造特殊角（30°/45°/60°）转化垂线段。 3. 平移型最值：先平移再对称，化 “折线段” 为 “直线段”。 4. 核心口诀：遇对称找对称点，遇系数构角度，遇平移先平移。 变式演练 【变式01】（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、平行四边形的性质等，确定的最小值是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）表示出点，令，则或，即点，即可求解； （3）通过作辅助线证明四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，则：， ∴抛物线的表达式为：， 把代入，得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 抛物线的对称轴为：， 当时，； 则抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，则点， 令，则或，即点， ∵， 则， 解得：； （3）解：由（2）知，点，点，抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， 作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向右平移的长度， 则点， 连接，则四边形为平行四边形， 则， 连接交抛物线对称轴于点、连接， 则， 当、、共线时（此时在处），上式等式成立，即的最小值为：， 即， 解得：（舍去）或， 即． 【变式02】（2025·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，过点P作轴，垂足为Q，连接，与相交于点D，设点P的横坐标为m，当点D是线段的一个三等分点时，求m的值； (3)点E在y轴负半轴上，且，点F是抛物线上一点，满足，点M，N分别为的边上的动点，总有，求的最小值． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，全等三角形的判定和性质，最短路径，正确作出图形，作出辅助线是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）画出图形，求得直线的解析式，表示出，分类讨论列方程，即可解答； （3）画出图形，过点E作，并截取，点H在第四象限，连接NH，证明，则可得当点F，N，H共线时，的值最小，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：把点，点坐标代入， 可得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ， 设直线的解析式为， 把，点分别代入， 得， 解得； ∴直线的解析式为． 设点，则点． 则． 当时，有， 解得（此时点P与点B重合，不满足点P在第一象限）． 当时，即，有， 解得（此时点P与点B重合，不满足点P在第一象限）． ∴当点D是线段的一个三等分点时，m的值为2或； （3）解：如图，过点E作，并截取，点H在第四象限，连接NH，则， 由，有， ． ， ， ， ∴，即当点F，N，H共线时，的值最小， 如图，连接FH， ， ， 设点，过点F作轴，垂足为G，则， ， ， ，即． 解得（不合题意，舍去）， ， ∴． 在中，． 在中，． 即的最小值是． 【变式03】（2025·天津和平·三模）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． (1)若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； (2)若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标为 (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②求出点，，．可得方程．解得，（舍）．即可得到答案； （2）在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．得到．则，，．设抛物线解析式为，把代入，解得． 【详解】（1）解：①， 点的坐标为，抛物线解析式为． ， ． ． 抛物线与轴相交于点， ，解得． 抛物线解析式为． ②抛物线与轴相交于点， 当时，． 点的坐标为． 如图，过点作，与相交于点． ， ．．． ． 点为的中点．设直线的解析式为， ，解得． 直线的解析式为． 点的横坐标为，轴与抛物线相交于点， 点，，．可得方程． 解得，（舍）． 点的坐标为． （2）如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，． ，． 点，点，点， ，，． 在中，， ． ， ． 又， ． ，．． 是等边三角形． ． ． 当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．． 在中，． ，解得． ，，． 设抛物线解析式为， 把代入，解得． 的值为． 【变式04】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（b，c为常数，）的顶点为G． (1)若抛物线经过点A，B，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点G作直线，与抛物线相交于点H，求线段的长； (2)若，连接点B和点，分别过点G画直线轴，，在直线上截取（点Q在直线l下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求交点坐标，轴对称解决最短路径，勾股定理，平行四边形的判定，平移等知识，通过构造辅助线，利用轴对称解决最短路径是解题的关键． （1）①将A、B坐标代入求解即可；②求出解析式，进而求出解析式，联立方程组求出H坐标，从而得解； （2）求出点，进而得到直线为，把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点，连接，易得四边形为平行四边形，得到，作点O关于直线l的对称点，连接，则，得到，进而得到当点，，G共线时，的值最小，最小值为线段的长，过点作轴，垂足为N，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：①把点，点坐标代入有 解得 ∴抛物线的解析式为； ②如图， 由， ∴点G坐标为， 设直线的解析式为， 把分别代入，得 解得， ∴直线的解析式为， 由可设的解析式为， 把点代入，解得， ∴的解析式为， 由，解得， 故点H的坐标为， 过点H作对称轴的垂线，垂足为点E，则， 在中，， （2）由得， 故点， ∴直线l为， 把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点， 连接，则且， ， ， 连接，可得平行四边形，故， 作点O关于直线l的对称点，则， 连接，有， ， 即当点，G，共线时，的值最小，最小值为线段的长， 过点作轴，垂足为N，则，， 由勾股定理知，即， 解得，， ， ∴应舍去， ∴抛物线的解析式为． 题型03 二次函数与面积的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津河东·二模）已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为D． (1)若顶点，求点与点的坐标； (2)当点的横坐标为时，若点为线段的中点，过点的直线与线段交于点，且满足，，求的值； (3)点的横坐标为，点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作，垂足为点，当的最大值为时，求的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)， 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点坐标公式列出关于、的方程组，求解得到抛物线解析式．再令，通过解一元二次方程求出与轴交点、的坐标． （2）先根据点横坐标和抛物线与轴交点的坐标，结合抛物线对称轴公式得到点坐标，进而求出中点的坐标．由直线解析式和平行关系得到直线解析式，求出点坐标．利用得到与面积相等，根据面积公式列出关于的方程求解． （3）根据点横坐标得到抛物线解析式和对称轴，由得出．作辅助线轴，用含和点横坐标的式子表示出和，进而得到关于的表达式，根据二次函数性质，由最大值列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵顶点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为，令， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵抛物线 ∴点的坐标为， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点的坐标为， 由直线的解析式为，可得直线的解析式为， 进而得点的坐标为， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵点的横坐标为， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴对称轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 过点作轴交直线于点，设点的坐标为， 则点的坐标为， 则，， ， ∴当时，由的最大值为，解得，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括顶点坐标公式、对称轴公式，以及二次函数与一元二次方程的关系（求与轴交点）．还涉及到一次函数解析式的求解（根据平行关系等）、三角形面积公式的应用，以及利用二次函数性质求最值．解题的关键在于熟练运用这些公式和性质，通过建立方程求解未知参数的值；在几何问题中，要善于利用图形的性质（如等腰直角三角形的角度关系）进行线段和面积的转化与计算． 方法透视 考向解读 考查面积定值、面积倍数、面积最值、面积差 / 面积比；天津中考必考题型，几乎每套卷子都会出现。 方法技能 1. 核心公式：铅垂高 × 水平宽 ÷2（最常用）。 2. 割补法：大减小、分块算，适合不规则图形。 3. 面积比 = 线段比 = 坐标比。 4. 面积最值：设点→表示高→列二次函数→求顶点。 5. 同底等高、等底同高面积相等，快速转化。 变式演练 【变式01】（2026·天津西青·模拟预测）对称轴为直线的抛物线（）与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点的坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度取最大值时点到的距离． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为直线，点坐标为且点在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出线段的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值和点的坐标，接着作交于点，证明，利用相似三角形的性质即可求解点到的距离． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，点坐标为且点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线的解析式为， ∴令，解得，即， 令，解得，即， ∴， ． ∵， ∴． 设点坐标为， ∵， ∴，解得． 当时，， 当时，， ∴或； ②设线段的解析式为， 把代入得 ，解得， ∴线段的解析式为， 设点坐标为， ∵轴， ∴点坐标为， ∴， ∴当时，线段长度取最大值，最大值为， 此时点坐标为． ∵， ∴． 作交于点， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． 【变式02】（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 【变式03】（2025·天津南开·一模）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，其中点．点为轴上一动点． (1)若，连接． ①求：点的坐标和抛物线的解析式； ②当时，过点作轴，与抛物线相交于点，过点作，垂足为点．求的最大值，及此时点的坐标； (2)点在抛物线上，连接，当的最小值为时，直接写出此时的值． 【答案】(1)①，，②， (2)， 【分析】（1）①利用待定系数法结合抛物线对称轴公式即可解答；②设交于点Q，将转化为，求出直线的解析式，得到点Q的坐标，建立二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答； （2）先求出，确定点在抛物线对称轴左侧，且位于x轴下方，如图，将绕点Q逆时针旋转得到，过点Q作于点H，则，由旋转的性质得：，证明是等腰直角三角形，由对称的性质求出点B的坐标，当与x轴重合时，即三点共线，此时，有最小值，即有最小值，利用建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，且， ∴ 解得， ∴ 把代入， 解得， ∴， ∵抛物线与轴相交于点和点，且对称轴为直线，且 ∴ 解得； ∴； ②∵，且， ∴， ∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， 如图，设交于点Q， ∵， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 设的解析式为，把，代入 得 解得 ∴的解析式为， ∵，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为， 此时，， ∴； （2）解：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，则， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点在抛物线对称轴左侧，且位于x轴下方， 如图，将绕点Q逆时针旋转得到，过点Q作于点H，则， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， 当与x轴重合时，即三点共线， 此时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵的最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：，则． 【点睛】本题主要考查待定系数法、二次函数的与线段的综合问题、旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，构造等腰直角三角形是解题的关键． 题型04 二次函数与角度的综合问题 典例引领 【典例01】（2024·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①，且；②或或；③ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，且关于的对称点为，进而求解即可； ②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解． 【详解】（1）∵抛物线过原点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①∵抛物线； ∴抛物线开口向下，对称轴为 则关于的对称点为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为， ∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； ②∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4 ∴当点M的纵坐标为时， ∴ 解得； 当点M的纵坐标为时， ∴ 解得， 综上所述，或或； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，    解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， 令点，则， ∴， 设直线解析式为，则， 解得， ∴， 将点Q代入可得：， 解得：， ∵点P在y轴下方， ∴， ∴， ∴P点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 方法透视 考向解读 考查等角、倍角、直角、特殊角（45°/60°）、角的和差；难度中等偏上，常结合相似、垂直、斜率出题。 方法技能 1. 等角→正切值相等→坐标比例相等。 2. 直角→勾股定理或斜率乘积 =-1。 3. 特殊角（45°/60°）→构造等腰直角、30°-60° 三角形。 4. 倍角 / 半角：外角、对称、翻折转化角度。5. 角度相等优先用tan，计算最快捷。 变式演练 【变式01】（2025·天津红桥·二模）已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)当时，求点P的坐标； (2)直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； (3)M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、等腰三角形的性质、正切的定义、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将、代入解析式，然后运用配方法化成顶点式即可解答； （2）将代入解析式可得，再求得对称轴为，即顶点P的横坐标为，然后代入解析式求得横坐标即可解答； （3）由（2）可得、，则，即；如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且．易得；如图：过点M作垂足为Q．可得，易得，即当点P，M，Q共线时，取得最小值；再说明，由正切函数可得，即，再求出b的值即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为：， 将点代入可得：，解得：， 所以抛物线解析式为：， ∴． ∴点P的坐标为． （2）解：将代入抛物线可得：， ∴， ∴抛物线解析式为：， 当时，，即， ∵， ∴或， ∴， ∴该抛物线的对称轴为，即顶点P的横坐标为， ∴顶点P的纵坐标坐标为， ∴； 设直线的表达式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为． 当时，，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． （3）解：∵，， ∴，即 如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且． ∴． 如图：过点M作垂足为Q．可得．， ∴， ∴当点P，M，Q共线时，取得最小值， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中，，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式02】（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，点，，抛物线（是常数）的顶点为． (1)当抛物线经过点时，求点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求此时的值； (3)无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标； （2）先由函数解析式得出顶点坐标为．再结合已知条件可知，可得：再建立方程求解即可； （3）由可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证．得点的坐标为或．然后进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点的坐标为． （2）解：抛物线的顶点的坐标为． 由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限． 记抛物线的对称轴与轴的交点为， 则， ∵顶点的坐标为， ∴， 解得：，（舍去） ； （3）解：由可知， 当时，无论取何值，， 得点的坐标为． 过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则． ∵， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴． ∴． ∴，． ∴点的坐标为， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点与点不共线，舍去， ∴． 如图，同理可得：， 同理可得直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴， 整理得：， 解得（舍），． ∴． 综上，或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题．涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，计算量特别大，难度大，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式03】（2025·天津和平·二模）已知抛物线（是常数，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点． (1)若，点的坐标为． ①求点的坐标； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (2)若点，（是常数，），，是直线上的动点，过点作与相交于点，当的最小值为12时，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出直线的解析式为．由为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，设点，则，得到的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可； （2）求出．把线段向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，得到线段，点与点重合．得到当点在同一条直线上时，取得最小值，进一步进行解答即可． 【详解】（1）解：①若，则抛物线， 抛物线与轴相交于点， ，解得． 抛物线为． 顶点的坐标为 ②当时，， 解得， ． 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为． ∵为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点， 设点，则． ． 当时，取得最大值1． 点的坐标为，点的坐标为 （2）， ． 点的坐标为． ． ， ． ， ． 过点作． ， 在， ． 把线段向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，得到线段，点与点重合． ，点的坐标为． 在， ． 点的坐标为． 当点在同一条直线上时，取得最小值， ． 可得，解得． 点的坐标为，点的坐标为． 设抛物线解析式为． 把代入， 解得． 的值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、解直角三角形、勾股定理、一次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识，适当添加辅助线是解题的关键． 【变式04】（2025·天津·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与直线交于点．    (1)直接写出的值； (2)取点，在抛物形上取点，使，求点的坐标； (3)点是抛物线上的动点，直线，分别与抛物线的对称轴相交于，两点，是抛物线的顶点，求的值． 【答案】(1) (2)符合条件的点的坐标为或 (3) 【分析】（1）把，代入求出a、b、c的值，把代入求出k的值即可； （2）在轴上取点，使，延长交抛物线于点，求出，再用待定系数法求出直线，联立，求出点P的坐标；将关于直线对称后与抛物线的交点也是符合条件的点，取直线上点，作点D关于直线的对称点N，连接，交于点E，连接，交抛物线于点，此时点符合要求，求出，得出直线，联立，求出． （3）设，设直线的解析式为，把，代入，求出直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，得出，，求出，最后得出答案即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）解：在轴上取点，使，延长交抛物线于点，如图所示：    ∵，， ∴， ∴此时是符合条件的点， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线， 联立， 解得：，， ∴； 将关于直线对称后与抛物线的交点也是符合条件的点，    取直线上点，作点D关于直线的对称点N，连接，交于点E，连接，交抛物线于点，此时点符合要求， 则，， ∴， ∵直线的解析式为， ∴设， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 即， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线， 根据解析（1）可知，抛物线的解析式为 联立， 解得或， ． 综上分析可知，符合条件的点的坐标为或． （3）解：设，设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵直线，分别与抛物线的对称轴相交于，两点， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，相似三角形的性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 题型05 二次函数与特殊三角形的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或或；②或 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①分三种情况分别进行解答即可；②画出图形利用数形结合进行解答即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）①∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点C的坐标为， 设点P的坐标为，， ， ， ， 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则，解得， 综上可知，点P的坐标为或或； ②如图，以为邻边作正方形，分别以点为圆心，以的长为半径画圆分别交直线于点、，连接，根据圆周角定理可知，得到，即为所求的角， 如图，连接 由题意可知，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 综上可知，点P的坐标为或 方法透视 考向解读 考查等腰三角形、直角三角形、等腰直角、等边三角形；必须分类讨论，是天津中考最容易丢分的题型。 方法技能 1. 等腰三角形：三边两两相等分三类（谁为腰）。 2. 直角三角形：勾股定理、垂直斜率、直径圆周角。 3. 等腰直角：45°+ 直角，常用构造 K 字形全等。 4. 等边：三边相等 + 60° 角，结合三角函数。 5. 通法：设点→表距离→列方程→分类讨论。 变式演练 【变式01】（2025·天津·二模）如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令和，解方程可求解； （2）先求出直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，则，进而求解； （3）过点作轴于点，设直线与轴交于点，则，，故，当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， 点，点， 令，则， 点； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ，， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为， ，， 四边形为平行四边形； （3）是的中点，点， 点， 由（2）知，当时，的最大值为， 当时，， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 过点作轴于点，设直线与轴交于点， 则，，故， 而， ， 则直线和直线关于直线对称， ， ，， ，， ， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立， 解得：或（不合题意，舍去）， 点， 设点， ，， ，，， 当时，， 解得：； 当时，即，方程无解； 当时，即， 解得； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，平行四边形的判定，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【变式02】（2023·天津红桥·二模）抛物线 为常数，经过点和点，与轴相交于点，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)是第一象限内该抛物线上的动点． ①当时，求点的坐标； ②与该抛物线的对称轴相交于点，是线段上一点，当点在对称轴的右侧时，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①当时，；则，进而求得直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则点，根据建立方程，解方程即可求解； ②设， ，分类讨论，，当时，则，当时，则，当时，过点作，垂足为，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 为常数，经过点和点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为； （2）①由，当时，； ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得： ∴直线的解析式为， 过点作轴于点，交于点，    设，则点， ∴ ∵， ， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； ②由 ∴对称轴为直线， 直线的解析式为，当时，， ∴ 设， ， 1）如图所示，当时，则    又∵ ∴，即 ∴ 解得：（舍去） ∴， ∴， 2）如图所示，当时，    ∴ 解得：（舍去） 又∵ ∴，即 ∴ ∴； 3)如图所示，当时，过点作，垂足为，    ∵ ∴ 解得：（舍去） ∴ ∴ ∴， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式03】（2025天津·一模）如图（1），抛物线与轴交于，B两点，与y轴交于C，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点B，点C的坐标； (2)直线交抛物线于点E，F（点E在点F的右边），交直线于点G，若，求t的值； (3)如图（2），点M是抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为m，当是锐角三角形时，求m的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的顶点为，设，根据抛物线经过点，求得，即得抛物线的解析式；而后令，求出x值，令求出y值，即得B，C的坐标； （2）根据，求出直线 解析式. 设对称轴交直线于点H，交直线于T，则，，①当时， 求出，根据，得到，根据，得到，根据，得到，得到，得到，得到；②当时，根据，推出，根据，，得到 ，得到，得到； （3）当时，连接，设对称轴交 x 轴于P，过 D 作 轴于N，则，推出，即点M与D重合时，是直角三角形，此时；当时，过作轴于 L.，根据 ， ，得到，得到，当是锐角三角形时；②当时， 当时，过作轴于K，根据，，得到，得到，；当时，根据，得到当是锐角三角形时， ． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为， ∴设， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴； 当时， ， 解得（舍去）或； 当时，， ∴，； （2）设直线的解析式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴， 设对称轴交直线于点H，交直线于T， 则，， ①如图（1），时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故， 代入抛物线解析式得：， 解得：，（舍去）； ②如图（2），当时， ∵， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， 即， 代入抛物线得， 解得，（舍去）； ∴t的值为 或 . （3）（3）①如图（3），当时，连接，设对称轴交 x 轴于P，过 D 作 轴于N， 则， 故， ∵， ∴， 即点M与D重合时， 是直角三角形， 此时； 当时， 过作轴于 L.， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， 经检验这都是所列方程的解，但，舍去， ∴， ∴当是锐角三角形时， ； ②如图（4），当时， 当时，过作轴于K， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，， 经检验这都是所列方程的解，但，舍去， ∴， 当时，， 即 ， 故当是锐角三角形时， ， 综上所述，当是锐角三角形时， ，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，锐角三角形性质，分类讨论是解决问题有关键． 题型06 二次函数与特殊四边形的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解； ②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为． 【详解】（1）解： ， ∴该抛物线的解析式为， ， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）①∵点在抛物线上， ∴，即， 又，点， ， ∴抛物线解析式为， 如图，点在第四象限，过点作轴于点， ， ∴， ， ∴． ∴， 又， ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 整理得，， 解得 ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴点的坐标为； ②∵， ∴， 在轴上点的左侧取点，使，连接． ，得． ， ． ∴，则． 在中，根据勾股定理，， ． ∴． ． 又点，得． ．即 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段上时，取得最小值，即． 在 中，， ． 将代入，得． 解得（舍）． ∴． 点． 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则．得． 点的坐标为． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点的坐标为． 方法透视 考向解读 考查平行四边形、矩形、菱形、正方形；以平行四边形为基础，再叠加特殊性质，是压轴题常客。 方法技能 1. 平行四边形：中点坐标公式（最快）、对边平行且相等。 2. 矩形：平行 + 直角（勾股 / 垂直）。 3. 菱形：平行 + 邻边相等（对角线垂直）。 4. 正方形：矩形 + 菱形，全等 + 垂直 + 相等。 5. 分类：按 “边 / 对角线” 分情况，不重不漏。 变式演练 【变式01】（2025·天津·模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移，求出点坐标，设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于，交直线于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）设，以为边时，利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴设抛物线表达式为， 将代入得， ∴抛物线表达式为； （2）存在点，使的面积最大． 过点作轴于，交直线于点， 设，则，由题意得：， 故， ∴当时，最大．此时，， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， 设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时， ∵ ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴且， ∴或， ∴或． 【变式02】（2025天津·二模）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)定值，理由见详解 【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解； （2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标； （3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：，， ； ②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ()， ， ， ， 解得：，， ； 如上图，根据对称性：， ③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为； 综上所述：的坐标为或或． （3）解：是定值， 理由：如图，直线经过， 可设直线的解析式为， 、在抛物线上， 可设，， ， 整理得：， ，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， ， 同理可求：， ； 当与对调位置后，同理可求； 故的定值为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键． 【变式03】（2024天津西青·一模）如图，二次函数（）的图象经过点，与x轴分别交于点A，点． (1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标； (2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点，当四边形为菱形时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上任意一点，过点P作，垂足为点D．过点P作轴，与抛物线交于点Q．若，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或或或 【分析】（1）把点， 代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解解析式即可； （2）先画出图形，再利用菱形的性质可得再列方程求解即可； （3）如图，过作轴交于证明设再分别表示 最后建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 二次函数（）的图象经过点，与x轴点． ，解得： 所以抛物线的解析式为； ∴抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：如图，四边形为菱形， 解得： 点P是直线BC上方的抛物线上任意一点， 即 （3）解：如图，过作轴交于 则 的解析式为 ，垂足为点D． 设 则 抛物线的对称轴为： 轴， 整理得：或 解得：或 或或或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，菱形的判定与性质，一元二次方程的解法，把转化为是解本题的关键． 题型07 二次函数与几何变换综合题 典例引领 【典例01】（2024·天津西青·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2) 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 方法透视 考向解读 考查平移、对称、旋转、翻折；变换后求坐标、解析式、最值，综合性强。 方法技能 1. 平移：左加右减，上加下减，点坐标按向量移。 2. 对称：关于 x/y 轴 / 直线对称，坐标变号、中点公式。 3. 旋转：90° 旋转→坐标互换、符号看象限。 4. 翻折：全等 + 垂直平分，对应点连线被对称轴垂直平分。 5. 变换后：先求点→再求解析式→再做后续计算。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点． (1)若已知． ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求 的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为；②点P的坐标为 (2)的最小值为，点的坐标为 【分析】（1）①将点代入求解即可； ②先求出点坐标，再求出直线的解析式，设点P的坐标为，则点F的坐标为，得到，根据二次函数的性质即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，得出，作点E关于x轴的对称点，取得最小值时，即为点C，，三点共线时，求出此时的最小值和坐标即可． 【详解】（1）解：①由题意，抛物线过， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②如图所示， 由与y轴相交于点C，可知， 设经过B，C两点的直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值， 此时，点P的坐标为； （2）解：如图所示， 由和，得中点， 由题意与平行且相等，可知与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 作点E关于x轴的对称点， 取得最小值时，即为点C，，三点共线时， 此时， 设经过，C两点的直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，线段最值问题，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，一次函数的求法，平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【变式02】（2025·天津·模拟预测）已知抛物线（是常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），对称轴为直线，与轴交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； (3)动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，过点作轴，垂足为，当的值最大时，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线与轴得交点以及对称轴为，求出抛物线解析式，即可求解； （2）如图，设对称轴与相交于点，先求出线段的长度，因为翻折，可以求出线段的长，由三角函数可求出，可得到，由三角函数求的长，所以可以求出点的坐标． （3）设交轴于，设，先求直线的解析式，由，可得，可求出，用含的代数式表示直线，求直线和交点的坐标，用含的代数式表示，通过求顶点坐标求二次函数最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 对称轴为， ，即， 抛物线的解析式为． 当时，， 解得：． ． （2）解：如图，设对称轴与相交于点， ， ． 由翻折可得． 对称轴为， ． 在中，． ． ． 在Rt中，． ． （3）解：设交轴于， 设所在直线的解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， ， ， ， ， 直线与轴所成夹角为，即， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点代入得， ， 令，则， 解得：， ， ， 点在直线上方， ， 当时，的最大值为． 将带入解析式，得 点的坐标为． 【变式03】（2025·天津和平·一模）已知抛物线（b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点E． (1)若， ①求点D的坐标； ②点P是线段上一点，当时，求点P的坐标； (2)若，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．当取最大值时，点M恰好落在抛物线上，求c的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题意得，抛物线解析式为，代入求出的值，再将抛物线解析式化为顶点式，即可求出点D的坐标；②利用抛物线的解析式求出点的坐标，进而得到直线的解析式为，设，利用列出方程，解出的值即可解答； （2）代入得到，得出抛物线的解析式为，得出点的坐标，过点作，使得，连接、、，通过证明得到，利用线段的性质可得当三点共线时，取得最大值，此时，过点作轴于点，作于点，通过证明，得出，，进而求出点的坐标，再代入到抛物线的解析式，即可求出c的值． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为D， 点D的坐标为； ②令，则， 解得：，， ， 令，则， ， 抛物线的对称轴为， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， 点P是线段上一点， 设， ， ， ， 解得：， 点P的坐标为． （2）解：代入，则， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， ， 令，则， 解得：，， ， ， 如图，过点作，使得，连接、、， 将线段绕点M逆时针旋转得到线段， ，， 是等腰直角三角形，，， ，， 是等腰直角三角形，，， ，， ，即， ， ， ， ， ，即， 当三点共线时，取得最大值，此时， 过点作轴于点，作于点， 轴，， ， ， ， ，即， 又， ， ，， 设，， 由坐标系可得， 解得：， ， 又点M恰好落在抛物线上， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 的值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、旋转的性质、线段最值问题、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会结合图形构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴难题的学生． 题型08 二次函数与动态几何的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴， ∴当时，的值最小，为； ∴； 设交轴于点，则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为， ∴； 当，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时点轴，如图： 此时重叠部分为五边形，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【典例02】（2025·天津西青·二模）将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点Р是线段上一个动点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，点Q在y轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的值是_____，的度数是_________； (2)将绕点P顺时针旋转得到，点O，Q的对应点分别是C，D，设，与重合部分面积为S． ①如图②，的边分别与相交于点E，F，即与重合部分为时，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)，45度 (2)①；② 【分析】（1）根据可得答案，再根据得出； （2）①作，则，可得，再设，结合，得出，然后根据表示，可得，即可得； ②如图3-1所示，当时，过点D作轴于T，连接， 由旋转的性质可得，可证明，则，解直角三角形可证明，则点D此时刚好在上，此时；如图3-2所示，时，设与分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J，由①得，则．求出直线的关系式为．则，由，得到，则，据此可得，根据二次函数的性质可得；再根据（2）①所求求出当时，S的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴． 在中，． 由旋转可得． ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图所示，∵点，点， ∴． 在中，． 由旋转可得， ∴． ∵， ∴， ∴． 过点F作于G，则， ∴， ∴． 设，在中，． ∴， 同理，． ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∴； 当点C与点E重合时，则，解得， ∴； ②如图3-1所示，当时，过点D作轴于T，连接， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∴点D此时刚好在上， ∴ 如图3-2所示，时，设与分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J， 由①得，则． 设直线关系式，则， 解得， ∴直线的关系式为． 在中，当时，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴当，S随t增大而减小， 当时，； 当时，． ∴； 综上所述，S的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，解直角三角形，等腰三角形的性质，平面直角坐标系内的动点问题，旋转的性质，画出图形分情况讨论是解题的关键． 方法透视 考向解读 考查动点、动线段、动图形、重叠面积、临界状态；天津中考最难压轴题型，常分段、分情况讨论。 方法技能 1. 设时间 t / 坐标，表示所有动点位置。 2. 画图找临界点：相切、共线、过顶点、相交。 3. 重叠面积：分段列式，用割补法 / 函数表示。 4. 分类讨论：运动方向、位置、图形形状变化。5. 动态问题核心：以静制动，找临界。 变式演练 【变式01】（2024·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，等边三角形的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)将沿轴向右平移，得，点，，的对应点分别为．设，与矩形重叠部分的面积为． ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，边与相交于点，边与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据矩形的性质求得，进而过点作轴于点，根据等边三角形的性质得出，，，进而求得的坐标； （2）①由平移可得，则，根据得出函数关系，即可求解． ②分三种情况讨论，当，，时，分别结合图形列出函数关系式，求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点，， ∴， ∴， ∵等边三角形的顶点，顶点在第二象限，则 过点作轴于点， ∴，， ∴ ∴ （2）①∵， ， ∴ ∵是等边三角形， ∴ 由平移可得 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∵与矩形重叠部分为五边形 ∴ 即 解得：， ∴ ②当时，如图所示，重叠面积为 时取得最小值为， 如图所示，当时，同①可得 重叠面积为 当时最小值为，当时，最大值为 由①可得当时， ∴当时，最大值为， 综上所述，当时， 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式02】（2025·天津宝坻·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限， 的顶点， 点． (1)如图①， 求点B， C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形 ，点A，O，B，C的对应点分别为． 设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线 分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为 则t的值是 (请直接写出结果即可)． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答； （2）①求得是等腰直角三角形，得到，分两种情况：当时，当时； ②分当和时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 四边形正方形， ． ，； （2）解：①，，， ，． 由平移知，四边形是正方形，得，,四边形是矩形． ，，． ， ，． ， ． ． （Ⅰ）当时，如图所示． , 即． （Ⅱ）当时，如图所示． , 即. 综上所述， ②当时， 由题意得， 解得或（舍去）； 当时，点与点N重合， 此时， ∴， ∴， 由题意得， 解得或（舍去）； 综上，的值是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，图形的面积，二次函数的性质等知识，根据题意分别画出图形，通过面积的和差关系求出S关于t的函数表达式是解题的关键． 【变式03】（2025·天津南开·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②由（1）得出， ∴， ∴， 当时， 如图，重叠部分的面积为， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时， 如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式04】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为． ①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①  ② 【分析】本题主要考查了平移的性质、解直角三角形、等腰梯形的性质、二次函数的图象与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）解和等腰梯形即可得解； （2）①由重叠部分为五边形可知，再进再用梯形面积减去面积即可得解； ②由范围，分类讨论重叠部分的图形，进而画图求解即可． 【详解】（1）解：，． 在中，， ． 如图，过作于点，于点， 则， ． 在中，， ． 故答案为： ，． （2）①如图，作于，于， ，． 又， 四边形为矩形， ． ． ， ． 在中，，， ． 则． ，． 四边形为平行四边形． ． 则． ， ． ， ． ，则． ． ． ②当时，如图，重叠部分为梯形， 由题可知， ． ， ． 当时，如图，重叠部分为梯形， ，， 点是中点． ． ． 当时，此时重叠部分为五边形，如①中情形， ． 此时在时，随增大而减小， 当时，，当时，， ． 当时，如图，此时重叠部分为， ， 为等边三角形． 此时， ． ． 当时，，当时，， ． 综上，． 题●型●训●练 1．（2025·天津·模拟）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，则∶ ， 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ∴， 当时，有最大值． 2．（2024·天津河西·一模）已知点P是直线上的点，过点P的另一条直线m交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)若点P的横坐标为． ①当直线轴，求A，B两点的坐标； ②当时，求A，B两点的坐标； (2)试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立． 【答案】(1)①点A的坐标为，点B的坐标为 ②点A的坐标为，点B的坐标为 (2)详见解析 【分析】（1）①当直线轴时，得到点，的纵坐标为2．即可求解； ②当时，得到．即可求解； （2）由，得，结合图象性质以及建立一元二次方程，并运用判别式进行列式计算，即可求解． 【详解】（1）解：点是直线上的点，其横坐标为， ． ， ①当直线轴时， 直线经过点交抛物线 于，两点， 点，的纵坐标为2． 则， 解得：， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为； ②当时， 分别过点，，作轴的垂线，垂直分别为点，，，    则， 则． 设点、， ， 整理得：． 同理，，有， ， 即， 解得：或（舍去）， 则，． 点的坐标为，点的坐标为； （2）证明：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂直分别为点，，， 则，    由，得． 设点，点，点， 有， ． 同理，， ， ， 整理得关于的一元二次方程， 其中， 无论为何值时，关于的方程总有两个不相等的实数解， 即对于直线上任意给定的一点，在抛物线上都存在点，使成立． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 3．（2025·天津河西·二模）知二次函数的顶点在轴下方，并且与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，点为线段上一点，当时，求点的坐标； (3)若，过点的直线与以为直径的圆相交于点和点，点在线段上，记的中点为，当的最小值取时，求顶点的坐标． 【答案】(1)顶点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)顶点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与圆综合. （1）先求出，，对称轴为，求出抛物线的解析式，即可求出顶点的坐标； （2）得到点的坐标为，的解析式为，可得，得到点的坐标为，根据勾股定理得到，即可求出点的坐标； （3）设点，则点，求出中点的坐标为，连接，利用垂径定理证明，可得点在以为直径的圆上，求出该圆的圆心的坐标为，根据勾股定理得到，连接交于点，可得的最小值，即的最小值，即，求出，设抛物线解析式为，求出，即可得到顶点的坐标. 【详解】（1），， ． 该抛物线的对称轴为． ， 该抛物线的解析式为， 顶点的坐标为． （2），，且抛物线与轴的负半轴交于点，故． 点的坐标为，得的解析式为． ∴点关于对称轴的对称点． 点在上，且点的横坐标为， 点的坐标为． ，解得，． ，舍去． 点的坐标为． （3）， 该抛物线的对称轴为． ， 设点，则点， 点、关于对称轴对称， 中点的坐标为． 连接， 是弦的中点，于． 点在以为直径的圆上，则该圆的圆心的坐标为， ，且半径， 连接交于点，即可得的最小值． ． ，解得． ，，． 设抛物线解析式为，将点代入， 得，． ． 顶点的坐标为． 4．（2025·天津·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，直接写出符合条件的N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 11， (3)存在，或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到 ，然后运用配方法求最值即可解答； （3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：过P作轴交直线于H，    ∵抛物线的表达式为， ∴点，对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴，， ∴ ， ∴当，即时，的最大值为11． ∴的最大值为11，． （3）解：如图：设直线的解析式为，    则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵连接交y轴于点M， ∴， ∵，抛物线沿射线方向平移个单位， ∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得：，解得：或， 将、代入分别得到，2， ∴ 或． 5．（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（）①把，代入函数解析式得，即得点坐标，再把代入函数解析式求出可得点的坐标；②过点作轴，垂足为，交于点，可得，即得，得到，即得，进而得，又由是等腰直角三角形得，即可得，解方程即可求解； （）由点的坐标为得，即得，又由得，即得，过点作，垂足为， 则，由可得，过点作，使，连接，可证，可得，即得，可知当点共线时，有最小值，最小值为，即，即得到，进而由得，即，解方程求出即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴抛物线解析式为， ∴, 当时，， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴； ②过点作轴，垂足为，交于点， 由①知， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， 解得或， ∴或； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作，垂足为， 则， ∴， 解得，， ∴， 过点作，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2025·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等边三角形，点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过边的中点． (1)如图①，点B的坐标为_______；点D的坐标为_______； (2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在的外部，且矩形与重叠部分为五边形时，，与分别相交于点F和点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点B作于，记射线与交于点，中点记为N，由是等边三角形得到，，然后解直角三角形得到，，故；解直角三角形求出，则由矩形的性质得到，那么； （2）①由平移可得，则，那么，，同理，故由，求得，当点与点重合时，此时矩形与重叠部分为四边形，，故使得矩形与重叠部分为五边形时，则；当点恰好落在上时， 在中，，，则，那么，故t的取值范围为；②分类讨论，通过解直角三角形分别求出关于的函数表达式，借助于一次函数或二次函数的性质求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：过点B作于，记射线与交于点，中点记为N， ∵是等边三角形，点， ∴，， ∴，， ∴； ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点N为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①如图： 由平移可得， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴同理， ∴， ∴， 当点与点重合时，此时矩形与重叠部分为四边形，， 故使得矩形与重叠部分为五边形时，则； 当点恰好落在上时，如图： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴t的取值范围为； ②当时，此时矩形与重叠部分为四边形， 此时，在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，由①得：， 对称轴为直线，而开口向下， ∴当时，随着的增大而增大， ∴时，，时，， ∴； 当时，此时矩形与重叠部分为六边形，如图： 由上可知， 此时在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，开口向下， ∴， 当时，， 当时，， ∴； 当时，此时矩形与重叠部分为五边形，如图： 同上可求 ∴， ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当，随着的增大而减小， ∴时，；时，， ∴， 综上所述：． 【点睛】本题考查了动点类的分析问题，涉及矩形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，一次函数的性质，等边三角形的性质，难度很大，解题的关键在于分类讨论，对画图找临界位置要求非常高． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数的综合压轴题 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数与线段的综合问题 题型02 二次函数与线段和最值综合问题 题型03二次函数与面积的综合问题 题型04 二次函数与角度的综合问题 题型05 二次函数与特殊三角形的综合问题 题型06 二次函数与特殊四边形的综合问题 题型07 二次函数与几何变换综合题 题型08 二次函数与动态几何的综合问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数与线段的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津河北·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． (1)若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； (2)若，且，求a的值． 方法透视 考向解读 考查线段长度、坐标转化、线段比例、动点线段表示、线段最值；常结合坐标、距离公式、函数表达式出题，是天津中考最基础的二次函数几何题型。 方法技能 1. 坐标化线段：水平线段 = 横坐标差，竖直线段 = 纵坐标差，斜线段用两点间距离公式。 2. 动点线段表示：设动点横坐标，表示纵坐标，再做差。 2. 线段最值：转化为二次函数顶点最值或几何最短路径。 4. 线段比例：转化为坐标比例、相似三角形、三角函数。 变式演练 【变式01】（2025·天津河西·一模）已知抛物线（b、c为常数）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)若，，求点P和点A的坐标； (2)当，且时，求点P的坐标； (3)当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H，当的最大值为4时，求b的值． 【变式02】（2025·天津河北·一模）已知抛物线（b，c为常数），与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在抛物线上，过点M作直线的垂线，垂足为点N． (1)若点C的坐标为，对称轴为直线． ①求抛物线解析式及其顶点D的坐标； ②若点M在直线右侧，且直线经过点A，求点M的坐标； (2)若，点M在直线的下方，且直线，若，求c的值． 【变式03】（2025·天津·模拟）抛物线 与x 轴负半轴交于点A，且过点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，是轴上方的对称轴上一点，交对称轴右侧的抛物线于点．若，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，求的最大值． 【变式04】（2025·天津南开·二模）已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． 题型02 二次函数与线段和最值综合问题 典例引领 【典例01】（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 方法透视 考向解读 考查最短路径、线段和 / 差最值，核心是将军饮马、胡不归、阿氏圆三类模型；天津中考高频压轴考法，常结合对称、平移、旋转出题。 方法技能 1. 将军饮马：对称点→共线→最短，直接求最小值。 2. 胡不归：k・PA+PB 型，构造特殊角（30°/45°/60°）转化垂线段。 3. 平移型最值：先平移再对称，化 “折线段” 为 “直线段”。 4. 核心口诀：遇对称找对称点，遇系数构角度，遇平移先平移。 变式演练 【变式01】（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【变式02】（2025·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，过点P作轴，垂足为Q，连接，与相交于点D，设点P的横坐标为m，当点D是线段的一个三等分点时，求m的值； (3)点E在y轴负半轴上，且，点F是抛物线上一点，满足，点M，N分别为的边上的动点，总有，求的最小值． 【变式03】（2025·天津和平·三模）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． (1)若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； (2)若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 【变式04】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（b，c为常数，）的顶点为G． (1)若抛物线经过点A，B，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点G作直线，与抛物线相交于点H，求线段的长； (2)若，连接点B和点，分别过点G画直线轴，，在直线上截取（点Q在直线l下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 题型03 二次函数与面积的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津河东·二模）已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为D． (1)若顶点，求点与点的坐标； (2)当点的横坐标为时，若点为线段的中点，过点的直线与线段交于点，且满足，，求的值； (3)点的横坐标为，点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作，垂足为点，当的最大值为时，求的值． 方法透视 考向解读 考查面积定值、面积倍数、面积最值、面积差 / 面积比；天津中考必考题型，几乎每套卷子都会出现。 方法技能 1. 核心公式：铅垂高 × 水平宽 ÷2（最常用）。 2. 割补法：大减小、分块算，适合不规则图形。 3. 面积比 = 线段比 = 坐标比。 4. 面积最值：设点→表示高→列二次函数→求顶点。 5. 同底等高、等底同高面积相等，快速转化。 变式演练 【变式01】（2026·天津西青·模拟预测）对称轴为直线的抛物线（）与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点的坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度取最大值时点到的距离． 【变式02】（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【变式03】（2025·天津南开·一模）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴为直线，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，其中点．点为轴上一动点． (1)若，连接． ①求：点的坐标和抛物线的解析式； ②当时，过点作轴，与抛物线相交于点，过点作，垂足为点．求的最大值，及此时点的坐标； (2)点在抛物线上，连接，当的最小值为时，直接写出此时的值． 题型04 二次函数与角度的综合问题 典例引领 【典例01】（2024·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 方法透视 考向解读 考查等角、倍角、直角、特殊角（45°/60°）、角的和差；难度中等偏上，常结合相似、垂直、斜率出题。 方法技能 1. 等角→正切值相等→坐标比例相等。 2. 直角→勾股定理或斜率乘积 =-1。 3. 特殊角（45°/60°）→构造等腰直角、30°-60° 三角形。 4. 倍角 / 半角：外角、对称、翻折转化角度。5. 角度相等优先用tan，计算最快捷。 变式演练 【变式01】（2025·天津红桥·二模）已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)当时，求点P的坐标； (2)直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； (3)M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 【变式02】（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，点，，抛物线（是常数）的顶点为． (1)当抛物线经过点时，求点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求此时的值； (3)无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值． 【变式03】（2025·天津和平·二模）已知抛物线（是常数，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点． (1)若，点的坐标为． ①求点的坐标； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (2)若点，（是常数，），，是直线上的动点，过点作与相交于点，当的最小值为12时，求的值． 【变式04】（2025·天津·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与直线交于点．    (1)直接写出的值； (2)取点，在抛物形上取点，使，求点的坐标； (3)点是抛物线上的动点，直线，分别与抛物线的对称轴相交于，两点，是抛物线的顶点，求的值． 题型05 二次函数与特殊三角形的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 方法透视 考向解读 考查等腰三角形、直角三角形、等腰直角、等边三角形；必须分类讨论，是天津中考最容易丢分的题型。 方法技能 1. 等腰三角形：三边两两相等分三类（谁为腰）。 2. 直角三角形：勾股定理、垂直斜率、直径圆周角。 3. 等腰直角：45°+ 直角，常用构造 K 字形全等。 4. 等边：三边相等 + 60° 角，结合三角函数。 5. 通法：设点→表距离→列方程→分类讨论。 变式演练 【变式01】（2025·天津·二模）如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2023·天津红桥·二模）抛物线 为常数，经过点和点，与轴相交于点，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)是第一象限内该抛物线上的动点． ①当时，求点的坐标； ②与该抛物线的对称轴相交于点，是线段上一点，当点在对称轴的右侧时，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【变式03】（2025天津·一模）如图（1），抛物线与轴交于，B两点，与y轴交于C，顶点． (1)写出抛物线的解析式，点B，点C的坐标； (2)直线交抛物线于点E，F（点E在点F的右边），交直线于点G，若，求t的值； (3)如图（2），点M是抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为m，当是锐角三角形时，求m的取值范围． 题型06 二次函数与特殊四边形的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 方法透视 考向解读 考查平行四边形、矩形、菱形、正方形；以平行四边形为基础，再叠加特殊性质，是压轴题常客。 方法技能 1. 平行四边形：中点坐标公式（最快）、对边平行且相等。 2. 矩形：平行 + 直角（勾股 / 垂直）。 3. 菱形：平行 + 邻边相等（对角线垂直）。 4. 正方形：矩形 + 菱形，全等 + 垂直 + 相等。 5. 分类：按 “边 / 对角线” 分情况，不重不漏。 变式演练 【变式01】（2025·天津·模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 【变式02】（2025天津·二模）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【变式03】（2024天津西青·一模）如图，二次函数（）的图象经过点，与x轴分别交于点A，点． (1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标； (2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点，当四边形为菱形时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上任意一点，过点P作，垂足为点D．过点P作轴，与抛物线交于点Q．若，求点P的坐标． 题型07 二次函数与几何变换综合题 典例引领 【典例01】（2024·天津西青·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2) 已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 方法透视 考向解读 考查平移、对称、旋转、翻折；变换后求坐标、解析式、最值，综合性强。 方法技能 1. 平移：左加右减，上加下减，点坐标按向量移。 2. 对称：关于 x/y 轴 / 直线对称，坐标变号、中点公式。 3. 旋转：90° 旋转→坐标互换、符号看象限。 4. 翻折：全等 + 垂直平分，对应点连线被对称轴垂直平分。 5. 变换后：先求点→再求解析式→再做后续计算。 变式演练 【变式01】（2025·天津·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点． (1)若已知． ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求 的最小值，并求此时点的坐标． 【变式02】（2025·天津·模拟预测）已知抛物线（是常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），对称轴为直线，与轴交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； (3)动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，过点作轴，垂足为，当的值最大时，求点坐标． 【变式03】（2025·天津和平·一模）已知抛物线（b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点E． (1)若， ①求点D的坐标； ②点P是线段上一点，当时，求点P的坐标； (2)若，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．当取最大值时，点M恰好落在抛物线上，求c的值． 题型08 二次函数与动态几何的综合问题 典例引领 【典例01】（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【典例02】（2025·天津西青·二模）将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点Р是线段上一个动点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，点Q在y轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的值是_____，的度数是_________； (2)将绕点P顺时针旋转得到，点O，Q的对应点分别是C，D，设，与重合部分面积为S． ①如图②，的边分别与相交于点E，F，即与重合部分为时，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 方法透视 考向解读 考查动点、动线段、动图形、重叠面积、临界状态；天津中考最难压轴题型，常分段、分情况讨论。 方法技能 1. 设时间 t / 坐标，表示所有动点位置。 2. 画图找临界点：相切、共线、过顶点、相交。 3. 重叠面积：分段列式，用割补法 / 函数表示。 4. 分类讨论：运动方向、位置、图形形状变化。5. 动态问题核心：以静制动，找临界。 变式演练 【变式01】（2024·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，等边三角形的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)将沿轴向右平移，得，点，，的对应点分别为．设，与矩形重叠部分的面积为． ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，边与相交于点，边与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式02】（2025·天津宝坻·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限， 的顶点， 点． (1)如图①， 求点B， C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形 ，点A，O，B，C的对应点分别为． 设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线 分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为 则t的值是 (请直接写出结果即可)． 【变式03】（2025·天津南开·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式04】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为． ①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 题●型●训●练 1．（2025·天津·模拟）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 2．（2024·天津河西·一模）已知点P是直线上的点，过点P的另一条直线m交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)若点P的横坐标为． ①当直线轴，求A，B两点的坐标； ②当时，求A，B两点的坐标； (2)试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立． 3．（2025·天津河西·二模）知二次函数的顶点在轴下方，并且与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，点为线段上一点，当时，求点的坐标； (3)若，过点的直线与以为直径的圆相交于点和点，点在线段上，记的中点为，当的最小值取时，求顶点的坐标． 4．（2025·天津·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，直接写出符合条件的N点坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2025·天津·一模）已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 6．（2025·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等边三角形，点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过边的中点． (1)如图①，点B的坐标为_______；点D的坐标为_______； (2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在的外部，且矩形与重叠部分为五边形时，，与分别相交于点F和点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $