重难点02 解三角解答题5考点（期中真题汇编，北京专用）高一数学下学期人教A版

重难点02解三角解答题 5大高频考点概览 考点01 基本不等式法求最值问题 考点02 三角函数法求最值范围问题 考点03 三角形中线问题 考点04 三角形角平分线问题 考点05 多三角形问题 考点06 三角形的高线 考点07 三角形存在问题 考点08 三角形存在且唯一问题 地 城 考点01 基本不等式法求最值问题 1．(22-23高一下·北京丰台区·期中)已知函数（）．用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下： (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图像．若为偶函数，求的最小值； (3)在中，角所对的边分别为，若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）利用三角函数的性质可得出函数的解析式； （2）利用三角函数的平移变换原则可得，根据整体代入法可得，解方程即可求解. （3）由余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）由题意得. 因为，所以. 因为，，所以. 所以. （2）由题意得， .因为为偶函数，所以，，. 因为，所以当时，的最小值为. （3）由题意得. 在△中，因为，所以. 因为 ， 所以 ， 所以，，即. 所以△周长的最大值为6. 2．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 3．(23-24高一下·北京陈经纶中学·期中)在中，. (1)求; (2)除上述条件外，同时满足____________，求的值; 请从①，②，③中选择一个符合题意的条件，补充到上面问题中，并完成解答. (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）借助正弦定理及三角形内角性质计算即可得； （2）若选①，借助三角形内角和及两角和的正弦公式计算即可得；若选③：借助正弦定理与三角形内角和及两角和的正弦公式计算即可得，不可选②； （3）借助余弦定理与基本不等式计算即可得. 【详解】（1）， 由，则，故，即， 又，则； （2）若选①： ； 若选③：，即， 由正弦定理：可得， 即，则 ； 不可选②，理由如下： 由，则，又，，矛盾，故不存在该三角形； （3）由，则，即， 则，即，当且仅当时，等号成立， 则. 4．(23-24高一下·北京通州区·期中)在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）由（1）及余弦定理，得，而， 则，即，又， 于是，整理得，解得， 则当且仅当，即时取等号， 所以，即周长的最大值为6. 5．(23-24高一下·北京顺义区第一中学·期中)①；②；③向量与平行，在这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)求角； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①：借助正弦定理与余弦定理计算即可得；若选②：借助正弦定理将边化为角后借助两角和的正弦定理计算即可得；若选③：借助向量平行计算即可得； （2）借助余弦定理与基本不等式计算即可得. 【详解】（1）若选①：： 借助正弦定理可得，即， 即，又，故，故； 若选②：： 借助正弦定理可得， 即有， 即， 又，故，故，故； 若选③：向量与平行： 由题意可得，即， 又，故，故，故； （2）由（1）知：，又， 所以，即， 即，当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 地 城 考点02 三角函数法求最值范围问题 1．(24-25高一下·北京丰台区·期中)在中，，． (1)求； (2)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为，所以.   因为，所以，所以，故. （2）由正弦定理，可得， 所以，，所以. 因为，所以， 因为     ， 所以. 因为，所以，所以.   所以，即，所以， 即△周长的取值范围为. 2．(21-22高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)的内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若 ，求的面积； (3)若角为钝角，直接写出的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦定理化边为角，整理化简得，由推得，求得角； （2）由余弦定理和题设条件，求出，代入三角形面积公式计算即得； （3）由正弦定理化边为角，再消去角，整理得，利用时正切函数的值域即可求得的取值范围. 【详解】（1）由和正弦定理得，， 因， 则有，因，则， 又，故. （2）由余弦定理，，代入得，， 因，则有，即得， 故的面积. （3）由正弦定理，可得， 因，代入化简得： 因为钝角，故由可得， 则，，即，故的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在求角、面积和解析式范围上的应用，属于难题. 解题思路即是遇到与三角形中的边相关的解析式求范围问题时，一般运用正、余弦定理将其化成内角的三角函数式，利用三角函数的有界性求其范围. 3．(22-23高一下·北京广渠门中学·期中)已知在中，． (1)求角的大小： (2)若是锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）利用正弦定理将边化角，将转化为关于角的三角函数，结合角的范围及正弦函数的性质，求出的取值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 在中，，， ， ，因为，所以，所以， ， ； （2）由正弦定理得，， 所以 ， 因为是锐角三角形， 所以，， 即且， 所以，所以， 即， 所以，所以， 三角形周长的取值范围为． 4．(20-21高一下·北京丰台区·期中)在中，角的对边分别为，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）由余弦定理求得； （Ⅱ）把表示为一个角如的函数，利用两角和与差的正弦公式变形后，由正弦函数性质得最大值． 【详解】（Ⅰ） ，得 由,得 ， 因为,得 当时，即时，有最大值为. 5．(20-21高一下·北京第五中学·期中)已知中，． （I）求B的大小； （II）已知，，若D、E是边BC上的点，使，求当△ADE面积的最小时，∠BAD的大小． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）结合正弦定理在边化角，结合辅助角公式整理即可求出结果； （2）设，则，在中，由正弦定理得到，在中，由正弦定理得，结合三角形得面积公式得，从而化简整理结合函数得图象与性质即可求出结果.. 【详解】（1）因为，在中结合正弦定理得，因为，所以，所以，即，又因为，所以； （2）由（1）知，又因为，所以，又因为，所以，设，则，且，在中，由正弦定理，所以，又因为，所以，在中，由正弦定理得，故，结合三角形得面积公式得 ， 因为，所以，所以当，即时取得最大值，此时取得最小值，此时. 地 城 考点03 三角形中线问题 1．(23-24高一下·北京通州区·期中)在中，角，，所对的边为，，.，. (1)求； (2)若，为边上的中点，求边长及中线的长. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据正弦定理即可求出； （2）根据余弦定理求出，利用中线定理，再平方代入数据即可. 【详解】（1）因为，， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）因为，，所以， 在中，， 根据余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 因为D为AC中点，故， . 故中线. 2．(23-24高一下·北京十一学校·期中)在中，． (1)求； (2)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长． 条件①；         条件②的周长为；         条件③的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可求得各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1）因为，所以， 所以，因为， 所以当时，，所以， 不合题意，舍去，所以， 所以，所以； （2）选①：，与已知条件矛盾， 故不存在； 选②：因为，，所以， 因为， 所以，，， 所以， 所以，所以，，， 设中点为，所以， 因为在中由余弦定理有，， 所以，所以边上的中线长度为； 选③：因为， 所以，， 同理 因为， 所以. 3．(23-24高一下·北京丰台区·期中)在△中，，． (1)求的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择条件②或③， 【分析】（1）由正弦定理可解得； （2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】（1）在中，因为，又，所以． 因为，所以． 因为，所以． （2）选择条件②：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 因为，所以． 所以． 设点为线段的中点，在中，． 因为中， ， 所以，即边上的中线的长度为． 选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 因为的面积为，即， 所以． 设点为线段的中点，在中，． 因为中， ， 所以，即边上的中线的长度为． 由题可知，故①不合题意. 4．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求角A的值； (2)求的值； (3)若D是中点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，求出，再由正弦定理，求出，得到答案； （2）根据，借助两角和的正弦公式化简求值； （3）在中，根据余弦定理，求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 根据正弦定理，即， 解得， 又因为，所以. （2） （3） 因为，，所以， 若D是中点，则根据余弦定理得 ， 所以. 5．(24-25高一下·北京大兴区·期中)在中，． (1)求的大小； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求BC边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，得到，求得，即可求解. （2）取BC中点，则BC边上中线为，且，选条件①：由余弦定理，求得或，再利用余弦定理，即可求得的值；选条件③：由的面积为，结合面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在中，可得，所以， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为且，所以，所以 因为，所以. （2）取BC中点，则BC边上中线为，且， 选条件①：当时， 在中，由余弦定理得，即， 整理得，解得或， 当时，可得，所以； 当时，可得. 选条件③：由的面积为， 在中，可得，解得， 由余弦定理，可得，所以． 若选条件②：由， 由函数在上为单调递减函数，所以， 此时，不符合题意. 地 城 考点04 三角形角平分线问题 1．(22-23高一下·北京师范大学附属中学·期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D. （i）求证:； （ii）若，，求CD的长. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由正弦边角关系得，应用余弦定理求C的大小； （2）（i）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论； （ii）由正弦定理可得，进而得，设并表示出，应用余弦定理列方程求k，最后求CD的长. 【详解】（1）由题设，则，故， 所以，又，故. （2）（i）由题设，若上的高为， 又， ， 所以，即. （ii）由，则，又为锐角，故， 若，则，且，， 由余弦定理知：， 所以，可得或， 当，则，，此时，则； 当，则，即，不合题设； 综上，. 2．(22-23高一下·北京大兴区·期中)在△ABC中，． (1)求B的值； (2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i）求的值； （ii）求∠ABC的角平分线BD的长． 【答案】(1) (2)正确条件为①③，（i），（ii） 【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值； （2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求； （ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长． 【详解】（1）由题设， 而， 所以，故； （2）若①②正确，则，得或， 所以①②有一个错误条件，则③是正确条件， 若②③正确，则，可得，即②为错误条件， 综上，正确条件为①③， （i）由，则，即， 又，可得， 所以，可得，则， 故； （ii）因为且，得， 由平分得， 在中，， 在中，由，得． 3．(22-23高一下·北京第一六六中学·期中)在中，角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求角的大小； （2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. 若，，点是边上的一点，且___________.求线段的长. ①是的高；②是的中线；③ 是的角平分线. 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分. 【答案】（1）；（2）具体见解析. 【分析】（1）由题得，进而根据余弦定理可得； （2））选①，由余弦定理得，进而根据等面积法求解即可； 选②，根据并结合向量的模计算即可； 选③， 根据计算即可得答案. 【详解】解：（1）因为，所以整理得， 所以由余弦定理得， 因为，所以 （2）选①，是的高 由余弦定理得，所以 所以根据等面积法得； 选②，是的中线， 则由于，所以， 所以， 所以； 选③， 是的角平分线 由于， 所以，即， 解得. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，根据等面积法求边长，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用等面积法或者向量法求解. 地 城 考点05 多三角形问题 1．(23-24高一下·北京十一学校·期中)如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值. （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【详解】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 2．(22-23高一下·北京海淀区·期末)如图所示，已知中，为上一点，．   (1)求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由正弦定理可得答案； （2）由（1）得．法1：由正弦定理、可得，再由余弦定理可得．法2：求出及，再由两角差的正弦展开式求出，在中由正弦定理可得答案． 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以； （2）因为，所以，所以， 由（1）结论，计算可得， 法1：由正弦定理可知，又， 所以， 由余弦定理可得， 化简整理得， 解得． 法2：因为且， 所以， 由题意可得，所以， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 所以． 3．(22-23高一下·北京广渠门中学·期中)如图，已知在四边形中，平分，，，，．   (1)求的值； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式求出的值，从而求出的值，再根据数量积公式求出的值即可； （2）根据两角差的正弦公式求出的值，再根据正弦定理求出的长即可． 【详解】（1）在中，，，， ， ，， ； （2）由（1）得，， 而， ， 在中，由正弦定理得， 即，解得，即的长度是． 4．(22-23高一下·北京一零一中学·期中)在中，角的对边分别为，. (1)求角的大小； (2)若，为外一点，如图，，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解； （2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边形，进而可得最值. 【详解】（1）因为由正弦定理得， ，即， 因为，所以，即， 因为，所以. （2）在中，，， 所以， 又，则为等边三角形，， 又， 所以， 所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为. 5．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)如图，在中，，点D在边BC上，且． (1)求； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可； （2）先利用同角关系求，在中利用正弦定理即可求解． 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 又， ； （2）因为，所以， ， 由，可得， 在中根据正弦定理得： ， 又，，， 所以． 地 城 考点06 三角形的高线 1．(24-25高一下·北京陈经纶中学·期中)在中，． (1)求的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 【答案】(1) (2)选择①， 【分析】（1）利用倍角公式，通过解方程可得答案； （2）先利用正弦定理求出，选择①利用余弦定理求出或先判断为最长边，然后可得答案；选择②利用面积公式和余弦定理求解出两组答案，不合题意；选择③利用余弦定理得到的方程无解，不合题意. 【详解】（1）因为,所以, 所以，所以， 因为，所以舍,所以. （2）选择① 因为，由正弦定理，代入得. 法一： 由余弦定理，代入得， 所以，所以或（舍），所以边最长， 边上的高线. 法二： 因为，所以， 所以，所以，所以为最长边, 边上的高线. 选择② 因为, 所以, 因为，由余弦定理, 所以, 所以或,三角形不唯一，不能选择条件② 选择③，由余弦定理, 得，此时，，所以，三角形不存在． 2．(24-25高一下·北京顺义区·期末)在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1) (2)选条件②③时，最长边上的高为. 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合辅助角公式可求； （2）条件①中三角形不唯一，若选条件②，则可以通过余弦定理求出两边，故可求最长边上的高；若选条件③，利用正弦定理可求边，再由余弦定理求得，故可求最长边上的高. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 所以，而， 故即. （2）若选①，则，，由余弦定理可得， 整理得到：，故或， 因为三角形不唯一，故舍； 若选②，则，的周长为20， 故，由余弦定理得，故， 故最长边为，该边上的高为； 若选③，则，，由正弦定理得， 故，由余弦定理可得， 解得或(舍)，以下同选条件②. 3．(22-23高一下·北京东直门中学·期中)在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，向量，且． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值 条件①：，条件；②：条件；③：． 注．如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由平面向量的共线定理和正弦定理求出，进而求得的值； （2）若选①，由正弦定理求得，判断为锐角或钝角两种情况，存在且不唯一． 若选择②：由的面积求出，再根据列方程组求出、，利用余弦定理求得； 若选择③：由求得，再求，设外接圆的半径为，利用的面积求出，再计算． 【详解】（1）因为向量，向量，且， 所以，由正弦定理得， 在中，，，可得， 即，又，所以； （2）若选①：，由（1）知， 根据正弦定理得，所以，即，且， 所以角为锐角或钝角两种情况，存在且不唯一，不满足题意． 若选择②：，因为的面积为，解得， 由，得，所以，解得（负值舍去），所以， 由余弦定理得，解得； 若选择③：，所以， 所以， 设外接圆的半径为，则，， 所以，解得， 所以． 4．(22-23高一下·北京师范大学第二附属中学未来科技城学校·期中)在中，， 条件①：； 条件②：，边上的高为； 条件③： (1)求 (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定时，求的面积 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1）由二倍角的余弦公式求解即可； (2）选①，由正弦定理结合余弦定理求解即可；选②，由余弦定理可得 , 存在但不唯一确定．选③，由正弦定理结合余弦定理求解即可． 【详解】（1）已知中，，', 则 即 , 又,则； （2）选①，即 ； 由正弦定理可得 , 由余弦定理 可得：则, 则 即 存在且唯一确定，此时 的面积为. 选②，即, BC 边上的高为2,即 由余弦定理可得： 则 , 即存在但不唯一确定． 选③，即, 结合正弦定理 及 可得： 由余弦定理可得： , 即 ,则 ， 即存在且唯一确定，此时 的面积为. 5．(22-23高一下·北京丰台区·期中)在中，角所对的边分别为，向量，，且． (1)求的大小； (2)若，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简即可得出答案；           （2）由余弦定理求出，设边上的高为，由三角形的面积公式带入计算即可得出答案. 【详解】（1）因为，，且，所以. 由正弦定理得，因为，所以， 所以，所以. 因为，所以. （2）在中，因为，                        所以， 所以. 解得，或（舍），设边上的高为， 因为， 所以. 地 城 考点07 三角形存在问题 1．(23-24高一下·北京第八十中学·期中)从①，②，③这三个条件中选一个补充在下面的问题中，使问题中的三角形存在，并完成第（1）、（2）问． 问题：在中，它的内角的对边分别为，______，且，． (1)求出的值； (2)求的面积． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据，得，即可根据余弦定理求解，即可根据条件①求解，根据正弦定理可得，即可根据余弦定理求解，即可求解条件②，利用正弦定理边角互化得，根据余弦定理可得矛盾即可求解条件③， （2）根据三角形面积公式即可求. 【详解】（1）若选①： ∵，∴． ∵，∴，． ∵，，∴． 符合，故存在满足条件的． 若选②： 由正弦定理，得， ∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴． 由，解得：． 符合，故存在满足条件的． 若选③ ∵，∴， 由，所以， 由于，所以，但，故此时不存在， （2）由（1）知： 若选①时，此时，，．所以， 若选②时，此时，，．所以， 2．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)在中，． (1)求的大小； (2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）借助正弦定理计算即可得； （2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的. 【详解】（1）由，得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又，所以； （2）选条件①：边上中线的长为： 设边中点为，连接，则， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积为， 选条件③：： 在中，由余弦定理得，即， 整理得，解得或， 当时，的面积为． 当时，的面积为． 不可选条件②，理由如下： 若，故为钝角，则， 则，，即， 其与为钝角矛盾，故不存在这样的. 3．(21-22高一·北京第四中学·期中)在中，. (1)求的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】(1) (2)选条件②③， 【分析】（1）由余弦定理结合，即可求出； （2）由（1）可知，则可得出，而条件①等价于故条件①恒不成立，即选择条件②③，利用正弦定理可求出，再由，代入，即可求出答案. 【详解】（1）由余弦定理得： 又 所以. （2）因为，所以， 所以， 当时，，与矛盾，故条件①恒不成立， 则选择条件②：与条件③：. 由正弦定理得：， 又因为， 所以， 所以， 所以 . 4．(24-25高一下·北京通州区·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，，． (1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积； 条件①：； 条件②：； 条件③：． (2)若，求周长的取值范围． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）选择①，利用正弦定理推出不存在； 若选择②，利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； 若选择③，首先求出，利用正弦定理求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得； （2）根据正弦定理及三角恒等变换公式化简可得的周长为，结合角的范围及正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）选条件①：，由正弦定理得， 即，解得， 故无解，所以不存在； 选条件②：，由余弦定理得， 则，解得或， 当时，； 当时，. 选条件③：，则， 由正弦定理得，则， 又 ， 所以. （2）由，则，则为钝角， 因为，所以， 又， 则的周长为 ， 因为，所以，则， 所以， 即周长的取值范围为． 5．(24-25高一下·北京第五十五中学·期中)在中，． (1)求； (2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用余弦定理的推论，将等式进行变形即可求出的值，在由同角三角函数的基本关系即可求解； （2）选择条件①时，利用面积公式求出，再利用正弦定理得，联立求解即可；选择条件②：利用面积公式求出，利用，且，所以．进一步得出，再联立求解即可；选择条件③：不符合题意，因为，不可能． 【详解】（1）在中，因为， 由余弦定理，得． 因为，所以． （2）选择条件①： 因为，所以，． 由题意得，所以． 因为，， 所以 ． 由正弦定理，得， 又，解得，所以． 选择条件②： 由题意得，所以． 因为，且，所以． 又，所以， 又，解得或． 选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能． 地 城 考点08 三角形存在且唯一问题 1．(24-25高一下·北京北京中学·期中)在中， (1)求c的值； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：； 条件②：AB边上的高为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值； （2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长. 【详解】（1）由正弦定理及 得． 所以． 所以． 又因为，所以． 所以． （2）选条件①：因为，且， 所以． 因为，所以．所以． 又因为，所以． 所以． 又，所以． 所以的周长为． 选条件②：因为边上的高为，所以． 又因为，所以． 所以． 因为，所以． （1）当时，由，得． 又，所以． 所以． 所以的周长为． （2）当时，由，得． 又，所以，不符合题意． 综上，的周长为． 选条件③： 由余弦定理，可得，即。 解得或，此时不唯一，不符合要求. 2．(23-45高一下·北京第十一中学·期中)在中， (1)求证为等腰三角形； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求b的值. 条件①：； 条件②：的面积为；条件③：边上的高为3. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，根据余弦定理及已知可得，所以，可得结果； （2）若选择条件①，可得，可得，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果. 【详解】（1）在中，，设， 根据余弦定理，得， 整理，得， 因为，解得， 所以， 所以为等腰三角形. （2）若选择条件①：若 ，由（1）可知，及， 所以， 所以不存在. 若选择条件②：在中, 由, 由（1）， 所以， 解得，即. 若选择条件③： 在中，由边上的高为3， 得， 由，解得. 3．(23-24高一下·北京丰台区·期中)在中，角的对边分别为，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分． 【答案】(1)； (2)选择见解析，. 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）选择①②或①③：利用平方关系求得，然后由正弦定理和余弦的和差公式求解即可；选择②③：由正弦定理可判断三角形有两解，不满足题意. 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 又因为，所以； （2）由（1）知， 若选条件①：，条件②：， 因为，，所以， 在中由正弦定理可得，即，解得， ， 因为，所以， 所以； 若选条件①：，条件③：， 因为，，所以， 在中由正弦定理可得，即，解得， ， 因为，所以， 所以． 若选条件②：；条件③：． 因为，，所以，解得， 因为，所以存在两解，不满足题意. 4．(24-25高一下·北京清华大学附属中学·期中)在中，，. (1)求的大小； (2)是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积； (3)如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)游击手不能接到球，理由见解析 【分析】（1）根据题意利用正余弦定理分析求解； （2）对于①：在，利用余弦定理求得，进而可得面积；对于②：根据（1）中边的关系分析可得，进而可得面积；对于③：根据（1）中边的关系分析判断； （3）根据题意结合分析可得，进而可得结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 由余弦定理可得， 即，则，所以. （2）对于①：AB边上的中线长为， 在，由余弦定理得 即，解得， 则， 所以的面积为； 对于②：因为，解得， 则， 所以的面积为； 对于③：若，这与相矛盾，不合题意； （3）游击手不能接到球，理由如下： 由题意可知：，则， 因为， 即，可得，所以游击手不能接到球. 5．(23-24高一下·北京第八中学·期中)设的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 第①组条件：，； 第②组条件：边上的高，； 第③组条件：，． 【答案】(1) (2)选①不符合题意；选②；选③ 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解； （2）选①利用余弦定理可求出边，可判断不满足题意；选②先利用高和角列式可求出，然后利用余弦定理可求出边，进而求出面积；选③先求，然后利用正弦定理求出边，再结合两角和的正弦公式求，进而可求出面积. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得, 又因为，所以，所以， 显然，则， 又因为，所以. （2）若选①，由余弦定理得，即，即， 解得或，不符合题意； 若选②，因为边上的高，所以，则， 由余弦定理得，即，即， 解得（舍去）， 故唯一，符合题意， 此时的面积； 若选③，因为知道角，，边，所以唯一，符合题意， 因为，，所以， 由正弦定理得， 则， 此时的面积. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点02解三角解答题 ☆5大高频考点概览 考点01基本不等式法求最值问题 考点02三角函数法求最值范围问题 考点03三角形中线问题 考点04三角形角平分线问题 考点05多三角形问题 考点06三角形的高线 考点07三角形存在问题 考点08三角形存在且唯一问题 目目 考点01 基本不等式法求最值问题 122.23商-下北京丰合：区期肿)已知函数fx=Asin(+9)(o>0,o<号.用五点法画f(x)在 13 上的图象时，取点列表如下： 7π 5元 13元 12 3 12 6 12 f(x) 0 、 0 -2 0 (I)求f(x)的解析式： (2)将f(x)的图象向左平移（日>0）个单位后得到函数g(x)的图像.若g(x)为偶函数，求0的最小值； B在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若A=号a=f(号. 求△ABC周长的最大值. 2.(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,C,且 3(sin A-sin B) 3c-2b sinC a+b (1)求sinA; (2)若△ABC的面积 162; ①己知E为BC的中点，且b+C=8,求△ABC底边BC上中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值 3.(23-24高一下，北京陈经纶中学：期中)在△ABC中，a=2,asin B+V3 bcos A=0 1/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (1)求A: (2)除上述条件外，△ABC同时满足 ,求sinC的值； 请从①B= 4②b=3,③3b=4sinA中选择一个符合题意的条件，补充到上面问题中，并完成解答 (3)求△ABC面积的最大值， 4.(23-24高一下·北京通州区期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 asin B=V3bcos A. (I)求角A: (2)若a=2,求△ABC周长的最大值. 5.(23-24高-下.北京顺义区第一中学·期中)①a+csin A-sinC=bsin A-sinB;② 2b-0_cosA=0,③向量市=c,3b与i=cosC,sinB平行，在这三个条件中任选一个，补充在下 cosC 面题干中，然后解答问题， 已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足·（注：如果选择多个条件分别解答，按 第一个解答计分) (1)求角C: (2)若c=3,求△ABC面积的最大值. 目目 考点02 三角函数法求最值范围问题 1.(24-25高一下.北京丰台区·期中)在△ABC中，sin2A=sinA,a=1. (I)求A: (2)求△ABC周长的取值范围. 2.(21-22高一下，北京顺义区杨镇第一中学·期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 c-2b cos A+acosC=0. (1)求角A的大小： (2)若a=4,b+c=8,求△ABC的面积： (③)若角C为钝角，直接写出5的取值范围。 3.(2:23高一下北京广果门中学期中)已知在△ABC中，c=3 asin B+bcos A. 3 (1)求角B的大小： (2)若△ABC是锐角三角形，b=3,求△ABC周长的取值范围. 2/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.(20-21高一下北京丰台区期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b=V3ab+c2. (I)求C的值： (IⅡ)求cosA+sinB的最大值， 5.(20-21高一下.北京第五中学期中)已知△ABC中，V3AC·sinA=BC·cosB. (I)求B的大小： (m)已知C=号AB=1003,若D、E是边BC上的点，使∠DAE=石，求当△iDE面积的最小时， ∠BAD的大小. B D E 目目 考点03 三角形中线问题 L2324货-下北京道州区期中在△A8C中，角A.B.C所对的边为0，b,CB=2,b=7c (I)求sinC; (2)若c=1,D为AC边上的中点，求边长a及中线BD的长. 2.(23:24高一下北京十一学校期中)在△ABC中，c=2 bcos B,∠C=2n 3 (I)求∠B: (2)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上 的中线的长。 条件①c=V2b: 条件②△ABC的周长为4+23： 条件③△ABC的面积为3： 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分， 3.23-24高-下：北京丰台区期中)在△ABC中，a=3c,A=2 3/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ()求C的大小： (2)在下列三个条件中选择一个作为己知，使△ABC存在且唯一确定，并求出AC边上的中线的长度， 条件①：a=2b:条件②：△ABC的周长为4+23：条件③：△ABC的面积为3， 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分 4.(24-25高一下·北京第五十五中学期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a=V3 ,b=2,cosB=三21 7 ()求角A的值： (2)求sinC的值： (3)若D是AC中点，求BD的长， 5.(24-25高一下，北京大兴区期中)在△ABC中，asin B=2bsin(B+C)cosB. (1)求∠B的大小： (2)若a=8,再从下列三个条件中选择一个作为己知，使△ABC存在，求BC边上中线的长. 条件0：b=7:条件②：c05A=号子：条件@：△ABC的面积为103】 目目 考点04 三角形角平分线问题 1.(22-23高一下·北京师范大学附属中学·期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 c-bsin A+sin B a sinC+sin B (1)求角C的大小： (2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D. AD AC (i)求证：BDBC (i)若a=2,c=V19,求CD的长. 2.223商-下北京大兴区期中在△1BC中，3sinB+君=-c0sB+ (I)求B的值： 2给出以下三个条件：①a2-B+c2+3c=0:②0=3.b=1:3S=153,若这三个条件中仅有 4. 两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： 4/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (i)求sinA的值： (ii)求∠ABC的角平分线BD的长， 3.(22-23高一下·北京第一六六中学·期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,己知 (a+c)(a-c)=b(b+c). (1)求角A的大小： (2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. 若b=3,C=4,点D是BC边上的一点，且 求线段AD的长 ①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③AD是△ABC的角平分线. 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分， 目目 考点05 多三角形问题 1.(23-24高一下·北京十一学校期中)如图，在梯形ABCD中，AB/元CD, AB=2V6,CD=Y6,COsA=6 ,cos∠ADB= (1)求c0S∠ABD: (2)求BC的长. D C 2.(22-23高一下·北京海淀区·期末)如图所示，已知△ABC中，D为AC上一点， ∠A=年，AB=4,BD=8I0,AD>AB. (1)求sin∠ADB; (2)若sin∠BDC=2sin∠C,求DC的长. D B 3.(22-23高一下·北京广渠门中学·期中)如图，已知在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠B=60°， 5/11 命学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 AC=7,AD=6,S△ADC= 153 2 (I)求CA·AD的值： (2)求AB的长度. D B 4.(22-23高一下…北京一零一中学期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C, V3a=bsin C+V3cosC). (1)求角B的大小： (2)若A= 3,D为△ABC外一点，如图DB=4,CD=2,求四边形ABDC面积的最大值 D 5.(24-25高一下，北京平谷区第五中学期中)如图，在△ABC中，AB=6,AC=23,BC=2V6,点D 在边BC上，且∠ADC=60°. (1)求cosB: (2)求线段AD的长. 目目 考点06 三角形的高线 1.(24-25高下·北京陈经纶中学·期中)在△ABC中，c0s2A+c0sA=0. (1)求A的大小： (2)若a=7,从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定， 6/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 求△ABC最长边上的高线的长. 条件①：sinC= 5V3 14:条件②：△ABC的面积为103：条件③：b=10. 2.(24-25高一下·北京顺义区期末)在△ABC中，V3 asin C+ccos A:=2c. (1)求LA: (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC 最长边上的高. 条件①：a=7,b=8: 条件②：b=8,△ABC的周长为20： 条件@：a=7,sinC=53 14 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分 3.(22-23高一下，北京东直门中学·期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 m=b,3a,向量i=sinB,sin2A,且m/i. (1)求∠A: (2)若△ABC的面积为33，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存 在且唯一确定，求a的值 条件O:sinC=2 27,条作：@：。-3条件：@：c0sC=2 7 注.如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分. 4.(22-23高一下·北京师范大学第二附属中学未来科技城学校期中)在△ABC中，∠B≠ cos 2B=V3cos B-1 条件①：sinA=3sinC、b=2: 条件②：AC=V6,BC边上的高为2： 条件③：2b=3a、bsin A=1 (I)求∠B (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定时，求△ABC的面积 5.(22-23高一下·北京丰台区·期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,V3b), 7/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 =(cos A,sin B),m/in (I)求A的大小： (2)若a=V7,b=2,求BC边上的高. 目目 考点07 三角形存在问题 1.23-24高一下北京第八十中学期中)从0a+h=1+3,②c5inA=2,③b=3c这三个条件中选 个补充在下面的问题中，使问题中的三角形存在，并完成第(1)、(2)问. 问题：在△ABC中，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,C, -，且sinB=3sinA,C= 6 ()求出c的值： (2)求△ABC的面积. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分 2.(24-25高一下.北京顺义牛栏山第一中学期中)在△ABC中，atan B=2 bsin A. (1)求∠B的大小： (2)若a=8,再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积. 条件①：BC边上中线的长为21： 条件②：c0sA=二2 9 条件③：b=7. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分， 3.(21-22高一…北京第四中学期中)在△ABC中，bc=a2-b2-c2. (1)求∠A的大小： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积. 条件①：cosB一7： 条件②：sinC=2 条件③：a=23. 4.(24-25高一下·北京通州区·期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,a=7,A= (1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 8/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 △ABC的面积； 条件①：b=10: 条件②：C=8: 条件@：QosB=号 (2)若AB·BC>0,求△ABC周长的取值范围. 注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分， 2425商-下北京第五十五中学翔中在△ABC中，b2-d-c2=ac, (1)求sinB: (2)若△ABC的面积为153 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC存在，求a. 条件0：C=2n 3 条件②：b=5: 条件③：sinA-sinC=1. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分。 目目 考点08 三角形存在且唯一问题 1.(24-25高一下，北京北京中学期中)在△ABC中，bcosA+acos B=c2. (1)求c的值： (2)已知sinC= 3 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯 一，求△ABC的周长. 条件O:∠B= 4 条件②：AB边上的高为 4 条件③：Q= 3 9/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分 2.(23-45高一下·北京第十一中学·期中)在△ABC中， 05,c0sA=10 b_V10 10 (1)求证△ABC为等腰三角形： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求b的值. 条件O:∠B=石：条件②：△ABC的面积为5；条件③：AB边上的高为3 15 3.(23-24高一下·北京丰台区期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2=b2+c2-bc. (1)求A: (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC 的面积. 条件①：c0sC=7: 条件②：c=8:条件③：a=7. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答给分， 4.(24-25高一下北京清华大学附属中学期中)在△ABC中，sinA=3sinB,C=刀 6 (1)求∠BAC的大小： (2)E是AC的中点.从条件①BE=7,条件②a+b+c=4+23,条件③c=2b中选择一个作为已知，使 △ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积： (3)如图为某垒球比赛的预计场景，D是BC的中点，∠DAM=15°，某教练为研究战术，要求击球手在点 A沿如图AM方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由D 点出发沿如图DM方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分」 球运动方向 D M B 游击手 奔跑方向 5.(23-24高一下·北京第八中学·期中)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 asin B=V3bcos A. 10/11