综合与实践二 《设计美丽的镶嵌图案》课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

综合与实践二 设计美丽的镶嵌图案 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过观察生活中的镶嵌实例、分析埃舍尔镶嵌艺术作品的形成过程，理解平面图形镶嵌的定义,掌握平面图形可镶嵌的核心条件,能准确判断可单独镶嵌的常见平面图形. 2.通过探究正多边形、任意三角形与四边形的镶嵌规律,经历“观察猜想—操作验证—总结归纳—实践应用” 的完整探究过程,提升图形分析、动手创作与小组合作探究能力,深化对图形平移、旋转性质的理解与应用. 3.通过小组合作完成镶嵌图案设计、成果展示与互评反思的实践活动，体会数学与生活、艺术的深度关联,积累综合运用数学知识解决实际问题的经验，发展数学审美素养与创新应用意识. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 这些图案均由一种或几种形状、大小完全相同的平面图形拼接而成;拼接后图形之间无空隙、不重叠,完整铺满整个平面. 4 问题构建 问题1:结合观察结果,你能用自己的话概括什么是平面图形的镶嵌吗？ 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,就是平面图形的镶嵌. 问题2:生活中还有哪些符合镶嵌定义的现象？请举例说明. 5 问题构建 荷兰艺术家埃舍尔（Maurits Cornelis Escher，1898—1972）运用镶嵌创造 了许多令人印象深刻的艺术作品.组成合作小组,一起探索图形镶嵌的奥秘， 设计独特的镶嵌图案吧! 全等图形通过平移（或结合旋转）重复排列，利用边/轮廓的契合性（无空隙、不重叠）完成镶嵌 问题构建 问题3:从最基础的图形开始研究,若只用一种正多边形进行镶嵌,正三角形、正方形、正五边形、正六边形中,哪些可以实现单独镶嵌？请先猜想,再尝试画图验证. 【猜想】正三角形、正方形、正六边形可单独镶嵌，正五边形不可. 【验证】镶嵌核心条件:拼接在同一顶点处的多边形内角和恰好等于 360（周角） 正三角形:每个内角60°，360°÷60°=6,6个内角可拼成周角,可镶嵌. 问题构建 正方形:每个内角90°,360°÷90°=4,4 个内角可拼成周角,可镶嵌 正五边形：每个内角108°，360°÷108°≈3.33,非整数,无法拼成周角，不可镶嵌 正六边形:每个内角120°，360°÷120°=3，3个内角可拼成周角,可镶嵌 问题构建 问题4:单种正多边形镶嵌,仅正三角形、正方形、正六边形可实现，你觉得这个说法对吗？如何验证？ 证明：正n边形内角为​，设拼接个数为k（正整数），可得等式×k=360°,化简得 结合不等式n≥3（n为正整数）限定取值范围 最终得到n仅能取3、4、6. 协作破冰 问题5:除了正多边形，形状、大小完全相同的任意三角形、任意四边形可以单独镶嵌吗？请说明理由. 均可以单独镶嵌.理由:任意三角形内角和为180°,将6个全等三角形的不同内角拼接在同一顶点,2组内角和恰好为360°,可拼成周角;通过平移、旋转让相等的边重合,即可实现无缝镶嵌； 协作破冰 问题6：观察课本图2的“鸟”形镶嵌图案，将这只“鸟”看作基本图形,它有哪些特征？它是如何由正方形演变而来的？ 1.画一个标准正方形作为基础图形； 2.对正方形的一组对边进行分割,将上边裁剪出的图形平移到下边对应位置,保证上下边轮廓完全匹配； 3.对正方形的另一组对边进行分割,将左边裁剪出的图形平移/旋转到右边对应位置，保证左右边轮廓完全匹配； 协作破冰 问题7:仿照埃舍尔的方法设计独特的镶嵌图案,完整的设计步骤应该是什么？请小组讨论确定. 协作破冰 设计步骤: 1.定基础：选择可镶嵌的基础图形 2.做变形:对基础图形的边进行分割、裁剪，将裁剪部分通过平移/旋转补到对应边上,保证变形后图形仍满足镶嵌的核心规律； 3.做美化:对变形后的图形进行细节创作，设计成动物、植物、纹样等创意造型； 4.验拼接：将创作的基本图形通过平移/旋转拼接，验证是否满足无空隙、不重叠的镶嵌要求. 教师示范 问题8:小组合作完成镶嵌图案设计,同时思考：你们的设计运用了哪些数学知识？ 我们的设计运用了以下数学知识： 1.平面镶嵌的核心原理：同一顶点处内角和为360°； 2.图形的平移与旋转：基础图形的变形、基本图形的拼接，均用到了平移、旋转的性质；3.多边形内角和定理：验证基础图形的镶嵌可行性； 4.全等图形的性质：所有基本图形为全等图形，保证拼接时边、角完全重合 巩固拓展 问题9:如果用“正三角形与正方形组合镶嵌，求顶点处两种图形的个数”,如何解决这个问题？ 解:设正三角形有，正方形有y个 60°360° 采用列举法或分式方程可以得出答案 答：3个正三角形和2个正方形可以镶嵌. 当堂检测 1.在下面给出的同一种平面图形中，不能进行镶嵌的是（ ） A.正三角形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形 C 问题：正五边形不能镶嵌的原因是什么？ 当堂检测 2.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？说说你的理由.[来源:Z。xx。k.Com] 以进行镶嵌.因为正方形是可以镶嵌的.这个题只是在整个镶嵌图案中，将其中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，因而它也是可以镶嵌的 当堂检测 3.准备一个等边三角形，按如下方式剪裁，然后进行镶嵌操作，看看你得到了怎样的图形？ 当堂检测 4.你能将一个底角为60°，上底与两腰相等的等腰梯形分成4个全等的等腰梯形吗？ 19 反思总结 1.本节课我们探究得到平面镶嵌的核心条件是“拼接在同一顶点处的内角和为 360°”,请你结合本节课的探究过程,说说这个核心条件在解决镶嵌问题时最关键的作用是什么？同时谈谈你对 “数形结合”数学思想的新理解. 2.本次镶嵌图案的设计过程中,我们综合运用了本学期多个章节的数学知识,请你说说这些知识之间有什么内在的联系？通过本次综合实践活动,你在运用多个数学知识解决同一个实际问题时，积累了哪些可复用的经验？ 3.埃舍尔的镶嵌作品实现了数学规律与艺术创作的完美融合,除了本节课我们学习的平面镶嵌,你还能在生活中找到哪些可以用镶嵌的数学原理解释的现象？如果要设计正方体表面的立体镶嵌图案,你认为需要满足的核心条件是什么？ 作业设计 一、基础巩固作业： 查阅资料，找一幅镶嵌作品，分析后形成书面报告. 二、素养类作业 自主寻找主题，进行镶嵌设计，并和同学分享你的设计理念. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $