精品解析：吉林延边州延吉市延边第二中学2025-2026学年度第二学期第一次阶段检测高一年级数学试卷

延边第二中学2025—2026学年度第二学期第一次阶段检测 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平面内三点共线，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为 A. 等腰非直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰直角三角形 3. 已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 是内的一点，，则的面积与的面积之比为 A. B. C. D. 7. 在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 若向量，满足，则或 C. 为平面内一定点，若，则、、三点共线且 D. 若为的外心，，则为的垂心 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，则______. 13. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 14. 已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 16. 已知，记在方向上的投影向量为． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． （1）求A的大小； （2）若，，试判断的形状，并求的面积． 18. 在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 （1）求的值； （2）求的最小值. 19. 如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心． （1）求的值； （2）点在以为圆心，1为半径的圆上运动， ①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围； ②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2025—2026学年度第二学期第一次阶段检测 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平面内三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量共线的坐标表示求出t的值，再根据向量的模长公式计算出. 【详解】由题可知，，；因为A，B，C三点共线，所以和共线， 所以，解得.所以，故. 2. 已知向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为 A. 等腰非直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由向量得出向量的坐标，然后利用平面向量的数量积运算法则求出•，得出值为0，可得两向量互相垂直，最后分别求出三向量的模，发现互不相等，进而得出三角形ABC为直角非等腰三角形． 【详解】∵＝(4，－3)，＝(2，－4)， ∴＝－＝(－2，－1)， ∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0， ∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||. ∴△ABC是直角非等腰三角形． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的形状判断，·＝0是解本题的关键. 3. 已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据正弦定理由可得, , 在中, ,为边长为1的正三角形, .故B正确. 4. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案. 【详解】如图，由题，， ， 所以. 故选：A. 5. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由余弦定理得， 又，所以，所以， 所以由正弦定理得． 6. 是内的一点，，则的面积与的面积之比为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设边的中点为,则有,因为,则,即,因为,即可求出结果. 【详解】设边的中点为，则. ∵，∴，∴.∴. 故选:C. 【点睛】本题考查向量的运算和三角形面积的计算,难度一般. 7. 在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理，可得长，根据面积公式，可得的面积S，又的面积，结合面积公式，代入求解，可得BO的长，根据条件，即可得答案. 【详解】如图： 由余弦定理 ，所以， 的面积， 又 ， 所以，解得， 又，所以. 8. 如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意小船实际航行的方向应与保持一致，将实际航行速度进行分解，求出实际航行速度与水流速度的夹角，利用余弦定理求解即得. 【详解】如图，要使所用时间最少，小船实际航行的方向应与保持一致， 设小船的船头方向为，水流方向为，为河宽， 在中，，， 则，，则， 设小船在静水中航行的速度大小为， 在中，由余弦定理，， 解得，即小船在静水中航行的速度大小为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若复数在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于选项A：例如也满足，故A错误； 对于选项B：因为，，所以， 所以向量对应的复数为，故B正确； 对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C错误； 对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确． 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 若向量，满足，则或 C. 为平面内一定点，若，则、、三点共线且 D. 若为的外心，，则为的垂心 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，等式两侧同时平方可得，进而判断向量夹角；对于B，结合向量相等的定义判断即可；对于C，通过向量线性运算可以判断，结合平面内三点共线的向量表达即可判断；对于D，结合向量线性运算，可得，，再根据垂直向量数量积为零证明垂直关系即可. 【详解】选项A，对等式两边平方， 得：，化简得， 设向量，的夹角为，则，因为为非零向量，故，即两向量共线且反向，故正确； 选项B，仅说明两向量模相等，方向可以任意，例如互相垂直的两个单位向量，模相等但既不相等也不相反，不满足命题，故错误； 选项C，.三点共线的充要条件是： 对平面内一定点，若，则， 由，可知、、三点共线， 根据题意得，故正确； 选项D，，，，， 代入化简得， ，， 则：. 因为是外心，，即； 同理可证，， 所以是的垂心，故正确. 11. 已知，，分别是内角，，的对边，为边上一点，的面积为，且满足，，则（ ） A. B. 当为中线时， C. 当为高线时， D. 当为角平分线时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用以及正弦定理可求，判断A；利用剩余两个条件可求，再利用余弦定理求出，利用判断B；利用等面积判断C；利用 判断D. 【详解】由以及正弦定理可得，，得，故A正确； 因为的面积为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以，则，则， 在中利用余弦定理可得，， 则， 当为中线时，，则， 即，得，故B正确； 当为高线时，，得，故C错误； 当为角平分线时，则， 由，得， 则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】将左右同时平方，展开整理，即可得答案. 【详解】由题意， 解得. 13. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 【答案】500 【解析】 【分析】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【详解】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 14. 已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基底，结合向量的线性运算表示，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】设，其中， 已知边长为2的菱形中，， 则为等边三角形，又， 则 又，故 故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【小问1详解】 由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 16. 已知，记在方向上的投影向量为． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）先将求出来，后按照求模长公式求即可. （2）与的夹角为锐角，则，再排除同向共线的即可． 【小问1详解】 与的夹角为， 在方向上的投影向量． 【小问2详解】 与的夹角是锐角， ，且与不能同向共线， 即， 当与同向共线时，设，得. 且． 17. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． （1）求A的大小； （2）若，，试判断的形状，并求的面积． 【答案】（1） （2）等边三角形， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式可得，即可求解， （2）根据正弦的和差角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解的大小，进而可判断三角形为等边三角形，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 整理得， 因为，故， 又，故． 【小问2详解】 已知，则，故， ，即， 则，， 因为．则．故， 所以，是等边三角形． 因此. 18. 在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且 （1）求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正余弦定理的边角关系及向量数量积的定义，结合已知可得，再由三角形的面积公式列方程求各边长； （2）根据是上的点，结合（1）得到，，进而得，最后应用基本不等式的“1”的代换求目标式的最小值. 【小问1详解】 由，则， 所以，故，则，故， 由，则， 综上，； 【小问2详解】 由，且是上的点， 所以，且， 所以，则， 当且仅当，且，即时取等号， 所以的最小值. 19. 如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心． （1）求的值； （2）点在以为圆心，1为半径的圆上运动， ①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围； ②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）方法一、根据题意，得到为等边三角形，得到为的中心，结合正三角形的性质，结合，即可求解； 方法二、以O为原点，建立平面直角坐标系，求得，结合向量数量积的坐标运算公式，即可求解； （2）①设，得到，令，即可求得； 方法二：当共线时，取得最小值，在和中，化简得到，结合，求得. ②先得到，化简得到的坐标，根据，得到，且，结合三角函数的基本关系式，化简得到，令，，得到方程，结合，求得，再由，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：方法一、已知四边形为菱形，且， 可得为等边三角形， 因为为的外心，即为的中心，， 又因为，可得，且，因为，所以， 所以. 方法二、以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为四边形为菱形，且，可得为等边三角形， 则，，，， 所以； 【小问2详解】 解：①以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得， 因为点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则，， 所以， 令，则， 所以，则， 所以； 方法二：当共线时，取得最小值8， 在中，， 在中，， 所以，所以， 因为， 所以（当且仅当时等号成立）． 所以； ②以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得， 由，， 又由， 所以 ， 因为， 所以，且， 所以，代入， 可得， 整理得， 显然，两边同时除以，可得， 令，，可得， 即，（☆） 所以，即， 解得，所以（即m）的最大值为． 此时，式子（☆）有两个相等的根，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $