精品解析：2026年河北省石家庄高新区中考数学一模试卷

2026年初中毕业班（九年级）练习 数学 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 在代数式“”的“”中填入运算符号“”、“ ”、“”、“”，要使运算的结果最小，则“”中填入的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算括号内的结果，再分别代入四个运算符号计算得数，比较大小后得到使结果最小的运算符号． 【详解】解：先计算括号内的式子： ， 分别计算填入不同运算符号的结果： 填入时，； 填入时，； 填入时，； 填入时，； 比较大小得 ， ∴填入乘号时运算结果最小， 故选C． 2. 如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质进行判断，注意旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：观察图象可知，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是． 3. 第十五届全国运动会于年月日至日举行，会期共天．据官方统计，本届全运会通过电视频道观看的人数共有亿人．设平均每天的观看人数约为人，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：总观看人数为亿 ，会期共天， 平均每天观看人数 ，选项符合题意． 4. 计算的结果为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 5. 某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，即可得解． 【详解】解：根据题意可知： ， 在数轴上表示如下： 6. 关于x的一元二次方程的两根分别为m，n，若点（m，n）在第三象限，则bc和0的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系可知的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由一元二次方程的两根分别为m，n， 则， ∵点在第三象限， 则， 则，， 则， 则， 故选：A． 7. 如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（ ） A. 5米 B. 15米 C. 40米 D. 50米 【答案】D 【解析】 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 8. 当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 9. 数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（ ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A. 嘉嘉正确，淇淇错误 B. 嘉嘉错误，淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的判定定理，需证明，嘉嘉利用了“直径所对的圆周角是直角”构造直角；淇淇利用了等腰三角形“三线合一”的性质构造直角，分别验证两人的作图依据即可． 【详解】解：对于嘉嘉的作法：∵作的垂直平分线交于点，  为的中点，即以为圆心，为半径的圆是以为直径的圆， 点在该圆上，  ，即，  为的半径，  为的切线，故嘉嘉的作法正确； 对于淇淇的作法：连接， ∵以为圆心，为半径作弧，  ，即为等腰三角形，  ∵以为圆心，为半径作弧，  ．  为的直径，为半径，  ，即， 点在上且在上，  为的一半，即为的中点， 在等腰中，，为底边的中点，  ，即， 为的半径，  为的切线， 故淇淇的作法正确； 综上所述，两人都正确． 10. 古代数学著作《九章算术》中记载“盈不足术”问题：今有人共买物，人出八、盈三；人出七、不足四，问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱．设人数为x，物价为y钱，则下列方程错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列出函数关系式，一元一次方程的应用，根据题意列方程，根据如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱．设人数为x，物价为y钱，列方程即可． 【详解】解：∵如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱．设人数为x，物价为y钱， ∴，， 故A，B选项正确，不符合题意； 则， 整理得 故D选项不正确，符合题意； ∵人数不变， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 11. 如图，半圆的直径，C是半圆AB的中点，D是的中点，连接，，过点D作的切线分别交的延长线于点E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定可判断①，是半圆的中点和是的中点可判断②，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，得到可判断③，证明，求出，再求出可判断④． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ∵是半圆的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故③不符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④符合题意； 综上，符合题意的是①②④，共个． 12. 已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】首先由一次函数得到，，然后得到抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限，联立求出两个函数交点的横坐标为0和3，然后结合图象求解即可． 【详解】解：∵一次函数（）的图象不经过第三象限， ∴， ∴ ∵抛物线G的解析式为 ∴抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限， 联立一次函数和抛物线，得 解得或 ∴一次函数和抛物线的交点的横坐标为0和3， 示意图如下： ∴由图象可得，当时，． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，数轴上点A，B分别表示2，10，点C在线段上，点C表示的数为x，若为有理数，写出满足条件的一个x的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据数轴上点A，B的位置确定x的取值范围，再根据为有理数，确定x的形式，从而找出符合条件的x的值． 根据为有理数，确定出x的形式是解题的关键． 【详解】解：为有理数， （为正有理数）， 数轴上点A，B分别表示2，10，点C在线段上， ， ， x的值为（答案不唯一）． 14. 若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴正整数m的值有10，11，12，13，14，15共6个． 15. 如图，反比例函数的图象与直线，直线分别交于点、．若线段、、曲线段所围成的封闭图形（不包括边界）内有且只有个整点（横纵坐标均为整数），则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】确定封闭图形内的个整点，即可求解． 【详解】解：结合图形可知，线段、、曲线段所围成的封闭图形（不包括边界）内有且只有个整点，分别是、、， 反比例函数在时，，即；在时，，即， 为保证封闭图形内只有个整点，则的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，正方形和等边三角形内接于，顶点在上，． （1）当点和点重合时，的度数为______； （2）当点在的中点时，设，分别交于点，，的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，即可得出，即可求解； （2）连接，，根据已知得出，求得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形和等边三角形内接于，点和点重合 ∴， ∴ ∴ ∴ （2）连接，， ∵正方形中， ∴，，则 ∵是的中点， ∴ ∵等边三角形内接于， ∴， ∴ ∴ ∴的长为 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与化简 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）10 （2）; 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 当时，原式. 18. 【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． （1）【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； （2）【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【答案】（1）①；②；③ （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）按照规律计算即可； （2）利用代数式表示两个乘数，根据总结的规律列出等式，再根据整式的运算进行证明即可． 【小问1详解】 解：①； ②； ③； 【小问2详解】 解：设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（）， 这两个两位数分别为，， 观察发现规律为：， 证明： ， ， ． 19. 2025年我国新能源汽车产业持续升温，某汽车厂商针对一款新型电动汽车进行续航测试，测试团队从不同路况下的行驶数据中，抽取了100次有效测试结果，整理得到续航里程x（单位：）的频数分布表： 续航里程 频数 10 25 40 18 7 请根据以上信息解答下列问题： （1）直接指出中位数所在的分组； （2）若续航里程不低于为“优秀续航”，从这100次测试结果中随机选取1次，求恰好是“优秀续航”的概率； （3）该厂商计划推出“续航保障服务”，承诺：若该款车在正常驾驶情况下，续航里程低于的概率超过，则该款车视为不达标，需更换电池；为优化测试样本，厂商计划补充n次（n为正整数）续航里程在区间的测试数据，设补充的次数为n（n为正整数），若要使补充后，该款车仍达标，求n的最大值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据表格可知本次测试中续航里程不低于的有25次，由概率公式计算即可； （3）根据补充后，该款车仍达标，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取了100次有效测试结果， 中位数位于本次100次有效测试结果从小到大排列的第个和第个数据的和的平均数， ， 中位数在； 【小问2详解】 解：根据表格可知本次测试中续航里程不低于的有（次）， 则从这100次测试结果中随机选取1次，恰好是“优秀续航”的概率为； 【小问3详解】 解：即， 解得， n为正整数， 的最大值为． 20. 数学课上，张老师带领数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，小组给出的测量方案是：如图，教学楼用线段表示（点B表示楼顶），无人机从距离教学楼水平距离12米的点C处竖直起飞，上升到距离地面30米的点D处测得楼顶B的俯角为．（题目中涉及的点均在同一平面内，） （1）求教学楼的高度；（结果保留一位小数） （2）将无人机沿着水平方向向教学楼前进到点E处，测得楼顶B的俯角为α，满足，若无人机从点E处原路返回，无人机的速度在米/秒之间，请通过计算判断无人机能否在3秒内回到点C的位置． 【答案】（1）教学楼的高度约为米； （2）无人机不一定能在3秒内回到点C的位置． 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，则四边形是矩形，得到米，由题意得，解直角三角形求出米，由即可求解； （2）分别延长交于点，则四边形是矩形，得到米，由题意得，在与中，解直角三角形求出米，再求出米，进而求出米，由路程除以速度等于时间即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 由题意得，米， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：教学楼的高度约为米； 【小问2详解】 解：分别延长交于点， 则四边形是矩形， ∴米， 由题意得，，， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（秒）， ∵， ∴无人机不一定能在3秒内回到点C的位置． 21. 为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． （1）求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； （2）当乙追上甲时，求x的值； （3）求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 【答案】（1）甲步行的速度为米每分钟，乙骑车的速度为米每分钟，学校门口和操场的距离为米 （2） （3），当乙到达学校门口时 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，用路程除以时间得出速度，两人的路程差即为学校门口和操场的距离； （2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解； （3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟， 乙骑车的速度为米/分钟， ∵甲从学校门口到图书馆的路程为1000米，乙从操场到图书馆的路程是2000米， ∴学校门口和操场的距离为：米； 【小问2详解】 解：设甲的函数解析式为：，代入， ∴， ∴， ∴， 设乙的函数解析式为： 代入， ∴ 解得： ∴， 由题意，， 解得：， 故当乙追上甲时，x的值为20； 【小问3详解】 解：∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口， ∴乙返回时的行驶距离为（米）， ∴乙到达学校门口时x的值为，的值为， 设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入， ，解得： ∴，当乙到达学校门口时x的值为． 22. 【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” （1）求证：四边形为矩形； （2）试说明矩形的面积和正方形的面积相等； （3）【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据，证明，即可证明四边形为矩形； （2）先证明，继而得到，从而得到比例式 ，故，根据证明即可； （3）先证明，再证明，，然后根据角角边定理证明即可； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 【小问1详解】 证明： ，， ， ， 四边形为矩形． 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 证明：四边形是正方形，四边形为矩形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ∵， ∴． 【小问4详解】 解：，， ， ， 拼出的矩形为“开心矩形”， 或， 当时， ， 解得， ； 当时， ， 解得， 此时斜边小于直角边，不成立，舍去； 故的长为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，点C为抛物线W的顶点，且抛物线W过点A． （1）求A，B两点的坐标，并直接写出点C的坐标； （2）求抛物线W的解析式； （3）抛物线和W关于y轴对称，直线交抛物线于点A和点D，点A是否为线段的中点？请给予说明； （4）将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线，若点，，均在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），，； （2）； （3）点A不是线段的中点；理由见解析 （4）m的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用轴对称的性质求得抛物线的解析式为，联立求得，再利用坐标中点公式即可判断； （4）利用平移的性质求得抛物线的解析式为，分别用表示出，，，根据，列不等式组，据此求解即可． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，可得， ∴． 令，即，移项可得， 解得，∴． 因为点C为线段的中点，根据中点坐标公式， 可得C点坐标为，即． 因此，，，； 【小问2详解】 解：∵点为抛物线W的顶点， ∴设抛物线W的解析式为． ∵抛物线W过点， ∴将代入中， 可得，即， 解得． 将代入中， 可得； ∴抛物线W的解析式为； 【小问3详解】 解：点A不是线段的中点，理由如下， ∵抛物线和关于y轴对称，对于抛物线， 其关于y轴对称的抛物线，只需将x换成， 可得， 即抛物线的解析式为． 联立直线与抛物线的方程得， 可得， 移项可得， 因式分解得， 则或， 解得，． 当时，，即； 当时，，即． 已知，，， 根据中点坐标公式，线段的中点坐标为，即， 与不重合， ∴点A不是线段的中点； 【小问4详解】 解：∵将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为． 已知点，，均在抛物线上， ∴， ， ， ∵， ∴， 解不等式①得； 解不等式②得； 因此，m的取值范围为． 24. 如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． （1）______，______，求图1中阴影部分的面积； （2）如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； （3）如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 【答案】（1），8， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，由含角的直角三角形及勾股定理可得出，的长；连接，作于E，由即可求图1中阴影部分的面积； （2）作交于F， 由（1）和平移可知，，．则，由四边形是矩形，可得．即半圆O平移的距离为． （3）①在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小．当时，过点C作于点G，连接．可得，．当时，设垂足为H，则，．可得，，则，此时．可得．当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ②当半圆经过点M时，过点M作于点N．得出，．由勾股定理可得． 可得，则．由圆周角定理得．可得，则．所以．当直径过点M时，，可得的取值范围． 【小问1详解】 解：，， ． ， ． ． 连接，作于点E 为直径，O为圆心， ． ． ， ，． ． ， ． ． 【小问2详解】 解：作交于点F， ． 由（1）知，． 半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆． ，，． ， ． 四边形是矩形． ． 即半圆O平移的距离为． 【小问3详解】 解： 在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小． 当时，过点C作于点G，连接． 由（2）知，四边形是矩形． ，，． ． ，． 当时，设垂足为H ，． ， 此时 ， 当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ． 当半圆经过点M时，过点M作于点N． 在中，，． ，． 在中，． ． ． 为直径， ． ． ． 当直径过点M时 ． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形两锐角互余、求扇形的面积、圆的性质、矩形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业班（九年级）练习 数学 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 在代数式“”的“”中填入运算符号“”、“ ”、“”、“”，要使运算的结果最小，则“”中填入的运算符号是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 第十五届全国运动会于年月日至日举行，会期共天．据官方统计，本届全运会通过电视频道观看的人数共有亿人．设平均每天的观看人数约为人，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的两根分别为m，n，若点（m，n）在第三象限，则bc和0的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（ ） A. 5米 B. 15米 C. 40米 D. 50米 8. 当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 0或 9. 数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（ ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A. 嘉嘉正确，淇淇错误 B. 嘉嘉错误，淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 10. 古代数学著作《九章算术》中记载“盈不足术”问题：今有人共买物，人出八、盈三；人出七、不足四，问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱．设人数为x，物价为y钱，则下列方程错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，半圆的直径，C是半圆AB的中点，D是的中点，连接，，过点D作的切线分别交的延长线于点E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，数轴上点A，B分别表示2，10，点C在线段上，点C表示的数为x，若为有理数，写出满足条件的一个x的值______． 14. 若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 15. 如图，反比例函数的图象与直线，直线分别交于点、．若线段、、曲线段所围成的封闭图形（不包括边界）内有且只有个整点（横纵坐标均为整数），则的取值范围是______． 16. 如图，正方形和等边三角形内接于，顶点在上，． （1）当点和点重合时，的度数为______； （2）当点在的中点时，设，分别交于点，，的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与化简 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． （1）【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； （2）【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 19. 2025年我国新能源汽车产业持续升温，某汽车厂商针对一款新型电动汽车进行续航测试，测试团队从不同路况下的行驶数据中，抽取了100次有效测试结果，整理得到续航里程x（单位：）的频数分布表： 续航里程 频数 10 25 40 18 7 请根据以上信息解答下列问题： （1）直接指出中位数所在的分组； （2）若续航里程不低于为“优秀续航”，从这100次测试结果中随机选取1次，求恰好是“优秀续航”的概率； （3）该厂商计划推出“续航保障服务”，承诺：若该款车在正常驾驶情况下，续航里程低于的概率超过，则该款车视为不达标，需更换电池；为优化测试样本，厂商计划补充n次（n为正整数）续航里程在区间的测试数据，设补充的次数为n（n为正整数），若要使补充后，该款车仍达标，求n的最大值． 20. 数学课上，张老师带领数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，小组给出的测量方案是：如图，教学楼用线段表示（点B表示楼顶），无人机从距离教学楼水平距离12米的点C处竖直起飞，上升到距离地面30米的点D处测得楼顶B的俯角为．（题目中涉及的点均在同一平面内，） （1）求教学楼的高度；（结果保留一位小数） （2）将无人机沿着水平方向向教学楼前进到点E处，测得楼顶B的俯角为α，满足，若无人机从点E处原路返回，无人机的速度在米/秒之间，请通过计算判断无人机能否在3秒内回到点C的位置． 21. 为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校． （1）求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离； （2）当乙追上甲时，求x的值； （3）求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值． 22. 【综合与实践】数学实践课上，同学们开展“将正方形裁拼成面积相等的矩形的问题探究”． 题目：“如何将一张边长为的正方形裁拼成面积相等的矩形？” 【理论支持】嘉嘉给出的裁剪作图理论是：“如图1，在边上截取点E（点E不与点B，C重合），连接，过点E作的垂线m，交于点M，过点A作的平行线交直线m于点F，过点D作的垂线，交的延长线于点G，四边形即为与正方形面积相等的矩形．” （1）求证：四边形为矩形； （2）试说明矩形的面积和正方形的面积相等； （3）【动手操作】淇淇按照嘉嘉的示意图，将正方形裁剪成、、四边形三部分，在拼接过程中发现拼接到或的位置都未能全部填满，于是，她把放到图2所示的的位置，然后在截取，过点K作于点J，并裁剪出，将其拼到的位置，恰好无缝拼接，然后将四边形拼到四边形的位置，恰好拼接成一个完整的矩形．求证：； （4）如图3，规定：两条邻边的长度比为的矩形为“开心矩形”，若拼出的矩形为“开心矩形”，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，点C为抛物线W的顶点，且抛物线W过点A． （1）求A，B两点的坐标，并直接写出点C的坐标； （2）求抛物线W的解析式； （3）抛物线和W关于y轴对称，直线交抛物线于点A和点D，点A是否为线段的中点？请给予说明； （4）将抛物线W向右平移m个单位长度得到抛物线，若点，，均在抛物线上，当时，直接写出m的取值范围． 24. 如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． （1）______，______，求图1中阴影部分的面积； （2）如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； （3）如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $