河南省叶县高级中学2025-2026学年高一下学期数学期中复习测试题(一)

2025-2026学年下学期数学期中复习测试题(一)(试题版) （ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考试范围：人教A版必修第一册第5章+人教A版必修第二册第6~8章（三角函数+平面向量及其应用+复数+立体几何初步） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（   ） A． B．2 C． D． 7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 8．如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则，可以作为平面内的一组基底 C．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是 D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 11．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知向量，且，则______. 13．已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 14．若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 16．（15分） （1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 17．（15分） 在中，内角，，的对边分别为，，，， ． (1)求； (2)若为边上一点，，，证明：． 18．（17分）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 19．（17分）已知，，函数. (1)求函数的解析式及周期； (2)若，且，求的值. (3)角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期数学期中复习测试题(一)(解析版) （ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考试范围：人教A版必修第一册第5章+人教A版必修第二册第6~8章（三角函数+平面向量及其应用+复数+立体几何初步） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，再根据复数模的计算公式，即得答案. 【详解】由，得， 所以. 2．已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据两函数图象关于直线对称及得到，结合的范围代入求解即可. 【详解】由题意知，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 3．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 4．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【详解】设两个向量的夹角为，则， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 所以投影向量为. 5．若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正棱柱及其有关计算、组合体的切接问题、柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 6．已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算 【分析】将平方后换元，通过数量积的计算公式表示，利用余弦函数的单调性分析的最大值求解. 【详解】将平方得， 令，则，， 设与的夹角为，，当时，，与条件矛盾，， ，分子分母同时除以，， 令，则， 当时，取得最小值，此时取最大值， 当时，，，， 所以当与的夹角最大时，. 7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【详解】由图象可知：，，所以， 由得. 由，得，又可得. 所以，故A正确； 因为，所以不是函数的对称中心，故B错误； 当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度可得，故D正确. 8．如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、形状相同的几何体体积的比 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BC 【知识点】复数的基本概念、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】应用特殊值法计算判断A，应用共轭复数及复数乘法计算判定B，C，特殊值法应用复数的乘法及模长公式计算判定D. 【详解】对于A，取，且，则，，显然，故A错误； 对于B，设，则，故B正确； 对于C，由可得，因为是非零复数，所以，即，故C正确； 对于D，取，，则，，故D错误. 10．下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则，可以作为平面内的一组基底 C．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是 D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【答案】BD 【知识点】平行向量（共线向量）、向量减法的运算律、基底的概念及辨析、向量夹角的坐标表示 【分析】举反例即可判断A；由基底的概念即可判断B；根据向量夹角为锐角列出不等式即可判断C；根据向量加减法运算法则即可判断D． 【详解】对于A，若，则与不一定平行，故A错误； 对于B，因为，所以与不共线， 所以，可以作为平面内的一组基底，故B正确； 对于C，因为与的夹角为锐角，所以， 又与不共线，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为 ， 所以，故D正确． 11．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解； 【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径， 代入条件得，由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对于B选项，将代入，得， 由余弦定理，，故，B错误； 对于C选项，若，由基本不等式可得 的面积， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误； 对于D选项，由， 得， 由，得，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，故.D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知向量，且，则______. 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标运算，求得，结合三角正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入计算，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，所以， 则. 13．已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是_____. 【答案】 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，代入圆台的体积公式即可得出答案． 【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h， 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长， 大扇形弧长， 由知道 ， 则圆台的侧面积， 所以，所以 ， 所以高 ， 所以圆台的体积 14．若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、向量新定义 【分析】设，则，由即得解. 【详解】由题意知，．设， 则． 又，∴，∴． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数，. (1)当时，求； (2)设，记（表示复数z的虚部）.将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据复数的除法求解即可； （2）利用复数的乘法及三角函数图象的变换求出，再由正弦型三角函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时， 所以. （2）因为，所以 ， 所以， 将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得， 令， 解得， 所以的单调递增区间是 16．（15分） （1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） . 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）与数量积小于零，排除反向共线情况即可； （2）利用平行四边形法则表示，转化成两向量的数量积求解，利用不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意： ， 又， 由题意，解得， 又当时，即时，与共线， 所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为； （2）由题意：由为圆心，得，所以， 则， 由，， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 17．（15分） 在中，内角，，的对边分别为，，，， ． (1)求； (2)若为边上一点，，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式得到，结合余弦定理即可求出，的值，得到为等边三角形，进而得到. 【详解】（1）因为，所以. 由正弦定理知，，又，，所以. 又，所以. （2） 由（1）知，，又，所以，即平分. 因为，， ， 所以，即. 在中，， 即，解得或（舍去）. 所以，解得，所以为等边三角形， 又平分，所以. 18．（17分）如图所示，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】(1)； (2)体积为，表面积为． 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、求组合旋转体的表面积、求组合体的体积、求旋转体的体积 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积和体积即可求出答案. 【详解】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为. （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高， 母线长， 则旋转体的体积为， 表面积为. 19．（17分）已知，，函数. (1)求函数的解析式及周期； (2)若，且，求的值. (3)角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【详解】（1）. 周期； （2）由可知，，化简得， ，，， ； （3）由可得，即， 又，则，则，所以. 由余弦定理知： ， 当且仅当时“”成立， 此时为等边三角形， 又所以的周长的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $