湖南天壹名校联盟2026届高三3月质量检测数学试卷

2026届高三3月质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 3. 设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且，，，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 240 B. 364 C. 432 D. 468 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足当，，其中，当时，，若方程有无穷多个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 曲线关于点中心对称 D. 方程在区间上有3个解 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当时， C. 的零点个数为3 D. 不等式的解集为且 11. 设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，已知的实轴长一定，则（   ） A. 若为锐角三角形，则的离心率 B. 若为钝角三角形，则的离心率 C. 当取得最大值时，为直角三角形 D. 当为直角三角形时，的面积最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是公差为2的等差数列，若 ，则________． 13. 吸光度用于描述材料对光的吸收程度．记吸光度为，透射光的光强为，入射光的光强为，则．现有光强为的入射光同时照射材料甲与材料乙，已知照射材料甲得到透射光的光强是照射材料乙得到透射光的光强的，则材料甲的吸光度与材料乙的吸光度的差值为________． 14. 二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为 时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数． （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； （2）求样本的相关系数（精确到0.01）； （3）已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 16. 如图，直四棱柱中，四边形是正方形，，分别为棱，中点． （1）证明：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 17. 已知抛物线 ，过其准线上一点作的两条切线，切点分别为，则： （1）求抛物线的方程； （2）求证：； （3）若，求直线的斜率. 18. 已知函数 ． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）记的所有正极值点从小到大排列为，，…，． （ⅰ）证明： ； （ⅱ）若，证明：为第二象限角． 19. 在空间中，从原点引出三条射线，，，其两两之间的夹角均为．设空间点列：在上，且 ．在上，且满足，在上，且满足，在上，满足，以此类推，即在上，则在上，且满足，其中射线满足与重合． （1）证明：为等比数列，并求的前项和； （2）是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）求的通项公式，并证明：当时，点始终在以为球心，1为半径的球内． 2026届高三3月质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】40 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）12，650 （2） （3）710亿元 【16题答案】 【答案】（1） 因为， ， 于是，而不与重合，可得， 由平面，平面，可得平面． （2）1或2 【17题答案】 【答案】（1） ； （2）由（1）知，抛物线：，设，求导得 ， 直线的斜率，整理得，同理， 因此为方程的两个根， ，而直线斜率， 则，所以. （3）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）由题可知正极值点满足 ， 显然 ，得 ， 即 ，可得 ， （ⅱ）注意到， 于是 ， 题中不等式等价于， 而，显然 ， 可知不等式等价于 ， 设 ， ， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 于是 ，而 ，可得 ，故 ， 结合 可得为第二象限角． 【19题答案】 【答案】（1）证明：由题意可知，三角形为直角三角形，且 ． 在中， ，又因为 ， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，则 （2）存在， （3）， 下面证明：当时，点始终在以为球心，1为半径的球内， 即证明对于任意，都有 ． 当且时，， 因为，所以 ，进而 ， 所以 ，故 成立． 当且时， ， 要证该式小于1，只需证 ，也即证 ， 因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ， 所以上述不等式恒成立，即 成立， 综上所述，当时，点始终在以为球心，1为半径的球内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $