精品解析：四川省资中县第二中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷

资中二中高2028届第二学期3月月考 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题作答时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题作答时，用黑色签字笔将答案书写在答题卡上对应的答题区域内. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题或超出答题区域书写无效. 5.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一､单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知与是不共线的向量，且，若三点共线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 已知中，为中点，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 A. B. C. D. 1 二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意两个向量与，下列正确的是（ ） A. 若与满足，且与同向，则 B. C. D. 10. 在中，下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 内江大千游乐场的摩天轮如图所示，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置登舱，转一周大约需要30分钟，开始转动分钟后距离地面的高度为米.已知关于的函数关系式满足，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，则摩天轮在运行一周的过程中，游客具有10分钟的最佳视觉效果 D. 当甲登上摩天轮5分钟后，乙也在摩天轮最低处登上摩天轮，在运行一周的过程中，两人距离地面的最大高度差为55米 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________． 13. 已知，且，求与的夹角__________. 14. 设函数相邻两条对称轴之间的距离为，，则的最小值为__________． 四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求的值： （2）若，且，求的值. 16. 设两个向量满足的夹角为. （1）求 （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17. 如图，中，是中点，，设. （1）用表示； （2）若与夹角为，且，是否存在使得，若存在求出值，不存在说明理由. 18. 函数在一个周期内的图像如图所示： （1）求的解析式； （2）若，求的单调增区间； （3）若对于任意的，存在，使得成立，求满足条件的集合. 19. 函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，令，若函数有两个零点、. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资中二中高2028届第二学期3月月考 数学试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题作答时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题作答时，用黑色签字笔将答案书写在答题卡上对应的答题区域内. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题或超出答题区域书写无效. 5.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一､单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减运算法则得到答案. 【详解】． 故选：B 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的值，利用两角和的正切公式可求得结果. 【详解】因为，则，因此，. 故选：D. 3. 已知与是不共线的向量，且，若三点共线，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得，即. 因为与是不共线的向量，所以，解得​， 代入得，因此的值为. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的图象变换判断即得. 【详解】函数， 因此把函数图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象. 故选：C 5. 已知中，为中点，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积运算律得，再利用投影向量计算公式计算求解. 【详解】因为为中点，所以，即， 可得， 因为，所以， 则，化简可得， 所以向量在上的投影向量为. 6. 已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和为，顶角为，则底角，再有诱导公式即可求解． 【详解】设等腰三角形的顶角为，底角为，则.又， 即， 故选B. 【点睛】本题考查三角诱导公式，需熟记公式． 7. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和夹角为两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两的夹角为或, 当夹角为时，； 当夹角为时， ； 综上所述：或. 故选：C． 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】令，则问题转化为不等式在上恒成立，即，应选答案B． 二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意两个向量与，下列正确的是（ ） A. 若与满足，且与同向，则 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】因为向量不能比较大小，判断选项A；利用向量的三角不等式定理分析选项B、D；利用向量数量积的定义分析选项C. 【详解】选项A，向量是既有大小又有方向的量，向量本身不能比较大小，只有向量的模长可以比较大小，因此A错误； 选项B，根据向量加法的几何意义，任意情况下都满足，当与同向共线时等号成立，因此B正确； 选项C，根据向量点积的定义，，因此， 由于，故，因此C正确； 选项D，三角不等式为，原不等式不成立，因此D错误. 10. 在中，下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角形的内角和结合诱导公式逐项化简可得合适的选项. 【详解】对于AB选项，，A错B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 11. 内江大千游乐场的摩天轮如图所示，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置登舱，转一周大约需要30分钟，开始转动分钟后距离地面的高度为米.已知关于的函数关系式满足，则下列正确的是（ ） A. B. C. 若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，则摩天轮在运行一周的过程中，游客具有10分钟的最佳视觉效果 D. 当甲登上摩天轮5分钟后，乙也在摩天轮最低处登上摩天轮，在运行一周的过程中，两人距离地面的最大高度差为55米 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由摩天轮周期求，再结合其最高、最低点高度确定、和得到函数式，接着令函数满足最佳视觉效果条件解不等式得出相应时间，最后分别表示甲、乙高度来求最大高度差. 【详解】已知摩天轮最高点米，直径米，周期分钟，时游客在最低点， 所以最低点高度为米，所以振幅， ，，因此A选项正确， 又因为，时，所以， 即，又因为， 所以，因此函数为：， 所以B选项错误， 又因为，所以， 又因为，所以， 解不等式得：，即， 所以时长为，C选项正确， 当甲出发分钟（甲运行一周内），乙晚出发5分钟时，高度分别为： ，， 高度差化简得：， 根据三角函数两角差余弦公式可得：， 进一步化简可得：， 所以， 又因为最大值为，且、都在区间内， 因此最大高度差为米，D选项正确. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式即可得出答案. 【详解】 故答案为：. 13. 已知，且，求与的夹角__________. 【答案】 【解析】 【分析】先展开向量的数量积运算式，代入已知模长求出两向量的数量积，再利用向量夹角公式计算余弦值，最后结合夹角的取值范围确定最终角度. 【详解】由，展开得， 代入，得， ，即， 解得. 由， 又，故. 14. 设函数相邻两条对称轴之间的距离为，，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定的条件，求出函数的周期，进而求出，再利用最值求出的表达式作答. 【详解】因为函数相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的周期， ，又，因此，即， 所以当时，. 故答案为： 四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求的值： （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可得正余弦值，进而根据二倍角公式以及和差角公式即可代入求解， （2）根据同角关系以及和差角公式即可求解. 【小问1详解】 因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为为锐角，所以，又， 所以，故， 因为，所以， 则； . 16. 设两个向量满足的夹角为. （1）求 （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ； 因此=； 【小问2详解】 设向量与的夹角为， 因为向量与的夹角为钝角，所以， 所以 ； 解得：； 设，，得: ，解得: ; 又因为向量与的夹角为钝角，所以两向量不能反向共线，所以. 综上所述：实数的取值范围为； 17. 如图，中，是中点，，设. （1）用表示； （2）若与夹角为，且，是否存在使得，若存在求出值，不存在说明理由. 【答案】（1），=； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量垂直，结合运算律，即可求解. 【小问1详解】 已知D是AB中点，所以，根据向量减法的三角形法则：； E是三等分点，，所以=； 【小问2详解】 存在，理由如下； 由，则，所以，整理得， 已知与夹角为，且，可得， 所以，解得， 因为，所以. 18. 函数在一个周期内的图像如图所示： （1）求的解析式； （2）若，求的单调增区间； （3）若对于任意的，存在，使得成立，求满足条件的集合. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由最高点纵坐标得，由相邻顶点距离可求得周期，从而可得，代入零点可求得，随即可得的解析式； （2）用整体代入法解出范围，再与取交集； （3）依题意可得，令，求出，的取值范围，依题意可得的取值范围包含于的取值范围，即可得到关于的不等式组，解出即可. 【小问1详解】 由图像可知，，所以周期， 由周期公式可得， 将点代入可得，于是， 又因为，所以，所以函数解析式为； 【小问2详解】 正弦函数的单调递增区间为， 令，则， 解得，因为，所以只能为， 所以，故在上的单调递增区间为； 【小问3详解】 由可得， 所以，，所以. 将变形可得，令，易知， 所以，根据题意可得 所以且，解得， 故满足条件的m的集合为. 19. 函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，令，若函数有两个零点、. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得的值； （Ⅱ）（1）求出函数的解析式，可得出函数的解析式，作出函数与直线的图象，数形结合可得出实数的取值范围； （2）将所证不等式等价证明不等式对任意的恒成立，利用三角函数线的定义结合扇形面积、三角形面积的大小关系可证得结论成立. 【详解】（Ⅰ）因为，由题有，所以； （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，所以，所以， 作出函数与直线的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个零点， 故实数的取值范围是； （2）由（1）可知，所以， 若证，只需证，只需证， 只需证， 当时，如下图所示，设锐角的终边与单位圆交于点，过点作轴， 由三角函数线的定义可得，， 因为，即，即，所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $