第3章 概率初步单元复习（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期培优讲义

该初中数学《概率初步》单元复习讲义通过表格对比、分层梳理构建知识体系，系统呈现事件分类、频率与概率关系、等可能事件及几何概率计算等核心内容，用思维导图突出知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础事件辨析（如传统文化情境判断事件类型）到压轴游戏公平性设计，融入列举法、方程思想等技巧，培养数据意识与模型观念。基础题巩固概念，培优题提升推理能力，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可精准突破薄弱点。

第3章 概率初步 知识点1：事件的分类 1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，概率，如“太阳东升西落”“三角形内角和为”。 2.不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，概率，如“水中捞月”。 3.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率满足，如“购买彩票中奖”。 知识点2：频率与概率的区别与联系 特征 频率 概率 定义 在次重复试验中，事件发生次，比值为频率 刻画事件发生可能性大小的数值 性质 试验统计值，随试验次数变化而变化 理论定值，与试验次数无关 取值范围 必然事件，不可能事件，随机事件 联系 当试验次数大量增加时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用于估计概率 知识点3：等可能事件的概率公式 1.核心公式：若一次试验有种等可能结果，事件包含其中种结果，则。 2.关键前提：所有结果发生的可能性均等，如质地均匀的骰子、背面相同的卡片等。 3.常见应用：摸球、掷骰子、抽卡片等简单随机试验。 知识点4：几何概率的计算 1.适用场景：事件结果与几何图形的面积、长度等相关，且试验结果在图形内均匀分布。 2.计算公式：。 3.典型例子：转盘游戏、小球在方砖上滚动、飞镖投射等。 知识点5：游戏公平性判断 1.判断标准：双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平。 2.调整方法：通过改变事件对应的结果数（如增减球的数量、调整转盘扇形面积），使双方获胜概率相同。 【基础必考题型】 【题型1】事件类型的辨析 1.核心知识点: 必然事件、不可能事件、随机事件的定义 结合生活实际与传统文化判断事件类型 2.解题方法技巧: 紧扣定义判断：必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，随机事件结果不确定。 传统文化关联：如“二十四节气”抽奖、成语描述事件等，先理解情境含义，再归类事件类型。 排除法应用：先排除明显的必然或不可能事件，剩余为随机事件。 【例题1】.（2025·浙江杭州·一模）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．从地面向上抛的硬币会落下 B．射击运动员射击一次，命中环 C．太阳从东边升起 D．有一匹马奔跑的速度是米秒 【答案】B 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，一定会发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件.结合概念判断各选项即可. 【详解】解：A 、从地面向上抛的硬币会落下，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； B 、射击运动员射击一次，可能命中环，也可能不命中环，是否发生无法预先确定，属于随机事件，符合题意； C 、太阳从东边升起，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； D 、马奔跑的速度不可能达到米/秒，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合题意； 故选：B. 【变式题1-1】.（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】根据事件的分类方法，进行判断即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数是奇数，可能发生也可能不发生，是随机事件． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）桌上有6张扑克牌，4个“A”、1个“大王”和1个“小王”，这些牌背面无差别，一次随机摸出3张扑克牌，下列事件是不可能事件的是（   ） A．3张牌都是“A” B．3张牌都是“王” C．3张牌中有“A” D．2张是“A”1张是“王” 【答案】B 【分析】根据牌的数量，结合不可能事件（一定不发生的事件）的定义，即可进行判断． 【详解】∵桌上“王”只有1个“大王”和1个“小王”，总数量为2，而一次要摸出3张牌， ∴不可能摸出3张都是“王”，该事件一定不发生，属于不可能事件． 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外没有其他差别，现随机从盒子中摸出2个球，则下列事件属于必然事件的是（    ） A．摸出1个白球和1个黑球 B．摸出2个白球； C．至多摸出1个黑球 D．至少摸出1个黑球 【答案】D 【分析】本题主要考查必然事件的定义，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．结合盒子内球的数量，分析摸出2个球的所有可能情况来判断各事件类型即可． 【详解】解：∵盒子中装有1个白球和2个黑球，摸出2个球的所有可能为1白1黑、2黑 ∴A选项摸出1个白球和1个黑球是随机事件，不是必然事件； ∵盒子中仅有1个白球，无法摸出2个白球， ∴B选项摸出2个白球是不可能事件，不是必然事件； ∵存在摸出2个黑球的情况，此时摸出的黑球数量多于1个， ∴C选项至多摸出1个黑球是随机事件，不是必然事件； ∵摸出2个球时，最多只能有1个白球，因此至少会摸出1个黑球， ∴D选项至少摸出1个黑球是必然事件． 故选：D． 【题型2】频率的计算与应用 1.核心知识点: 频率的定义与计算公式 频率与频数的关系 2.解题方法技巧: 直接计算法：明确频数和总次数，代入公式求解，注意结果化为小数或分数。 表格补全：根据频率或频数的已知条件，反向求未知量（如总次数=频数÷频率）。 实际应用：结合调查数据（如借阅记录、跳绳次数统计），计算指定事件的频率。 【例题2】.（21-22八年级下·江苏扬州·周测）在“I like maths．”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率为_______． 【答案】 【分析】根据定义计算字母出现的频数与总字母数的比值即可． 【详解】解：在“I like maths”中，统计所有字母，总共有个字母，其中字母“”出现的频数为， 故字母“”出现的频率为． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率，解题的关键是掌握频率是事件发生次数与总试验次数的比值，计算即可． 【详解】解：出现点数6的次数为5次，总试验次数为20次， 频率． 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·福建漳州·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 【答案】2.8 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·福建漳州·期末）漳州市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了如下的统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，关键是理解“在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值”．通过观察树苗移植成活的统计数据，随着移植棵数增加，成活频率稳定在附近，因此可估计该树苗成活的概率为． 【详解】解：∵根据统计数据，当移植棵数足够多时，成活频率稳定在左右， ∴估计该树苗成活的概率为． 故选：C． 【题型3】简单等可能事件的概率计算 1.核心知识点: 等可能事件的概率公式 列举法求所有可能结果 2.解题方法技巧: 列举所有结果：通过列表、枚举等方式，确保不重复、不遗漏所有等可能结果。 确定事件包含的结果数：从所有结果中筛选出符合事件的结果，统计其个数。 代入公式计算：注意结果化简为最简分数，如化简为。 【例题3】.（2026·安徽阜阳·一模）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，先确定剩余咖啡的总数和其中有奖咖啡的数量，再列举出所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵一箱共6瓶咖啡，原本有2瓶有奖，明明连续打开2瓶均未中奖， ∴剩余咖啡数量为瓶，剩余咖啡中有奖咖啡仍为2瓶，未中奖咖啡为2瓶， 将剩余4瓶编号：有奖两瓶记为、，未中奖两瓶记为、， 从4瓶中任意拿2瓶，所有等可能的情况有：，，，，，，共6种， 其中2瓶都中奖的情况只有这1种， ∴所求概率为， 故选：D． 【变式题3-1】.（2025·浙江杭州·一模）一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___． 【答案】/ 【分析】本题考查概率的计算，正确理解概率的意义，找出所有等可能的结果总数与所求事件包含的结果数是解题关键，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中共有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球有1个， ∴从中任意摸出一个球，摸出红球的概率为． 【变式题3-2】.（2026九年级下·重庆·专题练习）小杜有五顶帽子，分别为2顶红色和3顶黑色，从中随机选取一顶帽子恰好是红色帽子的概率是________． 【答案】 【分析】用红色帽子的数量除以帽子总数量即可得到所求概率． 【详解】解：由题意可得，所有等可能结果总数，即帽子的总数量为，选取红色帽子的结果数为． P（选取红色帽子）． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，求摸到的球是白球、红球、黄球的概率各是多少？ 【答案】 摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为． 【分析】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，据此解题即可． 【详解】解：∵不透明的口袋中共装有(个)球，这些球除颜色外其他均相同， ∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为． 【题型4】转盘中的概率计算 1.核心知识点: 几何概率的计算原理 转盘扇形面积与概率的关系 2.解题方法技巧: 确定总份数：明确转盘被等分成的扇形个数或总圆心角度数（通常为）。 计算目标区域占比：目标区域的扇形个数÷总个数（或目标区域圆心角÷）。 结合商业规则：如抽奖活动中，根据概率判断获奖可能性大小。 【例题4】.（25-26九年级上·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键； （1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解； （2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客未获奖的概率为． （2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 【答案】(1)1 (2)， (3)使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析． 【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键． （1）由中奖率，可得获得购物券的概率是； （2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案． 【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是． （2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会． ∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份， ∴她获得元、元购物券的概率分别是，． （3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可． 如图所示： 【变式题4-3】.（22-23七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 【培优高频题型】 【题型5】用频率估计概率 1.核心知识点: 频率的稳定性 用频率估计概率的方法 2.解题方法技巧: 观察频率趋势：分析多次试验的频率数据，判断其稳定的常数附近值，作为概率估计值。 实验数据处理：补全频率表格，绘制折线统计图，直观感受频率的稳定性。 实际估计：如根据种子发芽频率估计发芽概率、根据摸球频率估计某颜色球的数量。 【例题5】.（2026八年级下·江苏·专题练习）某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，如表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（   ） 移植总数 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数 369 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 A．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9 B．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株 C．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，需明确频率与概率的关系，概率是频率的稳定值，是估计值而非确定值． 利用频率估计概率，逐一判断即可． 【详解】解：大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，可利用频率估计概率，但概率是估计值，不是必然结果，A选项，表格中各频率均在0.9左右，由此估计这种幼苗成活的概率约为0.9，该选项正确； B选项，“必定成活18000株”表述错误，概率是估计值，移植20000株幼苗只是大约成活18000株，不是必然结果； C选项，试验次数累计最多时的频率更稳定，可作为概率的估计值，该选项正确； D选项，大量重复试验中，随着试验次数增加，成活频率会越来越稳定，因此可用频率估计概率，该选项正确； 不正确的是B选项． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子中装有粉色、黄色、蓝色夹子共100个，这些夹子除颜色外无其他差别，若每次将夹子充分搅匀后，任意摸出一个夹子记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色、蓝色夹子的频率分别稳定在，请估计盒子中粉色夹子的个数． 【答案】30个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以估计摸到粉色夹子的概率，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，摸到粉色夹子的概率为， 估计盒子中粉色夹子的个数为（个）． 答：估计盒子中粉色夹子有30个． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 【题型6】已知概率求相关数量 1.核心知识点: 概率公式的逆用 方程思想的应用 2.解题方法技巧: 设未知数：设所求数量为（如球的总个数、某颜色球的个数）。 列方程：根据概率公式建立方程，如。 求解验证：解方程后，验证结果是否符合实际情境（如数量为正整数）。 【例题6】.（22-23九年级上·湖北黄石·期末）在不透明的箱子里，装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，其中白球的个数为12个．为了估计红球的个数，将箱子里面的球搅匀后，随机从中摸出一个球并记下颜色．然后把它放回箱子中，重复上述摸球过程100次，其中摸到红球的次数为40次，由此可以估计箱子里红球的个数约是______个． 【答案】8 【分析】利用摸球100次，红球出现的频率来估计总体中红球的概率，列方程计算即可． 【详解】解：设箱子里有个红球，由题意得， ， 解得，， 箱子里有红球8个； 故答案为：8． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率、一元一次方程的解法，理解频率、概率的意义及其相互联系与区别是解答此题的关键． 【变式题6-1】.（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，请估计袋子中红球的个数． 【答案】17个 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求数量，根据摸到白球的频率稳定在0.15附近，得到摸到白球的概率为0.15，设袋子中红球的个数为个，利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中红球的个数为个， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， 估计袋子中红球的个数为17个． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·江苏盐城·期中）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和日球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 590 968 1204 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.594 0.590 0.605 (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是_____（精确到0.1）； (3)若袋中有红球4个，请估计袋中白球的个数． 【答案】(1)297，0.602 (2)0.6 (3)6个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可； （2）根据频率估计概率计算； （3）由概率的估计值可计算白球的个数． 【详解】（1）解：依题意，，， 故答案为：297，0.602 （2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.6； 故答案为：0.6． （3）解：摸到白球的概率的估计值是0.6， 则， 摸到红球的概率的估计值是0.4， 袋中有红球4个， 球的个数共有：（个）， 袋中白球的个数为（个）． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·河南·期中）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少2个，红球和黄球一样多． (1)求袋中红球的个数． (2)再向袋中放入若干个红球，使随机摸出一个球是红球的概率为0.7，求放入红球的个数． (3)在（2）的条件下，随机摸出一个球是白球的概率______．（直接写出答案） 【答案】(1)4个 (2)10个 (3) 【分析】本题考查求概率，已知概率求数量，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）设白球有x个，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）设放入红球a个，根据概率列出方程进行求解即可； （3）直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设白球有x个，黄球个，则红球个． 根据题意得：，解得； ∴； 答：红球有4个． （2）设放入红球a个． 则 解得； 答：又放入红球10个． （3）； 故答案为：． 【题型7】几何图形中的概率计算 1.核心知识点: 几何概率的计算公式 图形面积的计算方法 2.解题方法技巧: 计算总面积：对于网格图形，数出小正方形个数；对于规则图形，用面积公式计算（如正方形面积=边长×边长）。 计算目标区域面积：通过割补法、公式法求出阴影或指定区域的面积。 代入公式求解：注意面积单位统一，结果化简为最简分数。 【例题7】.（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率；求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的，计算即可． 【详解】解：∵正方形二维码的边长为， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，在一个不规则的区域内，有一个面积为54的正方形，向区域内随机地撒4000粒黄豆，数得落在正方形内（含边界）的黄豆有1350粒．以此试验数据为依据，可以估计出该不规则区域的面积． (1)随机向不规则区域内掷1粒黄豆，求黄豆落在正方形内（含边界）的概率； (2)请你估计出该不规则区域的面积． 【答案】(1) (2)160 【分析】本题考查了几何概率，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据概率公式即可得到结论； （2）根据概率公式即可得到结论． 【详解】（1）解：记“黄豆落在正方形内（含边界）”为事件， ． 故黄豆落在正方形内（含边界）的概率为． （2）解：，正方形的面积为， ∴不规则区域的面积为． 答：该不规则区域的面积是． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·北京顺义·期末）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； （2）解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比列式求解即可； （2）用蓝色区域的圆心角度数除以度即可； （3）分别求出地板面积和阴影区域的面积，然后用阴影区域的面积除以地板面积即可求出小球最终停留在阴影区域的概率． 【详解】（1）解：设圆的半径为，则正方形的边长为． 根据题意，得， 所以． （2）解：如题图②，指针落在蓝色区域的概率为． 答：指针落在蓝色区域的概率为． （3）解：如题图③，地板面积为， 阴影区域的面积为， 则小球最终停留在阴影区域的概率为． 答：小球最终停留在阴影区域的概率为． 【压轴素养题型】 【题型8】游戏公平性判断与设计 1.核心知识点: 游戏公平性的判断标准 概率计算与规则设计 2.解题方法技巧: 计算双方获胜概率：分别求出甲、乙获胜的概率，比较是否相等。 不公平规则调整：通过增减元素数量、改变获胜条件等方式，使双方概率相等（如增加某颜色球、调整转盘扇形面积）。 新规则设计：结合要求（如指定概率），设计公平的游戏规则，说明设计理由。 【例题8】.（2025九年级下·北京·专题练习）如图，有，，三个转盘，团团和圆圆做转盘游戏，指针停在阴影区域团团胜，在白色区域圆圆胜． (1)想让团团获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (2)想让圆圆获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (3)想让游戏公平，要选择 转盘玩． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了几何概率的意义及应用，熟练掌握几何概率的大小与对应区域面积占比的关系是解题的关键． （1）想让团团获胜的可能性大，则指针停在阴影区域的概率要大，则选转盘； （2）想让圆圆获胜的可能性大，则指针停在白色区域的概率要大，则选转盘； （3）由于转盘指针停在白色区域的概率和指针停在阴影区域的概率一样大，所以想让游戏公平，要选择转盘． 【详解】（1）解：因为转盘中阴影区域的面积比白色区域的面积大， 所以指针停在阴影区域的概率大，则想让团团获胜的可能性大，要选择转盘玩； 故答案为：； （2）解：因为转盘中白色区域的面积比阴影区域的面积大， 所以指针停在白色区域的概率大，则想让圆圆获胜的可能性大，要选择转盘玩； 故答案为：； （3）解：因为转盘的阴影区域的面积与白色区域的面积一样，指针停在白色区域的概率和指针停在阴影区域的概率一样大， 所以想让游戏公平，要选择转盘玩． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1)； (2)游戏公平．理由见解析． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ， 故答案为：； （2）解：游戏公平．理由如下： 因为笔画数不小于8的汉字有“骄”“傲”“是”“国”，笔画数小于8的汉字有“我”“中”“人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为． 因为，所以游戏公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，解决本题的关键是概率的计算公式与游戏公平性的理解. 【变式题8-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 【题型9】概率与统计图表的综合 1.核心知识点: 频率与概率的关系 统计图表（条形图、扇形图）的解读 2.解题方法技巧: 解读图表：从图表中提取总数据、各部分数据（如扇形图的圆心角、条形图的频数）。 计算频率或概率：根据图表数据计算指定事件的频率，进而估计概率。 决策建议：结合概率结果，给出合理的决策（如调整绿灯时间、优化抽奖规则）。 【例题9】.（25-26九年级上·广西河池·期末）为了解我县初中在校生的课外阅读情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天阅读1小时以上”“：每天阅读小时”“：每天阅读小时以下”“：从不阅读”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出)． (1)本次调查共抽取_________名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为_____ (2)补全条形统计图； (3)若从此次调查抽取的样本中，随机抽取1名学生做进一步访谈，恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率是多少？ 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合应用，以及概率的计算，核心是利用扇形圆心角与人数的比例关系求出总样本数，进而分析各类数据． （1）通过类学生的人数和对应百分比，根据“”求出总人数，根据“类圆心角类人数占比”计算圆心角； （2）根据总人数和类人数占比求出的类人数，在条形图中绘制对应高度的直条即可补全图形； （3）根据类人数占比即可求出抽到类学生的概率． 【详解】（1）解：从条形图和扇形图可以得到类有人，占总人数的， ∴总人数为名； ∵类占总人数的， ∴扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为； 故答案为：；． （2）解：∵类占总人数的， ∴类人数为人， 在条形统计图中，补全类对应的条形如图； （3）解：“每天阅读1小时以上”的学生占总人数的， ∴恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率为． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）小宁在X中学进行了亚运会参与度调查，小宁抽取了100位同学并绘制了如下的直方图和扇形统计图，请完成以下题目： 其中A：文章宣传 B：视频宣传 C：海报宣传 D：直播观看 E：现场观看 (1)请求出C、E的人数并且在直方图上画出； (2)若在100人选出“文章宣传”和“现场观看”两部分的人群，则求出选择概率； (3)若该抽取人数占全X中学人数的25%，请估计全校选择海报宣传的人数． 【答案】(1)C：35人；E：10人；直方图见解析 (2) (3)140 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及概率公式，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． （1）先根据C的百分比求出C的人数，然后用总人数减去各个小组的人数即可得出E的人数，补全直方图即可； （2）得出“文章宣传”和“现场观看”两部分的人数，用概率公式计算即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：C的人数：（人）， E的人数：（人）， 补全直方图如图： （2）解：“文章宣传”的人数为25人，“现场观看”的人数为10人， 选择的概率为； （3）解：（人）， 即估计全校选择海报宣传的人数为140人． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·广东茂名·期末）临近期末，为了了解学生的考前心理状态及减压方式，某校从九年级随机抽取了50名学生开展了一次“最适合自己的考前减压方式”的调查．学校将减压方式分为五类，每位同学必须且只能选择其中一类．学校收集整理数据后，绘制了如下图不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)根据调查结果，估计该校九年级800名学生中采用“体育活动”减压方式的人数； (3)若从该校九年级800名学生中随机抽取1人，则该生选择“体育活动”减压方式的概率是多少？ (4)请根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)估计该校九年级800名学生中采用“体育活动”减压方式的人数为人； (3)； (4)增加体育活动的项目． 【分析】本题考查了画条形统计图，由样本所占百分比估计总体的数量，求概率，根据统计数据提建议． （1）用50减去其他方式的人数，求出“体育活动”减压方式的人数，进而补全统计图即可； （2）求出样本中“体育活动”减压方式的比例，乘以800即可； （3）根据概率公式计算即可； （4）结合统计数据提出合理建议即可． 【详解】（1）解：“体育活动”减压方式的人数为（人）， 补全统计图如下： （2）解：（人）， 答：估计该校九年级800名学生中采用“体育活动”减压方式的人数为人； （3）解：若从该校九年级800名学生中随机抽取1人，则该生选择“体育活动”减压方式的概率是； （4）解：增加体育活动的项目． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某校七年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：科技类，C：文学类，D：艺术类，E：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请你根据图中信息，解答下列问题： (1)在这项调查中，共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ； (3)在选择“E”的学生中有1名女生，3名男生，现从这四名学生中随机选出一名学生做读书分享，请求出刚好选到女生的概率． 【答案】(1)80 (2)见解析， (3) 【分析】本题主要考查了概率公式、条形统计图和扇形统计图等知识点，理解概率公式是解题的关键． （1）根据A的人数及所占百分比求出调查学生的总人数； （2）总人数减去A，B，C，E的人数，可求D人数，再补全统计图即可；360度乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：在这项调查中，共调查学生（名）． 故答案为：80． （2）解：D类的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为． 故答案为：． （3）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中刚好选到女生的结果有1种， ∴刚好选到女生的概率为． 【题型10】概率模型的设计与优化（创新情境） 1.核心知识点: 概率的计算与应用 方案设计与优化思想 2.解题方法技巧: 明确设计要求：根据指定概率（如获奖概率为），确定事件对应的结果数。 设计模型：如设计转盘（分配各区域扇形个数）、摸球游戏（确定各颜色球的数量）。 验证优化：计算设计方案的概率，确保符合要求，可根据实际情况调整优化。 【例题10】.（24-25九年级上·浙江衢州·期中）据天气预报，某天A地的降雨概率为，B地的降雨概率为，小明根据A地降雨的概率设计了一个转盘模型来模拟试验（如图）．请解答下列问题： (1)请你再设计一个模型来模拟试验B地下雨的概率． (2)请利用设计的模型求出某天A地，B地都下雨的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了概率的公式，用列表法或画树状图法求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率为设计即可求解； （2）画出树状图列出所有情况，进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）画树状图如下： 共有10种等可能的结果，其中某天A地，B地都下雨的情况有1种， ∴某天A地，B地都下雨的概率为． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据小明去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平； （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去． 【变式题10-2】.（24-25九年级上·广东汕头·月考）综合与实践 （1）【问题再现】 有这样一道概率题：如图①，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少?请你解答． （2）【类比设计】 在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为，请你帮忙设计． （3）【拓展运用】 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红1份，黄2份、绿4份区域，分别得奖金50元、30元、20元购物券，求转动1次所获购物券的平均金额 【答案】（1）指针落在红色区域和白色区域的概率分别是；（2）见解析；（3）11.875元 【分析】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）将转盘均分成8份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解； （3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解． 【详解】解：（1）， 答：指针落在红色区域和白色区域的概率分别是． （2）把圆分成8等份，然后红色占3份，白色占3份，黄色占2分，如图所示： （3）（元） 答：转动1次所获购物券的平均金额为11.875元． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【答案】(1) (2)设计方法见解析 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【详解】（1）解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； （2）解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 易错点 1.混淆事件类型：将随机事件误判为必然事件或不可能事件，如认为“买100张中奖概率1%的彩票一定中奖”。 2.频率与概率的概念混淆：认为频率就是概率，忽略频率是试验值，概率是理论值，如用少量试验的频率直接当作概率。 3.等可能事件结果列举不全：计算概率时遗漏部分结果，导致或取值错误，如掷两枚骰子时漏算部分点数组合。 4.几何概率中面积计算错误：计算目标区域或总区域面积时出错，如不规则图形面积未用割补法正确求解。 5.游戏公平性判断错误：仅根据获胜结果的种类多少判断公平性，忽略每种结果的概率是否相等。 重点 1.掌握事件的分类标准，能准确判断必然事件、不可能事件和随机事件。 2.理解频率与概率的区别与联系，会用频率估计概率。 3.熟练运用等可能事件的概率公式解决简单概率问题。 4.掌握几何概率的计算方法，能解决转盘、网格、不规则图形等情境下的概率问题。 5.会判断游戏是否公平，并能设计公平的游戏规则。 难点 1.用频率估计概率时，准确分析频率的稳定性，合理估计概率值。 2.多步随机事件的概率计算，能正确用列表法或树状图法列举所有等可能结果。 3.概率与几何图形、统计图表的综合应用，能从复杂情境中提取数学信息并解决问题。 4.跨学科、创新型概率问题的解决，能将实际情境转化为熟悉的概率模型。 5.概率方案的设计与优化，能根据指定要求设计合理的概率模型，并进行验证和调整。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 2．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．多边形的外角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 【答案】A 【分析】根据定义，必然事件是一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．任意抛一枚均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，该事件可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； B．任意多边形的外角和为，是必然事件，不符合题意； C．太阳从东边升起是一定发生的，是必然事件，不符合题意； D．在装满红球的袋中摸出黑球是一定不会发生的，是不可能事件，不符合题意． 3．为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积． 【详解】解：大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为， 长方形的面积为：， 则椭圆的面积为． 4．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率求球的数量，设红球的个数为个，根据摸到白球的概率等于白球的个数除以球的总数建立方程求解即可． 【详解】解：设红球的个数为个． 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴红球的个数为1个． 故选：A． 5．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为 （　　） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】大量重复试验时，随机事件的频率会稳定在概率附近，可据此得到等量关系，利用概率公式列方程求解a的值． 【详解】∵ 通过大量重复试验，摸到白球的频率稳定在左右， ∴ 可估计摸到白球的概率为． ∵ 总球数为a，其中白球共6个， ∴ 根据概率公式可得 ， 解得 ． 二、填空题 6．如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 7．一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据从中任意摸出1个球，摸出白球比黑球的可能性大，可得答案． 【详解】解：∵任意摸一个球，若摸出白球比黑球的可能性大， ∴袋中白球数＞黑球数． 故答案为：＞． 8．某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了列举法求事件的概率． 根据题意，该同学购买车票的位置共有种情况，其中车票座位靠过道座位有种，从而可得“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 【详解】解： 根据题意，随机选择一个座位，有共5种情况， 其中车票座位靠过道座位有种， “该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 故答案为：． 9．将事件“从装有个红球、个白球的口袋中随机取出一个球，该球恰好为红球（这些球除颜色外完全相同）”发生的概率标注在下图正确位置的是_____（填写对应的字母）． 【答案】D 【分析】本题考查了简单事件的概率，关键是熟练应用知识点解题；根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵一共有个球，其中有个红球， ∴从中任意取一个球是红球的概率为 ， ∴应该标在处． 故答案为：D ． 10．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 三、解答题 11．一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个小颖做摸球试验，她将盒子里的球搅匀后从中随机摸出个记下颜色后放回盒子里不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据． 摸球的次数 摸到白球的频数 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； (2)假如你摸一次，摸到白球的可能性为 ； (3)试估计盒子里黑球、白球各有多少个． 【答案】(1) (2) (3)黑球16个，白球24个 【分析】（1）因为当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近，所以观察表格中摸到白球的频率，找到其稳定的数值，以此估计，当很大时摸到白球的频率； （2）因为大量重复试验下频率可近似代替概率，所以用（1）中得到的稳定频率作为摸到白球的概率； （3）因为已知球的总数和摸到白球的概率，所以用球的总数乘以摸到白球的概率得到白球数量，再用总数减去白球数量得到黑球数量． 【详解】（1）解：观察表格中的频率数据可知，当摸球次数增大时，摸到白球的频率逐渐稳定在附近． 因此当n很大时，摸到白球的频率将会接近． （2）解：根据用频率估计概率的方法，摸一次摸到白球的概率，也就是可能性为． （3）解：已知盒子里黑、白两种球共40个，白球的个数为（个）， 黑球的个数为（个）， 答：盒子里黑球有16个，白球有24个． 12．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空 ， ； (2)请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； (3)假如摸一次，摸到白球的概率 ； (4)试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)只 【分析】（1）根据“频率”的公式，已知其中两个量即可计算第三个量，从而求出和； （2）观察表格中随着摸球次数增加，摸到白球的频率的变化趋势，找出其稳定接近的数值； （3）依据频率估计概率的原理，试验次数很大时，频率的稳定值即为摸到白球的概率； （4）先根据概率求出白球数量，再用总球数减去白球数量得到黑球数量，或直接计算黑球的概率乘以总球数． 【详解】（1）解：∵频率，， ∴； 又∵，， ∴． （2）解：观察表格中的频率数据：，，，，，，，当很大时，频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的频率将会接近． （3）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，摸到白球的频率稳定值即为摸到白球的概率， ∴(白球)． （4）解：∵总球数为，摸到白球的概率为， ∴白球的数量为(只)， ∴黑球的数量为(只)． 13．小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 【答案】(1)种，列表见解析； (2)． 【分析】本题考查了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可； （）由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）列表如下： 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 所以摸球所有可能的结果共有种； （2）解：由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种， 所以小明同学获得篮球的概率． 14．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“6”的概率； (2)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“2的倍数”的概率． 【答案】(1)掷出面标有“6”的概率是 (2)掷出面标有“2的倍数”的概率是 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件，根据题意求出所有等可能结果数和满足题意的结果数成为解题的关键． （1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是2的倍数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面， 标有“6”的面数为面， 掷出“6”的概率是； （2）解：标有“2”的面数为2面，标有“4”的面数为4面，标有“6”的面数为5面，故掷出面标有“2的倍数”的有面， 掷出“2的倍数”的概率是． 15．图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； (2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； (3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)区域外的小方格上，理由见解析 【分析】本题主要考查了概率公式． (1)根据个小方格中有个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (2)根据个小方格中埋藏着个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (3)利用概率公式求出踩在区域外的小方格上踩中地雷的概率，通过比较选择踩中地雷概率小的区域． 【详解】（1）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （2）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （3）解：小明的第二步踩在区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是， 小明的第二步踩在区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是，     ， 为了尽可能不踩中“地雷”， 小明的第二步应踩在区域外的小方格上． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 概率初步 知识点1：事件的分类 1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，概率，如“太阳东升西落”“三角形内角和为”。 2.不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，概率，如“水中捞月”。 3.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率满足，如“购买彩票中奖”。 知识点2：频率与概率的区别与联系 特征 频率 概率 定义 在次重复试验中，事件发生次，比值为频率 刻画事件发生可能性大小的数值 性质 试验统计值，随试验次数变化而变化 理论定值，与试验次数无关 取值范围 必然事件，不可能事件，随机事件 联系 当试验次数大量增加时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用于估计概率 知识点3：等可能事件的概率公式 1.核心公式：若一次试验有种等可能结果，事件包含其中种结果，则。 2.关键前提：所有结果发生的可能性均等，如质地均匀的骰子、背面相同的卡片等。 3.常见应用：摸球、掷骰子、抽卡片等简单随机试验。 知识点4：几何概率的计算 1.适用场景：事件结果与几何图形的面积、长度等相关，且试验结果在图形内均匀分布。 2.计算公式：。 3.典型例子：转盘游戏、小球在方砖上滚动、飞镖投射等。 知识点5：游戏公平性判断 1.判断标准：双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平。 2.调整方法：通过改变事件对应的结果数（如增减球的数量、调整转盘扇形面积），使双方获胜概率相同。 【基础必考题型】 【题型1】事件类型的辨析 1.核心知识点: 必然事件、不可能事件、随机事件的定义 结合生活实际与传统文化判断事件类型 2.解题方法技巧: 紧扣定义判断：必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，随机事件结果不确定。 传统文化关联：如“二十四节气”抽奖、成语描述事件等，先理解情境含义，再归类事件类型。 排除法应用：先排除明显的必然或不可能事件，剩余为随机事件。 【例题1】.（2025·浙江杭州·一模）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．从地面向上抛的硬币会落下 B．射击运动员射击一次，命中环 C．太阳从东边升起 D．有一匹马奔跑的速度是米秒 【变式题1-1】.（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【变式题1-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）桌上有6张扑克牌，4个“A”、1个“大王”和1个“小王”，这些牌背面无差别，一次随机摸出3张扑克牌，下列事件是不可能事件的是（   ） A．3张牌都是“A” B．3张牌都是“王” C．3张牌中有“A” D．2张是“A”1张是“王” 【变式题1-3】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）在一个不透明的盒子中装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外没有其他差别，现随机从盒子中摸出2个球，则下列事件属于必然事件的是（    ） A．摸出1个白球和1个黑球 B．摸出2个白球； C．至多摸出1个黑球 D．至少摸出1个黑球 【题型2】频率的计算与应用 1.核心知识点: 频率的定义与计算公式 频率与频数的关系 2.解题方法技巧: 直接计算法：明确频数和总次数，代入公式求解，注意结果化为小数或分数。 表格补全：根据频率或频数的已知条件，反向求未知量（如总次数=频数÷频率）。 实际应用：结合调查数据（如借阅记录、跳绳次数统计），计算指定事件的频率。 【例题2】.（21-22八年级下·江苏扬州·周测）在“I like maths．”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频率为_______． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·福建漳州·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·福建漳州·期末）漳州市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了如下的统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1 【题型3】简单等可能事件的概率计算 1.核心知识点: 等可能事件的概率公式 列举法求所有可能结果 2.解题方法技巧: 列举所有结果：通过列表、枚举等方式，确保不重复、不遗漏所有等可能结果。 确定事件包含的结果数：从所有结果中筛选出符合事件的结果，统计其个数。 代入公式计算：注意结果化简为最简分数，如化简为。 【例题3】.（2026·安徽阜阳·一模）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2025·浙江杭州·一模）一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___． 【变式题3-2】.（2026九年级下·重庆·专题练习）小杜有五顶帽子，分别为2顶红色和3顶黑色，从中随机选取一顶帽子恰好是红色帽子的概率是________． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，求摸到的球是白球、红球、黄球的概率各是多少？ 【题型4】转盘中的概率计算 1.核心知识点: 几何概率的计算原理 转盘扇形面积与概率的关系 2.解题方法技巧: 确定总份数：明确转盘被等分成的扇形个数或总圆心角度数（通常为）。 计算目标区域占比：目标区域的扇形个数÷总个数（或目标区域圆心角÷）。 结合商业规则：如抽奖活动中，根据概率判断获奖可能性大小。 【例题4】.（25-26九年级上·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 【变式题4-3】.（22-23七年级下·陕西榆林·期末）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【培优高频题型】 【题型5】用频率估计概率 1.核心知识点: 频率的稳定性 用频率估计概率的方法 2.解题方法技巧: 观察频率趋势：分析多次试验的频率数据，判断其稳定的常数附近值，作为概率估计值。 实验数据处理：补全频率表格，绘制折线统计图，直观感受频率的稳定性。 实际估计：如根据种子发芽频率估计发芽概率、根据摸球频率估计某颜色球的数量。 【例题5】.（2026八年级下·江苏·专题练习）某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，如表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（   ） 移植总数 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数 369 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 A．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9 B．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株 C．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率 【变式题5-1】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子中装有粉色、黄色、蓝色夹子共100个，这些夹子除颜色外无其他差别，若每次将夹子充分搅匀后，任意摸出一个夹子记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色、蓝色夹子的频率分别稳定在，请估计盒子中粉色夹子的个数． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【变式题5-3】.（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【题型6】已知概率求相关数量 1.核心知识点: 概率公式的逆用 方程思想的应用 2.解题方法技巧: 设未知数：设所求数量为（如球的总个数、某颜色球的个数）。 列方程：根据概率公式建立方程，如。 求解验证：解方程后，验证结果是否符合实际情境（如数量为正整数）。 【例题6】.（22-23九年级上·湖北黄石·期末）在不透明的箱子里，装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，其中白球的个数为12个．为了估计红球的个数，将箱子里面的球搅匀后，随机从中摸出一个球并记下颜色．然后把它放回箱子中，重复上述摸球过程100次，其中摸到红球的次数为40次，由此可以估计箱子里红球的个数约是______个． 【变式题6-1】.（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，请估计袋子中红球的个数． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·江苏盐城·期中）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和日球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 590 968 1204 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.594 0.590 0.605 (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是_____（精确到0.1）； (3)若袋中有红球4个，请估计袋中白球的个数． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·河南·期中）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少2个，红球和黄球一样多． (1)求袋中红球的个数． (2)再向袋中放入若干个红球，使随机摸出一个球是红球的概率为0.7，求放入红球的个数． (3)在（2）的条件下，随机摸出一个球是白球的概率______．（直接写出答案） 【题型7】几何图形中的概率计算 1.核心知识点: 几何概率的计算公式 图形面积的计算方法 2.解题方法技巧: 计算总面积：对于网格图形，数出小正方形个数；对于规则图形，用面积公式计算（如正方形面积=边长×边长）。 计算目标区域面积：通过割补法、公式法求出阴影或指定区域的面积。 代入公式求解：注意面积单位统一，结果化简为最简分数。 【例题7】.（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，在一个不规则的区域内，有一个面积为54的正方形，向区域内随机地撒4000粒黄豆，数得落在正方形内（含边界）的黄豆有1350粒．以此试验数据为依据，可以估计出该不规则区域的面积． (1)随机向不规则区域内掷1粒黄豆，求黄豆落在正方形内（含边界）的概率； (2)请你估计出该不规则区域的面积． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·北京顺义·期末）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·单元测试）按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【压轴素养题型】 【题型8】游戏公平性判断与设计 1.核心知识点: 游戏公平性的判断标准 概率计算与规则设计 2.解题方法技巧: 计算双方获胜概率：分别求出甲、乙获胜的概率，比较是否相等。 不公平规则调整：通过增减元素数量、改变获胜条件等方式，使双方概率相等（如增加某颜色球、调整转盘扇形面积）。 新规则设计：结合要求（如指定概率），设计公平的游戏规则，说明设计理由。 【例题8】.（2025九年级下·北京·专题练习）如图，有，，三个转盘，团团和圆圆做转盘游戏，指针停在阴影区域团团胜，在白色区域圆圆胜． (1)想让团团获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (2)想让圆圆获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (3)想让游戏公平，要选择 转盘玩． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【题型9】概率与统计图表的综合 1.核心知识点: 频率与概率的关系 统计图表（条形图、扇形图）的解读 2.解题方法技巧: 解读图表：从图表中提取总数据、各部分数据（如扇形图的圆心角、条形图的频数）。 计算频率或概率：根据图表数据计算指定事件的频率，进而估计概率。 决策建议：结合概率结果，给出合理的决策（如调整绿灯时间、优化抽奖规则）。 【例题9】.（25-26九年级上·广西河池·期末）为了解我县初中在校生的课外阅读情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天阅读1小时以上”“：每天阅读小时”“：每天阅读小时以下”“：从不阅读”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出)． (1)本次调查共抽取_________名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为_____ (2)补全条形统计图； (3)若从此次调查抽取的样本中，随机抽取1名学生做进一步访谈，恰好抽到“每天阅读1小时以上”的学生的概率是多少？ 【变式题9-1】.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）小宁在X中学进行了亚运会参与度调查，小宁抽取了100位同学并绘制了如下的直方图和扇形统计图，请完成以下题目： 其中A：文章宣传 B：视频宣传 C：海报宣传 D：直播观看 E：现场观看 (1)请求出C、E的人数并且在直方图上画出； (2)若在100人选出“文章宣传”和“现场观看”两部分的人群，则求出选择概率； (3)若该抽取人数占全X中学人数的25%，请估计全校选择海报宣传的人数． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·广东茂名·期末）临近期末，为了了解学生的考前心理状态及减压方式，某校从九年级随机抽取了50名学生开展了一次“最适合自己的考前减压方式”的调查．学校将减压方式分为五类，每位同学必须且只能选择其中一类．学校收集整理数据后，绘制了如下图不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)根据调查结果，估计该校九年级800名学生中采用“体育活动”减压方式的人数； (3)若从该校九年级800名学生中随机抽取1人，则该生选择“体育活动”减压方式的概率是多少？ (4)请根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议，并说明理由． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某校七年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：科技类，C：文学类，D：艺术类，E：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请你根据图中信息，解答下列问题： (1)在这项调查中，共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ； (3)在选择“E”的学生中有1名女生，3名男生，现从这四名学生中随机选出一名学生做读书分享，请求出刚好选到女生的概率． 【题型10】概率模型的设计与优化（创新情境） 1.核心知识点: 概率的计算与应用 方案设计与优化思想 2.解题方法技巧: 明确设计要求：根据指定概率（如获奖概率为），确定事件对应的结果数。 设计模型：如设计转盘（分配各区域扇形个数）、摸球游戏（确定各颜色球的数量）。 验证优化：计算设计方案的概率，确保符合要求，可根据实际情况调整优化。 【例题10】.（24-25九年级上·浙江衢州·期中）据天气预报，某天A地的降雨概率为，B地的降雨概率为，小明根据A地降雨的概率设计了一个转盘模型来模拟试验（如图）．请解答下列问题： (1)请你再设计一个模型来模拟试验B地下雨的概率． (2)请利用设计的模型求出某天A地，B地都下雨的概率． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【变式题10-2】.（24-25九年级上·广东汕头·月考）综合与实践 （1）【问题再现】 有这样一道概率题：如图①，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少?请你解答． （2）【类比设计】 在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为，请你帮忙设计． （3）【拓展运用】 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红1份，黄2份、绿4份区域，分别得奖金50元、30元、20元购物券，求转动1次所获购物券的平均金额 【变式题10-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 易错点 1.混淆事件类型：将随机事件误判为必然事件或不可能事件，如认为“买100张中奖概率1%的彩票一定中奖”。 2.频率与概率的概念混淆：认为频率就是概率，忽略频率是试验值，概率是理论值，如用少量试验的频率直接当作概率。 3.等可能事件结果列举不全：计算概率时遗漏部分结果，导致或取值错误，如掷两枚骰子时漏算部分点数组合。 4.几何概率中面积计算错误：计算目标区域或总区域面积时出错，如不规则图形面积未用割补法正确求解。 5.游戏公平性判断错误：仅根据获胜结果的种类多少判断公平性，忽略每种结果的概率是否相等。 重点 1.掌握事件的分类标准，能准确判断必然事件、不可能事件和随机事件。 2.理解频率与概率的区别与联系，会用频率估计概率。 3.熟练运用等可能事件的概率公式解决简单概率问题。 4.掌握几何概率的计算方法，能解决转盘、网格、不规则图形等情境下的概率问题。 5.会判断游戏是否公平，并能设计公平的游戏规则。 难点 1.用频率估计概率时，准确分析频率的稳定性，合理估计概率值。 2.多步随机事件的概率计算，能正确用列表法或树状图法列举所有等可能结果。 3.概率与几何图形、统计图表的综合应用，能从复杂情境中提取数学信息并解决问题。 4.跨学科、创新型概率问题的解决，能将实际情境转化为熟悉的概率模型。 5.概率方案的设计与优化，能根据指定要求设计合理的概率模型，并进行验证和调整。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 2．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．多边形的外角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 3．为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为 （　　） A．20 B．25 C．30 D．35 二、填空题 6．如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 7．一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 8．某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 9．将事件“从装有个红球、个白球的口袋中随机取出一个球，该球恰好为红球（这些球除颜色外完全相同）”发生的概率标注在下图正确位置的是_____（填写对应的字母）． 10．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 三、解答题 11．一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个小颖做摸球试验，她将盒子里的球搅匀后从中随机摸出个记下颜色后放回盒子里不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据． 摸球的次数 摸到白球的频数 摸到白球的频率 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； (2)假如你摸一次，摸到白球的可能性为 ； (3)试估计盒子里黑球、白球各有多少个． 12．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空 ， ； (2)请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到； (3)假如摸一次，摸到白球的概率 ； (4)试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 13．小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 14．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“6”的概率； (2)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“2的倍数”的概率． 15．图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； (2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； (3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $