专题07 四边形章末易错必刷题型专训（72题24个考点）-2025-2026学年人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练

专题07 四边形章末易错必刷题型专训（72题24个考点） 【易错必刷一 多边形对角线的条数问题】 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有________条对角线． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形．求代数式的值． 【易错必刷二 多（少）算一个角问题】 4．（24-25八年级上·河北沧州·月考）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 6．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920° (1)多算进去的那个内角为多少度？ (2)求这个多边形的边数？ 【易错必刷三 多边形外角和问题】 7．（25-26八年级上·山西大同·月考）如图，是的三个外角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·湖南益阳·月考）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形是_______边形． 9．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）求下列图中的值． (1) (2) 【易错必刷四 多边形内角和问题】 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 12．（25-26八年级下·全国·课前预习）求下列图形中的值． 【易错必刷五 添一个条件成为平行四边形】 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（   ） A．a B．b C．c D．d 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 15．（24-25八年级下·广东清远·期末）已知：如图，点、是平行四边形ABCD对角线上的两点，当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．    【易错必刷六 判断能否构成平行四边形】 16．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 【易错必刷七 平行四边形的对角线性质】 19．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（  ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 20．（2025·辽宁·二模）小明在课外拓展的过程中发现了一种新的图形——筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．小明经过探究后，得出以下关于筝形的猜想：①对角线互相垂直的四边形是筝形；②一条对角线平分一组对角的四边形是筝形；③对角线互相平分的四边形是筝形．其中正确的是__________（填序号，填写一个即可）． 21．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，已知点在格点上，请仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角，画出符合要求的格点图形． (1)在图甲中画出以线段为对角线，且对角线互相平分的四边形； (2)在图乙中画出以线段为边，且对角线相等的菱形 【易错必刷八 矩形性质理解】 22．（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 23．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来______盆花． 24．（24-25八年级下·四川乐山·期末）在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形的对角线交于点，过的直线，将平行四边形等分成面积相等的四边形和四边形． 课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）．    【易错必刷九 矩形的判定定理理解】 25．（2026·湖北·模拟预测）在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．：中心对称 B．：对边相等 C．：有一组邻边相等 D．：对角线互相平分 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 27．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明家新装修了房子，他不确定新安装的门框是不是矩形，请你帮助他检查门框是不是矩形，设计你的方案，并说明道理． 【易错必刷十 求矩形在坐标系中的坐标】 28．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 29．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，矩形中，若的坐标为，则________． 30．（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      【易错必刷十一 证明四边形是矩形】 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A．B．C．D． 32．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 33．（25-26八年级下·广东广州·开学考试）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 【易错必刷十二 求平行线间的距离】 34．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 __________ ． 36．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【易错必刷十三 与三角形中位线有关的求解问题】 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 38．（2025·广西河池·二模）如图，中，D，E分别是，的中点，若，则________． 39．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【易错必刷十四 添一个条件使四边形是菱形】 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 42．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 【易错必刷十五 证明四边形是菱形】 43．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 44．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是____________．其判定依据是_________________． 45．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，在中，，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接、．求证：四边形是菱形． 【易错必刷十六 正方形性质理解】 46．（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 47．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是________．    48．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点． (1)过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长： (2)如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线． 【易错必刷十七 证明四边形是正方形】 49．（2025·河南周口·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的菱形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 50．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 51．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【易错必刷十八 正方形的判定定理理解】 52．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 53．（25-26九年级上·江西萍乡·月考）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 54．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【易错必刷十九 添一个条件使四边形是正方形】 55．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 56．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 57．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【易错必刷二十 与三角形中位线有关的证明】 58．（2025·广东·模拟预测）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 59．（2025·广东佛山·三模）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为________形． 60．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【易错必刷二十一 中点四边形】 61．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 62．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm． 63．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【易错必刷二十二 矩形的性质与判定综合应用】 64．（24-25八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，在线段上有一动点，作于，于，连接．在点从点运动到点的过程中（不与、重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 65．（25-26九年级上·广东梅州·期中）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是________． 66．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 【易错必刷二十三 菱形的性质与判定综合应用】 67．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 68．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则_______°． 69．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上．请在图中画出满足如下条件的图形． (1)在图1中画出一个平行四边形，点C，D在小正方形的顶点上． (2)在图2中画出一个菱形，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形的面积等于4． 【易错必刷二十四 正方形的性质与判定综合应用】 70．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 71．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是____． 72．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 四边形章末易错必刷题型专训（72题24个考点） 【易错必刷一 多边形对角线的条数问题】 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的计算，利用n边形从一个顶点出发引出对角线的条数公式，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于n边形，从一个顶点出发可引出的对角线条数为， 又∵该多边形为七边形，即， ∴代入得． 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有________条对角线． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，从一个n边形的一个顶点出发有对角线，n边形公有条对角线，据此先求出多边形的边数，再求出其对角线条数即可． 【详解】解：设多边形为n边形， ∵从n边形的一个顶点出发共有5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数为8， ∴这个多边形共有条对角线， 故答案为：20． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形．求代数式的值． 【答案】代数式的值为125． 【分析】本题考查多边形的性质．由多边形的对角线条数，可以得到方程，解出数值代入代数式求值即可． 【详解】解：因为m边形从一个顶点发出的对角线有条，所以， 因为n边形没有对角线，所以， 因为过k边形一个顶点的对角线能把k边形分成3个三角形，所以， 所以． 故代数式的值为125． 【易错必刷二 多（少）算一个角问题】 4．（24-25八年级上·河北沧州·月考）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920° (1)多算进去的那个内角为多少度？ (2)求这个多边形的边数？ 【答案】(1)120度 (2)12边 【分析】（1）根据多边形的内角和应为180的整数倍即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴多算进去的内角度数：； （2）右（1）可知，多算进去的内角为， ∴这个多边形的内角和为：， ，解得：， ∴这个多边形边数为12． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和为180的整数倍以及多边形的内角和公式． 【易错必刷三 多边形外角和问题】 7．（25-26八年级上·山西大同·月考）如图，是的三个外角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的外角和性质，根据三角形外角和为以及进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的三个外角， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级下·湖南益阳·月考）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形是_______边形． 【答案】12/十二 【分析】此题考查了多边形的外角和， 根据多边形的外角和定理，多边形的外角和恒为，结合每个外角的度数计算边数． 【详解】∵多边形的外角和为，每个外角为， ∴边数为． 故答案为：12． 9．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）求下列图中的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记公式是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理列方程求解即可； （2）根据三角形外角和为列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图知， ， ； （2）解：由图知：的邻补角是， 则由三角形的外角和是可得：， ． 【易错必刷四 多边形内角和问题】 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式，并能结合已知条件进行角度计算是解题的关键． 先判断该图形为五边形，利用多边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合已知，通过内角和减去这两个角的和，得到的度数． 【详解】解：根据题意可得． ， ． 故选：C． 11．（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·全国·课前预习）求下列图形中的值． 【答案】 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，关键是掌握边形的内角和为(且为整数)．首先根据四边形内角和公式计算出四边形的内角和，再根据四边形内角和等于各内角之和建立等式，求解即可得到的值． 【详解】解：∵四边形的内角和为， ∴，解得． 【易错必刷五 添一个条件成为平行四边形】 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是： 即这条线段为a． 故选：A 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 15．（24-25八年级下·广东清远·期末）已知：如图，点、是平行四边形ABCD对角线上的两点，当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】由于、在对角线上，所以考虑利用 “对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明四边形是平行四边形．连接，交于点，由四边形是平行四边形可得，，所以当时，，可证四边形是平行四边形． 【详解】当时，四边形是平行四边形 理由如下：连接，交于点，    ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【易错必刷六 判断能否构成平行四边形】 16．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 【答案】 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】将两段平行且相等的木棒对应为四边形的一组对边，利用平行四边形的核心判定条件分析． 【详解】解：设两段木棒为线段和，由题意得且，顺次连接四个端点得到四边形． ∵，， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 【答案】见解析 【分析】设E、F、G、H分别为的中点，连接，根据三角形中位线定理，推出，，得出四边形是平行四边形． 【详解】解：先找出平行四边形铁皮各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮；理由如下： 设E、F、G、H分别为的中点， 连接，如图所示： 则是的中位线， ∴，， 是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【易错必刷七 平行四边形的对角线性质】 19．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（  ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定，熟知相关判定定理是解题的关键．根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是真命题，不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是假命题，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是真命题，不符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是真命题，不符合题意． 故选：B． 20．（2025·辽宁·二模）小明在课外拓展的过程中发现了一种新的图形——筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．小明经过探究后，得出以下关于筝形的猜想：①对角线互相垂直的四边形是筝形；②一条对角线平分一组对角的四边形是筝形；③对角线互相平分的四边形是筝形．其中正确的是__________（填序号，填写一个即可）． 【答案】② 【分析】本题考查了筝形的定义．根据筝形的定义结合平行四边形或全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：①对角线互相垂直的四边形不一定是筝形；如图，四边形中，，而四边形不一定是筝形； ②一条对角线平分一组对角的四边形是筝形； 如图，四边形中，，， 又∵，∴， ∴，， ∴四边形是筝形； ③对角线互相平分的四边形不一定是筝形． 如，平行四边形对角线互相平分，平行四边形就不一定是筝形． 故答案为：②． 21．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，已知点在格点上，请仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角，画出符合要求的格点图形． (1)在图甲中画出以线段为对角线，且对角线互相平分的四边形； (2)在图乙中画出以线段为边，且对角线相等的菱形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，平行四边形的判定，正方形的判定， 对于（1），取，且，可得四边形是平行四边形，且对角线互相平分； 对于（2），根据题意可知，作，可得四边形是菱形，且，即四边形是正方形，则对角线相等． 【详解】（1）解：如图所示； 四边形即为所求作； （2）解：如图所示， 四边形即为所求作． 【易错必刷八 矩形性质理解】 22．（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 23．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来______盆花． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的对角线性质在实际生活中的应用，分类讨论的数学思想．根据矩形的对角线相等且互相平分可知当一条对角线有偶数盆花时，另一条对角线要有相同盆数；当一条对角线有奇数盆花时，另一条对角线的盆数要少一盆． 【详解】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有24盆花时，另一条对角线要有相同盆数即24盆； 如果一条对角线用了35盆花，因为两对角线的交点处有一盆，所以还需要从花房运来34盆花． 如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来盆花． 故答案为：，，． 24．（24-25八年级下·四川乐山·期末）在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形的对角线交于点，过的直线，将平行四边形等分成面积相等的四边形和四边形． 课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）．    【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质． 根据题意构造矩形连接对角线交点即可． 【详解】解：如图：    【易错必刷九 矩形的判定定理理解】 25．（2026·湖北·模拟预测）在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．：中心对称 B．：对边相等 C．：有一组邻边相等 D．：对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法． 根据矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A．：中心对称是平行四边形的固有性质，无法判断其为矩形； B．：对边相等是矩形的固有性质，无法判断其为正方形； C．：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，填写正确； D．：对角线互相平分是菱形的固有性质，无法判断其为正方形； 故选：C． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 27．（24-25九年级上·河南郑州·期末）小明家新装修了房子，他不确定新安装的门框是不是矩形，请你帮助他检查门框是不是矩形，设计你的方案，并说明道理． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的判定（有两组对边分别相等的四边形是平行四边形）判断是否是平行四边形，再根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）判断是否是矩形． 【详解】解：①先用线测量，，则四边形是平行四边形， ②再用线测量， 则四边形就是矩形，否则就不是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定，注意：有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形． 【易错必刷十 求矩形在坐标系中的坐标】 28．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 29．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，矩形中，若的坐标为，则________． 【答案】 【分析】连接OB，过B作BM⊥x轴于M，根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接OB，过B作BM⊥x轴于M． ∵点的坐标是， ∴，，由勾股定理得：， ∵四边形OABC是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键． 30．（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      【答案】点B到原点O的距离为 【分析】该题考查了矩形的性质，勾股定理，先根据已知条件求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴点B到原点O的距离为． 【易错必刷十一 证明四边形是矩形】 31．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键． 先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项． 【详解】解：选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． 由于无直角条件，所以无法判定为矩形． 选项： ∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为， ∴第四个角也是直角． ∴四边形是矩形． 选项： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． 故选：． 32．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 【答案】平行四边，矩 【分析】根据两组对边分别平行得到四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． 33．（25-26八年级下·广东广州·开学考试）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明． 【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ 四边形 是平行四边形，且 ， ∴ 平行四边形 是矩形． 【易错必刷十二 求平行线间的距离】 34．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【分析】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，来判断哪个选项符合． 【详解】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度． 线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线间距离的定义，解题关键是理解平行线间距离的定义，准确识别出两条平行线的垂线段． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 __________ ． 【答案】7或17 【分析】本题考查了平行线之间的距离．由于三条直线互相平行，需考虑在与之间或同侧两种情况，分别计算距离． 【详解】解：分两种情况： 当在，之间时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 当，在同侧时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 综上所述，与的距离为或， 故答案为：7或17． 36．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 【易错必刷十三 与三角形中位线有关的求解问题】 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 38．（2025·广西河池·二模）如图，中，D，E分别是，的中点，若，则________． 【答案】 【分析】利用中位线的性质求解即可. 【详解】解：∵，分别是，的中点，， ∴是的中位线， ∴． 39．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则由平行线的性质可得到． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十四 添一个条件使四边形是菱形】 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项能否判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴不能判定为矩形． 选项B： ∵是边长与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C： 是边与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D： ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故选：D． 41．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 42．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【易错必刷十五 证明四边形是菱形】 43．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 44．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是____________．其判定依据是_________________． 【答案】 菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，正确理解和应用菱形的定义是解题的关键． 由，得，即可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 45．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，在中，，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】证明：点为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【易错必刷十六 正方形性质理解】 46．（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 47．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是________．    【答案】 【分析】根据正方形的性质可知点关于轴对称，所在直线为的垂直平分线，根据正方形对角线计算求出点的坐标． 【详解】解：连接，    ∵四边形是正方形， ∴点关于轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，， 又∵点关于轴对称， ∴点纵坐标为1，点纵坐标为， 故点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点的纵坐标是解题的关键． 48．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点． (1)过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长： (2)如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线． 【答案】(1)见解析，所截得的线段长为3 (2)见解析 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． （1）过点A画一条竖直的直线即可，此时左边的正方形面积为3，右边的正方形面积为5，那么截得的线段长为3； （2）点A为上方正方形的对称中心，取出下方矩形的对称中心，根据正方形和矩形均是中心对称图形的性质，可得经过正方形和矩形对称中心的直线即可将该图形面积等分． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： 线段 （2）解：如图，直线即为所求： 【易错必刷十七 证明四边形是正方形】 49．（2025·河南周口·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的菱形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，正方形的判定等知识，根据正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的菱形是正方形，是假命题，推不出正方形，本选项符合题意． B、有一个角是直角的菱形是正方形是真命题，本选项不符合题意． C、有一组邻边相等的矩形是正方形是真命题，本选项不符合题意． D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：A． 50．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 51．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 【易错必刷十八 正方形的判定定理理解】 52．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，再根据正方形对角线平分一组对角即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， 当时，则菱形是正方形， ∴，即． 故选：B． 53．（25-26九年级上·江西萍乡·月考）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合：______．（填序号） 【答案】①③④或②③④ 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可求解． 【详解】解：由①得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加③得一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加④得一个角是直角的菱形是正方形； 由②得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，同样再添加③④即可得到正方形． 故能得到正方形的组合有①③④或②③④． 故答案为：①③④或②③④． 54．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定．以点为圆心，为半径作，延长交于点，连接，，，，则四边形是正方形． 【详解】解：正方形即为所作， 证明：， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 【易错必刷十九 添一个条件使四边形是正方形】 55．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 56．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择______(限填序号)． 【答案】② 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解． 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形， 故答案为：②． 57．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 【易错必刷二十 与三角形中位线有关的证明】 58．（2025·广东·模拟预测）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 59．（2025·广东佛山·三模）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形为________形． 【答案】平行四边 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理推出且，则可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点， ，且， 且， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边． 60．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 【易错必刷二十一 中点四边形】 61．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，根据点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，得出，是，的中位线，同理分别是的中位线，故四边形的周长为，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理得分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：B． 62．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm． 【答案】 平行四边形 56 【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 63．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【答案】平行四边形；（1）AC＝BD，理由见解析；（2）AC⊥BD，理由见解析；（3）AC＝BD且AC⊥BD，理由见解析； 【分析】连接AC，BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案. 【详解】解：四边形EFGH为平行四边形； 连接AC，BD ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，，，， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形； （1）AC＝BD， 理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD， ∵四边形EFGH为平行四边形，且，， ∴EH＝GH， ∴平行四边形EFGH为菱形． （2）AC⊥BD， 理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直， ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥HE， ∵四边形EFGH为平行四边形． ∴四边形EFGH为矩形． （3）AC＝BD且AC⊥BD， 理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直， 综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【易错必刷二十二 矩形的性质与判定综合应用】 64．（24-25八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，在线段上有一动点，作于，于，连接．在点从点运动到点的过程中（不与、重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质．连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，据此即可判断． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小， ∴动点从点运动到点的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长． 故选：B． 65．（25-26九年级上·广东梅州·期中）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是________． 【答案】 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是. 故答案为：． 66．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质．延长至，使得，证明四边形是矩形，可得，即可求证． 【详解】证明：如图，延长至，使得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【易错必刷二十三 菱形的性质与判定综合应用】 67．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质．先根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， ∵正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形，． 故选：． 68．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则_______°． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质与旋转的性质，灵活运用菱形的对边平行、同旁内角互补及旋转角相等的性质是解题的关键．根据菱形性质得到，进而求出旋转角，再由旋转性质得，从而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质得，． 故答案为：． 69．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上．请在图中画出满足如下条件的图形． (1)在图1中画出一个平行四边形，点C，D在小正方形的顶点上． (2)在图2中画出一个菱形，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形的面积等于4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的判定以及题目的条件画出图形即可； （2）依据面积为4，可作对角线分别为2，4的菱形，根据菱形的判定画出图形即可． 【详解】（1）如图，平行四边形即为所作（答案不唯一）． （2）如图，菱形即为所求； 【易错必刷二十四 正方形的性质与判定综合应用】 70．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此可判断A、B、D，根据矩形的判定方法可判断C． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形不一定是矩形， ∴不一定成立， 故选：C． 71．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是____．    【答案】1 【分析】连接，则，根据三角形中位线定理，得． 【详解】连接，因为正方形，， 所以， 因为E，F分别是的中点， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 72．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，由正方形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是正方形． 【详解】证明：∵正方形的对角线相交于点O， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $