2027届高考物理一轮复习解题方法模型建构：2.4 复杂运动情境模型

2.4　复杂运动情境模型 物理综合题往往呈现出研究对象的多体性、物理过程的复杂性、已知条件的隐含性、问题讨论的多样性、数学方法的技巧性和一题多解的灵活性等特点。 1.复杂运动情境模型的典型类型 模型类型 核心物理场景 常见解题难点 板块模型 滑块在木板上的相对滑动、碰撞 摩擦力方向判断、临界相对静止条件 带电粒子在电(磁)场中运动 电场中的类平抛运动、磁场中的匀速圆周运动 复合场中受力分析、轨迹几何关系 电磁感应导体棒 导体棒切割磁感线运动中的动生电动势、能量转化 安培力变力分析、电路与力学综合 2.4　复杂运动情境模型 2.复杂运动情境模型的处理方法 处理复杂运动情境模型的核心思想是“化繁为简”,把复杂过程分解为简单的过程,把复杂模型分解为简单的模型。对于按时间先后顺序发生的复杂运动情境模型,可划分为几个简单的阶段,逐一分析清楚每个阶段相关物理量的关系规律,弄清前一阶段与下一阶段的联系,常用分段法;对于同一时间内发生几种相互关联的复杂运动情境模型,常用分解法,分解为几种简单的模型,对每一种模型利用相应的概念和规律建立方程求解。 2.4　复杂运动情境模型 两类方法的对比与应用场景: 方法 核心思想 典型真题案例 关键能力 分段法 按时间顺序拆分连续过程,利用前一阶段末状态作为下一阶段初状态 2025年新课标卷Ⅰ中碰撞+弹簧问题,2024年北京卷中滑块、木板相对滑动 过程衔接条件的挖掘(速度或位移的连续性) 分解法 将复杂运动分解为同时存在的简单分运动,独立分析后合成 2025年广东卷中复合场中的类平抛运动,2024.1浙江卷中电、磁场中粒子运动 矢量分解技巧、分运动规律匹配 2.4　复杂运动情境模型 3.物理规律的选择策略 问题类型 优先选择的规律 示例场景 瞬时作用力与加速度的关系 牛顿第二定律 滑块在粗糙平面上的加速运动 做功与位移的关系 动能定理 外力推动物体沿曲线运动的速度求解 多物体系统的能量转化 能量守恒定律 弹簧与滑块碰撞后的机械能分配 碰撞或动量变化 动量守恒定律 两物体发生弹性碰撞后的速度计算 带电粒子在磁场中的运动 洛伦兹力公式与圆周运动规律 质谱仪中离子轨迹半径的计算 2.4　复杂运动情境模型 2.4.1　板块模型 由木板和木块组成的相互作用的系统称为板块模型。板块模型可以分为水平面上的板块模型和斜面上的板块模型。板块模型是力学中最经典、最基本的模型之一,也是高考的热点题型之一。 板块模型中各物体受到某一个或多个已知大小和方向的外力,除此之外,还受到摩擦力,而摩擦力可能是静摩擦力,也可能是滑动摩擦力;运动情境往往涉及多个运动过程,涉及物体间发生相对运动,而且常常还存在着速度相等的临界状态,因此分析板块模型时对研究对象的选取、受力分析和运动状态的分析都会造成一定的困难。 2.4　复杂运动情境模型 处理板块模型一般遵循如下思路: (1)研究对象的选取是解题的前提,要灵活地选取研究对象。整体、隔离和选取的先后顺序,要具体问题具体分析。 (2)受力分析是解题的关键,需要注意的点有静摩擦力及滑动摩擦力的判定,大小的计算,方向的确定,另外还要特别注意分析速度相等时的临界状态,它往往是解题的突破口。 (3)运动状态的分析也是解题的突破口,可借助运动简图或v-t图像辅助分析木块和木板位移关系。 2.4　复杂运动情境模型 典型 例题 典例1　(2022山东卷,18)如图所示,“L”型平板B静置在地面上,小物块A处于平板B上的O'点,O'点左侧粗糙,右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为m的小球悬挂在O'点正上方的O点,轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放,下摆至最低点与小物块A发生碰撞,碰后小球速度方向与碰前方向相同,开始做简谐运动(要求摆角小于5°),A以速度v0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后,A返回到O点的正下方时,相对于地面的速度减为零,此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量mA=0.1 kg,B的质量mB=0.3 kg,A与B的动摩擦因数μ1=0.4,B与地面间的动摩擦因数μ2=0.225,v0=4 m/s,重力加速度g取10 m/s2。整个过程中A始终在B上,所有碰撞时间忽略不计,不计空气阻力,求: 2.4　复杂运动情境模型 (1)A与B的挡板碰撞后,二者的速度大小vA与vB; (2)B光滑部分的长度d; (3)运动过程中A对B的摩擦力所做的功Wf; (4)实现上述运动过程,的取值范围(结果用cos 5°表示)。 2.4　复杂运动情境模型 [模型建构] 序号 选取对象、 分析过程 建构物 理模型 确定物 理原理 1 A、B碰撞过程 碰撞模型 动量守恒 2 碰后小球开始做简谐运动 单摆模型 单摆的周期公式 3 A、B发生相对运动 板块模型 牛顿运动定律、能量转化与守恒、动量定理 2.4　复杂运动情境模型 [解题过程] (1)设水平向右为正方向,因为O'点右侧光滑,A与B发生弹性碰撞,故碰撞过程根据动量守恒定律和能量守恒定律有mAv0=mAvA+mBvB① mAmAmB② 代入数据联立解得vA=-2 m/s,方向水平向左;vB=2 m/s,方向水平向右 即A和B速度的大小均为2 m/s。③ 2.4　复杂运动情境模型 (2)运动过程如图所示,光滑部分的长度d等于A碰后向左运动的总位移,即匀速阶段位移与减速阶段位移之和。解题的关键条件:A减速的位移等于第一阶段B向右减速的位移 2.4　复杂运动情境模型 2.4　复杂运动情境模型 因为A返回到O点正下方时,相对地面速度为0,A减速过程根据动能定理有 -μ1mAg=0-mA④ 代入数据解得=0.5 m 此过程中A减速的位移等于第一阶段B向右减速的位移,对于此过程B有 μ2(mA+mB)g=mBa1⑤ =vBt1-a1⑥ 联立代入数据解得t1= s,t1'=1 s(舍去) 根据几何关系有d=vAt1+ m。⑦ 2.4　复杂运动情境模型 (3)解题关键:求解B在A的摩擦力作用下运动的位移 特别注意:需要通过计算A、B分别减速到零的时间来判断B的运动位移 2.4　复杂运动情境模型 对A减速的过程,根据动量定理有 -μ1mAgt2=0-mAvA⑧ 代入数据解得t2=0.5 s 在A刚开始减速时,B的速度为v2=vB-a1t1=1 m/s⑨ 在A减速过程中,对B根据牛顿运动定律有μ1mAg+μ2(mA+mB)g=mBa2⑩ 解得a2= m/s2 B停下来的时间为t3,根据运动学公式有0=v2-a2t3,解得t3= s<t2=0.5 s 可知在A减速过程中B先停下来了,此过程中B的位移为 m 所以A对B的摩擦力所做的功为Wf=-μ1mAg=- J。⑪ 2.4　复杂运动情境模型 (4)分析思路如下: 2.4　复杂运动情境模型 小球和A碰撞后,A做匀速直线运动再和B相碰,此过程所用时间为 t0= s 由题意可知A返回到O点的正下方时,小球恰好第一次上升到最高点,设小球做简谐运动的周期为T,摆长为l,则有T=4(t0+t1+t2)= s⑫ 由单摆周期公式T=2π,解得小球到悬挂点O点的距离为l= m 小球下落过程,根据动能定理有mgl=mv2⑬ 2.4　复杂运动情境模型 当碰后小球摆角恰为5°时,有mgl(1-cos 5°)=⑭ 解得v= m/s,v1= m/s 小球与A碰撞过程,根据动量守恒定律有mv=mv1'+mAv0⑮ 小球与A碰后小球速度方向与碰前方向相同,开始做简谐运动,则 0<v1'<v1 故要实现这个过程,的取值范围为。⑯ [答案](1)2 m/s　2 m/s　(2) m　(3)- J (4) 2.4　复杂运动情境模型 学友聊斋 2.4　复杂运动情境模型 2.4.2　 带电粒子在电磁场中的运动模型 带电粒子在电磁场中的运动模型分为带电粒子在组合场中的运动和在叠加场中的运动两大类。 组合场是指重力场、电场、磁场各位于一定的区域内,并不重叠或在同一区域中交替出现。由于一个题目的信息常常是以研究对象(带电粒子、带电小球、液滴等)在多种独立场中运动的组合,所以要求学生要熟悉研究对象在某一种独立场中的运动特点及处理方法。 2.4　复杂运动情境模型 (1)运动特点及处理方法 项目 运动特点 处理方法 电场中 匀变速直线运动 (1)牛顿运动定律、运动学公式 (2)动能定理 类平抛运动 (1)运动的合成与分解 (2)功能关系 磁场中 匀速直线运动 匀速运动的公式 匀速圆周运动 圆周运动公式、牛顿运动定律、几何知识 2.4　复杂运动情境模型 (2)“磁偏转”和“电偏转”的比较 比较项 电偏转 磁偏转 偏转 条件 带电粒子垂直于电场线进入匀强电场(不计重力) 带电粒子垂直于磁感线进入匀强磁场(不计重力) 受力 情况 只受恒定的静电力F=Eq 只受大小恒定的洛伦兹力F=qvB 运动 情况 类平抛运动 匀速圆周运动 2.4　复杂运动情境模型 比较项 电偏转 磁偏转 运动轨迹 抛物线   圆弧   求解 方法 利用类平抛运动的规律x=v0t,y=at2,a=,tan θ= 利用牛顿第二定律、向心力公式如r=,T=,t= 2.4　复杂运动情境模型 叠加场是指在某一区域同时存在两种场或同时存在三种场。粒子在叠加场中的受力特点决定了运动性质,决定了解决问题所选择的物理规律。 (1)磁场与重力场并存时,若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动;若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒。 (2)电场与磁场并存(不计重力)时,若静电力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动;若静电力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解。 (3)电场、磁场与重力场并存时,若三力平衡,带电体做匀速直线运动;若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动;若合力不为零且与速度方向不垂直,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解。 2.4　复杂运动情境模型 典型 例题 典例2　(2024全国新课标卷,26)一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子始终在同一水平面内运动,其速度可用图示直角坐标系内的一个点P(vx,vy)表示,vx、vy分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P位于图中a(0,v0)点,粒子在水平方向的匀强电场作用下运动,P点沿线段ab移动到b(v0,v0)点;随后粒子离开电场,进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场,P点沿以O为圆心的圆弧移动至c(-v0,v0)点;然后粒子离开磁场返回电场,P点沿线段ca回到a点。已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求: 2.4　复杂运动情境模型 (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期; (2)电场强度的大小; (3)P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时,粒子位移的大小。 2.4　复杂运动情境模型 [模型建构] 序 号 选取对象、 分析过程 建构物 理模型 确定物 理原理 1 a到b的过程,正电荷在匀强电场中运动,vy=v0,vx由0增大到v0 正电荷在匀强电场中做类平抛运动,vy垂直电场的方向,vx平行电场的方向,vy-vx图像中O到P之间的有向线段对应运动的合速度v=,到b时运动的合速度v=v0,从a到b速度偏转角为45° 建立速度 矢量图   2.4　复杂运动情境模型 序号 选取对象、分析过程 建构物理模型 确定物理原理 2 b到c的过程,正电荷在匀强磁场中运动,点P(vx,vy)沿圆周移动 正电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动,vy-vx图像中O到P之间的有向线段对应运动的合速度,大小为v=v0,到c时,vy=v0,vx=-v0,从b到c速度偏转角为270° 确定运动 轨迹图 3 从c到a的过程,正电荷在匀强电场中运动,vy=v0,vx由-v0减小到0 正电荷在匀强电场中做类斜抛运动,与a到b的过程对称 2.4　复杂运动情境模型 [解题过程] (1)粒子在磁场中做圆周运动时的速度为v=v0 根据洛伦兹力提供向心力得Bqv=m=mv 解得做圆周运动的半径为r= 周期为T=。 2.4　复杂运动情境模型 (2)已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等,则在曲线上任取一小段Δs(表示曲线长度),则为定值,且对应运动的加速度大小。分析如下: 对ab段,如图甲所示,P在Δt内由一点A移动到另一点B,由O指向这两点的有向线段对应类平抛运动在这两个状态下的速度,速度的变化量对应由A指向B的有向线段,其与对应时间的比值为=a1,对应类平抛运动的加速度,即a1=。 甲 2.4　复杂运动情境模型 对bc段,如图乙所示,P在Δt内由一点C移动到另一点D,由O指向这两点的有向线段对应圆周运动在这两个状态下的速度,速度的变化量对应由C指向D的弦,微小时间内弧长等于弦长,则弧长与时间的比值表示为=a2,对应匀速圆周运动的向心加速度,即a2= 所以 乙 2.4　复杂运动情境模型 (3)根据题意分析可知从b点到c点粒子在磁场中转过的角度为270°,绕一圈的过程中两次在电场中运动,根据对称性可知粒子的运动轨迹如图丙所示 从a到b过程中粒子做类平抛运动,得t=v0 故可得该段时间内沿y方向位移为L=v0t 根据几何知识可得xbc=r 由粒子在两次电场中运动的对称性可知移动 一周时粒子位移的大小为xaa'=xbc-2L 联立解得xaa'=。 [答案](1)　(2)Bv0　(3) 丙 2.4　复杂运动情境模型 典例3　(2025陕晋青宁卷,14)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷,一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图(a)所示,圆筒足够长。在O点有一电子源,向空间中各个方向发射速度大小为v0 (a) (b) 的电子,某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场,筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示,当磁感应强度大小调至B0时,恰好没有电子落到筒壁上,不计电子间相互作用及其重力的影响。求:(R、v0、B0均为已知量) 2.4　复杂运动情境模型 (1)电子的比荷; (2)当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子的区域面积S。 2.4　复杂运动情境模型 [模型建构] 序 号 选取对象、分析过程 建构物理模型 确定物理原理 1 当磁感应强度大小调至B0时,恰好没有电子落到筒壁上 带电粒子在圆形边界磁场中运动 洛伦兹力充当向心力,粒子做圆周运动 2.4　复杂运动情境模型 序 号 选取对象、分析过程 建构物理模型 确定物理原理 2 当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子 当磁场发生变化,将电子速度沿垂直于轴线和平行于轴线方向进行分解,分别设vx、vy,电子将在垂直于轴线方向上做匀速圆周运动、平行于轴线方向上做匀速直线运动,找到恰好打到筒壁的临界速度vx作为解题突破口 运动的合成与分解 2.4　复杂运动情境模型 [解题过程] (1)当磁场的磁感应强度为B0时,电子刚好不会落到筒壁上,则电子以速度v0垂直于轴线方向射出,其轨迹恰好与圆筒壁相切,轨迹半径为R0= 根据洛伦兹力提供向心力可得eB0v0= 联立解得。 2.4　复杂运动情境模型 (2)磁感应强度大小调整为后,将电子速度沿垂直于轴线和平行于轴线方向进行分解,分别设为vx、vy,电子将在垂直于轴线方向上做匀速圆周运动,平行于轴线方向上做匀速直线运动,电子击中筒壁位置距离粒子源最远时,其垂直于轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切,则轨迹半径仍为R0= 根据洛伦兹力提供向心力可得evx= 联立解得vx= 2.4　复杂运动情境模型 由射出到相切,经过半个周期,用时t= 根据速度的合成与分解可知vy=v0 平行于轴线方向运动距离y=vyt=R 结合对称性可知,被电子击中的面积S=2×2πRy=2π2R2。 [答案](1)　(2)2π2R2 2.4　复杂运动情境模型 学友聊斋 2.4　复杂运动情境模型 2.4.3　 电磁感应中的导轨与导体棒模型 电磁感应的导轨与导体棒模型有多种:单棒模型、双棒模型、无动力模型、有动力模型、电容器与导体棒模型、导轨等间距模型、导轨不等间距模型等。解决此类模型需从以下角度入手: 1.明确电磁感应中的电路结构 切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源,该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻,其余部分是外阻。 2.4　复杂运动情境模型 2.动力学问题 导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……,周而复始地循环,直至最终达到稳定状态时加速度为零,而速度v达到极值。在过程中体现出的力学量与电学量的制约关系可见下图: 2.4　复杂运动情境模型 3.电磁感应中的能量转化 电磁感应过程实质是不同形式的能量转化的过程,利用克服安培力求解:电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功;利用能量守恒求解:机械能的减少量等于产生的电能;利用电路特征来求解:通过电路中所产生的电能来计算。 4.动量问题 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时,当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。 2.4　复杂运动情境模型 具体模型举例如下: (1)“单棒+电阻”模型 情境示例1 水平放置的平行光滑导轨,间距为L,左侧接有电阻R,导体棒初速度为v0,质量为m,电阻不计,匀强磁场的磁感应强度为B,导轨足够长且电阻不计,从开始运动至停下来   求电荷量q -BLΔt=0-mv0,q=Δt,q= 求位移x -Δt=0-mv0,x=Δt= 2.4　复杂运动情境模型 情境示例2   间距为L的光滑平行导轨倾斜放置,倾角为θ,由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒,当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时,速度达到v 求运动时间 -BLΔt+mgsin θ·Δt=mv-0,q=Δt -Δt+mgsin θ·Δt=mv-0,x=Δt 2.4　复杂运动情境模型 (2)“电容器+棒”模型 基本模型 无外力充电式 无外力放电式 规律 导轨光滑,电阻阻值为R,电容器电容为C   电源电动势为E,内阻不计,电容器电容为C   电路特点 导体棒相当于电源,电容器充电 电容器放电,相当于电源;导体棒受安培力而运动 2.4　复杂运动情境模型 基本模型 无外力充电式 无外力放电式 电流特点 安培力为阻力,导体棒减速,E减小,有I=,电容器充电,UC变大,当BLv=UC时,I=0,F安=0,导体棒匀速运动 电容器放电时,导体棒在安培力作用下开始运动,同时阻碍放电,导致电流减小,直至电流为零,此时UC=BLvm 运动特点和最终特征 导体棒做加速度a减小的加速运动,最终做匀速运动,此时I=0,但电容器带电荷量不为零 导体棒做加速度a减小的加速运动,最终匀速运动,I=0 2.4　复杂运动情境模型 基本模型 无外力充电式 无外力放电式 最终速度 电容器充电电荷量: q=CU 最终电容器两端电压:U=BLv 对导体棒应用动量定理: mv-mv0=-BL·Δt=-BLq v= 电容器充电电荷量:Q0=CE 放电结束时电荷量: Q=CU=CBLvm 电容器放电电荷量: ΔQ=Q0-Q=CE-CBLvm 对导体棒应用动量定理: mvm-0=BL·Δt=BLΔQ vm= 2.4　复杂运动情境模型 (3)双棒模型 在双导体棒切割磁感线的系统中,双导体棒和导轨构成闭合回路,安培力充当系统内力,如果它们不受摩擦力,且受到的安培力的合力为0时,满足动量守恒,运用动量守恒定律解题比较方便。 2.4　复杂运动情境模型 基本模型 双棒无外力 双棒有外力 示意图    F为恒力 动力学观点 导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动,导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动,最后两导体棒以相同的速度做匀速直线运动 导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动,导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动,最终两导体棒以相同的加速度做匀加速直线运动 2.4　复杂运动情境模型 基本模型 双棒无外力 双棒有外力 动量观点 系统动量守恒 系统动量不守恒 能量观点 导体棒1动能的减少量=导体棒2动能的增加量+热量 外力做的功=导体棒1的动能+导体棒2的动能+热量 2.4　复杂运动情境模型 典型 例题 典例4　(2024全国甲卷,25)两根平行长直光滑金属导轨距离为l,固定在同一水平面(纸面)内,导轨左端接有电容为C的电容器和阻值为R的电阻。开关S与电容器并联;导轨上有一长度略大于l的金属棒,如图所示。导轨所处区域有方向垂直于纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开关S闭合,金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速,最后将做速率为v0的匀速直线运动。金属棒始终与两导轨垂直且接触良好,导轨电阻和金属棒电阻忽略不计。 2.4　复杂运动情境模型 (1)在加速过程中,当外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍时,金属棒的速度大小是多少? (2)如果金属棒达到(1)中的速度时断开开关S,改变外力使金属棒保持此速度做匀速运动。之后某时刻,外力做功的功率等于电阻R热功率的2倍,求此时电容器两极间的电压及从断开S开始到此刻外力做的功。 2.4　复杂运动情境模型 [模型建构] 序号 选取对象、 分析过程 建构物 理模型 确定物 理原理 1 开关S闭合,金属棒在恒定的外力作用下由静止开始加速,最后将做速率为v0的匀速直线运动 电容器被短路,开关、电阻、导体棒和轨道连成闭合回路 ①金属棒速度最大时受力平衡F=F安 ②导体棒克服安培力做功等于其作为电源对外输出的功率,也就等于在电阻上产生的热量,由此 PR=P安=F安v= 2.4　复杂运动情境模型 序号 选取对象、 分析过程 建构物 理模型 确定物 理原理 2 断开开关S,改变外力使金属棒保持(1)中速度做匀速运动 电容器与定值电阻串联 ①金属棒匀速运动受力平衡F=F安 ②电路中的电压关系E=UC+UR ③外力做功等于导体棒克服安培力做功等于电源对外输出的电能,则 PF=P安=BIlv=EI 2.4　复杂运动情境模型 [解题过程] 方法一: (1)开关S闭合后,当外力与安培力相等时,金属棒的速度最大,则F=F安=BIl 由闭合电路的欧姆定律得I= 金属棒切割磁感线产生的感应电动势为E=Blv 联立可得,恒定的外力为F= 在加速阶段,外力的功率为PF=Fv=v 定值电阻的热功率为PR=I2R= 当PF=2PR时有v=2 解得金属棒速度v的大小为v=。 2.4　复杂运动情境模型 (2)断开开关S,电容器充电,则电容器与定值电阻串联,则有E=Blv=iR+ 当金属棒匀速运动时,电容器不断充电,电荷量q不断增大,电路中电流不断减小,则金属棒所受安培力F安'=Bil不断减小,而外力的功率PF'=F'v=F安'v=Bilv 定值电阻功率PR=i2R 当PF'=2PR时有Bilv=2i2R 可得iR= 根据E=Blv=iR+ 2.4　复杂运动情境模型 可得此时电容器两端电压为UC= 从开关断开到此刻外力所做的功为W=∑Bil(v·Δt)=Blv∑i·Δt=Blvq 其中q= 联立可得W=。 2.4　复杂运动情境模型 方法二: 第(1)问中,关于定值电阻消耗的功率可以有两种表达。第一种,直接根据热功率的表达形式PR=I2R。第二种,通过能量转化,导体棒克服安培力做功等于其作为电源对外输出的电能,也就等于在电阻上产生的热量,由此PR=P安=F安v=。 2.4　复杂运动情境模型 第(2)问中,除用微元法计算变化的外力做功,也可以根据电路中的能量转化分析,导体棒匀速,外力做功等于导体棒克服安培力做功等于电源对外输出的电能,则PF'=P安'=BIlv=EI 由题意PF'=2PR'=2I'UR 则UR= 根据电路中的电压关系E=UC+UR 可得UC= 2.4　复杂运动情境模型 则电容器储存的电荷量即流经电源的电荷量q=CUC= 外力做功等于电源对外输出的电能WF=qE 则W=。 [答案](1)　(2) 2.4　复杂运动情境模型 典例5　(2023全国甲卷,25)如图所示,水平桌面上固定一光滑U形金属导轨,其平行部分的间距为l,导轨的最右端与桌面右边缘对齐,导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧,以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞,碰撞时间极短。碰撞一次后,P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨,并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时,两端与导轨接触良好,P与Q始终平行,不计空气阻力。求: 2.4　复杂运动情境模型 (1)金属棒P滑出导轨时的速度大小; (2)金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量; (3)与P碰撞后,绝缘棒Q在导轨上运动的时间。 2.4　复杂运动情境模型 [模型建构] 序号 选取对象、分析过程 建构物理模型 确定物理原理 1 质量为3m的绝缘棒Q以大小为v0的速度与质量为m的静止金属棒P发生弹性碰撞 弹性碰撞模型 动量守恒定律,机械能守恒定律 2 碰撞一次后,金属棒P的运动 变速运动模型 能量转化与守恒 3 与P碰撞后,绝缘棒Q在导轨上的运动 匀速直线运动 运动学公式求时间 4 碰撞绝缘棒Q后,P在导轨上的运动 变速直线运动 动量定理求位移 2.4　复杂运动情境模型 [解题过程] (1)由于绝缘棒Q与金属棒P发生弹性碰撞,根据动量守恒和机械能守恒可得3mv0=3mvQ+mvP ×3m×3m 联立解得vP=v0,vQ=v0 由题知,碰撞一次后,P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨,并落在地面上同一地点,则金属棒P滑出导轨时的速度大小为vP'=vQ=v0。 (2)对导体回路,有mvP'2+Q 解得Q=m。 2.4　复杂运动情境模型 (3)P、Q碰撞后,对金属棒P分析,根据动量定理得-BlΔt=mvP'-mvP 又q=Δt 联立可得x= 由于Q为绝缘棒,无电流通过,做匀速直线运动,故Q运动的时间为 t=。 [答案](1)v0　(2)m　(3) 2.4　复杂运动情境模型 题号 选题理由 1 计算导轨切割磁感线过程中电路中产生的热量,本题通过运用能量守恒定律、动量定理解决高度、热量之间的关系,思维量较大,计算量不大 2 以没有其他外力的板块碰撞问题,考查学生研究对象的选取,只有研究对象选择合适才能正确解决问题,针对研究对象列牛顿第二定律方程,还考查临界问题,需找到临界处理距离最值问题 3 以板块问题中的图像问题,考查牛顿运动定律、运动学公式、机械能转化问题、分过程研究处理多过程问题 4 含电容器的电磁感应类问题,考查动能定理、动量定理、电容器定义式等知识点 2.4　复杂运动情境模型 1.(多选)(2025辽宁沈阳二模)如图所示,两平行的光滑金属导轨底部固定在绝缘水平桌面上,其两端是竖直平面内的圆弧,圆弧与底部平滑连接,导轨电阻不计,右端接一定值电阻R,底部水平部分所在空间内存在竖直向上的匀强磁场。现将一导体棒垂直于导轨从左侧圆弧上距桌面h1高的M点由静止释放,导体棒到达右侧圆弧的最高点为距桌面h2高的N点,此过程中电阻R产生的焦耳热为Q1;然后导体棒返回,再次到达左侧圆弧的最高点为距桌面h3高的P点,此过程中电阻R产生的焦耳热为Q2,运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好,导体棒电阻不计,下列说法正确的是(　 ) A.一定等于 B.一定小于 C.Q1一定大于Q2 D.Q1一定等于Q2 AC 2.4　复杂运动情境模型 【模型建构】 流程 内容 选取对象、分析过程 对象:导体棒 过程:导体棒切割磁感线 建构物理模型 单根导体棒切割磁感线模型 确定物理原理 导体切割磁感线产生感应电动势的计算,闭合电路欧姆定律,能量守恒定律,动量定理 2.4　复杂运动情境模型 流程 内容 逻辑推理 及运算 设两导轨的间距为L,匀强磁场的磁感应强度大小为B,导体棒的质量为m,导体棒第一次进磁场时的速度为v1,第一次出磁场时的速度为v2,导体棒第一次经过磁场的过程中,根据动量定理有-LBt1=mv2-mv1,将代入可得-t1=mv2-mv1,式中的v为此过程的平均速度,设导轨水平部分的长度为s,有s=vt1,联立解得-=mv2-mv1,根据机械能守恒定律可知,导体棒第二次进磁场时的速度为v2,设第二次出磁场时的速度为v3,同理有-=mv3-mv2,根据机械能守恒定律有mgh=mv2,解得v1=,v2=,v3=,有,A项正确,B项错误 2.4　复杂运动情境模型 流程 内容 逻辑推理 及运算 因为,故h1-h2>h2-h3,根据能量守恒定律有Q1=mgh1-mgh2,Q2=mgh2-mgh3,故Q1>Q2,C项正确,D项错误 2.4　复杂运动情境模型 2.(2025浙江三模)如图所示,木板C静置于光滑水平地面上,中点处放置物块B。某时刻物块A以水平初速度v0从左端滑上木板。已知物块A、B均可视为质点,质量均为m,与木板间的动摩擦因数均为μ,木板的质量为2m,A、B间的碰撞为弹性碰撞,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则(　B　) A.若物块A、B不发生碰撞,则木板C长度的最大值为L= B.若物块A、B不从木板C的右端滑离,则木板C长度的最小值为L= C.若物块B恰好不滑离木板C,则物块A、B碰撞前、后的两段时间内,摩擦力对木板C的冲量大小是相等的 D.若物块A、B最终与木板C相对静止,则摩擦力对木板C的冲量大小与物块A、B在木板C上相对静止的位置有关 2.4　复杂运动情境模型 【模型建构】 流程 内容 选取对象、 分析过程 对象:物块A、B,木板C 过程:物块以v0滑上木板,根据系统可能达到的状态判断所需条件 建构物 理模型 板块模型 确定物 理原理 利用牛顿第二定律、运动学公式、动量守恒定律及能量守恒定律解决(类)碰撞问题 2.4　复杂运动情境模型 流程 内容 逻辑推理 及运算 设木板长为L,恰好发生碰撞时,根据动量守恒定律有mv0=4mv共,根据能量守恒定律有μmg·4m,联立解得L=,若物块A、B不发生碰撞,木板长的最小值为,A项错误 由于A、B质量相等且A、B的碰撞为弹性碰撞,则碰后不损耗能量,只是交换速度,故B到C右端恰好静止时,有mv0=4mv共,根据能量守恒定律有μmg+μmg·4m,联立解得Lmin=,B项正确   2.4　复杂运动情境模型 流程 内容 逻辑推理 及运算 A碰B前,B、C一起做加速运动,A做减速运动,A碰B后,速度交换,A、C一起做加速运动,B做减速运动,最终共速,速度—时间图像如图所示 由于前、后两个阶段的相对位移即图中图线所围面积差相同,知第二个阶段时间长,摩擦力的冲量大,C项错误 只要能达到相对静止,一定有A、B、C最终速度相等,由动量定理,可知摩擦力对木板C的冲量大小是一定值,与相对静止的位置无关,D项错误 2.4　复杂运动情境模型 3.(多选)(2025内蒙古赤峰二模)如图甲所示,木板A静止于光滑水平面上,水平面上有一轻弹簧固定在C处。t=0时小物块B以v0=6 m/s的水平速度滑上A。木板A动能Ek随时间t变化的关系如图乙所示。已知A、B间的动摩擦因数为0.4,B始终在A上,弹簧始终处于弹性限度内,弹性势能Ep=kx2,x为弹簧的形变量。最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2。下列说法正确的是(　ACD　) A.B的质量为1.0 kg B.0~1 s内A的加速度逐渐增大 C.接触弹簧前,A、B的相对位移大小为3 m D.若弹簧的劲度系数为k=12 N/m,A接触弹簧后两物体始终保持相对静止 2.4　复杂运动情境模型 【模型建构】 流程 内容 选取对象、 分析过程 对象:木板A、物块B 过程:在1 s前A做加速运动,B做减速运动,达到共同速度后整体匀速,碰到弹簧后A减速 建构物 理模型 板块模型 确定物 理原理 牛顿运动定律、运动学公式、弹簧类问题中机械能转化的问题 2.4　复杂运动情境模型 流程 内容 逻辑推理 及运算 依题意,小物块B滑上木板A后,相对A向右运动,受到水平向左的滑动摩擦力作用,有μmBg=mBaB,解得aB=4 m/s2,则B向右做匀减速直线运动,同时A向右做匀加速直线运动,直至二者共速,之后A与弹簧碰前A、B一起做匀速直线运动,由图乙可知,木板A在0~1.0 s内做匀加速运动, 1.0 s时刻速度达到最大,1.0~1.5 s内做匀速运动,B项错误 2.4　复杂运动情境模型 流程 内容 逻辑推理 及运算 小物块B匀减速过程,有v共=v0-aBt1=2 m/s,木板A匀加速过程,有v共=aAt1, μmBg=mAaA,又EkmA=mA,联立解得mA=2 kg,mB=1 kg,A项正确 A、B共速前,有xA=t1,xB=t1,可得Δx=xB-xA=3 m,C项正确 A、B间最大静摩擦力Ffmax=μmBg,则有μmBg=mBaBmax,解得aBmax=4 m/s2,假设A接触弹簧后,A、B保持相对静止,由机械能守恒定律,可得(mA+mB),联立解得xmax=1 m,则F弹max=kxmax=12 N,对A、B整体,有F弹max=(mA+mB)aAB,解得aAB=4 m/s2,可得aAB=aBmax,故假设成立,D项正确 2.4　复杂运动情境模型 4.(2025山东济南二模)我国首艘电磁弹射航母的海试工作正在紧锣密鼓地进行,利用大电容器快速放电可将磁场中的导体棒电磁弹射出去。如图所示,两根等长的光滑平行金属轨道ab和cd水平放置,左端与电容器相连接,右端分别与由绝缘材料制成的粗糙圆弧轨道be和df平滑连接,轨道间距为L,圆弧轨道半径为R,整个装置处于竖直方向的匀强磁场中,磁感应强度大小为B。质量为m、长为L的金属棒静止在平行金属轨道上,闭合开关后电容器快速放电,导体棒被水平弹射出去,然后滑上圆弧轨道,运动到与圆心等高的ef位置时速度减为零并立即被取走,导体棒经过bd位置时对轨道的压力为自身重力的k(k>1)倍,整个过程中导体棒与轨道接触良好。已知电容器的电容为C,重力加速度为g,不计金属轨道与导体棒的电阻,求: 2.4　复杂运动情境模型 (1)导体棒在圆弧轨道上运动过程中克服摩擦力做的功; (2)导体棒被弹射前、后电容器两端电压的差值。 【答案】 (1)mgR　(2) 2.4　复杂运动情境模型 【模型建构】 序号 选取对象、分析过程 建构物理模型 确定物理原理 1 导体棒在重力和阻力作用下减速到0 减速圆周运动 动能定理、动量定理、电容器定义式 2 导体棒在安培力作用下做变加速运动 导体棒切割磁感线 2.4　复杂运动情境模型 【解题过程】(1)导体棒刚到达圆弧轨道时,对导体棒受力分析可得 kmg-mg=m 解得v0= 从圆弧轨道最低点到圆心等高面,对导体棒由动能定理可得 -mgR-Wf=0- 解得Wf=mgR。 (2)对导体棒,从静止到进入圆弧轨道,由动量定理可得BLΔt=mv0-0 又因为Δt=ΔQ,ΔQ=CU0-CU 联立可得导体棒被弹射前、后电容器电压的差值ΔU=U0-U=。 2.4　复杂运动情境模型 $