精品解析：吉林四平市实验中学2025-2026学年下学期第一次月考试题高二数学

吉林四平市实验中学2025-2026学年下学期第一次月考试题高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册第六章～第七章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（ ） A. 14 B. 17 C. 90 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】由分类加法计数原理运算即可. 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B 2. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的计算公式，列出方程，求出结果即可. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 3. 的展开式中的第2项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】展开式中的第2项为． 4. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是（ ） A. 20 B. 60 C. 125 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】根据5名同学每名都可以有3种选择按照分步乘法计数原理进行相乘即可. 【详解】5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座， 由于这5名同学每名都可以有3种选择，所以共有种选择. 故选：D. 5. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 6. 的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（ ） A. 9项 B. 10项 C. 20项 D. 21项 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项式系数的性质确定的值，再求出展开式的通项公式，最后根据有理项的定义确定有理项的个数. 【详解】因为展开式中仅有第30项的二项式系数最大， 所以，，， 所以当为的整数倍时，为有理项， 所以的取值依次为，共项． 7. 的展开式中的常数项为（ ） A 61 B. 29 C. 309 D. 308 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式中的常数项为． 8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设男性中有购买了新能源车，由全概率公式将购买新能源车的分为男性购买新能源车和女性购买新能源车列出关系求解即可. 【详解】设男性中有购买了新能源车，则， 解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 10. 若随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则相互独立 B. 若，，，则相互独立 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】事件相互独立的定义为，条件概率公式为，对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即相互独立，故A正确. 对于B，由，，，可得，即相互独立，故B正确. 对于C，，又，. ，所以不相互独立，故C错误. 对于D，当相互独立时，也相互独立，所以，因此，故D正确． 11. 已知，关于方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，该方程有15组解 B. 当时，该方程的解满足的概率为 C. 当时，该方程有35组解 D. 当时，该方程有495组解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据组合数的计算、古典概率、隔板法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，当时，中有3个2，2个1， 所以该方程解的组数为，故A错误； 对于B，因为中有3个2，2个1，且， 所以，，，中有2个是1，1个是2， 所以所求概率为，故B正确； 对于C，当时，相当于在8个1之间7个空隙中选4个插入4个隔板， 把8个1分为5部分，各部分1的个数分别为的值， 所以解的组数为，故C正确； 对于D，当时，设，则，且， 相当于在13个1之间的12个空隙中选4个插入4个隔板，把13个1分为5部分， 各部分1的个数分别为的值， 所以解的组数为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若6件不同产品中有4件正品，2件次品，从中抽取2件，则至少有1件是正品的抽取方法种数为______． 【答案】14 【解析】 【详解】至少有1件是正品的抽取方法种数为． 13. 若，则n的值为______． 【答案】3或8 【解析】 【分析】根据组合数性质化简已知条件，由此求得的值. 【详解】因为， 所以或， 解得或. 14. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法． 【答案】8400 【解析】 【分析】先按人数拆分7名同学为4组（满足每组至少1人），再将分好的4组对应分配到4个不同项目中，最后汇总所有分组情况的方法数即可. 【详解】先将7名同学分成四组，有1，1，1，4；1，1，2，3和1，2，2，2这三种情况， 当分组为1，1，1，4时，不同的参加方法有； 当分组为1，1，2，3时，不同的参加方法有； 当分组为1，2，2，2时，不同的参加方法有． 综上所述，满足题意的不同的参加方法有种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． （1）求的值； （2）若展开式中的系数为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，解方程即可； （2）写出二项式展开式的通项，找到的系数即可求得. 【小问1详解】 由题设，，即，整理得， 解得或， 因，故. 【小问2详解】 由（1）知：二项式展开式通项为， 令，得，则， 又展开式中的系数为，则，得． 16. 某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4位学生与这4位学生的爸爸站成一排照相． （1）如果要求4位学生站在一起，那么这8人有多少种不同的排法？ （2）如果要求每对父子都不分开，那么这8人有多少种不同的排法？ 【答案】（1）2880 （2）384 【解析】 【小问1详解】 先把4位学生看作1个元素，再与4位学生的爸爸进行排列，排法种数为， 4个学生之间再进行排列，排法种数为， 由分步乘法计数原理可得学生站在一起的排法种数为． 【小问2详解】 先把每对父子看作1个元素进行排列，排法种数为， 再把每对父子进行排列，排法种数为， 由分步乘法计数原理可得每对父子都不分开的排法种数为． 17. 某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． （1）求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； （2）若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【详解】（1）用A表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，用B表示系统发出警报， 则，所以， ，， 由全概率公式，得， 即炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率为． （2）由（1）知，， 所以炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报，保护区该天实际发生火灾的概率为． 18. 杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果，比欧洲早500年左右，杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，图1为杨辉三角的部分内容． （1）求图1中第31行中的所有数字之和被9除所得余数； （2）观察图1，确定第63行的第k列（从左往右）与第64行的第列（从左往右）的关系式，并求的值；（用整数指数幂表示结果） （3）把杨辉三角中的每一个数都换成，得到图2所示的莱布尼茨三角，证明：，，． 【答案】（1）2 （2）， （3）证明见详解 【解析】 【小问1详解】 图1中第31行中的所有数字之和为，且， 又， 展开式中除最后一项1外，其余各项均有因数9，能被9整除，且这些项和为正数， 被9除余数为1， 被9除余数为2． 【小问2详解】 图1中第63行的第k列(从左往右)为，第64行的第列(从左往右)为， 且，， . 【小问3详解】 ，， ． 19. 作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看这场苏超联赛的人数，用频率估计概率即可； （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可； （3）利用全概率公式计算，代入求值即可. 【小问1详解】 由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. 【小问2详解】 因为， 所以 因为， 所以. 所以. 【小问3详解】 由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件，则， 所以 ， ， . 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林四平市实验中学2025-2026学年下学期第一次月考试题高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册第六章～第七章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为（ ） A. 14 B. 17 C. 90 D. 144 2. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 的展开式中的第2项是（ ） A. B. C. D. 4. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是（ ） A. 20 B. 60 C. 125 D. 243 5. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（ ） A 9项 B. 10项 C. 20项 D. 21项 7. 的展开式中的常数项为（ ） A. 61 B. 29 C. 309 D. 308 8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A B. C. D. 10. 若随机事件A，B满足，，则下列说法正确是（ ） A. 若，则相互独立 B. 若，，，则相互独立 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 11. 已知，关于方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，该方程有15组解 B. 当时，该方程的解满足的概率为 C. 当时，该方程有35组解 D. 当时，该方程有495组解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若6件不同产品中有4件正品，2件次品，从中抽取2件，则至少有1件是正品的抽取方法种数为______． 13. 若，则n的值为______． 14. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． （1）求值； （2）若展开式中的系数为，求实数的值． 16. 某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4位学生与这4位学生的爸爸站成一排照相． （1）如果要求4位学生站在一起，那么这8人有多少种不同的排法？ （2）如果要求每对父子都不分开，那么这8人有多少种不同的排法？ 17. 某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． （1）求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； （2）若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 18. 杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果，比欧洲早500年左右，杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，图1为杨辉三角的部分内容． （1）求图1中第31行中所有数字之和被9除所得余数； （2）观察图1，确定第63行的第k列（从左往右）与第64行的第列（从左往右）的关系式，并求的值；（用整数指数幂表示结果） （3）把杨辉三角中的每一个数都换成，得到图2所示的莱布尼茨三角，证明：，，． 19. 作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $