第二十章 勾股定理 单元练习-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 一、单选题 1．中，斜边AC＝4，则的值为（    ） A．32 B．40 C．16 D．无法计算 2．如图，字母A所代表的正方形的面积是（    ） A．12 B．13 C．25 D．194 3．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 4．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，则的值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 6．如图，在中，，，是中线，，，那么斜边的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在 中 ，，的面积为，则 的长为______． 8．如图，，点共线．若，，，则______． 9．如图，将等腰直角三角尺一条直角边放在数轴上，顶点和对应的数分别为0和1，再将三角尺绕顶点逆时针旋转，使得斜边与数轴重合，则顶点在数轴上对应的数是______． 10．如图，点位于点的北偏东相距处，点在的正北方向相距处，点在点的正北方向，且在点的东北方向，则点到点的距离为______km． 11．如图所示，已知中，，是上一点，且，，求的面积为_______． 12．如图，在中，于点D，，，，点P从点C出发向点B运动，速度为每秒2个单位长度，当t为______秒时，为等腰三角形． 13．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的面积为______． 14．如图，已知中，，，，点D是AC边上的一个动点．将沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若，则C，E两点之间的距离为________． 15．如图，等边的边长为6，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，则的最小值为_________． 三、解答题 16．在中，． (1)若，，则______； (2)已知，，求、的值． 17．如图，为的高，，，.求的长和的度数. 18．如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：    (1)四边形是平行四边形； (2)若，，，求证四边形是矩形． 19．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    20．如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 21．如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 22．如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵中，斜边AC＝4， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键． 2．C 【分析】根据已知两个正方形的面积169和144，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母A所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积． 【详解】解：∵， ∴字母A所代表的正方形的面积=． 故选：C． 【点睛】此题主要考查勾股定理这一知识点，比较简单，熟练掌握勾股定理的计算方法是解题的关键． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选C． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取格点F，连接，，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，则. 【详解】解；如图，取格点F，连接，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 5．A 【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是做出辅助线． 过点 作，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，代换得出，即可求解； 【详解】解：过点 作， ∵， ∴， 在中， ， 在 中，， ∴， ∴， ∴， 化简得， ∴， ∴． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查勾股定理、三角形中线的定义，根据勾股定理可得，再根据三角形中线的定义可得，即，再利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：在中，， 在中，， ∴， ∵，是中线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．或 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，存在种情况，一种是是锐角三角形，一种是是钝角三角形，根据勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用及正确理解分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图，当是锐角三角形时，过作于点， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 如图，当是钝角三角形时，过作延长线于点， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 综上可知 的长为或， 故答案为：为或． 8．5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉全等三角形的判定和性质，判定，得到． 过作于，过作于，由等腰三角形的性质求出，，由余角的性质推出，判定，得到，由勾股定理求出，得到． 【详解】解：过作于，过作于， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 9． 【分析】本题主要考查了勾股定理和用数轴上的点表示有理数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先求出的长，再确定顶点在数轴上对应的数． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，直角边， ∴斜边， ∵点对应的数是0，旋转后，在点的左侧，且， ∴顶点在数轴上对应的数是． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查方位角，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，然后求出，证明是等腰直角三角形，，则，由勾股定理即可求出． 【详解】解：过点A作于点E， 则， ∵点位于点的北偏东相距处，点在的正北方向相距处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在点的正北方向，且在点的东北方向， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 由，可知是直角三角形，且，设，则，由勾股定理得，，即，可求的值，然后求面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 12．或3或 【分析】本题考查了的等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论． 根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可解答． 【详解】解：①当时， ； ②当时， ∵，，， ∴， 则， ∴； ③当时， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 综上：t为秒或3秒或秒， 故答案为：或3或． 13． 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，由题意可得：，根据面积可得，根据勾股定理可求，由折叠可求，可得，即可求的长，可求面积，然后根据折叠的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴由勾股定理得：， ∵将边沿翻折，使点落在上的点处， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 由翻折可知， 的面积的面积， 故答案为：． 14． 【分析】连接CE，交BD于点F，由折叠性质知，BE=BC，CD=ED，得到BD垂直平分CE，推出CF=EF=CE，根据BC=6，CD=2，∠ACB=90°，求出，根据三角形面积公式得到，得到，求出，推出． 【详解】连接CE，交BD于点F， 由折叠知，BE=BC，CD=ED， ∴BD垂直平分CE， ∴CF=EF=CE， ∵BC=6，CD=2，∠ACB=90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠，线段垂直平分线，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握折叠图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求直角三角形斜边上的高． 15． 【分析】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：连接， 等边中，是边上的中线 是边上的高线，即垂直平分 当、、三点共线时， 等边中，是边的中点 直角三角形中， 的最小值为 故答案为： 16．(1)12 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉定理的内容并灵活运用是关键． （1）已知直角三角形中的斜边与一条直角边，求另一条直角边，利用勾股定理即可求解； （2）由题意设，，由勾股定理建立方程，利用平方根的定义求出x即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：12； （2）解：， 设，． 又，， ， 即， （舍去负值） ，． 17．， 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，分别在和中利用勾股定理，求出和的长，从而求出的长，再根据勾股定理的逆定理求得的度数的度数即可． 【详解】解：在中利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，矩形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得到，，证明，得到，即可得证； （2）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，进而得到，由此根据一个角是直角的平行四边形是矩形，即得证； 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）证明： ， ， 是直角三角形，且， ， ∵四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 19．超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 20．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由于点，，得，而，，可根据“”证明，得，，推导出，再证明，则； （2）由，，，勾股定理求得，，则，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：于点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，，， ，， ， ， ， 解得： 21． 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作于点D，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 22． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，根据勾股定理求出，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 即池水看起来变浅了． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $