10.1.2 事件的关系和运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.2 事件的关系和运算 第十章 概率 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 1.结合具体实例，了解随机事件的并、交与互斥的含义；会利用简单事件，借助并、交与互斥等事件关系准确的表示出较复杂的随机事件. 2.能结合具体实例进行随机事件的并、交运算. 3.在了解随机事件关系与运算的过程中，感受类比思想、由特殊到一般思想在解决问题中的运用. 学习目标 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算. 一起探究吧！ 创设情境 1.你能写出样本空间吗？你能用集合表示下列事件吗？ C1＝“点数为1”；G＝“点数为奇数”. 探究事件的关系 2.你能发现这两个集合之间有什么关系，这两个事件之间又有何关系呢？ 在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件， 如：Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6； G＝“点数为奇数”； 合作探究： 1.先独立思考，再小组合作充分讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间2分钟. 探究新知 1.样本空间Ω={1，2，3，4，5}，它们分别是C1＝{1}和G＝{1，3，5}. 事件关系：如果事件C1发生，那么事件G一定发生. 2.集合关系：{1}⊆ {1，3，5}，即C1⊆ G. 1.你能写出样本空间吗？你能用集合表示下列事件吗？ C1＝“点数为1”；G＝“点数为奇数”. 探究事件的关系 2.你能发现这两个集合之间有什么关系，这两个事件之间又有何关系呢？ 在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件， 如：Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6； G＝“点数为奇数”； 探究新知 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A (或事件A包含于事件B)，记作B⊇ A(或A⊆ B).可用下图表示. 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇ A且A⊇ B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B. A B 不可能事件记为∅； 任何事件都包含不可能事件. 探究事件的关系 探究新知 1.举出生活中具有包含关系与相等关系的实例. 1.(1)已知某产品是否合格包括长度、直径两个指标，如果 A 表示“长度不合格”，B 表示“产品不合格”，则A⊆ B； (2)掷一个骰子，如果 A 表示“出现偶数点”，B 表示“出现的点数能被 2 整除”则A=B. 合作探究： 1.先独立思考，再小组合作充分讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间3分钟. 探究事件的关系 探究新知 探究事件的运算 2.①集合D1，E1，E2之间有什么关系？对应事件之间又有何关系？ ②集合C2，E1，E2之间有什么关系？对应事件之间又有何关系呢？ 合作探究： 1.先独立思考，再小组合作充分讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间5分钟. 探究新知 探究事件的运算 2.①集合D1，E1，E2之间有什么关系？对应事件之间又有何关系？ ②集合C2，E1，E2之间有什么关系？对应事件之间又有何关系呢？ C2={2}，D1={1,2,3}，E1={1,2}，E2={2,3}. 事件关系：若事件E1和事件E2至少有一个发生，则事件D1发生. ①集合关系：{1,2}∪{2,3}={1,2,3}，即 E1∪E2=D1. 事件关系：事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生. ②集合关系：{1,2}∩{2,3}={2}，即 E1∩E2=C2. 探究新知 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件 (或和事件)，记作A∪B (或A＋B). 下图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件 A∪B (或A＋B) 探究事件的运算 探究新知 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B (或AB). 下图中的蓝色区域表示这个交事件 A∩B (或AB) 探究事件的运算 探究新知 探究互斥事件与对立事件 合作探究： 1.先独立思考，再小组合作充分讨论； 2.每小组挑一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间2分钟. 探究新知 C3={3}，C5={5}, F={2,4,6}，G={1,3,5}. 探究互斥事件与对立事件 事件关系：在任何一次试验中，事件C3和事件C5不可能同时发生. ①集合关系：{3}∩{5}=∅，即 C3∩C5=∅. 事件关系：在任何一次试验中，事件F和事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一. ②集合关系：{2,4,6}∪{1,3,5}=Ω，即 {2,4,6}∩{1,3,5}=∅. 探究新知 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容). 下图中可以表示这两个事件互斥 A与B互斥 1.两事件互斥，两事件的交事件是不可能事件. 2.两事件互斥，两事件的和事件不一定是必然事件. 探究互斥事件与对立事件 探究新知 A Ω 下图中可以表示这两个事件对立 1.两事件对立，两事件的交事件是不可能事件. 2.两事件对立，两事件的和事件一定是必然事件. 注意：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件. 探究互斥事件与对立事件 探究新知 事件的关系及运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆ B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=∅，A∪B=Ω 探究新知 应用举例 应用举例 1 4 3 2 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？ 事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？ 应用举例 解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1，x2)表示可能的结果， x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间 Ω＝｛(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)｝. 事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2， 于是R1＝｛(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)｝； 事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2， 于是R2＝｛(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)｝. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； 应用举例 解：(1)同理，有 R＝｛(1，2)，(2，1)｝， G＝｛(3，4)，(4，3)｝， M＝｛(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)｝， N ＝｛(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)｝. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； 应用举例 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”. (2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？ 事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？ (3)因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件； 因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件. 1 4 3 2 应用举例 把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) 解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选C ． C 1.两事件能同时发生吗？ 2.两事件一定有一个必然发生吗？ A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对 应用举例 解：从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，共有4种情况： ①3个球全是黄球；②2个黄球和1个蓝球；③1个黄球2个蓝球；④3个球全是蓝球． 恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确； 至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①， ∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④， ∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误； 至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④， ∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误． 故选：A． 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是( ) A.恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B.至少有一个黄球与都是黄球 C.至少有一个黄球与都是蓝球 D.至少有一个黄球与至少有一个蓝球 A 应用举例 归纳总结 $