精品解析：河北张家口市第一中学2026届高三年级百日冲刺决胜高考22次考试第（6）次数学试卷

高三年级百日冲刺决胜高考22次考试第（6）次数学试卷 一､单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线经过点，则其焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（ ） （） A. 115% B. 15% C. 30% D. 60% 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 下列说法错误的有（ ） A. 命题的否定是 B. 若，则，的夹角为锐角 C. 若方程有两个不等的正实数根，则 D. 在中，若角，则有两解 10. 已知随机事件满足，则（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若事件互斥，则 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 三､填空题 12. 在的展开式中常数项为80，则____________． 13. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 14. 设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 四､解答题 15. 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； （2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； （3）由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 16. 如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点． （1）若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB； （2）当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值． 17. 已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； （3）设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 18. 已知数列中，． （1）证明：为等差数列，并求的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求； （3）数列满足：，求的最大项． 19. 已知， （1）时，证明：； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级百日冲刺决胜高考22次考试第（6）次数学试卷 一､单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合及交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：C． 2. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可. 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为， 故选：B 3. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件代入数量积公式，计算，即可求解. 【详解】，即， 则，即，因为，所以， . 故选：D 4. 已知抛物线经过点，则其焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为抛物线过点，所以，即. 所以其焦点到准线的距离为. 5. 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到或，计算得到答案. 【详解】由题意，函数，既有最小值也有最大值， ①当函数最值取得1，最小值为时， 结合函数图象可得，即； ②当取得最大值为，最小值为－1时， 结合函数图象可得， 解得， 综上所述，实数的取值范围为或． 故选：D. 6. 某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（ ） （） A. 115% B. 15% C. 30% D. 60% 【答案】B 【解析】 【分析】设2025～2030年的年平均增长率为，根据题意列出方程，然后根据对数的运算计算即可. 【详解】设2025～2030年的年平均增长率为，根据题意可得 ，化简得， 方程两边取对数得，又， 所以. 故 所以，即2025～2030年的年平均增长率大约为. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，， 令，得， ， 所以 ， 当时上式也符合，所以，则， 所以. 8. 若，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知等式进行恒等变形，通过构造函数，利用数形结合思想进行判断即可. 【详解】当时，显然不成立， 当时，由， 令，设， 在同一直角坐标系内画出三个函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：只有选项C不可能， 故选：C 二､多选题 9. 下列说法错误的有（ ） A. 命题的否定是 B. 若，则，的夹角为锐角 C. 若方程有两个不等的正实数根，则 D. 在中，若角，则有两解 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据特称命题的否定是全称命题求解判断；对B，由数量积和向量夹角的范围求解；对C，由一元二次方程根的分布列式求解；对D，由正弦定理求解判断. 【详解】对于A，命题的否定是，故A正确； 对于B，若，可得，的夹角为锐角或，B错误； 对于C，若方程有两个不等的正实数根， 则，解得，故C正确； 对于D，由正弦定理，，不符合题意， 此时三角形无解，故D错误. 故选：BD . 10. 已知随机事件满足，则（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若事件互斥，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC. 【详解】对于A选项，因为事件互斥，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，故C正确； 对于D选项，事件与事件是互斥事件，则为必然事件，所以，故D错误． 故选：AC． 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件及抛物线的对称性，结合几何图形求出直线的斜率，进而求出点的坐标，再逐项求解判断即可. 【详解】由抛物线：的焦点为，得抛物线， 设，由对称性，不妨令点在第一象限， 连接并延长交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点， 直线，由消去得，则，即， 直线，由消去得， 则，即，因此，点与关于轴对称，则， 同理得，点与关于轴对称，， 由与关于轴对称，得平分，则， 而，且，则， 于是，直线的斜率，直线， 由消去得，而， 解得，则，，点， 对于A，直线的斜率为，由对称性知，也是直线的斜率，A正确； 对于B，点或到轴的距离均为，B错误； 对于C，由，得 ，C正确； 对于D，直线的倾斜角，由对称性知，也是直线的倾斜角，D错误. 故选：AC 三､填空题 12. 在的展开式中常数项为80，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的指数等于0，求出的值，即可建立等式求解. 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中常数项为，解得. 故答案为： 13. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合题意列式计算即可求解. 【详解】， ， 由题意可得，解得. 故答案为：. 14. 设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据“集合”的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解. 【详解】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 四､解答题 15. 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； （2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列； （3）由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率. ［参考数据：；若，则，，］ 【答案】（1），76分 （2） X 0 1 2 P （3）【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积为1计算可得，再由百分位数的定义计算可求出最低分数线； （2）由分层抽样比可求出各区间抽取的人数，再计算出相应概率可求出分布列； （3）由频率分布直方图计算出初赛成绩的平均值，再由正态分布计算可得所求概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图易知，， 解得， 由图知的频率为0.04，的频率为， 的频率为0.54， ∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x， 则，解得， ∴估计获奖学生的最低分数线为76分. 【小问2详解】 由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人. 则X的可能取值为0，1，2， 易知，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 【小问3详解】易知平均值为， 即可得， ∴. 16. 如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点． （1）若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB； （2）当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 解法一：取线段OB的中点N，连接MN，PN． 因为，，所以且， 因此四边形PCBN是平行四边形，所以． 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． 因为，，所以． 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． 而平面PMN， 所以平面平面CDB， 又平面PMN，所以平面CDB． 解法二:在线段BD上取点E，使得，连接CE，ME， 又，所以，且， 又，且，所以，且． 所以四边形PCEM是平行四边形，所以， 又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面和平面平行可证线面平行或者 （2）利用线面角求出线段的长度，建立坐标系，求出法向量可求二面角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作于点F，连接PF， 因为平面平面ABD，平面平面，所以平面PAB， 所以就是直线PD与平面PAB所成的角，所以， 因为， 所以． 连接OD，则，即点F为OB的中点． 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 于是． 设平面APD的法向量为，则，得， 取，可得． 设平面PDB的法向量为，则，得， 取，可得． 所以， 故二面角的正弦值为． 17. 已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； （3）设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义以及双曲线的标准方程，可得答案； （2）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，结合判别式计算，可得答案； （3）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，应用弦长公式代入计算化简求解. 【小问1详解】 设，为定值，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为：，， 所以，曲线的轨迹方程是； 【小问2详解】 设， 由，消去得， 则. 整理得， 解得. 【小问3详解】 设， 由，消去得，， 则. ， 所以， 18. 已知数列中，． （1）证明：为等差数列，并求的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求； （3）数列满足：，求的最大项． 【答案】（1） 等式两边同除以，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知，即得． （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）通过对递推式两边同除以，构造出等差数列，进而求出数列的通项公式； （2）根据的奇偶性，对进行分组求和，得到统一的表达式； （3）先求出数列的通项，再构造辅助数列，通过函数单调性分析其最大项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，． 当为偶数时， 当为奇数时，． 综上，． 【小问3详解】 当时，；当时， 有，可得． 所以，．记，则． 令，则， 可得在区间上单调递增，则，即得，即． 所以当时，，即，可知数列从第4项开始每一项均小于1． 因为，所以数列的最大项是第三项， 其值为1，即得数列的最大项为1． 【点睛】本题以递推数列为载体，通过构造等差、分组求和、函数单调性分析，综合考查了数列通项、求和及最大项问题，体现了 “化归转化” 与 “函数思想” 在数列中的核心应用. 19. 已知， （1）时，证明：； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，总有． 【答案】（1）证明：构造，当时，，． 可知，，单调递增； ，，单调递减． 则，故，即， 所以． （2） （3）证明：由（2）中结论，有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立， 即，变形可得 分别令，，，，可得， ，……， 累加可得证毕． 【解析】 【分析】（1）构造，利用导数研究函数的单调性、最值计算即可； （2）设，借助端点效应，分类讨论并根据隐零点计算即可； （3）根据（2）的结论得出，利用放缩法累加即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，设， 则， 且有，． （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，， 单调递增，． （iii）当，时，，则单调递增，，，则必然存在一个，使得， 且有时，，单调递减， 此时，不满足恒成立条件． 综上所述，． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $