21.3.1 《矩形》讲义 --2025-2026学年人教版数学八年级下册

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，以平行四边形为基础延伸，通过定义明确矩形是特殊平行四边形，推导其四个角为直角、对角线相等的特殊性质，关联直角三角形斜边中线性质，构建完整知识支架。 资料通过猜想-证明过程培养推理意识，如矩形对角线相等的证明，例题与分层练习结合几何直观，规范几何语言表达。课中助力教师引导探究，课后通过检测与作业帮助学生巩固，查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

21.3.1 矩形 知识框架 · 矩形的性质 · 矩形的判定 1、 性质 一种特殊的平行四边形——矩形 总结 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 矩形具备平行四边形的所有性质． · 边：对边平行且相等． · 角：对角相等． · 对角线：对角线互相平分． 思考，矩形还有其他特殊性质嘛？ 因为矩形的四个内角都是直角，且两条对角线长度相等． 猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等． 猜想1的证明： 已知：四边形ABCD是矩形．求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°． 又矩形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°． ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 性质1：矩形的四个角都是直角． 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 猜想2的证明： 已知：AC与BD是矩形ABCD的对角线．求证：AC＝BD． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB． 又BC＝CB，∴△ABC≌△DCB．∴AC＝BD． 性质2：矩形的对角线相等． 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD． 之前运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，同理可以用矩形的性质研究直角三角形的一个性质． 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是AC上的中线．求证：BO＝AC． 证明：延长BO至D，使OD＝BO，连接AD，DC． ∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝90°，∴□ABCD是矩形． ∴AC＝BD．∴BO＝BD＝AC． 得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 例题精析 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分． ∴OA＝OB． 又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形． ∴OA＝AB＝4．∴AC＝BD＝2OA＝8． 巩固练习1 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝20°，则∠BDC＝（ ）． A．30° B．40° C．45° D．60° 练习1 1． 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，图中有哪些直角三角形？有哪些等腰三角形？有哪几对全等三角形？ 2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）． A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 3．已知：四边形ABCD是矩形， （1）若已知AB＝8cm，AD＝6cm，则AC＝_______cm，OB＝_______cm． （2）若已知∠DOC＝120°，AC＝8 cm，则AD＝_______cm，AB＝_______cm． 小结： 检测1 1．两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为（ ）． A．26 B．13 C．8.5 D．6.5 2．如图，要使□ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）． A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2 3．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为_______度． 作业1 1．已知：矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE＝BC． 求证：CE＝EF． 2．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积． 2、 判定 回忆：矩形的性质 （1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等． 以及定义判定的方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 思考，还有其他判定矩形的方法嘛？ 猜想1：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＋∠B＝180°．∴AD∥BC． 同理可证：AB∥CD． ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 得到判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． 几何语言： ∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 猜想2：对角线相等的平行四边形是矩形． 在□ABCD中，AC＝BD．求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB＝CD． 又∵BC＝BC，AC＝BD，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC＝∠DCB． ∵AB//CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°．∴∠ABC＝∠DCB＝90°． 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形． 得到判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 归纳矩形的判定方法： · 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形； · 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形； · 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形 例题精析 【例1】下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有四个角是直角的四边形是矩形；（√） （2）对角线相等的四边形是矩形；（×） （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√） （4）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形．（√） 【例2】如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°．求∠OAB的度数． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD． 又OA＝OD，∴AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．∴∠DAB＝90°． 又∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°． 巩固练习2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形． 练习2 如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB，BC和AD，CD分别相交于点B，D． （1）猜想线段AC和BD间的关系是______； （2）证明你的猜想． 检测2 1．判断题 （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （3）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．（ ） 2．下列四个命题中，错误的是（ ）． A．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 B．有三个角都相等的四边形是矩形 C．有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 3．满足下列条件（ ）的四边形是矩形． A．有三个角相等 B．有一个角是直角 C．对角线相等且互相垂直 D．对角线相等且互相平分 作业2 1． 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE． 求证：（1）△ABF≌△DCE； （2） 四边形ABCD是矩形． 2．已知：□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形． 答案 巩固练习1：B． 练习1： 1、解析，直角三角形：Rt△ABC；Rt△BCD；Rt△CDA；Rt△DAB． 等腰三角形：△OAB；△OBC；△OCD；△OAD． 全等三角形：Rt△ABC≌Rt△DCB≌Rt△CDA≌Rt△BAD；△OAB≌△OCD；△OAD≌△OCB． 2、 C．3、答案：（1）10，5．（2）4，． 检测1： 1、D．2、C．3、D． 与△ABC全等的三角形有：△DCB，△BAD，△CDA，△DCE共4个． 4、解析：由折叠可知，∠DEF＝∠BEF，∠EFC＝∠EFC′． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°． 又∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°．∴∠DEF＝55°． 在四边形EFCD中，∠EFC＝125°，∴∠EFC′＝125°． 作业1： 1．证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，且AD＝BC，AD∥BC．∴∠1＝∠2． ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°．∴∠B＝∠AFD． 又AE＝BC＝AD，∴△ABE≌△DFA．∴BE＝AF．∴CE＝EF． 此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到CE＝EF． 2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD． 又BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴BE＝AC，∴BD＝BE． （2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝OB＝OD＝4．∴BD＝8． ∵∠DBC＝30°，∴∠ABO＝90°－30°＝60°． ∴△ABO是等边三角形．∴AB＝OB＝4．∴AB＝DC＝CE＝4． 在Rt△DBC中， ∵AB∥DE，AD与BE不平行，∴四边形ABED是梯形，且BC为该梯形的高． ∴四边形ABED的面积＝ 巩固练习2 证明∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD． ∵点D为BC的中点，∴CD＝BD．∴CD∥AE，CD＝AE． ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC，∴AC＝DE．∴平行四边形ADCE是矩形． 练习2： 解析：（1）相等 （2）理由：∵MN∥PQ，AB，CB分别是∠MAC，∠PCA的平分线， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°．∴∠ABC＝90°．同理∠ADC＝90°． ∵CB，CD分别是∠PCA，∠QCA的平分线，∴∠BCA＋∠DCA＝90°． ∴∠BCD＝90°．∴四边形ABCD是矩形．∴AC＝BD． 检测2： 1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√．3．D． 2．B．对于C选项，连接AC，∵∠B＝∠D＝90°，AC＝AC，AB＝CD， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．∴AD＝BC．∴四边形ABCD是矩形． 作业2： 1．证明：（1）∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，∴BF＝CE． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC． 在△ABF和△DCE中，∵AB＝DC，BF＝CE，AF＝DE，∴△ABF≌△DCE． （2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B＋∠C＝180°． ∴∠B＝∠C＝90°．∴平行四边形ABCD是矩形． 2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAB＋∠ABC＝180°． 又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC， ∴∠EAB＋∠ABG＝×180°＝90°．∴∠AFB＝90°． 同理可证∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°． ∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 学科网（北京）股份有限公司 $