精品解析：上海市复旦中学2025-2026学年第二学期高三年级数学期中质量调研卷

上海市复旦中学2025学年第二学期高三年级数学期中质量调研卷 2025.3 考生注意：1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.答题时可使用符合规定的计算器． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________. 2. 复数（其中为虚数单位）的虚部是__________. 3. 若幂函数为严格增函数，则m的值为__________. 4. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________． 5. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 6. 从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 7. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 8. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________． 9. 设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则______． 10. 已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________. 11. 已知函数，若函数在区间上恰有2026个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合是______． 12. 一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有_________个. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 15. 在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 16. 已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中所有点构成的图形的面积，则（　　） A ， B. ， C. ， D. ， 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）若成等比数列，求角的大小； （2）若，且，求面积． 18. 如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F． （1）求证：； （2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小． 19. 烧烤是某地特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下： 1 3 4 6 7 5 6.5 7 7.5 8 与可用回归方程（其中为常数）进行模拟. 参考数据与公式：设，则 6.8 线性回归直线中，. （1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元） （2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议. 20. 已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 21. 已知函数定义域为I，.若存在，对任意， 当时，都有，则称为 在上“Ω点”. （1）求函数在上的最大“Ω点”； （2）若函数在上不存在“Ω点”，求a的取值范围； （3）设，且 ，，证明：在D上的“Ω点”个数不小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市复旦中学2025学年第二学期高三年级数学期中质量调研卷 2025.3 考生注意：1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4.答题时可使用符合规定的计算器． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定集合，再解不等式得解集合，利用交集定义即可求得. 【详解】依题意，. 因，解得，即. 所以. 故答案为： 2. 复数（其中为虚数单位）虚部是__________. 【答案】-4 【解析】 【分析】根据复数的乘除法和运算和虚部的概念即可求解. 【详解】 ， 故的虚部为-4. 故答案为：-4. 3. 若幂函数为严格增函数，则m的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的单调性求参数值，注意验证. 【详解】由题意，幂函数为严格增函数，则，可得，此时满足题意. 故答案为： 4. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算得到答案. 【详解】，当，即，时等号成立， 则的最小值为4． 故答案为：4． 5. 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意， 所以在方向上的投影数量为：. 6. 从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出所有取值情况，找出使 有意义的情况，根据古典概率可求答案. 【详解】根据题意，从集合中随机抽取2个不同元素作为， 有共6种， 其中只有，即有意义， 所以使得 有意义的概率为. 故答案为： 7. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和. 【详解】因为，所以，解得， 代入可得， 令，可得展开式各项系数和为. 故答案为：. 8. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用圆锥、圆柱的侧面积公式即可求出学具的侧面积，再加上圆柱的一个底面积即可求出学具的表面积. 【详解】因为圆柱的底面半径与高都为，所以挖去的圆锥的母线长为，半径为10， 则圆锥的侧面积为， 又圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为, 所以学具的表面积为. 故答案为： 9. 设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数定义域得，代入函数及导函数可得方程组，求解可得. 【详解】由题意得，的定义域为，所以， 由图可知，解得， 则，因为，则有①， 由在上严格递减，在和上严格递增， 则， 由，则， 则，则②， 由①②解得（舍），或， 则. 故答案为：. 10. 已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的位置关系分析可得. 【详解】 如图：与轴焦点为， 当点圆外， 则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点， 联立得， 由， 得， 因，所以， 故， 当点在圆上， 如图，此时与有3个或1个交点不符合题意， 当点在圆内， 如图，此时与有2个交点符合题意， 此时，， 得 综上的取值范围为：. 故答案为：. 11. 已知函数，若函数在区间上恰有2026个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数得，令，换元得，根据二次函数零点可得原题意等价于在区间上恰有2026个零点，结合正弦函数的图象性质分析求解即可. 【详解】由题意得， 令，，可得，， 记的两零点为，， 则，不妨设， 且，则，，， 可知（舍去），， 原题意等价于在区间上恰有2026个零点， 可知在和（为正整数）内不同根的个数均为， 所以，故所有可能的正整数组成的集合为. 12. 一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有_________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先确定数列中的值，再利用组合知识，即可得到结论. 【详解】由题意，且， 当时，，则可以取或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或或或， 且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个； 综上，满足条件的数列共有. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：先确定数列中的值，之后再分析的取值，可能都是同一个值；可能是从可取值中选两个出来，比如选和，那么可能，可能或有三种可能；依次分析即可. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：利用作差法分析判断即可. 【详解】对于选项AD：例如，满足，但，故AD错误； 对于选项B：利用，满足，但，故B错误； 对于选项C：因为， 且，、是非零实数，则， 可得，即，故C正确； 故选：C. 14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项. 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 15. 在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】在平面中过点作交于点，在平面中过作，连接、，即可证明平面，从而得到在 的边上，即可判断轨迹三角形的形状. 【详解】解：如图，在平面中过点作交于点， （当在时恰为点，当在点时点也恰为点，满足点（即）使得）， 在平面中过作，连接、， 由正方体的性质可得，平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 平面，所以，所以， ，平面，所以平面， 因为，所以，又动点在正方体表面上运动，所以在 的边上， 显然，所以，所以为等腰三角形， 又，所以不可能为直角三角形或钝角三角形； 故选：A 16. 已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中所有点构成的图形的面积，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】作出集合表示的平面图形，确定特定点及最大距离与面积. 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中，，， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积， 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 在中，角所对的边分别为，且 （1）若成等比数列，求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用数量积的定义化简得到，再由余弦定理得到，结合，求得，即可求解； （2）由（1）知，根据题意，利用正弦定理可得，联立方程组求得的值，结合余弦定理求得，得到，利用面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 根据向量的数量积的定义，可得， 由余弦定理可得，整理得， 因为成等比数列， 所以，解得 所以为等边三角形，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知， 又由，根据正弦定理可得， 联立方程组，解得， 因为，所以，， 由余弦定理可得，所以， 所以的面积为. 18. 如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F． （1）求证：； （2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意，可得∥平面，由线面平行的性质定理可得，从而证得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用点到平面的距离的空间向量公式及直线与平面所成角的空间向量公式求解即可. 【小问1详解】 ∵，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴，又，则. 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取， 则点E到平面的距离为； 设与平面所成角为， 则， 则与平面所成角为. 19. 烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下： 1 3 4 6 7 5 6.5 7 7.5 8 与可用回归方程（其中为常数）进行模拟. 参考数据与公式：设，则 6.8 线性回归直线中，. （1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元） （2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议. 【答案】（1）表格见解析，（元） （2）建议购买3辆车 【解析】 【分析】（1）根据表格与参考公式计算数据补全空并求出回归方程、估计成本即可； （2）由频率分布直方图得出送货箱数的概率，再由离散型随机变量的分布列与期望公式得出购3辆车和购4辆车时每天的利润的分布列，比较期望大小即可. 【小问1详解】 由表格及公式通过计算器可计算得 补全填空如下： 0.54 68 1.53 0.45 根据题意，， 所以 所以， 又，所以， 所以时，（千元）， 即卖出100份的成本为11764元， 故利润（元）. 【小问2详解】 根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为： 箱数 设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元， 则的可能取值为，其分布列为： 1500 800 100 P 故， 的可能取值为，其分布列为： 2000 1300 600 -100 P 故， 即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车. 20. 已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为． 小问2详解】 ①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设，∴， 则， 解得，则 【小问3详解】 ①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴， 联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 21. 已知函数定义域为I，.若存在，对任意， 当时，都有，则称为 在上的“Ω点”. （1）求函数在上的最大“Ω点”； （2）若函数在上不存在“Ω点”，求a的取值范围； （3）设，且 ，，证明：在D上的“Ω点”个数不小于. 【答案】（1）0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得对，，当时，都有，即可结合导数研究单调性后取最大值点即可得； （2）由题意可得在时恒成立，借助导数分、、及讨论函数单调性即可得； （3）分“Ω点”个数为，及大于等于进行讨论，结合，从而得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系. 【小问1详解】 ,则 则当 时, , 当 时, , 即 在 上单调递增, 在 上单调递减, 即对 , 当 时,都有 , 即 在 上的最大 " 点" 为 0 ; 【小问2详解】 因为函数在上不存在“Ω点”， 所以在时恒成立， ， 令，， 则， 当时，恒成立，故在上单调递减， 则， 故在上单调递减，此时，符合要求； 当时，令，则， 则当，即时，，即在上单调递增， 则，即在上单调递增， 有，不符合要求，故舍去； 当，即时，恒成立，故在上单调递减， 则，故在上单调递减， 此时，符合要求； 当，即时， 若，，若，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则若需恒成立，有，解得， 由，故， 由，故， 即当时，符合要求； 综上所述，； 【小问3详解】 若在D上的“Ω点”个数为，则，符合要求； 若在D上的“Ω点”个数为，令在D上的“Ω点”分别为、、、， 其中、，、、、， 若， 则若，由，则，即， 若，由题意，，， 故，即，又，故，符合要求； 若， 则，，，， 由，则， 若，即，则， 若，由题意，，且， 又，故，即，，，， 即有，即， 由，故， 又，故， 即在D上的“Ω点”个数不小于. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，结合定义得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $