上海市浦东新区2025-2026学年下学期期中考试高三数学试卷

2025学年第二学期期中考试 高三数学试卷 考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟： 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分54分)本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。 1、已知全集U=(0,+o),集合A=[2,o),则A= 2.已知复数z满足(（1+)z=2i,则z= 3.已知f(x)= x,x<0,若f(@)=2,则实数a的值为 x+1,x≥0. 4.在△ABC中，若a=7,b=8,cosC=13 ，则c=」 5.某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布 N(100,o2)(试卷满分为150分).统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之 间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的 (精确到01%)· 6.已知直线1是曲线y=3 +lnx在x=2处的切线，则l的斜率为 +1 7.从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女生，则有 种不同的面试方法. 8.一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能)·已知其中一个孩子属马， 则另一个孩子也属马的概率为 9.已知数列{an}的通项公式是a,=2+l,Sn为数列{an}的前n项和，则使得不等式 Sn>2026成立的最小正整数n的值为 高三数学第1页共6页 10.已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴， y 并将圆分为两段弧.将其中一段劣弧AB沿弦AB翻折后 恰好经过圆心.若直线y=x+m与翻折后得到的两段弧 有四个不同的交点，则实数m的取值范围为 (第10题图) 11、某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米.为营造动态 光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A,在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安 装射灯1，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它 们的交汇点G始终落在实验室天花板上.则交汇点G形成的轨迹长度为米 12.已知集合M的元紫均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都 乘以(-l)后再求和.若集合A={n≤n≤2026，n∈N},则集合A的所有非空子集的 “变项和”的总和为 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必 须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16 题每题选对得5分，否则一律得零分. 13.某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：cm)与体重（单位：kg)的抽样数 据，运用电子办公软件求出了“体重”（y)关于“身高”（x)的回归方程，则该 回归方程() 分高 体度 I00 174 5 0 A.表示x与y之间的函数关系： 8 181 74 60 B.表示x与y之间的不确定关系： 8 88 5 。8 y+2.311x·340.6 169 54 C.反映x与y之间的真实关系： 30 150 86 20 D.反映x与y之间的真实关系的一 【66 108170173174176178180【8215 (第13题图) 种最佳拟合. 14.已知实数a、b、c满足a>b>1>c,则下列结论一定正确的是() A.ac>bc; B.b°<1： C.log b+log,a>2; D.a+c>b, 高三数学第2页共6页 15.已知e,、e2与e,是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是() A.e+e2、e、e,+e2+e3: B、e、e2+e、3e,+4e2+3e: c.e、2e2-c、g-2e2+e; D.e+e、e2+e、e+ke,(其中k为实数). 16.定义在R上的非常值函数y=f(x),若存在一个非零常数T,使得对任意x∈R, 都有f(x+T)=T·f(x)成立，那么称函数y=f(x)为T函数.则下列说法正确的是 () A.存在函数y=x+b(k≠O)为T函数； B.若函数y=f(x)为T函数，且当T>1时函数在[0，T)上是严格增函数，则函数 y=∫(x)在[0，+o)上是严格增函数； C.若函数y=∫(x)为T函数，且在x=0处取得最小值，则0<T<1: D.若函数y=f(x)为T函数，且f(x)≤1恒成立，则y=f(x)为周期函数. 高三数学第3页共6页 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编 号规定区域内写出必要的步骤， 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 如图，在多面体POABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD∥P2,PD⊥CD, △PAD是边长为√2的等边三角形，AB=PO=二CD, (1)求证：AB⊥平面PAD: (2)若PC与平面ABCD所成的角为T,求多面体POAECD的体积. 6 B (第17题图) 18.（本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知f(x)=W3sinx+2cos(x+p),p∈[0，π]. (1)若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，求常数p的值； (2)若勿-雪，若关于x的不等式()+兰a>0对任意x[D月恒成立，求实数a 的取值范围。 高三数学第4页共6页 19.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分、第2小题满分6分，第 3小题满分6分. 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测 试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间 [4,10]内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10] 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代 表)： (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在[6,7)、[7,8)这两组中 共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记X为3人中甜度偏好分数在[7,8)的 人数，求X的分布、期望和方差： (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在「7,9)的消费者称“七分糖爱好者”.以样本估计 总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本， 记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为P,问当k为何值时P最大？ 高三数学第5页共6页 20.（本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第 3小题满分8分. 已知双曲线C:x- 62 =1(b>0)的左顶点为A,过点D(2,0)的直线I交双曲线C于 M、N两点，点M在第一象限. (1)若双曲线C的焦距为2，求该双曲线C的离心率e: (2)若b=√3，△MAD为直角三角形，求点M的坐标： (3)若双曲线C的一条渐近线方程为x+√2y=0,点M、W均在双曲线C的右支， 且存在实数元（元<马），使得=D成立，求直线I的倾斜角的 3 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第 3小题满分8分， 对于定义在区间D上的函数y=f(x),定义集合 2={f(x)f(x)-f(xsk-x,x∈D}.对任意闭区间1二D,设函数 y=f(x)在区间I上的最大值为M,最小值为M2,记M(f,I)=M-M, (1)若f(x)=x2-x,D=[0,1],判断函数y=f(x)是否属于集合2，并求 M(f,[0,)的值； (2)若D=[0,],f(x)∈2，且f(0)=0,M(f,[0,)=1.求f(@)的值及函数 y=f(x)的解析式： (3)若D=[0,+o),f(x)e2,令g(x)=M(f,[0,x).证明：y=f(x)是单调 函数的充要条件是：对任意0<x<,g(x)-g(:)=M(∫，[：，x2])恒成立 高三数学第6页共6页高三数学练习批阅指南 一、填空题 1.(0,2) 2.1+i.3.-8. 4.3. 5.12.5%. 7.108. 8. 231 9.11. o. 11.【A题】2√2π. B题】-，9 12.1013.22025 二、选择题 13.D 14.C15.B16.D 三、解答题 17.【解析】(1)证明：取AD的中点O,连接PO 因为△PAD为等边三角形，且O为AD中点， 所以P0⊥AD1分 又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD2分 又ABC平面ABCD,因而PO⊥AB3分 因为AB∥CD,PD⊥CD,所以PD⊥AB.… .5分 由POC平面PAD,PDc平面PAD,PO∩PD=P, 所以AB⊥平面PAD… .7分 高三数学练习第1页共9页 (2)【A题】连接PC、OC,由题(1)可知，PO⊥平面ABCD, 所以PC在平面ABCD内的投影为OC, 故∠PCO是PC与平面ABCD所成的角，即∠PCO= 6 8分 tan∠PCo= PO_3 C03 由题程，P0=5,可得C03 9 分 因为AB⊥平面PAD,AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AD 因此，CD=VC02-0D2=2,P2=。CD=111分 取CD的中点M,连接BM、QM VPOARCD VPAD-M+Vo-MC ..12分 ABCMo 5,√525 3 263 所以多面体PQABCD的体积是2 .14分 3 【B题】连接PC、OC,由题(1)可知，PO⊥平面ABCD, 所以PC在平面ABCD内的投影为OC, 故∠PCO是PC与平面4BCD所成的角，即∠PC0=石8分 tan∠Pco= 6, PO 3 由题得，PO= 可得C0= 32 2 09 分 因为AB⊥平面PAD,AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AD 因此，CD=VC02-0D2=2,PQ=号CD=1. .11分 因为AB∥CD,ABC平面ABQP,CD不在平面ABQP内， 所以CD∥平面ABOP,所以'c-PQ4='o-POM=V2-PMDl3分 =PSApD= 3 6 所以三棱锥C-P2A的体积为 ..14分 6 高三数学练习第2页共9页 18.【解析】(1)若函数y=∫(x)是定义在R上的奇函数， 则f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立， .2分 3sinx+2cos(x+o)=-/3sin(-x)-2cos(-x+o) 即cos(x+p)+cos(-x+p)=0对x∈R恒成立. 即2C0SXC0Sp=0对x∈R恒成立.4分 因此=红*受keZ到又p0小故p=号 因此，若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，常数p的值为 .6分 (2)【A题】若=兀，则f()=c0Sx…8分 3 由题意，即a<cosx+2x对任意xe[0,可恒成立. 1 令g(x)=co0sx+万x,即a<g(x)nn… 9分 由g'(x)=2 -Sinx,… .10分 可知函数y=()在x0,π内的两个驻点为x=x=办 .11分 6 12 2 ，g()=C-1的大 小， ..13分 可知函数y=g)在xe0网上的最小值为g(受- 5元√5 122 因此，实数a的取值范围为 .14分 高三数学练习第3页共9页 【B题】若p=,则f(x)=cosx… 8分 令g()=cosx+2,即求函数y=8)在x∈(0，)上的极值. g)=2sinx,… ..9分 可知函数y=g(x)的单调增区间为 π5π 单调减区间为 6’6 …12分 因此，函数)y=f()+芳在x=元处取得极大值工+ 6 122 函数P=/()+在x=领处取得极小大值红- 5π 2 6 122 .14分 19.【解析】（1)由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 x=10×4.5+25x5.5+20×6.5+30×7.5+10x8.5+5x95 =6.7 100 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为67...。 ...4分 (2)用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在[6,7)这组中抽取2人，甜度偏好分 数在[7,8)这组中抽取3人.… .5分 -1 P(x-2)-9C6 故P(X=)=C:C=3 C-10 P(X=3)= C=1 10 .8分 1 3 因此，X的分布为 510 10 故E]=?,D[x]=E[x]-(E[X= 25 .10分 高三数学练习第4页共9页 (3)由题，抽到“七分糖爱好者的概率是0.4,11分 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即k~B(12,0.4), =C0.40.62-*, ..13分 则=9空"04-0.62”-212-k P C0.40.62-= 3(k+1) 当22-2>1，即k<4.2时R>B 3k+1) 当212-<1，即k>42时B<P05 3k+1) 因此，R<P<R<P<P>P>P>…>P2 所以，当k=5时，P最大 ..16分. 20.【解析】(1)由题，2c=2√5，得c=√5 2分 故e=C=√5 .4分 (2)因为点M在第一象限，故∠MAD不可能为直角：5分. 若∠4DM=受将x=2代入曲线C:-号=1，得M(么)：…7分 3 若∠DM1=7,设点M化w）,则历M=2-x-2+W2=0 又为点M满是6-兰=1，可得加怎 3 综上，点M的坐标(2,3)或 53W3 4’4 .10 分. (3)【A题】由题可得，双曲线C:x2-2y2=111 分 显然，直线1的斜率一定存在，且不为0 设直线1的方程为x=my+2,M(x,)、N(x2,2),且y,>0,y2<0 高三数学练习第5页共9页 联立方程 g时2可e-2护：w3-0 显然m2-2≠0，△=(4m)2-4(m2-2)×3=4m2+24>0, -41m 3 y+%=m2-2 >0,yy2= <0,故0<m<√2.13分 m2-2 4 由MN=MD,可得y2-y=-元y,且0<2< 3 改号=1-ae(5 15分 因此+-2+丛+2<-4 .16分 3 33m2-2 故16.m2 2<m<. 3m2-2 4,可得 所以，直线！斜率的取值范围为 22 2 直线1倾斜角的取值范围为 arctan- arctan .18分 2 【B题】由题可得，双曲线C:x2-2y2=1…。 11分 且双曲线C的切线不平行于坐标轴.设切线方程y=mx+t. 与x2-2y2=1联立，可得(1-2m2)x2-4mx-22-1=0, 则△=16m2+41-2m2(22+1)=0,得2=m2- 2 13分 设直线1：y=k(x-2),Q(xo,kx。-2k) 由题意，设(x,k。-2k),代入切线方程，得kx-2k=mx。+t 故r=®-2张-mx广=m一方 高三数学练习第6页共9页 整理得(6-1m2+(4-2)+(G-2驴+0 又双曲线C的两条切线互相垂直， 故mm2= 2(x0-2}+ 2=-1' .15分 x6-1 所以2+1-4，+4-支=0 又点0存在，故△=161-4k2+042-20,解得°≤写…17分 ..18分 21.【解析】(1)【A题】对任意x、x2∈[0，]， f(x)-f(x2)=x2)-(x-x)=+ 因为x+x2-1∈[-1，]，故f(x)-f(x2)x-x2, 所以函数y=∫(x)是否属于集合2.（给出结论即可）2分 f()=(x-产-子xe[0 可知M,=/0=10=0,M=付)=-是 放M(/,0,)=子 …4分 【e恩】对任意e®小)s-日安-k-到 所以函数y=∫(x)是否属于集合2.（给出结论即可）… .2分 由/)=号，xe0小，可知M=fo)=7M,=f0=方 故M(f,[0,1）=14分 高三数学练习第7页共9页 (2)【A题】由M(f,[0,1])=1可知， 存在u、v∈[0，]满足f(u)-f(=1. 又f(x)∈2，故必有f(u)-f(v≤u-≤1. 因此必有u-y=1,即{u,以={0,1}， 又f(0)=0,f()-f(0=1, 因此f(1)=1或f()=-1… .6分 当f()=1时，由题意，对任意x∈[0，，(x)-f(0≤x,即f(x)≤x, f(1)-f(x≤1-x,即1-f(x)≤1-x,故f(x)2x. 因此f(X)=X9分 当f(1)=-1,同理可得f(x)=-x. 综上，f(1)的值为1或-1. 函数y=f(x)的解析式为f(x)=x或f(x)=-x… ...10分 【B题】由题，对任意x∈[0，]，f(x)-f(0≤x,可得f(x)≤x:7分 f(I)-f(x≤1-x,可得1-f(x)s1-x,即f(x)2x. 因此f(x)=X10分 (3)先证必要性：若y=∫(x)是定义在[0，+0)上的增函数， 设任意正实数x、x2满足0<x<2, 则g(x2)=M(f,[0,2])=f(x2)-f(0),g(x)=f(x)-f(0), M(f,[x,x2])=f(x2)-f(x). 因此g(x)-g(x)=f(x)-f(x)=M(f,[x,x]),得证. 若y=f(x)是定义在[0，+0)上的减增函数，同理可证12分 再证充分性：（反证法）假设函数y=f(x)在[0，+∞)上不单调， 高三数学练习第8页共9页 则必存在x,<x。<x2,使得 f(x)<f(x)>f(x2)()>f(xo)<f(x2). 不妨设f(x)<f(xo)>f(x2),且f(x)是函数y=f(x)在区间[x,x,]上 的最大值。 设函数y=f(x)在区间[x,x]上的最小值为L, 在区间[xo,x2]上的最小值为L2…。 14分 由题，M(f,[x,x])=g(xo)-g(x),M(f,[x,x2])=g(x2)-g(x) 故M(f,[x,x])+M(f,[x,x2])=g(x)-g(x) 又g(x2)-g(x)=M(f,[x,x2]), 故M(f,[x,x])+M(f,[xo,x2])=M(f,[x,x2])l6分 f(xo)-+f(xo)-L2=f(xo)-min), 即f(xo)=L+L2-min{L,L2},即f(xo)=max{L,2}, max{L,L2}≤max{f(x),f(c2)}<f(x),矛盾. 因此假设不成立，f(x)是[0，+o)上的单调函数。 因此，y=∫(x)是单调函数的充要条件是：对任意正实数0<x,<x2, g(x2)-g(x)=M(f,[x,x2])恒成立 …18分 高三数学练习第9页共9页