云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学周末作业（5）

2027届高二（下）数学周末作业(5) 一、单选题 1.已知集合M 可N=sx3引，则MnN=《) A.{xsxs2)B.{xsx<2C.(1<x53 D.{x1<x<2 2.设数列包，}满足a+号+导+…+品=2n+1,则包，}的前2026项和为《) 3 32 A.32026-1 B.32026 C.32027-1 D.32027 B,设P为椭圆6+1上一动点，M、N分别为圆G:(x+3别+y1和圆 C2:(x-3)2+y2=4上的动点，则PM+PW不可能为() A.9 B.11 C.13 D.16 4.如图，设Ox,0y是平面内相交成60°角的两条数轴，，已，分别是与x轴， y轴正方向同向的单位向量若向量OF=x+y吧，则有序实数对(x,y)叫做 向量OP在坐标系xOy中的坐标若在该坐标系x0y中，OA=(2,1), 0B=(-4,5),则0A0B=() A.-3 B.-2 c.-1 D.0 5.已知正项等比数列a,}满足24，+a,=a,若存在两项a,2,使得8a只，=4，则9+ m n 的最小值为()A.1B.2C.3D.4 6.二项式(2x-1)”的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x项的系数为() A.-160 B.-80 C.80 D.160 关于x的方程2血Qx+V4x+1有实根，则心+6的取值范围为（ D A.[c,+o)B.[c2,+o∞）C.[2c,+o∞）D.[4e2,+o) 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，P为棱BB的中点，2为正 Cu 方体ABCD-ABGD表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是() A.三棱锥P-AD,D外接球表面积为4 B.若D,211平而APD,则点2轨迹是一条线段 16 C若P2L平面4P0,则点2的轨迹的长度为5D,若D2=反，则点Q的轨迹长度为 2 二、多选题 试卷第1页，共4页 9.下列选项正确的是（) A.若随机变量X~B(6,p,E(X)=4.8,则p=0.8 B.设随机变量5服从正态分布N(0,1),若P(5>)=P,则P(-1<5<0)=2P C.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A=“第一次出现2点”，事件B=“两次 点数之和为奇数”，则事件A与B互斥 D.对于随机事件A与B,若P(B=0.3,P(B4=0.7,则事件A与B独立. 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一动点，A为一定点，则正确的有() A.若PF=4,则点P的坐标为3,25B.若A(5,3),则PA+PF的最小值为6 C.若A(,0),则P4的最小值为22D.若A(3,0,则∠APF的最大值为 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√5，且csin A.+2 cos Acos B=√3a 则下列结论正确的有() A.C=2红B.C>2(4+B)C.△ABC为等腰三角形D.△ABC的周长是2N5+2 3 12.已知函数f(x)=e-a2有三个零点，，为3(x<为2<为)，则() A.若x,,成等差数列，则x,x,x成等比数列 B.若x,x,x成等比数列，则x,x2,为成等差数列 C.若，x,为成等差数列，则数列x,x,的公差为2血(N2-1 D.若x,x,x好成等比数列，则数列，x,x的公比为3+22 三、填空题 13.已知随机变量X服从正态分布N(4,σ2)，若P(X>-2)+P(X>6)=1,则4= 14.平面向量a=(3,0),b=(1,2),则ā在i上的投形向量坐标为 15.将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为1，则两个球体体积之和的 最大值为 16.斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，，在数 学上，斐波那契数列以如下递推的方式定a。=l,a,=l,an=an1+a-2(n≥2，n∈N),已知 A={a1,a2,,a2o25},B二A且B≠0，则B中所有元素之和为奇数的概率为 四、解答题 17.2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重 试卷第2页，共4页 庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织 开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： (I)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出y关于x的回归直线方程，并 利用回归方程预测，步长为80cm时，步频约是多少？ 步频x(单位：5) 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 (2)记e=y-),=y,-bx-à，其中y为观测值，，为 步长y(单位：cm) 90 95 99 103 117 预测值，为对应(x,y)的残差，求(1)中步长的残 差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明： 若不成立，请说明理由 参考数据： 2=0451,xy=151.82. 参考公式： a=y-脉. 18.锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且满足sin2C+sin2B+cosA=sinBsinC+1. ()求角4：Q)设日为锐角三角形AC的垂心，求品的值。 19.低空经济是区域经济发展的新引擎，某无人机物流枢纽中心计划在甲、乙两条航线中选 定一条作为常态化航线.为评估航线性能，该中心进行了多次模拟测试.经统计分析，甲航 线在连续12次测试中，单次测试成功率为p(0<p<1),各次测试相互独立，记其成功次 数为X,P(X=)=25P(X=5):乙航线在n(neN)次测试中成功次数为Y,且E(Y)=n, D)=分4，.1)求p的值：(2)为量化两条航线的综合表现，该中心引入“稳定性系数” 的评估指标：稳定性系数入= 标准差 期望 ,1越小，表示稳定性越好，综合表现越优当n=12 时，分别计算甲、乙两航线的稳定性系数，并以此判断哪条航线的综合表现更优： (3)若每次任务执行成功能盈利200元，执行失败则亏损80元.根据(2)的结论，选择综 合表现更优的航线，根据测试数据估计该航线执行k(k∈N·)次任务的利润的期望， 试卷第3页，共4页 20,已知双曲线C:号片=1ab>0)的左右顶点分别为么B,实轴h=2,且左焦点B到 其中一条渐近线的距离为√5， (I)求双曲线C的标准方程：(2)过左焦点F的直线I交双曲线C左右两支于N,M两点（点M 位于第一象限)，直线AM与BN相交于点T, (i)求证：点T在定直线上：(ii)求证：射线FT平分∠MFB. 21.如图，直角△ABC,斜边AB=4,B=严，D为AB的中点，将△ACD沿CD翻折到 6 △P,CD(neN),设二面角P-CD-A的大小为0，满足tan0,=(N2)2m-9. (1)证明：CD⊥P: (2)求直线PC与平面ABC所成角的大小： (3)当四面体PCDP,的体积最大时，求n. D C 2设爵数/因=0-0n-2xox-号1. (1)当x∈[0，]，(i)若a=0,讨论f)的单调性：(i)若ae[0,+o),求f)极值点的 个藏：(2)对任意xel-受，总存在ae0,+o,使得25a+b,求6的最小值 试卷第4页，共4页 2027届高二（下）数学周末作业(5)参考答案 题号12 3 456789 10 1112 答案BB 0 D ABD BCD AC ABD 7.B【详解】由关于x的方程2血x+号=④+1有实根，得关于x的方程 红+号}、F有实根，设方程（如*引-+的实根为，则 号引-牙得到会网，即a+-e网0，设点.则有p在 直线+-6-0上，点00叭到直线+宁-。网=0的距离d= +好 设1代+好安函数0-号，分则了)=，当1<1时，了<0： 2 当1>1时，了>0，函数了0在区间上单调递减，在区间+)上单调递增，因此 f0m=f0=c,oP2d=f02e,则e2+82=1of≥，当1=1时，5=t5,由 2 b a= -e=0,解 a=- e a+ -e=0 2 2 ,解得 ,此时a2+b2=e2:由 -a+ 2 2 2 a2+b2=e3 a2+b2=e2 e b2 此时a2+b2=e,所以a2+b2的取值范围为c2,+o∞) 8.A【详解】对于A:由四边形DAAD为正方形，故三棱锥P-ADD的外接球即为三棱锥 D-APA的外接球，设三棱锥D-APA的外接球半径为R,△AAP的外接圆半径为r, 5 -12 2 2 3,又∠APAe(0,,则 2x5x5 22 咖P4=有故么n子 =5=2r,r= 号，因为DAL平面44P,故三棱锥D-4PA的 外接球球心在过△AAP的外接圆圆心和DA平行的直线上， +r2=R2,AD=1,即 R-2三+！，放三棱锥P-4DD的外接球的表面积为4R'- 64464 16,故A正确，对于B 答案第1页，共8页 D 取CC与B,C中点M、N,连接D,M、D,N、MN,由正方体性质可 得MNIIDA,APIIDM,又MN平面APD,DAC平面APD, D : 故MNII平面APD,D,M￠平面APD,APc平面APD,故D,M1I D 平面APD,又MNODM=M,MN、D,Mc平面D,MN,故平面 D,MN∥平面APD,由D,211平面APD,则点2的轨迹是△D,MN除 去点D,故B错误：对于C:取AB靠近点B的四等分点S,连接PS, 由正方体性质可得DA⊥平面AB,BA,又PSc平面A,B,BA,故 SB=BP DA1PS,由P9A8,∠SBP=PBA=90°，故△S8P与aP84相似 则∠BPS=∠B,AP,故∠SPA=180°-（∠BPS+∠B,PA) =180°-（∠BAP+∠BPA)=180°-90°=90°，故SP⊥PA,又PA∩4D=A,PA、ADC 平面A4PD,故SP⊥平面APD,又PQL平面APD,故动点Q的轨迹为线段SP, 12 SP- ,故C错误：对D:若2e平面BB,C,C,因为D,C⊥平面BB,CC, D C2c平面BB,CC,故D,G⊥C2,由D2=2,则C2=2-1=1, C B 即点的轨迹为以C为圆心，在平面BB,CC内半径为1的四分之一圆， 同理可得，点2也可为以D为圆心，在平面ABCD内半径为1的四分之一 圆，点也可为以4为圆心，在平面4BB内半径为1的四分之一圆， 故其轨透长度为3××21-=，故D错误 2 1.AC【详解】由正弦定理a,=c得c=asinC 由积化和差公式得 sinA sinC sin A cos 4cos Bcos(+)+co(B-coc+os()]asinC sinA' cos4cosB=-cosC+cosA-B】,a=V5代入csin+2cos4cosB=5a得 3sin C sin A siA+2x汇cosC+eosM-B月-5x首，整理得 5s血C-oasC+o(-8)3,由辅助角公式得2(C-君引 +cos(A-B)=3,因为 答案第2页，共8页 2(C-君司}52as4-851,所以2am(c-君引}os1-853.当且仅当 2如(C-君司-2cas4-81时等号成立，所以C-名受+24-8=2收e, 又4BC为三角形的肉角，所以C-名-受4-B=0,即C=行=B,放A正确 所以A+B+C=2A+2红=元，解得A=B=及，所以C=2(A+B),故B错误：由A=B= 3 6 6 知△ABC为等腰三角形且a=b=√5，故C正确：由等腰三角形的性质知c=2~acos”=3, 6 所以△ABC的周长是√5+√5+3=2V5+3,故D错误，故选：AC. 12.ABD【详解】当a≤0时，f(x)=c*-ax2>0,不合题意：当a>0时，分别 画出y=c与y=ax的图象，如图：所以x<0<-x<x<x:对A、C:由题得 y-ax ,即 子安号所以产 即号方，若名成等差数列，则 y-e 2x2=x+x,所以x·x=x,所以x,x好，x成等比数列，由<0<x2≤为，则 =（当，即6=+，所鸟10，由，解程 x =-3-25，因为号=e,所以 -=2如安=-2+2=23-2月=4W2-小则5=-2(5-小 即数列，，的公差为-2加(2-刂，故A正确，C错误：对B、D:由= -,若x,, 成等比数列，则·x=x,则+=e2西，即有2x2=x+为，故x,x2,成等差数列， 又产=3-25，则学-(3-2=+25可.故号-V3+2回可=3+25，即数列 x,x,x的公比为3+25，故B、D正确. 13.214. 36 55 15. 9-5V同)下【详解】如图所示，为正方体ABCD-A8GD的 2 对角面ACC,A,设两个球O,O,的半径分别为R,r(0<r≤R),当两圆与对角面ACC,A相 答案第3页，共8页 切，且与正方体三个面相切时，体积和最大，所以(R+)+5)5,可 A C 得R+r3-5,所以R=3- 2 2 -,由题意知0<rS分0<R≤分且 02 0 0<r≤R,故2-55,535，所以体积 2 -到+-到4水4分》当25陈yt时 R=分，最大值为y9-5)严放答案为 (9-5v3)π 16.2一【详解】由斐波那契数列规律可知，集合A={a,4,,a}中的元素有675 22024 个偶数，1350个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C,所有奇数组成的集合为D,集合 C的子集为E,集合D中含有奇数个元素的子集为F,则所有元素之和为奇数的集合B,可 看成EUF,显然集合E共有个25，集合F共有C0+C0+Ci0+…+Cl8=29个， 所以所有元素之和为奇数的集合B共有265×21349=22024个，又集合A的非空子集共有22025-】 个所以8中所有元素之和为商数伦展率为，故答案为： 22024 22025-1 -SxTx3 =620, 2 ā=100.8-620×0.3=-85.2，所以回归直线方程为=620x-85.2, 将y=80代入得80=620x-85.2,解得x≈0.27，所以当步长为80cm时，步频约是0.27秒. (2)根据(1)得到=620×0.28-85.2=88.4，=90-88.4=1.6： 2=620×0.29-85.2=94.6，e=95-94.6=0.4: y=620×0.30-85.2=100.8,ξ=99-100.8=-1.8： 4=620×0.31-85.2=107,8,=103-107=-4: 元=620x0,32-852=113.2,6=117-113.2=3.8,所以28=16+04-18-4+3.8=0， 即步长残差和为0. 对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下： 2=20-)20,-c-小-2y-62-a=-脑--刘-0. 答案第4页，共8页 18.(1)由条件知：sin2C+sin2B-sin2A=sinBsinC,由正弦定理可得c2+b2-a2=bc, 所以cosA-+c2-a=,则4=： 2bc 2 3 (2)设AD垂直于BC于D,BE垂直于AC于E,AD与BE交于垂 心H,则∠CEB=∠CDA=90°，故∠AHB=∠DHE=180°-∠C,有 ∠ABH=90°-∠BAE,则sin∠ABH=sin(90°-∠BAE)=cos∠BAE, 设△ABC外接圆半径为R,在△ABH中用正弦定理： B D AH。 AB AB AB sinABH sin/AHB sin(180-ZC)sinC =2R=、AH coS∠BAE' 故AH=2Rcos∠BAE,所以a a sin∠BAE 人AH=2Rc0S∠BAE=c0S∠BAE =tan/BAE=V5】 10、)收题：CD0-pr=25cp0-p,解得：P=名 （2)因为X-B02,月，所以80=10,20=号 当=12时，B0m-智D们-袋放2 VDX灯-5 z=D亚5 E(X)30 E(Y)12 因为正，5 30<2,所以甲航线综合表现更优 (3)设k次派送任务中成功的次数为2，则乙-Bk,,E(2=k, 6 设盈利为m元，则E0)=200E2)-80k-E(Z1=460k元. 3 20.(1)由题意，设左焦点F的坐标为(-c,0), 双曲线C的渐近线方程为：bx±ay=0,a2+b2=c2, 左焦点F到其中一条渐近线的距离为 (-c_c=b,可得b=5, a2+b2c 又因为2a=2,解得a=1, 故双曲线C的标准方程为-上=1， (2)由题知F(-2,0),A(-1,0),B(1,0), 因为直线I过F(-2,0),M,点M在第一象限，故直线1的斜率不为0， 设直线l的方程为x=my-2,M(名，)，N(x2,2), [x=my-2 -=13m--12mw+9=0 答案第5页，共8页 方程(3m2-1)y2-12my+9=0的判别式△=(-12m)2-4×9(3m2-1)=36m2+36>0, 由已知%，2为方程(3m2-1)y2-12my+9=0的两个根， 12m 月+2= 所以 3m可，→t丛=4→m-%+y) 9 44=3m2-1 (①证明：因为直线4M的方程为)y=+,直线N的方程为y=兰红-) 为+1 联立可得+- :x+1=(s+h(my-1)myy2-业。 +)为 -可-3my-别0+%)朗9+%3 则x=分即T在直线x=分上： 21 (i)证明：由(i)知T 14 2'206+ (其中-=1) 3 tan∠MFB=kFw= L,tan∠TFB=kp= 2(x+1) m 3 36,+1) 2y 则tan2∠TFB= 2an∠TFB 1-tan2∠TFB 34+D。+）”,xFyr2) 1-y2 x+3x+2x+2m 9(x+1) 即tan∠MFB=tan2∠TFB,∴∠MFB=2∠TFB,故射线FT平分∠MFB. 21.解：(1)证明：依题意：斜边AB=4,B=T,有AC=CD=AD=2,取CD中点0， 则AO⊥CD,PO⊥CD,所以CD⊥平面POA,又因为APC平面POA, 所以CD⊥P. (2)以O为原点，OA为x轴，OC为y轴建立坐标系， A(3,0,0),C(01,0),D(0,-1,0), 由二面角的定义可知：0n=∠POA, P.(3cos0,0,3sin0,), 由于am8=5,则s如g=6 3， 故E1,0,V2),C正=0，-1，V2), 平面ABC的法向量取m=(0,0,1), 0 答案第6页，共8页