精品解析：河南周口市商水县第一高中2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年度下期第一次月考 数学试卷 一､单选题（每小题5分，共计40分） 1. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 若向量互为相反向量， 则 B. 若，则 C. 若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D. 若与是共线向量，则A，B，C三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相等向量的概念可得A，由零向量与任何向量都共线可得B，利用向量相等的概念可得C，利用共线向量的概念可判断D选项 【详解】因为互为相反向量，则其模长相等，则A正确； 由于零向量与任何向量都共线，所以当为零向量时，不可传递，则B错误； 由于相等向量的长度和方向都相同，所以当两相等向量的起点相同时，终点一定相同，C正确； 由于与是共线向量，则与方向相同或相反，则A，B，C三点共线，则D正确. 故选：ACD 2. 如图，点为正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可得，再利用平行四边形可求. 【详解】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. 3. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 4. 在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共线定理，结合为的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值, 【详解】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得. 故选：C. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 6. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 7. 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（ ） A. 直角非等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】由题意有：， 所以，由余弦定理得， 所以，又，所以， 又，由， 所以， 所以，所以，可得， 所以是等边三角形. 8. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可知，， 所以. 二､多选题（每小题6分，共计18分：多选没分，少选给部分分） 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项. 【详解】由， 故z的虚部为，，， ，A、C对，B、D错. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 在中，若点满足，则为的垂心 D. 若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量夹角的范围即可求其最小值； 对于选项B，根据向量数量积的定义，可判断为锐角，进而判断的形状； 对于选项C，根据向量数量积的运算律对已知条件进行变形，即可推出点的性质； 对于选项D，根据向量投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，，所以， 又，所以，所以， 当，即反向共线时等号成立，故A正确； 对于B选项，由， 又，所以，即为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对于C选项，因为，即，所以，所以，即， 同理，由，得，即， 由，得，即， 所以为的垂心，故C正确； 对于D选项，因为，，与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为，故D正确． 综上所述，选项ACD都正确. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据余弦定理以及正弦定理，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A：若，，， 由余弦定理得， 故符合条件的有且仅有一个，故A错误； 对于B：反证法：假设，根据三角形内大边对大角，则， 由正弦定理可得，与题干矛盾，故B正确； 对于C：若，由正弦定理得， 由余弦定理得，故，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：若为锐角三角形，则，所以， 因为在上单调递增，所以，故D正确． 故选：BCD． 三､填空题（每小题5分，共计15分） 12. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】以为基底表示，由三点共线可求出，结合基本不等式可求出的最大值. 【详解】解析：，又，，三点共线，所以， 而，所以当且仅当时取等号. 故答案为:1. 【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了基本不等式，属于基础题.本题关键是求出的关系. 13. 作用在同一点的三个力平衡，已知，，与之间的夹角是，则与之间的夹角的正弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理求解即可． 【详解】由题意，知应与的合力平衡．设与之间的夹角为，如图， 可知当三力平衡时，由余弦定理得， 再由正弦定理得，即． 14. 2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为，则机器人行走2min时距原点的最远距离是________m，最近距离是________m. 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】借助余弦定理可用与表示出，再利用二次函数性质与三角函数有界性即可得最大最小值. 【详解】设改变方向的地点为M，终点为P， 由于，所以，， ，， 由余弦定理得 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可知当时， 取得最小值； 由，则，， 结合二次函数的性质可知当或时， 取得最大值； 综上所述，，最远距离是，最近距离是. 四､解答题（本大题共计77分，其中15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分） 15. 如图，在平行四边形中，. （1）用向量，表示，； （2）若，证明：，，三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【小问1详解】 由平行四边形，可得; ，， ，即. 【小问2详解】 由（1），又， 所以， 所以三点共线. 16. 已知点，，. （1）若，求的值； （2）若，其中为坐标原点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】1.根据向量的坐标运算，求出，，再根据，由向量的模长公式及同角三角函数的基本关系即可求解. 2. 由向量数量积的坐标运算及同角三角函数的基本关系即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，， 因为 所以， 化简得， 所以. 【小问2详解】 由题意可得：，， 所以， 得：. 17. 已知两个单位向量与的夹角为，设，． （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【小问1详解】 由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； 【小问2详解】 因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 18. 如图，在中，为的中点，且． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式可求. （2）在和中，分别利用余弦定理，即可求，进而可得. 【小问1详解】 因为为的中点，所以， 则， 即， 因为，所以， 所以，即． 【小问2详解】 不妨令，则，设，则． 在中，由余弦定理得， 即．① 在中，由余弦定理得，即．② ①②联立，解得， 所以． 19. 在中，周长为20，面积为，且. （1）求边的长度； （2）若动点是的内切圆上的一点，且. ①求的值； ②求的取值范围. 【答案】（1）BC=7；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）解方程组即得解； （2）①由题得，,解方程组即得解；②以点A为坐标原点建立直角坐标系，设，不妨设，求出，即得解. 【详解】（1）由得. 所以. 由题得 解方程组得或. 故BC=7. （2）①由题得内切圆的半径， 因为. 因为， 所以， 如果， 所以. 所以, 解之得 当时，. 故. ②以点A为坐标原点建立直角坐标系， 则圆的方程为， 设，不妨设， 所以 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第2问的②，关键是联想到建立直角坐标系，利用解析几何的方法解决最值问题，通过建立坐标系，建立函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期第一次月考 数学试卷 一､单选题（每小题5分，共计40分） 1. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ） A. 若向量互为相反向量， 则 B. 若，则 C. 若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D. 若与是共线向量，则A，B，C三点共线 2. 如图，点为正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 4. 在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7. 已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（ ） A. 直角非等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（ ） A. B. C. D. 0 二､多选题（每小题6分，共计18分：多选没分，少选给部分分） 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 在中，若点满足，则为的垂心 D. 若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 三､填空题（每小题5分，共计15分） 12. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则的最大值为______. 13. 作用在同一点的三个力平衡，已知，，与之间的夹角是，则与之间的夹角的正弦值为________． 14. 2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为，则机器人行走2min时距原点的最远距离是________m，最近距离是________m. 四､解答题（本大题共计77分，其中15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分） 15. 如图，在平行四边形中，. （1）用向量，表示，； （2）若，证明：，，三点共线. 16. 已知点，，. （1）若，求的值； （2）若，其中为坐标原点，求的值. 17. 已知两个单位向量与的夹角为，设，． （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 18. 如图，在中，为的中点，且． （1）求； （2）若，求． 19. 在中，周长为20，面积为，且. （1）求边的长度； （2）若动点是的内切圆上的一点，且. ①求的值； ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $