第5章 分式与分式方程（培优） 单元检测 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2026年北师大版数学八年级下册 分式与分式方程 单元检测（培优卷） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．关于分式，下列说法正确的是（   ） A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍 B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍 C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变 D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变 3．若分式的值为0，则等于 （   ） A．1 B．1或-3 C．-1或1 D．-1 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．关于的方程有增根，则的值是（    ） A．3 B．0或3 C．7 D． 7．若实数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于x的方程＝﹣2的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．7 B．10 C．12 D．1 8．已知实数x、y、z满足，则分式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 E． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若代数式有意义，则x的取值范围是_______． 10．若=2，则=_____ 11．已知，则=____． 12．若关于x的方程无解，则m的值为__． 13．已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2， ②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3， ③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，…… 根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为_____． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．解下列分式方程： (1)； (2)． 15．先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 16．根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际奈雪奶茶店推出两款爆款水果茶“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．两款奶茶都含有“茉莉清茶”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 芝士/杯 杨梅肉 杨梅肉 橙子 多肉 多肉 素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，第二天9月3日决定对“芝士杨梅”降价销售，每杯比昨天降价4元促销；“满杯杨梅”价格不变，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润各是多少？（单位：元/杯） 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”各多少杯？请填空并补全下面的求解过程： 解：设需制作“芝士杨梅”杯，则：需制作“满杯杨梅” 杯（用含的代数式表示） ……． 17．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为,； 方程的解为,； 方程的解为,； … （1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是___； （2）根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___； （3）猜想关于x的方程x−的解并验证你的结论； （4）在解方程：时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程． 18．数学学习小组在学习《不等关系》后，深入研究了两个正数的和与积之间的大小关系． 【发现问题】当时，． 【提出问题】当时，与存在怎样的大小关系? 【特例分析】（1）给分别赋予不同的数值，通过计算，判断与的大小关系． 请完成下面的表格： ... 3 4 5 ... ... 3 5 6 ... _____（填“>”，“<”，“=”） ... < _____ < ... 【得出猜想】（2）根据特例分析，猜想：当时，_______． 【验证猜想】（3） ①小明认为可以设，其中，再通过计算完成验证． 请补充验证过程： ②小红发现可以用图形的面积关系来直观验证． 如图，在长方形中，．请在长方形中，用画阴影的方法表示面积为的部分． 【深入探究】（4）学习小组经过讨论，还可从以下思路验证猜想： 思路一：利用不等式的基本性质得到… 思路二：对多项式进行因式分解… 思路三：对分式进行变形与运算… 根据以上思路的启发，选择一种方法完成验证． 19．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 20．【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师大版数学八年级下册 分式与分式方程 单元检测（培优卷） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，利用分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原选项变形不正确，则A不符合题意； B. ，原选项变形错误，则B不符合题意； C. ，变形正确，故选项C符合题意； D. ，原选项变形错误，则D不符合题意； 故选：C． 2．关于分式，下列说法正确的是（   ） A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍 B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍 C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变 D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：A、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意； B、，故分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意； C、，故分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意； D、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 3．若分式的值为0，则等于 （   ） A．1 B．1或-3 C．-1或1 D．-1 【答案】D 【分析】根据分式的值为零的条件是：分子为零且分母不等于零进而得出答案． 【详解】解：若分式的值为0， 则|x|-1=0且（x+3）（x-1）≠0， 解得：x=-1． 故选D． 【点睛】本题考查分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式乘除法运算的法则进行计算即可得. 【详解】 =   = 故选D. 【点睛】此题考查分式的乘除混合运算，正确把握分式乘除法运算的运算法则是解题的关键.. 5．某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设甲队单独完成此项工程需要天，则乙队单独完成需要天，从而表示出甲、乙两人的效率，再根据合作10天和乙单独6天完成总工作量1列方程即可． 【详解】解：设甲队单独完成此项工程需要天，则乙队单独完成需要天， ∴甲效率为，乙效率为， ∴合作10天完成的工作量为，乙单独6天完成的工作量为，总工作量为1， ∴列方程， 故选：A． 6．关于的方程有增根，则的值是（    ） A．3 B．0或3 C．7 D． 【答案】D 【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， ∵关于x的方程有增根， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键． 7．若实数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于x的方程＝﹣2的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．7 B．10 C．12 D．1 【答案】A 【分析】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出a的取值范围，解分式方程得出x＝，由方程的解为正数且分式有意义得出a的取值范围，综合两者所求最终确定a的范围，据此可得答案． 【详解】解：解不等式组得，， ∵不等式组只有4个整数解， ∴0， ∴0＜a≤6， 解分式方程得：， ∵分式方程的解为正数， ∴，且≠1， 解得：a＜5且a≠3， 综上可得，a的取值范围为0＜a＜5且a≠3， 则符合条件的所有整数a的和为：1+2+4＝7． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，解题的关键是掌握基本运算法则，并注意分式方程中的解要满足分母不为0． 8．已知实数x、y、z满足，则分式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 E． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用已知等式变形，分别得到含、、的等式，整体代入化简求值，解题的关键是掌握分式的性质． 【详解】解：∵实数x、y、z满足， ∴变形等式得：， ∴， 同理可得，， ∴ ， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若代数式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是掌握：被开方数大于等于0，分母不等于0． 10．若=2，则=_____ 【答案】 【分析】由=2，得x+y=2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【详解】=2，得x+y=2xy 则==， 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想． 11．已知，则=____． 【答案】22 【分析】根据m2﹣5m+1=0可得m+=5，5m=m2+1，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m2﹣5m+1=0， ∴m﹣5+=0，5m=m2+1， ∴m+=5， ∴2m2﹣5m+ =2m2﹣m2﹣1+ =m2+﹣1 =（m+）2﹣3 =52﹣3 =25﹣3 =22． 故答案为：22． 【点睛】本题考查分式的求值．掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解． 12．若关于x的方程无解，则m的值为__． 【答案】-1或5或 【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案. 【详解】去分母得：， 可得：， 当时，一元一次方程无解， 此时， 当时， 则， 解得：或. 故答案为：或或. 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键. 13．已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2， ②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3， ③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，…… 根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为_____． 【答案】x1＝n+3，x2＝n+4 【分析】仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可． 【详解】根据题意将方程变形得：x﹣3+＝n+n+1， 可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1， 则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4， 故答案为x1＝n+3，x2＝n+4 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查解分式方程，先去分母化为整式方程，求出解后检验即可，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同时乘，将分式方程化简，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边同时乘，将分式方程化简，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 两边同时乘，得， 去括号，合并同类项得， 移项，合并同类项得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）解：， 两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 15．先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式的运算法则及有意义的条件． 先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：． ， ∵且， ∴且， ∴， ∴原式． 16．根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际奈雪奶茶店推出两款爆款水果茶“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．两款奶茶都含有“茉莉清茶”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 芝士/杯 杨梅肉 杨梅肉 橙子 多肉 多肉 素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，第二天9月3日决定对“芝士杨梅”降价销售，每杯比昨天降价4元促销；“满杯杨梅”价格不变，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润各是多少？（单位：元/杯） 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”各多少杯？请填空并补全下面的求解过程： 解：设需制作“芝士杨梅”杯，则：需制作“满杯杨梅” 杯（用含的代数式表示） ……． 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；任务2：，制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯，杯． 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制作“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，再利用一次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制作“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元； 配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， 制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯，杯． 故答案为：． 17．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为,； 方程的解为,； 方程的解为,； … （1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是___； （2）根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___； （3）猜想关于x的方程x−的解并验证你的结论； （4）在解方程：时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】（1）, ；（2） , ；（3）x1=2,x2=−；（4） ； 【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； （4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． 【详解】（1）猜想方程 的解是 ； （2）猜想方程 的解是，； (3)猜想关于x的方程x−的解为x1=2,x2=，理由为： 方程变形得：x−,即x+(−)=2+(−),依此类推得到解为x1=2,x2=−； （4）方程变形得：，可得或 ， 解得：. 【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于找到基本规律掌握解分式方程的基本步骤. 18．数学学习小组在学习《不等关系》后，深入研究了两个正数的和与积之间的大小关系． 【发现问题】当时，． 【提出问题】当时，与存在怎样的大小关系? 【特例分析】（1）给分别赋予不同的数值，通过计算，判断与的大小关系． 请完成下面的表格： ... 3 4 5 ... ... 3 5 6 ... _____（填“>”，“<”，“=”） ... < _____ < ... 【得出猜想】（2）根据特例分析，猜想：当时，_______． 【验证猜想】（3） ①小明认为可以设，其中，再通过计算完成验证． 请补充验证过程： ②小红发现可以用图形的面积关系来直观验证． 如图，在长方形中，．请在长方形中，用画阴影的方法表示面积为的部分． 【深入探究】（4）学习小组经过讨论，还可从以下思路验证猜想： 思路一：利用不等式的基本性质得到… 思路二：对多项式进行因式分解… 思路三：对分式进行变形与运算… 根据以上思路的启发，选择一种方法完成验证． 【答案】（1）；（2）；（3）①见解析；②见解析；（4）见解析 【分析】本题考查不等式的性质，多项式乘多项式与图形面积，因式分解，分式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）将代入计算出和，比较大小即可； （2）根据特例分析进行猜想即可； （3）①利用多项式乘多项式法则计算出，比较大小即可；②根据多项式乘多项式与图形面积的关系求解； （4）利用不等式的性质、因式分解、分式的性质分别计算即可． 【详解】解：（1）时，，， ， 故答案为：； （2）根据特例分析，猜想：当时，， 故答案为：； （3）①，且， ， 即. ②答案一：                  答案二：                          答案三：                    答案四：                 答案五：                      答案六：                 （说明：答案不唯一，除上述六种答案外还有其他正确做法，任画一种均可.阴影部分只需表示出，无论是涂黑、点、斜线之类均可.） （4）思路一： ， ， ， ， ， ； 思路二： ， ， ， ， ， 即， ； 思路三： ， ， ， ， ，即， ， ． 19．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 20．【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 【答案】（1）6，3；（2）最小值是；（3）①见解析；②当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为 【分析】本题考查了分式的求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得可得代数式的最小值为取最小值，再计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，结合相似三角形的判定与性质进行计算即可得解；②由，则，再仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】解：（1）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为， 此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵，要使最小， ∴最小即可． ∵时， ∴， ∴的最小值是，即的最小值是． （3）①∵正方形， ∴，， 设，，边上的高，则， ∵锐角三角形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，则， ∵， ∴当时，有最小值为，此时， ∴当时，有最小值为， ∴有最大值， ∴有最大值为，即当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $