第17讲：机械能守恒定律【10大考点+10大题型】-2025-2026学年高一下学期物理《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版必修第二册)

本讲义聚焦机械能守恒定律核心知识点，系统梳理动能与势能转化、机械能定义及守恒条件，构建从基础概念到系统问题、曲线运动、天体运动等应用的递进学习支架，助力知识体系搭建。 资料通过10大考点分层设计，搭配典例与变式题覆盖杆、绳、弹簧等系统及天体运动情境，强化物理观念与科学思维，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生通过多样题型巩固知识、查漏补缺。

第17讲：机械能守恒定律 · 考点一：机械能守恒定律的表述及条件 · 考点二：判断机械能是否守恒 · 考点三：机械能守恒定律解决简单问题 · 考点四：机械能与曲线运动结合 · 考点五：用杆连接的系统机械能问题 · 考点六：用细绳连接的系统机械能问题 · 考点七：弹簧类系统机械能转化问题 · 考点八：机械能守恒的图象问题 · 考点九：天体运动中的机械能问题 · 考点十：机械能守恒的综合问题 知识点1：动能和势能的转化 1．动能与重力势能间的转化 只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能，若重力做负功，则动能转化为重力势能，转化过程中，动能与重力势能之和保持不变． 2．动能与弹性势能间的转化 被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做正功，弹性势能转化为动能． 知识点2．机械能 动能、重力势能和弹性势能统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化． 知识点3：机械能守恒定律 1、在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变． 2．守恒定律表达式 (1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减． (2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1. (3)E2＝E1. 知识点4：机械能守恒条件 物体系统内只有重力或弹力做功． 1．对机械能守恒条件的理解 (1)从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化． (2)从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在： ①只受重力作用，例如：所有做抛体运动的物体(不计空气阻力时)机械能守恒． ②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示． 甲　　　　　　　乙　　　　　　丙 图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒． 图乙中，A、B间，B与地面间摩擦不计，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对B来说，A对B的弹力做功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒． 图丙中，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒．但对球来说，机械能不守恒． 知识点5：判断机械能守恒的方法 (1)做功分析法(常用于单个物体) ⇒⇒ ⇒机械能守恒 (2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统) ⇒⇒ 知识点6：机械能守恒定律和动能定理的比较 两大 规律 比较 内容 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk 应用范围 只有重力或弹力做功时 无条件限制 物理意义 其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度 合外力对物体做的功是动能变化的量度 关注角度 守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小 动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况) 题型一：机械能守恒定律的表述及条件 【典例1】．（24-25高一下·天津西青·期末）有关机械能的理解，下列说法中正确的是（　　） A．一定质量的物体，速度变化时，动能一定变化 B．处于平衡状态的物体，机械能不一定守恒 C．机械能守恒时，物体一定只受重力的作用 D．沿粗糙、固定斜面上滑的物块机械能一定增加 【变式1】．（24-25高一下·全国·课后作业）下列对机械能守恒定律的理解正确的是（　　） A．物体除受重力、弹力外还受其他力，机械能一定不守恒 B．合力为零，物体的机械能一定守恒 C．在机械能守恒过程中的任意两点，物体的机械能总相等 D．在机械能守恒过程中，只有初末位置的机械能才相等 【变式2】．（22-23高一下·宁夏银川·期末）关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法中正确的是（　　） A．只有重力或弹力做功时，机械能守恒 B．当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒 C．当有其他外力作用时，只要合外力的功为零，机械能守恒 D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒 【变式3】．（25-26高一下·全国）下列情况中，说法正确的是（　　） A．物体做匀速运动时，机械能一定守恒 B．物体所受合外力做功为零时，机械能一定守恒 C．物体所受合外力做功不为零时，机械能可能守恒 D．物体做曲线运动时，机械能一定不守恒 题型二：判断机械能是否守恒 【典例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，下列说法正确的是（所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量）（　　） A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒 B．乙图中，物块在外力的作用下匀速上滑，物块的机械能守恒 C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒 D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒 【变式1】．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　） A．滑雪运动员沿斜面匀速下滑的过程中，机械能守恒 B．小球从A点由静止摆动到右侧最高点C的过程，机械能守恒 C．足球在位置1被踢出后落到位置3的过程中，机械能守恒 D．小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的机械能不守恒 【变式2】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　） A．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，物体A 的机械能守恒 B．乙图中，B物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体B的机械能守恒 C．丙图中，不计任何阻力时A 加速下落、B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒 D．丁图中，不计空气阻力，小球由水平位置A 处静止释放，运动到B处的过程中，小球机械能不守恒 【变式3】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图所示，把一小球放在竖立的轻弹簧上，并把小球往下按至A位置，迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态（此时弹簧弹力为零）。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从A运动到B的过程中，小球的机械能守恒 B．从A运动到B的过程中，小球的机械能不守恒 C．从A运动到B的过程中，小球的动能一直增大 D．从A运动到C的过程中，小球和弹簧组成的系统势能先增加后减少 题型三：机械能守恒定律解决简单问题 【典例3】．（25-26高一下·湖北荆州·月考）如图所示，质量为m的物体以速度v0离开桌面后经过A点时，所具有的机械能是（以地面为零势能面，不计空气阻力）（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·江苏徐州·月考）如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌子，当它落到距地面为h的A点时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能的零点，下列说法正确的是（　　） A．物体在A点具有的机械能是 B．物体在A点具有的机械能是 C．物体在A点具有的动能是 D．物体在A点具有的动能是 【变式2】．（2026高二上·辽宁·学业考试）2025年世界游泳锦标赛于2025年7月11日至8月3日在新加坡举行，如图所示，某质量为m的运动员（可视为质点）从距离水面高度为h的跳台以初速度斜向上起跳，最终落入水中。重力加速度大小为g，不计空气阻力，以跳台所在水平面为重力势能的零参考平面，则（　　） A．运动员入水时的重力势能为 B．运动员入水时的动能为 C．运动员入水时的机械能为 D．运动员在空中运动时的机械能先减小后增大 【变式3】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v₀斜向上抛出，最后落回地面。最高点距离地面高度为H，以抛出点为参考平面，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．石块到达地面时的动能为 B．石块到达地面时的重力势能为 C．石块在最高点的机械能为 D．石块在整个运动过程中重力势能增加了 题型四：机械能与曲线运动结合 【典例4】．（25-26高一上·河北保定·期末）如图所示，某人从高出水平地面h的坡顶上水平击出一个质量为m的高尔夫球（可视为质点），坡顶可视为半径为R的圆弧，高尔夫球飞出前瞬间对坡顶的压力恰好为0。高尔夫球落入水平地面的A洞中（不计洞穴的宽度及深度），不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．该球在空中运动的时间为 B．该球飞出的初速度大小为 C．A洞到坡顶的距离为 D．该球落入A洞时的动能为 【变式1】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，竖直放置的半圆形轨道半径为R，与水平轨道平滑连接，不计一切摩擦。小球以初速度水平向左运动，恰好运动到半圆形轨道BC的最高点，重力加速度为g，则小球的初速度为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图所示，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面的夹角θ未知，BC段圆心为O，最高点为C，A、C两点的高度差等于圆弧轨道的直径2R。质量为m的小球（视为质点）从A点以某初速度冲上轨道，恰能沿轨道运动到C点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力保持不变 B．小球从A到C的过程中，重力势能增加了mgR C．小球在A点的初速度大小为 D．小球在A点的初速度大小为 【变式3】．（24-25高一下·山东日照·期末）如图所示，一半径为R的半圆形粗糙轨道竖直固定放置，轨道两端等高。质量为m的可视为质点的小球自轨道左侧P点正上方H=1.5R处由静止释放，滑到最低点Q时，对轨道的压力为3mg，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球到达Q点时的速度为 B．小球恰好能到达右侧圆心等高处 C．小球自P到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为1.5mgR D．小球自P到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为0.5mgR 题型五：用杆连接的系统机械能问题 【典例5】．（24-25高一下·福建·期中）如图，光滑轨道，为半径的圆弧，水平，质量均为的小球、固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为，开始时球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（　　） A．球下滑过程中机械能保持不变 B．、滑到水平轨道上时速度为 C．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对球做正功 D．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程、两球的速度始终相等 【变式1】．（24-25高一下·福建泉州·期末）如图甲，固定在轻杆末端的小球在竖直平面内绕O点做圆周运动。若小球在最低点A处的速度大小为v0，当小球运动到最高点B时，轻杆对小球的作用力为F。仅改变轻杆的长度R，得到关系图像如图乙所示，取重力加速度大小g=10m/s2，不计一切摩擦，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图所示，质量相同的光滑小球A、B，用轻杆连接后紧靠墙壁竖直立于水平面上，初始时处于静止状态。现A受到轻微扰动向右倾倒（初速度视为0），两球始终在同一竖直平面内。则从A受微扰后至落地前瞬间的过程中（　　） A．A球的机械能守恒 B．轻杆对A球做负功 C．轻杆对B球不做功 D．B球恰好离开墙壁时杆与水平方向夹角为 【变式3】．（24-25高一下·河北邯郸·期末）如图所示，轻质十字架顶端各固定一质量为m的小球，各小球到转轴的距离r相同，十字架绕中心光滑转轴O在竖直面内匀速转动。不计空气阻力和十字架的质量，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．转动过程中，对称的两个小球重力势能之和为0 B．转动过程中，转轴所受十字架的作用力大小为0 C．若转动过程中某一小球脱落，则剩余小球组成的系统机械能一定为原来总机械能的 D．若转动过程中对称的两小球同时脱落，则系统机械能减少为原来总机械能的 题型六：用细绳连接的系统机械能问题 【典例6】．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图所示，质量为m的物体P套在固定的光滑水平杆上，用细线跨过光滑的定滑轮将P与质量为3m的物体Q连接，用手托住Q使整个系统静止，此时轻绳刚好拉直，且AO=L，OB=h，AB<BO'，重力加速度大小为g。释放Q，让二者开始运动，下列说法正确的是（　　） A．P向右运动的过程中，Q一直在下降 B．开始运动后，当P速度再次为零时，Q下降了2（L-h） C．P从A滑到B的过程中，P的机械能减小，Q的机械能增加 D．P运动的最大速度为 【变式1】．（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图所示，一条轻绳绕过定滑轮，绳的两端各系质量为m和2m的物体A和B，用手压住物体A（A物体放置于水平台上），使A、B均处于静止状态，不考虑一切阻力。由静止释放物体A，在其向右运动s的过程中（A未与滑轮碰撞且B未落地），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．A、B间轻绳拉力大小为2mg B．A、B及地球组成的系统机械能不守恒 C．物体B减少的重力势能等于物体A增加的动能 D．物体B减少的机械能为 【变式2】．（24-25高一下·广西桂林·期末）有一竖直放置的光滑“T”形架，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，如图所示。开始时轻绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当轻绳与竖直方向的夹角为时，B沿着竖直杆下滑的速度为v，则（　　） A．该过程滑块A的速度先增大后减小 B．连接A、B的绳长为 C．滑块A、B组成的系统机械能不守恒 D．当轻绳与竖直方向的夹角为时，滑块A的速度 【变式3】．（24-25高一下·山东青岛·月考）如图（a）所示，可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，b球在外力作用下静止悬空，绳恰好伸直但无拉力。以地面为重力势能零势能面，从静止释放b球，在b球落地前的过程中，a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图（b），图中两图像交点对应时刻t=0.4s，a球始终没有与定滑轮相碰，a、b始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，。则（　　） A．b球质量4kg B．b球落地前瞬间a球的速度大小为6m/s C．b球下落前距地面的高度为0.5m D．t=0.4s时b球离地面的高度为0.48m 题型七：弹簧类系统机械能转化问题 【典例7】．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图所示，轻弹簧放在倾角为37°的斜面体上，轻弹簧的下端与斜面底端的挡板连接，上端与斜面上b点对齐，质量为m的物块在斜面上的a点由静止释放，物块下滑后，压缩弹簧至c点时速度刚好为零，物块被反弹后返回b点时速度刚好为零，已知ab长为L，bc长为，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则（　　） A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.6 B．物块接触弹簧后，速度先减小后增大 C．物块在上述过程因摩擦产生的热量为0.5mgL D．弹簧具有的最大弹性势能为0.25mgL 【变式1】．（24-25高一下·山东滨州·期末）如图甲竖直弹簧固定在水平地面上，一质量为的铁球由弹簧正上方静止自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧。从点（即坐标原点）开始，小球所受弹力的大小随小球下落位置坐标的变化关系如图乙。已知时弹簧压缩到最短，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．当时，小球与弹簧组成系统的势能之和最小 B．当小球接触弹簧后继续向下运动，小球所受合力始终做负功 C．弹簧弹性势能的最大值为12J D．小球运动过程中的最大速度为 【变式2】．（24-25高一下·陕西商洛·期末）如图所示，倾角为的光滑斜面上，轻弹簧一端固定在垂直斜面的固定挡板上，另一端沿斜面自由伸长，在距轻弹簧上端处由静止释放一质量为的小球，轻弹簧最短时的压缩量为。已知重力加速度为，从小球由静止释放到弹簧被压缩到最短的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球先做加速度减小的加速运动再做加速度增大的减速运动 B．小球的最大动能为 C．小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一直增大 D．轻弹簧的最大弹性势能为 【变式3】．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，物体P、Q用跨过定滑轮O的轻绳连接，P穿在固定的竖直光滑杆上，Q置于光滑固定斜面上，轻质弹簧的一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接Q，初始时，施加外力将P静置于N点，ON与地面平行，轻绳恰好伸直但无拉力，现将P由静止释放，不计一切阻力，则P从N点下滑到最低点M的过程中（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．P到达M时，弹簧的弹性势能可能大于初始时刻的弹性势能 C．释放P瞬时，Q加速度不为零 D．经过M点前P与Q的速度大小关系vP<vQ 题型八：机械能守恒的图象问题 【典例8】．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，质量为0.1kg的带孔物块A和质量为0.2kg的金属环B通过光滑铰链用轻质细杆连接，A套在固定的竖直杆上且与竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上，轻弹簧劲度系数k=100N/m，弹簧原长L0=4cm，B套在固定的水平横杆上。弹簧处于原长时将A由静止释放，弹簧始终在弹性限度内，已知弹簧的弹性势能Ep=kx2（为弹簧的形变量），忽略一切擦，重力加速度g取10m/s2，在A下降的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块A和金属环B组成的系统机械能守恒 B．在A、B运动过程中当图中θ=60°时，vA=vB C．B动能最大时，B受到水平横杆的支持力大小等于1N D．弹簧弹性势能最大时，O、A间距离为2cm 【变式1】．（25-26高三上·湖北·期中）如图甲所示，一个质量为2kg的物体悬挂在细绳下端，由静止开始沿竖直方向做直线运动，运动过程中物体的机械能E与物体通过路程s的关系图像如图乙所示，其中0~0.8m过程的图像为曲线，0.8m~1.0m过程机械能E不变，1.0m~2.0m过程机械能E随路程s均匀减少（忽略空气阻力），重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．0~0.8m过程中物体所受拉力是变力，物体先上升后下降 B．0.8m处物体的速度大小应为2m/s C．0.8m~1.0m过程中物体可能先上升后下降 D．1.0m~2.0m过程中物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动 【变式2】．（25-26高三上·宁夏石嘴山·月考）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，在上升过程中，该物体的和随它离地面的高度的变化关系如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为 B．时，物体的速率为 C．时，物体的动能 D．从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减少 【变式3】．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图甲所示，质量为m的滑块静止在倾角的粗糙斜面底端，现用平行于斜面向上的拉力F作用在滑块上，滑块沿斜面运动时撤去拉力F，此时滑块的机械能，滑块上滑过程中机械能E与上滑位移x之间的关系图像如图乙所示，滑块运动时达到最高点，取斜面底端重力势能为0，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的质量为 B．滑块所受摩擦力的大小为10N C．拉力F的大小恒为40N D．拉力F撤去时滑块的动能为50J 题型九：天体运动中的机械能问题 【典例9】．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）某颗卫星发射过程的部分轨迹如图所示。卫星先在近地轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，经P点时变速进入椭圆轨道Ⅱ，经椭圆轨道Ⅱ时再变速进入轨道Ⅲ继续绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为m，地球的质量为M，轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为R、2R，引力常量为G，卫星在变轨过程中质量不变。取无穷远处引力势能为零，质量为m的卫星在距离地球球心为r时的引力势能（M为地球的质量）。下列说法正确的是（    ） A．卫星在轨道Ⅰ上运行时的动能为 B．卫星从轨道Ⅰ变轨至轨道Ⅲ的过程中增加的机械能为 C．卫星经过轨道Ⅰ上P点的速度大于经过椭圆轨道Ⅱ上P点的速度 D．卫星从轨道Ⅰ变轨至轨道Ⅲ的过程中增加的机械能为 【变式1】．（24-25高一下·山东东营·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，并完成与空间站对接，其发射过程简化如图所示：飞船先进入轨道Ⅰ，然后在A点点火加速进入转移轨道Ⅱ，到达远地点B时，再次点火加速，进入目标轨道Ⅲ并与空间站实现对接。假设轨道Ⅰ和Ⅲ都近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　） A．飞船在目标轨道Ⅲ经过点B的速度小于在转移轨道Ⅱ经过点A的速度 B．飞船在目标轨道Ⅲ经过点B的加速度大于在转移轨道Ⅱ经过点A的加速度 C．飞船沿目标轨道Ⅲ运行的机械能小于在转移轨道Ⅱ运行的机械能 D．飞船沿目标轨道Ⅲ运行的周期小于在转移轨道Ⅱ运行的周期 【变式2】．（24-25高一下·陕西榆林·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，与中国空间站“天和”核心舱成功对接。如图所示为飞船发射至对接的简化原理图，飞船变轨前绕地稳定运行在半径为的圆形轨道上，椭圆轨道为飞船的转移轨道，“天和”核心舱运行在半径为的圆形轨道III上，轨道I和II、II和III位于同一平面内且分别相切于两点，飞船在点变轨，与“天和”核心舱刚好在点进行对接，下列说法正确的是（　　） A．神舟二十号在II轨道上运行的周期大于“天和”核心舱的运行周期 B．神舟二十号在II轨道上由向运动的过程中速度增大 C．神舟二十号在II轨道上经过点的机械能大于在I轨道上经过点的机械能 D．神舟二十号在II轨道上经过点的加速度小于在III轨道上经过点的加速度 【变式3】．（24-25高一下·安徽合肥·期末）北京时间2025年3月26日23时55分，西昌卫星发射中心长征三号乙运载火箭点火起飞，天链二号04星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。发射可简化为如图所示过程，先将质量为的卫星发射到半径为的圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，卫星运动到点时推进器瞬间喷出大量气体使其变轨（变轨时间忽略不计）进入椭圆轨道Ⅱ，运动到椭圆轨道Ⅱ的远地点时，再次变轨进入半径为的圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，忽略地球自转的影响和卫星质量的变化。若取无穷远处引力势能为零，质量为的物体在距离地球球心为时的引力势能。下列判断正确的是（　　） A．卫星在A点变轨前瞬间的加速度小于变轨后瞬间的加速度 B．从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ的过程中，卫星的动能变化量为 C．从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ的过程中，卫星的动能和引力势能之和减少了 D．从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ的过程中，推进器做的总功为 题型十：机械能守恒的综合问题 【典例10】．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图所示，半径的光滑圆弧轨道AB固定在竖直平面内，轨道的最低点B的切线水平。右侧的光滑水平面上紧挨着B点静止一平板小车，其质量，长度，小车的上表面与B点等高、距地面的高度。质量的小物块（可视为质点）从圆弧轨道最高点A正上方处由静止释放，恰好从A点进入圆弧轨道，之后滑上平板小车。已知小车上表面与小物块间的动摩擦因数，重力加速度大小取，求： (1)小物块滑到轨道B点时对轨道的压力大小； (2)摩擦力对小物块做的功； (3)当小物块刚着地时，小物块到小车右端的距离。 【变式1】．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图所示，质量为的滑块（可视为质点）放在光滑平台上，向左缓慢推动滑块压缩轻弹簧至P点，释放后滑块以一定速度从A点水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC，然后从C点进入与圆弧轨道BC相切于C点的水平面CD，同一竖直平面内的光滑半圆轨道DE与水平面CD相切于D点。已知圆弧轨道BC的半径，AB两点的高度差，光滑圆弧BC对应的圆心角为53°，滑块与CD部分的动摩擦因数，，重力加速度。求： (1)弹簧对滑块做的功； (2)滑块到达圆弧末端C时对轨道的压力； (3)滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离半圆轨道，轨道DE的半径满足的条件。 【变式2】．（24-25高一下·江苏徐州·月考）如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直四分之一圆弧轨道相切于B点，右端与一倾角为θ=30°的光滑斜面轨道在C点平滑连接，物体经过C点时速率不变。斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为m=1.5kg的滑块从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点。已知光滑圆轨道的半径R=5.0m，水平轨道BC长L=6.0m，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数μ=0.5，光滑斜面轨道上CD长s=3.0m，取g=10m/s2，求： (1)滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小； (2)整个过程中弹簧具有的最大弹性势能； (3)物体最后停止的位置距C点的距离。 【变式3】．（24-25高一下·广东江门·月考）如图，质量为m=1kg的小滑块（视为质点）在半径为R=0.2m的四分之一光滑圆弧的最高点A，由静止开始释放，当滑块经过B后立即将圆弧轨道撤去。滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C点过渡到倾角为θ=37°、长L=1m的斜面CD上，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在之间调节。斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。认为滑块在C、D两处换向时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。 (1)求滑块经过圆弧B点时受到的支持力大小； (2)若设置μ=0，求弹簧的最大弹性势能； (3)若最终滑块停在D点，求μ的取值范围。 一、单选题 1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，轻质弹簧上端固定，下端系一物体。物体在A处时，弹簧处于原长状态。现用手托住物体使它从A处缓慢下降，到达B处时，手和物体自然分开，物体停在B处。此过程中（　　） A．手的支持力一直做正功 B．弹簧的弹性势能先增加后减少 C．物体与弹簧组成的系统机械能不守恒 D．物体与弹簧组成的系统机械能守恒 2．（25-26高一上·浙江台州·期末）如图所示，足球在地面1的位置被踢出后，经过最高点2位置，落到地面3的位置。下列说法正确的是（　　） A．足球在2位置动能最小 B．足球在2位置重力的瞬时功率为零 C．足球在运动过程中机械能守恒 D．足球在空中做匀变速曲线运动 3．（25-26高一上·山西忻州·期末）北京时间2025年12月14日，河南选手杨如意在美国斯廷博特举行的2025-2026赛季国际雪联自由式滑雪大跳台世界杯中，摘得女子大跳台铜牌。如图所示为比赛的情景，运动员离开轨道末端的速度为，经过一段时间运动员到达最高点后再落地。已知抛出点与最高点的高度差为，抛出点到落地点的高度差为，运动员的质量为，重力加速度，忽略空气的阻力。则下列说法正确的是（   ） A．该过程中，重力对运动员一直做正功 B．该过程中，运动员重力势能的减少量为 C．抛出点到最高点的过程，运动员的重力做功为 D．运动员落地瞬间的动能为 4．（25-26高一下·全国·单元测试）2021年3月13日，第十四届全运会跳水测试赛女子三米跳板决赛中，重庆队选手施廷懋以397.00分的成绩夺得冠军。她在某次练习跳水时保持同一姿态在空中下落一段距离，重力对她做功950J，她克服阻力做功50J。施廷懋在此过程中（　　） A．机械能减小了60J B．动能减少了950J C．动能增加了900J D．重力势能减小了1000J 5．（2025·广东深圳·一模）如图所示，在地面上以初速度v0抛出质量为m的小球，抛出后小球落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，且不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．重力对小球做的功为mgh B．小球在海平面上的重力势能为mgh C．小球在海平面上的动能为 D．小球在海平面上的机械能为 6．（25-26高三上·海南海口·月考）长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端可绕固定光滑水平转轴O转动，现使小球在竖直平面内做圆周运动，若小球通过圆周最低点A的速度大小为，运动到最高的时候速度大小为，则下列判断正确的是（　　） A．小球在上升的过程中动能和重力势能的总和保持不变 B．小球运动到最高点时对轻杆的作用力方向竖直向上 C．小球在最低点时对轻杆拉力为6mg D．小球从最低点到最高点的过程中克服阻力做功为mgL 7．（24-25高一下·云南文山·月考）如图所示，某段滑雪雪道倾角为，总质量为m（包括雪具在内）的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为在他滑到底端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动员减少的重力势能全部转化为动能 B．运动员获得的动能为 C．运动员克服摩擦力做功为 D．运动员损失的机械能为 二、多选题 8．（25-26高一上·河北保定·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，并与空间站交会对接。其发射过程可以简化如下：飞船先在近地圆形轨道I上运动，运动到A点时点火变轨进入椭圆转移轨道Ⅱ，到达远地点B时，再次点火进入预定圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度 B．飞船在轨道I上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的运行周期 C．飞船在轨道I上的机械能大于在轨道Ⅲ上的机械能 D．飞船在远地点B点火加速，进入预定圆轨道Ⅲ 9．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，A球用线悬挂且通过弹簧与B球相连，两球质量相等，当两球都静止时，将悬线烧断。下列说法正确的是（　　） A．线断瞬间，A球的加速度大于B球的加速度 B．线断后最初一段时间里，重力势能转化为动能和弹性势能 C．在下落过程中，两小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒 D．线断后最初一段时间里，动能的增加大于重力势能的减少 10．（25-26高一上·浙江台州·期末）如图所示，小球以初速度抛出（方向如图中箭头所示），已知小球运动的最小速度为v，不计空气阻力，抛出点距地面足够高，下列说法正确的是（　　） A．小球的速度为v时重力势能最大 B．小球速度由v增加到2v所用时间为 C．小球在相等时间间隔内速度的变化量不同 D．小球运动到与抛出点等高位置时的速度和初速度相同 11．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则错误的是（　　） A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 12．（24-25高一下·河南南阳·月考）从地面以的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度m/s2，以地面为重力势能的零势能面，下列说法正确的是（　　） A．物体上升的最大高度 B．物体的重力势能为动能的一半时，离地面的高度 C．物体的重力势能和动能相等时，离地面的高度 D．物体的动能是重力势能的一半时，求物体离地面的高度 13．（24-25高一下·辽宁·期中）质量为m的可视为质点的小球被一根长为L且不计形变的轻绳悬挂于O点，在O点下方点固定一个钉子（图中未标记，不计钉子的粗细），忽略一切摩擦和阻力，现给小球施加水平的瞬时冲量，小球获得的初速度大小是，在钉子的阻挡下，小球能围绕钉子在竖直面内做圆周运动，（假设小球运动过程中没有碰到轻绳，重力加速度为g）。以下描述正确的是（　　） A．小球获得速度时，绳上的拉力大小为mg B．小球运动到等高处时，绳上的拉力提供向心力 C．若小球能完成完整的圆周运动，和的最小距离 D．圆周运动过程中小球在最低点和最高点，绳上的拉力差大小为6mg 三、解答题 14．（24-25高一下·贵州毕节·期中）如图所示，光滑曲线轨道，其中段为半径的半圆形轨道，点为半圆轨道的最低点。水平段在点与半圆轨道相切，一质量为的小球（可视作质点）从轨道上距水平面高为的点由静止释放，沿轨道滑至点后水平飞出，最终落至水平轨道上的点，，不计空气阻力。求： (1)小球在点时速度的大小； (2)小球运动到点时对半圆轨道的压力； (3)小球在点的速度的大小及点到点间的距离。 15．（24-25高一下·贵州毕节·月考）如图所示，物块P在高的平台边缘处以某一初速度被水平抛出，物块P恰好能无碰撞地从点沿圆弧切线进入竖直光滑圆弧轨道，为圆弧的两端点，其连线水平，圆弧轨道的半径为，圆弧所对圆心角。取重力加速度，不计空气阻力，物块质量为，可视为质点。求： (1)物块P离开平台时的初速度； (2)物块P通过圆弧轨道最低点时对轨道的压力。 16．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图所示，弹射器固定在水平平台的左端，初始时质量的物块位于平台上的A点，某时刻弹射器工作将物块向右弹出，在A、B之间的某位置，物块脱离弹射器，从点飞出后恰好沿C点的切线方向进入光滑圆弧轨道，一段时间后物块恰好能通过圆弧轨道的最高点D。已知物块与平台间的动摩擦因数，圆弧轨道的圆心与平台的高度差，轨道半径，半径与竖直方向的夹角，之间的距离，物块可视为质点，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)物块经过C点时轨道对物块的支持力大小； (2)B、C两点间的水平距离； (3)物块从A点到B点的过程中，弹射器对物块所做的功。 17．（24-25高一下·河南·阶段练习）2025年3月14日，四川省第七届全民健身滑板大众邀请赛在自贡市举办。某次滑板运动员比赛过程可简化为如图所示模型，ABC是半径的光滑固定圆弧形滑板赛道，A点与圆心O等高，B为最低点位于水平地面上，圆弧BC所对的圆心角为滑板运动员从A点以一定的初速度沿圆弧面滑下，从C点滑出后，运动员上升到的最高点与O点在同一水平面上，此后运动员落到斜面上的D点，D点距水平地面的高度为已知运动员和滑板的总质量为，重力加速度大小，运动员和滑板整体可视为质点，不计空气阻力。求： (1)运动员从C点滑出时的速度大小； (2)运动员和滑板一起在B点对轨道的压力； (3)斜面D点离圆弧轨道C点的水平距离计算结果可保留根号 18．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图所示，质量为m的小球甲，穿过一竖直固定的光滑杆与轻弹簧的一端连接，轻弹簧套在杆上，另一端固定在地面。质量为的小球乙用轻绳跨过光滑的小定滑轮与甲连接，O为滑轮的顶点。开始托住乙球，左侧轻绳刚好竖直伸直但无张力，甲球静止于P点，绳与水平方向夹角为。某时刻由静止释放乙球，当小球甲经过Q点时，弹簧的弹力大小与在其P点时弹簧的弹力大小相等，水平，。已知重力加速度为g，，，乙球运动过程中始终未与地面接触。求： (1)弹簧的劲度系数； (2)甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量； (3)甲球到达Q点时的速度大小； 19．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图所示，可视为质点的光滑小球质量为m，从倾角为的固定斜劈上A点由静止释放，斜面足够长，A点到斜劈底面的竖直高度为h，斜劈底端B点与水平桌面平滑连接（小球经过B点时没有机械能损失，下同）。半径为R的过山车式圆形轨道竖直放置，轨道一端C点与左边水平面平滑连接，C点单向导通，从C点向右滑入圆形轨道的小球，不能从C点向左滑出，另一端D点和弧形轨道平滑连接，重力加速度取g。 (1)求小球经过B点时的速度大小； (2)若小球经过C点进入圆形轨道后，在圆形轨道运动过程中不脱离轨道，求h的范围； (3)求小球恰好能到达D点时对轨道的作用力。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲：机械能守恒定律 · 考点一：机械能守恒定律的表述及条件 · 考点二：判断机械能是否守恒 · 考点三：机械能守恒定律解决简单问题 · 考点四：机械能与曲线运动结合 · 考点五：用杆连接的系统机械能问题 · 考点六：用细绳连接的系统机械能问题 · 考点七：弹簧类系统机械能转化问题 · 考点八：机械能守恒的图象问题 · 考点九：天体运动中的机械能问题 · 考点十：机械能守恒的综合问题 知识点1：动能和势能的转化 1．动能与重力势能间的转化 只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能，若重力做负功，则动能转化为重力势能，转化过程中，动能与重力势能之和保持不变． 2．动能与弹性势能间的转化 被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做正功，弹性势能转化为动能． 知识点2．机械能 动能、重力势能和弹性势能统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化． 知识点3：机械能守恒定律 1、在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变． 2．守恒定律表达式 (1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减． (2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1. (3)E2＝E1. 知识点4：机械能守恒条件 物体系统内只有重力或弹力做功． 1．对机械能守恒条件的理解 (1)从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化． (2)从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在： ①只受重力作用，例如：所有做抛体运动的物体(不计空气阻力时)机械能守恒． ②系统内只有重力和弹力作用，如图甲、乙、丙所示． 甲　　　　　　　乙　　　　　　丙 图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒． 图乙中，A、B间，B与地面间摩擦不计，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对B来说，A对B的弹力做功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒． 图丙中，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒．但对球来说，机械能不守恒． 知识点5：判断机械能守恒的方法 (1)做功分析法(常用于单个物体) ⇒⇒ ⇒机械能守恒 (2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统) ⇒⇒ 知识点6：机械能守恒定律和动能定理的比较 两大 规律 比较 内容 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk 应用范围 只有重力或弹力做功时 无条件限制 物理意义 其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度 合外力对物体做的功是动能变化的量度 关注角度 守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小 动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况) 题型一：机械能守恒定律的表述及条件 【典例1】．（24-25高一下·天津西青·期末）有关机械能的理解，下列说法中正确的是（　　） A．一定质量的物体，速度变化时，动能一定变化 B．处于平衡状态的物体，机械能不一定守恒 C．机械能守恒时，物体一定只受重力的作用 D．沿粗糙、固定斜面上滑的物块机械能一定增加 【答案】B 【详解】A．一定质量的物体，速度方向变化大小不变时，动能不变，故A错误； B．处于平衡状态的物体，机械能不一定守恒，比如匀速上升的物体，动能不变，重力势能增加，机械能增加，故B正确； C．机械能守恒时，系统内只有重力或者弹力做功，物体受其他作用力，其它力不做功，机械能同样守恒，故C错误； D．沿粗糙、固定斜面上滑的物块由于摩擦力做功，机械能转化为内能，机械能减小，故D错误。 故选B。 【变式1】．（24-25高一下·全国·课后作业）下列对机械能守恒定律的理解正确的是（　　） A．物体除受重力、弹力外还受其他力，机械能一定不守恒 B．合力为零，物体的机械能一定守恒 C．在机械能守恒过程中的任意两点，物体的机械能总相等 D．在机械能守恒过程中，只有初末位置的机械能才相等 【答案】C 【详解】A．物体除受重力、弹力外还受其他力，若其他力不做功，则机械能守恒，故A错误； B．合力为零，可能存在重力、弹力以外的力做功，机械能不一定守恒，故B错误； CD．在机械能守恒过程中的任意两点，物体的机械能总相等，并非只有初末位置的机械能才相等，故C正确、D错误。 故选C。 【变式2】．（22-23高一下·宁夏银川·期末）关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法中正确的是（　　） A．只有重力或弹力做功时，机械能守恒 B．当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒 C．当有其他外力作用时，只要合外力的功为零，机械能守恒 D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒 【答案】A 【详解】A．只有重力或弹力做功时，机械能守恒。故A正确； B．当有其他外力作用时，合外力为零，机械能不一定守恒，如匀速竖直下落的物体所受合外力为零，机械能不守恒。故B错误； C．当有其他外力作用时，只要其他外力做功的和为零，机械能守恒。故C错误； D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，爆炸前后机械能增大。故D错误。 故选A。 【变式3】．（25-26高一下·全国）下列情况中，说法正确的是（　　） A．物体做匀速运动时，机械能一定守恒 B．物体所受合外力做功为零时，机械能一定守恒 C．物体所受合外力做功不为零时，机械能可能守恒 D．物体做曲线运动时，机械能一定不守恒 【答案】C 【详解】A．物体做匀速运动时，机械能不一定守恒。例如物体竖直匀速上升时，外力做正功，机械能增加，故A错误。 B．物体所受合外力做功为零时，机械能不一定守恒。例如物体在斜面上匀速下滑时，合外力做功为零，但重力势能减少，机械能不守恒，故B错误。 C．物体所受合外力做功不为零时，机械能可能守恒。例如自由落体运动中，合外力（重力）做功不为零，但只有重力做功，机械能守恒，故C正确。 D．物体做曲线运动时，机械能可能守恒。例如平抛运动中，物体做曲线运动，但只有重力做功，机械能守恒，故D错误。 故选C。 题型二：判断机械能是否守恒 【典例2】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，下列说法正确的是（所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量）（　　） A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒 B．乙图中，物块在外力的作用下匀速上滑，物块的机械能守恒 C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒 D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒 【答案】D 【详解】A．甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，均是增加的，故A错误； B．乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误； C．丙图中，在物块A压缩弹簧的过程中，弹簧和物块A组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹性势能增加，则A的机械能减小，故C错误； D．丁图中，对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。 故选D。 【变式1】．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　） A．滑雪运动员沿斜面匀速下滑的过程中，机械能守恒 B．小球从A点由静止摆动到右侧最高点C的过程，机械能守恒 C．足球在位置1被踢出后落到位置3的过程中，机械能守恒 D．小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的机械能不守恒 【答案】D 【详解】A．滑雪运动员沿斜面匀速下滑的过程中，动能不变，重力势能减小，则机械能减小，故A错误； B．小球从A点由静止摆动到右侧最高点C的过程，重力势能减小，动能不变，则机械能减小，故B错误； C．足球在位置1被踢出后落到位置3的过程中，有阻力做功，机械能不守恒，故C错误； D．小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，弹簧弹力对小球做功，小球的机械能不守恒，故D正确。 故选D。 【变式2】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　） A．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，物体A 的机械能守恒 B．乙图中，B物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体B的机械能守恒 C．丙图中，不计任何阻力时A 加速下落、B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒 D．丁图中，不计空气阻力，小球由水平位置A 处静止释放，运动到B处的过程中，小球机械能不守恒 【答案】C 【详解】A．甲图中，物体 A 压缩弹簧时，弹簧弹力对 A 做功，A 机械能不守恒，故A错误； B．乙图中，B 匀速下滑，动能不变，重力势能减小，故B的机械能不守恒，故B错误； C．丙图中，不计阻力，A、B 组成的系统只有重力做功，机械能守恒，故C正确； D．丁图中，不计空气阻力，小球从 A 到 B 只有重力做功，机械能守恒，故D错误。 故选C。 【变式3】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图所示，把一小球放在竖立的轻弹簧上，并把小球往下按至A位置，迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态（此时弹簧弹力为零）。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从A运动到B的过程中，小球的机械能守恒 B．从A运动到B的过程中，小球的机械能不守恒 C．从A运动到B的过程中，小球的动能一直增大 D．从A运动到C的过程中，小球和弹簧组成的系统势能先增加后减少 【答案】B 【详解】AB．从A运动到B的过程中，弹簧弹力对小球做正功，小球的机械能增加，故A错误，B正确； C．从A运动到B的过程中，弹力一开始大于重力，小球向上加速运动，当弹力等于重力时，小球的速度达到最大，之后弹力小于重力，小球向上减速运动，所以小球的动能先增大后减小，故C错误； D．从A运动到C的过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，由于小球的动能先增大后减小，则小球和弹簧组成的系统势能先减少后增加，故D错误。 故选B。 题型三：机械能守恒定律解决简单问题 【典例3】．（25-26高一下·湖北荆州·月考）如图所示，质量为m的物体以速度v0离开桌面后经过A点时，所具有的机械能是（以地面为零势能面，不计空气阻力）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因物体运动过程中只受重力，故机械能守恒，经过A点时的机械能等于离开桌面时的机械能，故为 故选D。 【变式1】．（24-25高一下·江苏徐州·月考）如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌子，当它落到距地面为h的A点时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能的零点，下列说法正确的是（　　） A．物体在A点具有的机械能是 B．物体在A点具有的机械能是 C．物体在A点具有的动能是 D．物体在A点具有的动能是 【答案】B 【详解】AB．物体在运动的过程中机械能守恒，初始位置的机械能 所以A点的机械能为，故A错误，B正确； CD．根据机械能守恒得 则，故CD错误。 故选B。 【变式2】．（2026高二上·辽宁·学业考试）2025年世界游泳锦标赛于2025年7月11日至8月3日在新加坡举行，如图所示，某质量为m的运动员（可视为质点）从距离水面高度为h的跳台以初速度斜向上起跳，最终落入水中。重力加速度大小为g，不计空气阻力，以跳台所在水平面为重力势能的零参考平面，则（　　） A．运动员入水时的重力势能为 B．运动员入水时的动能为 C．运动员入水时的机械能为 D．运动员在空中运动时的机械能先减小后增大 【答案】B 【详解】A．以跳台所在水平面为重力势能的零参考平面，运动员入水时的重力势能为，故A错误； B．根据机械能守恒有 解得运动员入水时的动能为，故B正确； C．以跳台所在水平面为重力势能的参考平面，则运动员的机械能为，由于机械能守恒，所以运动员入水时的机械能为，故C错误； D．不计空气阻力，运动员只有重力做功，所以机械能守恒，故D错误。 故选B。 【变式3】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v₀斜向上抛出，最后落回地面。最高点距离地面高度为H，以抛出点为参考平面，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．石块到达地面时的动能为 B．石块到达地面时的重力势能为 C．石块在最高点的机械能为 D．石块在整个运动过程中重力势能增加了 【答案】C 【详解】A．根据动能定理，石块到达地面时的动能满足 解得，故A错误； B．以抛出点为参考平面，石块到达地面时的重力势能为，故B错误； C．石块在运动过程中，只受重力，机械能守恒，故石块在最高点的机械能等于开始时的机械能，即，故C正确； D．石块在整个运动过程中重力势能减少了，故D错误。 故选C。 题型四：机械能与曲线运动结合 【典例4】．（25-26高一上·河北保定·期末）如图所示，某人从高出水平地面h的坡顶上水平击出一个质量为m的高尔夫球（可视为质点），坡顶可视为半径为R的圆弧，高尔夫球飞出前瞬间对坡顶的压力恰好为0。高尔夫球落入水平地面的A洞中（不计洞穴的宽度及深度），不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．该球在空中运动的时间为 B．该球飞出的初速度大小为 C．A洞到坡顶的距离为 D．该球落入A洞时的动能为 【答案】D 【详解】A．高尔夫球被击出后做平抛运动，其竖直方向有 解得该球在空中运动的时间，故A错误； B．高尔夫球飞出前瞬间对地面的压力恰好为0，则重力提供向心力，有 解得该球飞出的初速度大小为，故B错误； C．A洞到坡顶的水平距离为 根据勾股定理，A洞到坡顶的距离为，故C错误； D．根据动能定理有 解得该球落入A洞时的动能，故D正确。 故选D。 【变式1】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，竖直放置的半圆形轨道半径为R，与水平轨道平滑连接，不计一切摩擦。小球以初速度水平向左运动，恰好运动到半圆形轨道BC的最高点，重力加速度为g，则小球的初速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球恰好运动到半圆形轨道BC的最高点，此时对应的临界状态为轨道对小球的支持为零，仅由重力提供向心力，则有 解得 从A到C，根据机械能守恒定律有 解得，故选D。 【变式2】．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图所示，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面的夹角θ未知，BC段圆心为O，最高点为C，A、C两点的高度差等于圆弧轨道的直径2R。质量为m的小球（视为质点）从A点以某初速度冲上轨道，恰能沿轨道运动到C点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力保持不变 B．小球从A到C的过程中，重力势能增加了mgR C．小球在A点的初速度大小为 D．小球在A点的初速度大小为 【答案】C 【详解】A．设小球从B到C的过程中，重力与轨道半径的夹角α。根据牛顿第二定律得 小球对轨道的压力为 解得 小球从B到C的过程中，和v都减小，增大，A错误； B．小球从A到C的过程中，重力势能增加了2mgR，B错误； CD．小球到达C点时速度等于0，根据机械能守恒定律得 解得，C正确，D错误。 故选C。 【变式3】．（24-25高一下·山东日照·期末）如图所示，一半径为R的半圆形粗糙轨道竖直固定放置，轨道两端等高。质量为m的可视为质点的小球自轨道左侧P点正上方H=1.5R处由静止释放，滑到最低点Q时，对轨道的压力为3mg，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球到达Q点时的速度为 B．小球恰好能到达右侧圆心等高处 C．小球自P到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为1.5mgR D．小球自P到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为0.5mgR 【答案】C 【详解】A．小球到达Q点时的速度为 解得，A错误； CD．根据动能定理得 解得，C正确，D错误； B．若轨道右侧光滑，根据机械能守恒定律得 解得 若轨道右侧光滑，小球恰好能到达右侧圆心等高处。因为轨道右侧不光滑，小球一定不能到达右侧圆心等高处，B错误。 故选C。 题型五：用杆连接的系统机械能问题 【典例5】．（24-25高一下·福建·期中）如图，光滑轨道，为半径的圆弧，水平，质量均为的小球、固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为，开始时球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（　　） A．球下滑过程中机械能保持不变 B．、滑到水平轨道上时速度为 C．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对球做正功 D．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程、两球的速度始终相等 【答案】C 【详解】B．对、构成的系统机械能守恒，则有 解得，故B错误； C．若没有杆，对a球分析有 解得 可知，有杆时a球最终速度大于没有杆时的最终速度，即有杆时a球最终动能大于没有杆时的最终动能，则整个过程中轻杆对球做正功，故C正确； A．结合上述可知，球下滑过程中，杆对a球做了功，a球机械能不守恒，其机械能发生变化，故A错误； D．根据速度分解可知，两小球沿杆方向的分速度相等，令、速度与杆夹角分别为、，则有 当杆全部处于圆弧中时，根据几何关系有 此时两球速度大小相等，当a在水平轨道，b在圆弧轨道上时，、不相等，此时两球速度大小不相等，故D错误。 故选C。 【变式1】．（24-25高一下·福建泉州·期末）如图甲，固定在轻杆末端的小球在竖直平面内绕O点做圆周运动。若小球在最低点A处的速度大小为v0，当小球运动到最高点B时，轻杆对小球的作用力为F。仅改变轻杆的长度R，得到关系图像如图乙所示，取重力加速度大小g=10m/s2，不计一切摩擦，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在最高点时 可得 由图可知当F=0时， 解得， 从最低点到最高点由机械能守恒定律 解得 故选A。 【变式2】．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图所示，质量相同的光滑小球A、B，用轻杆连接后紧靠墙壁竖直立于水平面上，初始时处于静止状态。现A受到轻微扰动向右倾倒（初速度视为0），两球始终在同一竖直平面内。则从A受微扰后至落地前瞬间的过程中（　　） A．A球的机械能守恒 B．轻杆对A球做负功 C．轻杆对B球不做功 D．B球恰好离开墙壁时杆与水平方向夹角为 【答案】B 【详解】D．对A从开始运动至其到达某一位置（此时B未离开墙壁）的过程，设杆与水平方向的夹角为θ，由动能定理有 B离开墙壁前，A绕静止的B做圆周运动，对A球，由牛顿第二定律有 联立解得FN=（3sinθ-2）mg 则随着θ的减小，T逐渐减小，当FN=0时，B恰好离开墙壁，此时θ=θ0，上式变为3sinθ0=2 即 可知B球恰好离开墙壁时杆与水平方向夹角不等于，选项D错误; A．从A受微扰后至落地前瞬间的过程中，只有重力做功，则AB两球组成的系统的机械能守恒，但A球的机械能不守恒，选项A错误； BC．落地后因B的动能变大，可知轻杆对B做正功，轻杆对A球做负功，选项B正确，C错误. 故选B。 【变式3】．（24-25高一下·河北邯郸·期末）如图所示，轻质十字架顶端各固定一质量为m的小球，各小球到转轴的距离r相同，十字架绕中心光滑转轴O在竖直面内匀速转动。不计空气阻力和十字架的质量，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．转动过程中，对称的两个小球重力势能之和为0 B．转动过程中，转轴所受十字架的作用力大小为0 C．若转动过程中某一小球脱落，则剩余小球组成的系统机械能一定为原来总机械能的 D．若转动过程中对称的两小球同时脱落，则系统机械能减少为原来总机械能的 【答案】D 【详解】ACD．若规定圆周最低点重力势能为0，对称的两个小球重力势能之和为2mgr。 4个小球的总重力势能为 设小球的线速度为v，4个小球的总动能为 4个小球的总机械能为 若转动过程中对称的两小球同时脱落，剩余的机械能为 若转动过程中某一小球脱落，则剩余小球组成的系统动能一定为原来总动能的； 若杆1的小球脱落，杆2上的两个小球的总重力势能不变，始终等于2mgr。 杆1上未脱落的小球的重力势能不停的变化着，所以剩余的三个小球的总重力势能也不停的变化着，剩余三个小球的总机械能也不停的变化着，剩余三个小球组成的系统机械能不是原来总机械能的，D正确，AC错误； B．当两个小球处于水平，另两个处于竖直位置时，对竖直方向的两个球分析，有 对上面的小球根据牛顿第二定律得 对下面的小球根据牛顿第二定律得 杆对小球的作用力之差 解得 根据牛顿第三定律，竖直杆对转轴的作用力为2mg，方向竖直向下。 与转轴等高的两个小球，根据牛顿第二定律 水平杆对转轴没有水平方向的作用力，只有竖直方向的作用力，大小为2mg，方向竖直向下。 此时，转轴所受十字架的作用力大小为4mg，B错误。 故选D。 题型六：用细绳连接的系统机械能问题 【典例6】．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图所示，质量为m的物体P套在固定的光滑水平杆上，用细线跨过光滑的定滑轮将P与质量为3m的物体Q连接，用手托住Q使整个系统静止，此时轻绳刚好拉直，且AO=L，OB=h，AB<BO'，重力加速度大小为g。释放Q，让二者开始运动，下列说法正确的是（　　） A．P向右运动的过程中，Q一直在下降 B．开始运动后，当P速度再次为零时，Q下降了2（L-h） C．P从A滑到B的过程中，P的机械能减小，Q的机械能增加 D．P运动的最大速度为 【答案】D 【详解】A．当物体P滑到B点时，Q下降到最低点，此时Q的速度为零，物体P速度最大，之后Q从最低点上升，故A错误； B．开始运动后，当P速度再次为零时，即P的机械能不变，则Q的机械能也不变，说明此时Q回到初始释放的位置，故B错误； C．在物体P从A滑到B的过程中，根据系统机械能守恒可知，物体Q的机械能减小，物体P的机械能增大，故C错误； D．根据系统机械能守恒可得 解得P运动的最大速度为，故D正确。 故选D。 【变式1】．（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图所示，一条轻绳绕过定滑轮，绳的两端各系质量为m和2m的物体A和B，用手压住物体A（A物体放置于水平台上），使A、B均处于静止状态，不考虑一切阻力。由静止释放物体A，在其向右运动s的过程中（A未与滑轮碰撞且B未落地），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．A、B间轻绳拉力大小为2mg B．A、B及地球组成的系统机械能不守恒 C．物体B减少的重力势能等于物体A增加的动能 D．物体B减少的机械能为 【答案】D 【详解】A．对A、B分别根据牛顿第二定律有， 联立得，故A错误； BC．对于A、B及地球组成的系统只有重力做功，故机械能守恒，物体B减少的重力势能等于物体A、B增加的动能，故BC错误； D．物体B减少的机械能等于物体B克服绳的拉力做的功，即，故D正确。 故选D。 【变式2】．（24-25高一下·广西桂林·期末）有一竖直放置的光滑“T”形架，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，如图所示。开始时轻绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当轻绳与竖直方向的夹角为时，B沿着竖直杆下滑的速度为v，则（　　） A．该过程滑块A的速度先增大后减小 B．连接A、B的绳长为 C．滑块A、B组成的系统机械能不守恒 D．当轻绳与竖直方向的夹角为时，滑块A的速度 【答案】D 【详解】A．该过程，由于绳子拉力一定对A做正功，所以A的动能一直增加，速度一直增大，故A错误； C．滑块A、B组成的系统，只有重力做功，所以系统机械能守恒，故C错误； D．当轻绳与竖直方向的夹角为时，如图所示 将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向，两物体沿绳子的方向速度大小相等，则有 解得，故D正确； B．根据系统机械能守恒可得 联立解得连接A、B的绳长为，故B错误。 故选D。 【变式3】．（24-25高一下·山东青岛·月考）如图（a）所示，可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，b球在外力作用下静止悬空，绳恰好伸直但无拉力。以地面为重力势能零势能面，从静止释放b球，在b球落地前的过程中，a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图（b），图中两图像交点对应时刻t=0.4s，a球始终没有与定滑轮相碰，a、b始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，。则（　　） A．b球质量4kg B．b球落地前瞬间a球的速度大小为6m/s C．b球下落前距地面的高度为0.5m D．t=0.4s时b球离地面的高度为0.48m 【答案】A 【详解】AB．从开始释放b球到b球落地的过程中，两球组成的系统机械能守恒，根据图像可知，整个过程中b球的下落高度和a球的上升高度相等，而b球总共减小了24J的重力势能，a球增加了6J的重力势能，则有 由此可知a、b两球质量之比为 根据系统牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 ，a球运动的距离为 设初始时刻，b球离地的高度为，两球重力势能相等，则 解得 由图知时b球的重力势能为 联立解得， 根据上述分析可知系统的机械能守恒，则有 解得，即b球落地前瞬间a球的速度大小为，故A正确，B错误； C．根据上述求解过程可知b球下落前距地面的高度为0.6m，故C错误； D．时b球离地面的高度为，故D错误。 故选A。 题型七：弹簧类系统机械能转化问题 【典例7】．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图所示，轻弹簧放在倾角为37°的斜面体上，轻弹簧的下端与斜面底端的挡板连接，上端与斜面上b点对齐，质量为m的物块在斜面上的a点由静止释放，物块下滑后，压缩弹簧至c点时速度刚好为零，物块被反弹后返回b点时速度刚好为零，已知ab长为L，bc长为，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则（　　） A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.6 B．物块接触弹簧后，速度先减小后增大 C．物块在上述过程因摩擦产生的热量为0.5mgL D．弹簧具有的最大弹性势能为0.25mgL 【答案】D 【详解】A．物块在a点由静止释放，压缩弹簧至c点，被反弹后返回b点时速度刚好为零，对整个过程进行分析，根据动能定理有 解得，故A错误； B．物块接触弹簧后，向下运动时，开始阶段有 物块继续向下加速，F弹继续变大，当有 物块将向下减速，综合上述可知，物块向下运动时先加速后减速，向上运动时，由于在c点和b点的速度都为零，则物块接触弹簧后，先加速后减速，故B错误； C．整个过程因摩擦产生的热量为 解得 故C错误； D．设弹簧的最大弹性势能为Epm，物块由a点到c点的过程中，根据能量守恒定律有 解得，故D正确。 故选D。 【变式1】．（24-25高一下·山东滨州·期末）如图甲竖直弹簧固定在水平地面上，一质量为的铁球由弹簧正上方静止自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧。从点（即坐标原点）开始，小球所受弹力的大小随小球下落位置坐标的变化关系如图乙。已知时弹簧压缩到最短，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．当时，小球与弹簧组成系统的势能之和最小 B．当小球接触弹簧后继续向下运动，小球所受合力始终做负功 C．弹簧弹性势能的最大值为12J D．小球运动过程中的最大速度为 【答案】D 【详解】A．小球向下先做自由落体运动，再做加速度减小的加速运动，当加速度为0时，速度达到最大值，此时有 根据图乙结合胡克定律可知，图像的斜率表示劲度系数，则有 解得 此时小球下降的位置坐标 小球速度达到最大值后再做加速度增大的减速运动，对小球与弹簧组成系统机械能守恒，当势能之和最小时，小球动能达到最大值，可知，当时，小球与弹簧组成系统的势能之和最小，故A错误； B．结合上述，当小球接触弹簧后先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，根据动能定理可知，小球所受合力先做正功后做负功，故B错误； C．小球与弹簧组成系统机械能守恒，时弹簧压缩到最短，可知，弹簧弹性势能的最大值为，故C错误； D．结合上述，当时，小球速度达到最大值，小球与弹簧组成系统机械能守恒，则有 解得，故D正确。 故选D。 【变式2】．（24-25高一下·陕西商洛·期末）如图所示，倾角为的光滑斜面上，轻弹簧一端固定在垂直斜面的固定挡板上，另一端沿斜面自由伸长，在距轻弹簧上端处由静止释放一质量为的小球，轻弹簧最短时的压缩量为。已知重力加速度为，从小球由静止释放到弹簧被压缩到最短的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球先做加速度减小的加速运动再做加速度增大的减速运动 B．小球的最大动能为 C．小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一直增大 D．轻弹簧的最大弹性势能为 【答案】D 【详解】AB．小球在接触弹簧前做匀加速直线运动，接触弹簧后弹簧的弹力逐渐增大，根据牛顿第二定律 可知小球做加速度减小的加速运动；当时加速度减小到0，小球的速度最大，动能也最大，结合题意根据能量守恒，弹簧压缩最短时，则有 小球速度最大时则有 联立可得，小球的最大动能为 此后小球继续向下运动，小球做加速度逐渐增大的减速运动，速度一直减小到零，故AB错误； C．小球与弹簧组成的系统机械能守恒，因此小球的动能和重力势能、弹簧弹性势能之和不变，小球动能最大时，两个势能之和最小，故C错误； D．小球到达最低点，弹簧的弹性势能最大，等于小球重力势能的减少量，即，故D正确。 故选D。 【变式3】．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，物体P、Q用跨过定滑轮O的轻绳连接，P穿在固定的竖直光滑杆上，Q置于光滑固定斜面上，轻质弹簧的一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接Q，初始时，施加外力将P静置于N点，ON与地面平行，轻绳恰好伸直但无拉力，现将P由静止释放，不计一切阻力，则P从N点下滑到最低点M的过程中（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．P到达M时，弹簧的弹性势能可能大于初始时刻的弹性势能 C．释放P瞬时，Q加速度不为零 D．经过M点前P与Q的速度大小关系vP<vQ 【答案】B 【详解】A．由于弹簧弹力对Q做功，所以P、Q组成的系统机械能不守恒，故A错误； B．初始时，施加外力将P静置于N点，ON与地面平行，轻绳恰好伸直但无拉力，故Q受力平衡，则 P到达M时，若弹簧仍处于压缩状态，则对Q可得 故此时弹簧的弹性势能小于初始时刻的弹性势能；若弹簧此时处于拉伸状态，则对Q可得 由于弹簧弹力可能大于重力的分力，故弹簧的弹性势能可能大于初始时刻的弹性势能，故B正确； C．释放P瞬时，绳子拉力为0，故Q处于平衡状态，加速度为0，故C错误； D．设轻绳与杆的夹角为，则P沿绳方向的分速度等于Q的速度，即 所以除了N点和M点外， P与Q的速度大小关系为，故D错误。 故选B。 题型八：机械能守恒的图象问题 【典例8】．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示，质量为0.1kg的带孔物块A和质量为0.2kg的金属环B通过光滑铰链用轻质细杆连接，A套在固定的竖直杆上且与竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上，轻弹簧劲度系数k=100N/m，弹簧原长L0=4cm，B套在固定的水平横杆上。弹簧处于原长时将A由静止释放，弹簧始终在弹性限度内，已知弹簧的弹性势能Ep=kx2（为弹簧的形变量），忽略一切擦，重力加速度g取10m/s2，在A下降的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块A和金属环B组成的系统机械能守恒 B．在A、B运动过程中当图中θ=60°时，vA=vB C．B动能最大时，B受到水平横杆的支持力大小等于1N D．弹簧弹性势能最大时，O、A间距离为2cm 【答案】D 【详解】A．对物块A和金属环B组成的系统，除重力做功以外，还有系统外的弹力做功，则该系统的机械能不守恒，故A错误； B．在A、B运动过程中当图中θ=60°时，根据A、B沿杆方向分速度大小相等可得，解得，故B错误； C．由题意可知，当B的动能最大时，其速度最大，则加速度为零、合外力为零，此时B在水平方向的合力为零，则杆对B的弹力为零，又因为此时B在竖直方向的合力也为零，则B受到的水平杆的支持力与B的重力等大、反向，则B动能最大时，B受到水平横杆的支持力大小为，故C错误； D．对A、B、轻杆、弹簧组成的系统，只有重力及系统内的弹力做功，则该系统机械能守恒，则由机械能守恒定律及题意可知，弹簧的弹性势能最大时，该系统的动能为零、重力势能最小，设此时弹簧的压缩量为x，由机械能守恒定律可知，该系统势能的增加量等于动能的减少量，解得 则此时O、A间距离为，故D正确。 故选D。 【变式1】．（25-26高三上·湖北·期中）如图甲所示，一个质量为2kg的物体悬挂在细绳下端，由静止开始沿竖直方向做直线运动，运动过程中物体的机械能E与物体通过路程s的关系图像如图乙所示，其中0~0.8m过程的图像为曲线，0.8m~1.0m过程机械能E不变，1.0m~2.0m过程机械能E随路程s均匀减少（忽略空气阻力），重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．0~0.8m过程中物体所受拉力是变力，物体先上升后下降 B．0.8m处物体的速度大小应为2m/s C．0.8m~1.0m过程中物体可能先上升后下降 D．1.0m~2.0m过程中物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动 【答案】B 【详解】A．运动中只受重力和拉力，由于除重力之外的其他力做功，等于物体的机械能的变化，0~0.8m内物体的机械能一直在增加，说明拉力一直做正功，物体一直在上升。故A错误; B．物体到达0.8m处，由图可知物体的机械能增加，重力势能增加了，所以动能 又 可得 ，B正确； C．0.8m~1.0m过程中，机械能不变，拉力不做功。物体做竖直上抛运动，上升的高度，正好到达1.0m处时，所以0.8m~1.0m过程中，物体只有上升，没有下降，C错误； D．1.0m~2.0m过程中，物体机械能均匀减小，拉力的大小，此过程中，物体向下匀加速直线运动。D错误。 故选B。 【变式2】．（25-26高三上·宁夏石嘴山·月考）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能等于动能与重力势能之和。取地面为重力势能零点，在上升过程中，该物体的和随它离地面的高度的变化关系如图所示。重力加速度取。由图中数据可得（　　） A．物体的质量为 B．时，物体的速率为 C．时，物体的动能 D．从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减少 【答案】B 【详解】A．由题图可知，物体刚被抛出时的机械能为，即物体竖直上抛的初动能为 当机械能与重力势能相等，说明动能为零，物体上升到最高点时离地面高度为，这时重力势能 可得质量为，故A错误； B．根据，解得时，物体的速率为，故B正确； C．从题图中可以得出在物体上抛过程中，机械能有损失，物体上升到最高点的整个过程中，共损失了的机械能，时，可知此时的总机械能为，此时重力势能为，可知物体的动能，故C错误； D．物体竖直上抛的初动能为，从地面至离地面高处的过程中，物体的动能减小了，故D错误。 故选B。 【变式3】．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图甲所示，质量为m的滑块静止在倾角的粗糙斜面底端，现用平行于斜面向上的拉力F作用在滑块上，滑块沿斜面运动时撤去拉力F，此时滑块的机械能，滑块上滑过程中机械能E与上滑位移x之间的关系图像如图乙所示，滑块运动时达到最高点，取斜面底端重力势能为0，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的质量为 B．滑块所受摩擦力的大小为10N C．拉力F的大小恒为40N D．拉力F撤去时滑块的动能为50J 【答案】BD 【详解】BC．由功能关系，滑块机械能的变化量等于除重力以外的力做功，拉力作用内有 拉力撤去后内有 解得拉力，，故B正确，C错误； AD．拉力作用内，由动能定理有 拉力撤去后2m内，由动能定理有 联立解得，，故A错误，D正确。 故选BD。 题型九：天体运动中的机械能问题 【典例9】．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）某颗卫星发射过程的部分轨迹如图所示。卫星先在近地轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，经P点时变速进入椭圆轨道Ⅱ，经椭圆轨道Ⅱ时再变速进入轨道Ⅲ继续绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为m，地球的质量为M，轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为R、2R，引力常量为G，卫星在变轨过程中质量不变。取无穷远处引力势能为零，质量为m的卫星在距离地球球心为r时的引力势能（M为地球的质量）。下列说法正确的是（    ） A．卫星在轨道Ⅰ上运行时的动能为 B．卫星从轨道Ⅰ变轨至轨道Ⅲ的过程中增加的机械能为 C．卫星经过轨道Ⅰ上P点的速度大于经过椭圆轨道Ⅱ上P点的速度 D．卫星从轨道Ⅰ变轨至轨道Ⅲ的过程中增加的机械能为 【答案】B 【详解】A．卫星在轨道I上运行时有 此时卫星的动能，选项A错误； C．卫星经过轨道Ⅰ上点变轨至椭圆轨道Ⅱ上点需加速，因此卫星经过轨道Ⅰ上点的速度小于经过椭圆轨道Ⅱ上点的速度，选项C错误； BD．卫星在轨道Ⅰ上运行时的机械能 卫星在轨道Ⅲ上运行时有 此时卫星的机械能 因此卫星从轨道Ⅰ变轨至轨道Ⅲ的过程中增加的机械能，选项B正确、D错误。 故选B。 【变式1】．（24-25高一下·山东东营·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，并完成与空间站对接，其发射过程简化如图所示：飞船先进入轨道Ⅰ，然后在A点点火加速进入转移轨道Ⅱ，到达远地点B时，再次点火加速，进入目标轨道Ⅲ并与空间站实现对接。假设轨道Ⅰ和Ⅲ都近似为圆轨道，下列说法正确的是（　　） A．飞船在目标轨道Ⅲ经过点B的速度小于在转移轨道Ⅱ经过点A的速度 B．飞船在目标轨道Ⅲ经过点B的加速度大于在转移轨道Ⅱ经过点A的加速度 C．飞船沿目标轨道Ⅲ运行的机械能小于在转移轨道Ⅱ运行的机械能 D．飞船沿目标轨道Ⅲ运行的周期小于在转移轨道Ⅱ运行的周期 【答案】A 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得 则飞船在轨道Ⅲ上的运行速度小于在轨道Ⅰ的运行速度，飞船在转移轨道Ⅱ经过点A的速度大于在轨道Ⅰ的运行速度，所以飞船在目标轨道Ⅲ经过点B的速度小于在转移轨道Ⅱ经过点A的速度，故A正确； B．根据牛顿第二定律有 解得 可知飞船在目标轨道Ⅲ经过点B的加速度小于在转移轨道Ⅱ经过点A的加速度，故B错误； C．飞船由转移轨道Ⅱ运动到轨道Ⅲ需要加速，所以飞船沿目标轨道Ⅲ运行的机械能大于在转移轨道Ⅱ运行的机械能，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，飞船沿目标轨道Ⅲ运行的周期大于在转移轨道Ⅱ运行的周期，故D错误。 故选A。 【变式2】．（24-25高一下·陕西榆林·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，与中国空间站“天和”核心舱成功对接。如图所示为飞船发射至对接的简化原理图，飞船变轨前绕地稳定运行在半径为的圆形轨道上，椭圆轨道为飞船的转移轨道，“天和”核心舱运行在半径为的圆形轨道III上，轨道I和II、II和III位于同一平面内且分别相切于两点，飞船在点变轨，与“天和”核心舱刚好在点进行对接，下列说法正确的是（　　） A．神舟二十号在II轨道上运行的周期大于“天和”核心舱的运行周期 B．神舟二十号在II轨道上由向运动的过程中速度增大 C．神舟二十号在II轨道上经过点的机械能大于在I轨道上经过点的机械能 D．神舟二十号在II轨道上经过点的加速度小于在III轨道上经过点的加速度 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，神舟二十号在II轨道上运行的周期小于“天和”核心舱的运行周期，故A错误； B．根据开普勒第二定律可知，神舟二十号在II轨道上由向运动的过程中速度减小，故B错误； C．神舟二十号在I轨道上经过点点火加速进入II轨道，故神舟二十号在II轨道上经过点的机械能大于在I轨道上经过点的机械能，故C正确； D．根据牛顿第二定律有 解得 则神舟二十号在II轨道上经过点的加速度等于在III轨道上经过点的加速度，故D错误； 故选C。 【变式3】．（24-25高一下·安徽合肥·期末）北京时间2025年3月26日23时55分，西昌卫星发射中心长征三号乙运载火箭点火起飞，天链二号04星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。发射可简化为如图所示过程，先将质量为的卫星发射到半径为的圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，卫星运动到点时推进器瞬间喷出大量气体使其变轨（变轨时间忽略不计）进入椭圆轨道Ⅱ，运动到椭圆轨道Ⅱ的远地点时，再次变轨进入半径为的圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，忽略地球自转的影响和卫星质量的变化。若取无穷远处引力势能为零，质量为的物体在距离地球球心为时的引力势能。下列判断正确的是（　　） A．卫星在A点变轨前瞬间的加速度小于变轨后瞬间的加速度 B．从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ的过程中，卫星的动能变化量为 C．从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ的过程中，卫星的动能和引力势能之和减少了 D．从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ的过程中，推进器做的总功为 【答案】D 【详解】A．物体的加速度由受力决定，变轨前后瞬间加速度是相同的，故A错误； B．在地球表面放一质量为m的物体，有 卫星在半径为x的轨道上做匀速圆周运动时，有 动能 所以整个过程中的动能变化量为，故B错误； CD．卫星在圆周轨道上的机械能 卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅲ机械能增加了，故C错误，D正确。 故选D。 题型十：机械能守恒的综合问题 【典例10】．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图所示，半径的光滑圆弧轨道AB固定在竖直平面内，轨道的最低点B的切线水平。右侧的光滑水平面上紧挨着B点静止一平板小车，其质量，长度，小车的上表面与B点等高、距地面的高度。质量的小物块（可视为质点）从圆弧轨道最高点A正上方处由静止释放，恰好从A点进入圆弧轨道，之后滑上平板小车。已知小车上表面与小物块间的动摩擦因数，重力加速度大小取，求： (1)小物块滑到轨道B点时对轨道的压力大小； (2)摩擦力对小物块做的功； (3)当小物块刚着地时，小物块到小车右端的距离。 【答案】(1)50N (2) (3)0.2m 【详解】（1）小物块从释放到B点过程，根据机械能守恒有 解得 小物块在B点有 联立解得小物块在B点受到的支持力大小 根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力大小为50N。 （2）小物块滑上小车后，根据牛顿第二定律可知，m、M加速度大小分别为， 设小物块从小车右端滑离时m、M速度大小分别为，则有， 又因为 联立解得，， 则摩擦力对小物块做的功 （3）小物块滑离小车后做平抛运动，则有 解得 故当小物块刚着地时，小物块到小车右端的距离 【变式1】．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图所示，质量为的滑块（可视为质点）放在光滑平台上，向左缓慢推动滑块压缩轻弹簧至P点，释放后滑块以一定速度从A点水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC，然后从C点进入与圆弧轨道BC相切于C点的水平面CD，同一竖直平面内的光滑半圆轨道DE与水平面CD相切于D点。已知圆弧轨道BC的半径，AB两点的高度差，光滑圆弧BC对应的圆心角为53°，滑块与CD部分的动摩擦因数，，重力加速度。求： (1)弹簧对滑块做的功； (2)滑块到达圆弧末端C时对轨道的压力； (3)滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离半圆轨道，轨道DE的半径满足的条件。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3)或 【详解】（1）滑块从A点运动到B点的过程为平抛运动，设滑块运动到B点时水平方向的速度为，竖直方向的分速度为，则根据平抛运动的性质有 解得 又因为滑块恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC，则有 解得 即滑块运动到A点时的速度为，则滑块从P点运动到A点的过程根据能量守恒定律有 解得弹簧对滑块做的功为 （2）滑块由B点运动到C点的过程，根据动能定理得 又因为 联立解得滑块运动到C点时的速度为 在C点对滑块进行受力分析，根据牛顿第二定律有 解得此时轨道对滑块的支持力为 则由牛顿第三定律可知，滑块到达圆弧末端C时对轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （3）滑块冲上半圆轨道后不会脱离轨道运动，分两种情况：一是到达与圆心等高处时速度恰好为零；二是恰好到达半圆弧轨道的最高点。当滑块到达与圆心等高处时速度恰好为零时，由动能定理得 解得 当滑块恰好能够到达半圆弧轨道的最高点时，由动能定理得 滑块在最高点E时，由重力恰好提供向心力有 联立解得 综上所述可知，若滑块冲上半圆轨道后中途不会脱离轨道运动，则轨道DE的半径满足的条件为或 【变式2】．（24-25高一下·江苏徐州·月考）如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直四分之一圆弧轨道相切于B点，右端与一倾角为θ=30°的光滑斜面轨道在C点平滑连接，物体经过C点时速率不变。斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为m=1.5kg的滑块从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点。已知光滑圆轨道的半径R=5.0m，水平轨道BC长L=6.0m，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数μ=0.5，光滑斜面轨道上CD长s=3.0m，取g=10m/s2，求： (1)滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小； (2)整个过程中弹簧具有的最大弹性势能； (3)物体最后停止的位置距C点的距离。 【答案】(1)45N (2)7.5J (3)4m 【详解】（1）滑块从A点到B点的运动过程只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得 在B点，滑块的重力与轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得 代入数据解得 由牛顿第三定律可知，滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小为 （2）以BC所在平面为零势能面，滑块从A到D过程，由能量守恒定律得 代入数据解得弹簧具有的最大弹性势能为 （3）滑块最终停止在水平轨道BC上，设滑块在BC上通过的总路程为x，滑块从A点开始运动到静止整个过程，由动能定理得 代入数据解得 故滑块最后停在离C点4m处。 【变式3】．（24-25高一下·广东江门·月考）如图，质量为m=1kg的小滑块（视为质点）在半径为R=0.2m的四分之一光滑圆弧的最高点A，由静止开始释放，当滑块经过B后立即将圆弧轨道撤去。滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C点过渡到倾角为θ=37°、长L=1m的斜面CD上，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在之间调节。斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。认为滑块在C、D两处换向时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。 (1)求滑块经过圆弧B点时受到的支持力大小； (2)若设置μ=0，求弹簧的最大弹性势能； (3)若最终滑块停在D点，求μ的取值范围。 【答案】(1)30N (2) (3)或 【详解】（1）从A到B，由动能定理得 代入数据得 滑块在B点，由圆周运动得 代入数据解得 （2）滑块第一次从A下滑到压缩弹簧减速为零过程，滑块与弹簧组成系统机械能守恒，可得 弹簧的最大弹性势能 （3）最终滑块停在D点有两种可能： ①滑块恰好能从C下滑到D，由动能定理有 得 ②当滑块第二次恰好能返回C，由动能定理有 得 当滑块恰好静止在斜面上，则有 得 所以，当，滑块在CD间反复运动，最终静止于D。因此的取值范围是或。 一、单选题 1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，轻质弹簧上端固定，下端系一物体。物体在A处时，弹簧处于原长状态。现用手托住物体使它从A处缓慢下降，到达B处时，手和物体自然分开，物体停在B处。此过程中（　　） A．手的支持力一直做正功 B．弹簧的弹性势能先增加后减少 C．物体与弹簧组成的系统机械能不守恒 D．物体与弹簧组成的系统机械能守恒 【答案】C 【详解】A．手的支持力方向向上，物体位移方向向下，可知，手的支持力一直做负功，故A错误； B．根据题意可知，弹簧拉伸形变量逐渐变大，则弹簧的弹性势能一直增加，故B错误； CD．结合上述可知，手的支持力对物体做负功，则物体与弹簧组成系统的机械能减小，故C正确，D错误。 故选C。 2．（25-26高一上·浙江台州·期末）如图所示，足球在地面1的位置被踢出后，经过最高点2位置，落到地面3的位置。下列说法正确的是（　　） A．足球在2位置动能最小 B．足球在2位置重力的瞬时功率为零 C．足球在运动过程中机械能守恒 D．足球在空中做匀变速曲线运动 【答案】B 【详解】ACD．由图可知足球受空气阻力作用，则足球受合力不断改变，并非匀变速曲线运动，且空气阻力做负功，则足球的机械能不守恒，由于空气阻力与重力做功大小情况无法判断，则足球在2位置动能不一定最小，故ACD错误； B．足球在2位置速度水平向右，与重力方向垂直，则足球在2位置重力的瞬时功率为零，故B正确； 故选B。 3．（25-26高一上·山西忻州·期末）北京时间2025年12月14日，河南选手杨如意在美国斯廷博特举行的2025-2026赛季国际雪联自由式滑雪大跳台世界杯中，摘得女子大跳台铜牌。如图所示为比赛的情景，运动员离开轨道末端的速度为，经过一段时间运动员到达最高点后再落地。已知抛出点与最高点的高度差为，抛出点到落地点的高度差为，运动员的质量为，重力加速度，忽略空气的阻力。则下列说法正确的是（   ） A．该过程中，重力对运动员一直做正功 B．该过程中，运动员重力势能的减少量为 C．抛出点到最高点的过程，运动员的重力做功为 D．运动员落地瞬间的动能为 【答案】B 【详解】A．在该过程中，运动员从抛出点到最高点的过程中，重力做负功；从最高点到落地点，重力做正功，故A错误； B．在该过程中，运动员从抛出点到落地点，重力做正功，则有 故运动员重力势能的减少量为，故B正确； C．运动员从抛出点到最高点的过程，重力做负功，则有，故C错误； D．忽略空气的阻力，运动员的机械能守恒，则有 代入数据解得，故D错误。 故选B。 4．（25-26高一下·全国·单元测试）2021年3月13日，第十四届全运会跳水测试赛女子三米跳板决赛中，重庆队选手施廷懋以397.00分的成绩夺得冠军。她在某次练习跳水时保持同一姿态在空中下落一段距离，重力对她做功950J，她克服阻力做功50J。施廷懋在此过程中（　　） A．机械能减小了60J B．动能减少了950J C．动能增加了900J D．重力势能减小了1000J 【答案】C 【详解】A．机械能减小量等于克服阻力做功，即机械能减小了50J，A错误；     BC．动能变化量等于合外力做功，即动能增加了950J-50J=900J，B错误，C正确； D．重力势能减小量等于重力做功，则重力势能减小了950J，D错误。 故选C。 5．（2025·广东深圳·一模）如图所示，在地面上以初速度v0抛出质量为m的小球，抛出后小球落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，且不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．重力对小球做的功为mgh B．小球在海平面上的重力势能为mgh C．小球在海平面上的动能为 D．小球在海平面上的机械能为 【答案】A 【详解】A．从地面到海平面重力对小球做的功为mgh，故A正确； B．地面为零势能面，所以小球在海平面上的重力势能为，故B错误； C．对小球根据动能定理，有 得小球在海平面上的动能为，故C错误； D．小球在地面上的机械能为，由机械能守恒定律得，小球在海平面上的机械能也为，故D错误。 故选A。 6．（25-26高三上·海南海口·月考）长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端可绕固定光滑水平转轴O转动，现使小球在竖直平面内做圆周运动，若小球通过圆周最低点A的速度大小为，运动到最高的时候速度大小为，则下列判断正确的是（　　） A．小球在上升的过程中动能和重力势能的总和保持不变 B．小球运动到最高点时对轻杆的作用力方向竖直向上 C．小球在最低点时对轻杆拉力为6mg D．小球从最低点到最高点的过程中克服阻力做功为mgL 【答案】D 【详解】A．设最低点小球的重力势能为零，最低点小球动能和重力势能的总和 最高点小球动能和重力势能的总和 ，故A错误； B．小球运动到最高点时，轻杆对小球的作用力与小球重力合力充当向心力，求向心力得 所以此时轻杆对小球的作用力为零，根据牛顿第三定律得小球对轻杆的作用力也为零，故B错误； C．小球运动到最低点时，轻杆对小球的作用力与小球重力合力充当向心力，求向心力得 由于方向竖直向上，所以轻杆对小球的作用力竖直向上，大小为 根据牛顿第三定律得小球对轻杆的作用力，故C错误； D．小球从最低点到最高点的过程中能量守恒得 解得转化的内能为 克服阻力做功，故D正确。 故选D。 7．（24-25高一下·云南文山·月考）如图所示，某段滑雪雪道倾角为，总质量为m（包括雪具在内）的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为在他滑到底端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动员减少的重力势能全部转化为动能 B．运动员获得的动能为 C．运动员克服摩擦力做功为 D．运动员损失的机械能为 【答案】D 【详解】A．若物体不受摩擦力，根据牛顿第二定律，有 解得加速度应为 而现在的加速度小于，所以运动员应受到摩擦力，故减少的重力势能有一部分转化为了内能，故A错误； B．运动员运动员下滑的距离 由运动学公式可得 解得 动能为，故B错误； C．由动能定理可知 解得， 故C错误； D．机械能的减小量等于阻力所做的功，故下滑过程中系统减少的机械能为，故D正确。 故选D。 二、多选题 8．（25-26高一上·河北保定·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，并与空间站交会对接。其发射过程可以简化如下：飞船先在近地圆形轨道I上运动，运动到A点时点火变轨进入椭圆转移轨道Ⅱ，到达远地点B时，再次点火进入预定圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度 B．飞船在轨道I上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的运行周期 C．飞船在轨道I上的机械能大于在轨道Ⅲ上的机械能 D．飞船在远地点B点火加速，进入预定圆轨道Ⅲ 【答案】ABD 【详解】A．飞船先在近地圆形轨道I上运动，运动到A点时点火加速做离心运动，才能进入椭圆转移轨道Ⅱ，所以飞船在轨道I上经过A点时的速度小于在轨道Ⅱ上经过A点时的速度，根据万有引力提供向心力有 所以 由于飞船在轨道I上运动的轨道半径小于在轨道Ⅲ上的轨道半径，所以飞船在轨道I上运动的速度大于在轨道Ⅲ上的运行速度，则飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度，故A正确； B．根据开普勒第三定律可知，轨道半径越小，周期越小，所以飞船在轨道I上的运行周期小于在轨道Ⅲ上的运行周期，故B正确； C．飞船要经过两次加速，才能从轨道I进入轨道Ⅲ，所以飞船在轨道I上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能，故C错误； D．飞船在远地点B点火加速做离心运动，进入预定圆轨道Ⅲ，故D正确。 故选ABD。 9．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，A球用线悬挂且通过弹簧与B球相连，两球质量相等，当两球都静止时，将悬线烧断。下列说法正确的是（　　） A．线断瞬间，A球的加速度大于B球的加速度 B．线断后最初一段时间里，重力势能转化为动能和弹性势能 C．在下落过程中，两小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒 D．线断后最初一段时间里，动能的增加大于重力势能的减少 【答案】ACD 【详解】A．悬线烧断前弹簧处于伸长状态，弹簧对A球的作用力向下，对B球的作用力向上。当悬线烧断瞬间，弹簧的伸长来不及改变，对A球作用力仍然向下，故A球的加速度大于B球的加速度，故A正确； BD．悬线烧断后最初的一段时间里，弹簧缩短到原长以前，重力势能和弹性势能均减少，系统的动能增加，即重力势能和弹性势能转化为动能，故B错误，D正确； C．在下落过程中，只有重力和系统内弹力做功，故两小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒，故C正确。 故选ACD。 10．（25-26高一上·浙江台州·期末）如图所示，小球以初速度抛出（方向如图中箭头所示），已知小球运动的最小速度为v，不计空气阻力，抛出点距地面足够高，下列说法正确的是（　　） A．小球的速度为v时重力势能最大 B．小球速度由v增加到2v所用时间为 C．小球在相等时间间隔内速度的变化量不同 D．小球运动到与抛出点等高位置时的速度和初速度相同 【答案】AB 【详解】A．小球运动过程中机械能守恒，小球运动的速度最小时，动能最小，重力势能最大，故A正确； B．小球在最高点到速度最小时，方向水平向右，小球速度由v增加到2v所用时间为，故B正确； C．小球只受重力作用，加速度为重力加速度，在相等时间间隔内速度的变化量相同，故C错误； D．根据机械能守恒定律结合对称性可知，小球运动到与抛出点等高位置时的速度和初速度大小相等，方向不同，故D错误； 故选AB。 11．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则错误的是（　　） A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 【答案】AC 【详解】A．当a到达底端时，b的速度为零，则在a下落过程中，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，故A错误，满足题意要求； B．a落地时，b的速度为零，根据系统机械能守恒可得 解得，故B正确，不满足题意要求； C．在a下落过程中，b的速度先增大后减小，轻杆对b的作用力先是推力后是拉力，在b加速的过程中，轻杆对b是沿杆向下的推力，则轻杆对a是沿杆向上的推力，此时a的加速度小于重力加速度g，故C错误，满足题意要求； D．a、b组成的系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到a的推力为零，b只受到重力与支持力的作用，所以b对地面的压力大小为mg，故D正确，不满足题意要求。 故选AC。 12．（24-25高一下·河南南阳·月考）从地面以的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度m/s2，以地面为重力势能的零势能面，下列说法正确的是（　　） A．物体上升的最大高度 B．物体的重力势能为动能的一半时，离地面的高度 C．物体的重力势能和动能相等时，离地面的高度 D．物体的动能是重力势能的一半时，求物体离地面的高度 【答案】ACD 【详解】A．根据 解得物体上升的最大高度，故A正确； B．物体的重力势能为动能的一半时，则有 由动能定理 联立解得，故B错误； C．物体的重力势能和动能相等时，则有 由动能定理 联立解得，故C正确； D．物体的动能是重力势能的一半时，则有 由动能定理 联立解得，故D正确。 故选ACD。 13．（24-25高一下·辽宁·期中）质量为m的可视为质点的小球被一根长为L且不计形变的轻绳悬挂于O点，在O点下方点固定一个钉子（图中未标记，不计钉子的粗细），忽略一切摩擦和阻力，现给小球施加水平的瞬时冲量，小球获得的初速度大小是，在钉子的阻挡下，小球能围绕钉子在竖直面内做圆周运动，（假设小球运动过程中没有碰到轻绳，重力加速度为g）。以下描述正确的是（　　） A．小球获得速度时，绳上的拉力大小为mg B．小球运动到等高处时，绳上的拉力提供向心力 C．若小球能完成完整的圆周运动，和的最小距离 D．圆周运动过程中小球在最低点和最高点，绳上的拉力差大小为6mg 【答案】BD 【详解】A．小球刚获得速度时，在最低点绕O做圆周运动，根据牛顿第二定律，可得绳上的拉力，显然，故A错误； B．小球运动到等高处时，小球的速度方向沿竖直方向，向心力由绳子的拉力提供，故B正确； C．当小球刚好能完成完整的圆周运动时，在最高点处，小球的向心力由小球重力提供，设此时绕钉子做圆周运动的半径为，小球最高点的速度为，根据牛顿第二定律有 从最低点到最高点，根据机械能守恒定律 解得 又因为，所以此时 也即最小距离为，故C错误； D．设小球在圆周运动最低点的速度为，拉力为，在最高点的速度为，拉力为，圆周运动半径为，在最低点，根据牛顿第二定律 在最高点，根据牛顿第二定律 从最低点到最高点，根据机械能守恒定律 解得，即圆周运动过程中小球在最低点和最高点，绳上的拉力差大小为6mg，故D正确。 故选BD。 三、解答题 14．（24-25高一下·贵州毕节·期中）如图所示，光滑曲线轨道，其中段为半径的半圆形轨道，点为半圆轨道的最低点。水平段在点与半圆轨道相切，一质量为的小球（可视作质点）从轨道上距水平面高为的点由静止释放，沿轨道滑至点后水平飞出，最终落至水平轨道上的点，，不计空气阻力。求： (1)小球在点时速度的大小； (2)小球运动到点时对半圆轨道的压力； (3)小球在点的速度的大小及点到点间的距离。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3)， 【详解】（1）由机械能守恒得，解得小球在点时速度的大小 （2）小球在点的速度的大小仍然为，在点，由牛顿第二定律得 解得，由牛顿第三定律，小球对半圆轨道的压力的大小 方向竖直向下。 （3）由动能定理得，解得 小球在点飞出后做平抛运动，竖直方向有 解得 15．（24-25高一下·贵州毕节·月考）如图所示，物块P在高的平台边缘处以某一初速度被水平抛出，物块P恰好能无碰撞地从点沿圆弧切线进入竖直光滑圆弧轨道，为圆弧的两端点，其连线水平，圆弧轨道的半径为，圆弧所对圆心角。取重力加速度，不计空气阻力，物块质量为，可视为质点。求： (1)物块P离开平台时的初速度； (2)物块P通过圆弧轨道最低点时对轨道的压力。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 【详解】（1）物块离开平台后从至的过程中，在竖直方向有 在点有 解得 （2）物块在圆弧轨道做圆周运动，在最低点由牛顿第二定律可得 由机械能守恒得 解得 根据牛顿第三定律可知，对轨道的压力大小为，方向竖直向下。 16．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图所示，弹射器固定在水平平台的左端，初始时质量的物块位于平台上的A点，某时刻弹射器工作将物块向右弹出，在A、B之间的某位置，物块脱离弹射器，从点飞出后恰好沿C点的切线方向进入光滑圆弧轨道，一段时间后物块恰好能通过圆弧轨道的最高点D。已知物块与平台间的动摩擦因数，圆弧轨道的圆心与平台的高度差，轨道半径，半径与竖直方向的夹角，之间的距离，物块可视为质点，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)物块经过C点时轨道对物块的支持力大小； (2)B、C两点间的水平距离； (3)物块从A点到B点的过程中，弹射器对物块所做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块恰好能通过最高点，有 根据机械能守恒定律，从点到点的过程，有 在点，对物块受力分析，有 联立解得轨道对物块的支持力大小 （2）从B点到C点，根据机械能守恒定律，有 根据平抛运动规律，从点到点，有 、间的水平距离 联立解得 （3）根据动能定理，物块从A点到点的过程中，有 联立解得弹射器对物块做的功 17．（24-25高一下·河南·阶段练习）2025年3月14日，四川省第七届全民健身滑板大众邀请赛在自贡市举办。某次滑板运动员比赛过程可简化为如图所示模型，ABC是半径的光滑固定圆弧形滑板赛道，A点与圆心O等高，B为最低点位于水平地面上，圆弧BC所对的圆心角为滑板运动员从A点以一定的初速度沿圆弧面滑下，从C点滑出后，运动员上升到的最高点与O点在同一水平面上，此后运动员落到斜面上的D点，D点距水平地面的高度为已知运动员和滑板的总质量为，重力加速度大小，运动员和滑板整体可视为质点，不计空气阻力。求： (1)运动员从C点滑出时的速度大小； (2)运动员和滑板一起在B点对轨道的压力； (3)斜面D点离圆弧轨道C点的水平距离计算结果可保留根号 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3) 【详解】（1）设运动员从C点滑出的速度大小为，运动员从C点滑出后，竖直上升的高度 竖直方向分运动 解得 （2）设运动员到B点时速度大小为vB，从B到C，根据机械能守恒有 B点，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，对轨道的压力大小 方向竖直向下 （3）运动员从C点滑出后，上升的过程有 设下降的时间为，则 则D点与C点的水平距离 解得 18．（24-25高一下·天津·阶段练习）如图所示，质量为m的小球甲，穿过一竖直固定的光滑杆与轻弹簧的一端连接，轻弹簧套在杆上，另一端固定在地面。质量为的小球乙用轻绳跨过光滑的小定滑轮与甲连接，O为滑轮的顶点。开始托住乙球，左侧轻绳刚好竖直伸直但无张力，甲球静止于P点，绳与水平方向夹角为。某时刻由静止释放乙球，当小球甲经过Q点时，弹簧的弹力大小与在其P点时弹簧的弹力大小相等，水平，。已知重力加速度为g，，，乙球运动过程中始终未与地面接触。求： (1)弹簧的劲度系数； (2)甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量； (3)甲球到达Q点时的速度大小； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当小球甲经过Q点时，弹簧的弹力大小与在其P点时弹簧的弹力大小相等，则在P点弹簧的压缩量为，由甲球在P点平衡可得 解得 （2）由图中的几何关系可知， 甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量为 （3）设甲球到达Q点时的速度大小为，甲乙两球沿绳方向的速度相等，可知此时乙球的速度为零，在P、Q两点弹力相同，由系统机械能守恒可得 解得 19．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图所示，可视为质点的光滑小球质量为m，从倾角为的固定斜劈上A点由静止释放，斜面足够长，A点到斜劈底面的竖直高度为h，斜劈底端B点与水平桌面平滑连接（小球经过B点时没有机械能损失，下同）。半径为R的过山车式圆形轨道竖直放置，轨道一端C点与左边水平面平滑连接，C点单向导通，从C点向右滑入圆形轨道的小球，不能从C点向左滑出，另一端D点和弧形轨道平滑连接，重力加速度取g。 (1)求小球经过B点时的速度大小； (2)若小球经过C点进入圆形轨道后，在圆形轨道运动过程中不脱离轨道，求h的范围； (3)求小球恰好能到达D点时对轨道的作用力。 【答案】(1) (2)或 (3)，方向竖直向下 【详解】（1）小球从点到点过程机械能守恒，有 解得 （2）小球经过点进入圆形轨道后，在到达点前不脱离轨道，当从点单向进入圆形轨道后，恰好能到和圆心等高，对应释放高度，全程机械能守恒，有，解得 当从点单向进入圆形轨道后，恰好能过圆形轨道最高点，对应释放高度，在最高点 全程机械能守恒，有，解得 综上，小球经过点进入圆形轨道后，在到达点前不脱离轨道，的范围是或。 （3）小球恰好能到达点，则，在点 由牛顿第三定律，小球恰好能到达点时对轨道的作用力大小 全程机械能守恒，有 解得小球恰好能到达点时对轨道的作用力大小 方向竖直向下。 2 学科网（北京）股份有限公司 $