专题01 从实际问题到方程&解一元一次方程 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

专题01 从实际问题到方程&解一元一次方程 （8知识点+15题型+过关检测） 【题型1 判断是否是方程】 1 【题型2 列方程】 3 【题型3 判断是否是方程的解】 3 【题型4 已知方程的解求参数】 4 【题型5 等式的性质】 4 【题型6 判断是否是一元一次方程】 4 【题型7 判断是否是一元一次方程的解】 5 【题型8 合并同类项与移项解一元一次方程】 5 【题型9 去括号解一元一次方程】 5 【题型10 去分母解一元一次方程】 6 【题型11 已知一元一次方程的解求参数】 6 【题型12 一元一次方程的解求参数】 6 【题型13 绝对值方程】 7 【题型14 和差倍分问题】 7 【题型15 行程问题】 8 · 理解方程的概念，能准确判断一个式子是否为方程； · 掌握方程的解的定义，能判断一个数是否为方程的解； · 理解一元一次方程的定义，能准确判断一个方程是否为一元一次方程； · 熟练掌握解一元一次方程的基本步骤（合并同类项、移项、去括号、去分母），能准确求解一元一次方程； 03 知识•梳理 知识点1：方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。（两个核心条件：①含未知数；②是等式） 知识点2：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（也叫根）。 知识点3：等式的基本性质： · 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：若a = b，则a ± c = b ± c（c为任意数或整式）； · 性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，结果仍相等。即：若a = b，则ac = bc（c为任意不为0的数），或a÷c = b÷c（c≠0）。 知识点4：列方程的核心步骤 找出实际问题中的等量关系，设未知数，根据等量关系列出等式（方程）。 知识点5：一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是1（次），等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。（核心条件：①一个未知数；②最高次数1；③整式方程） 知识点6：一元一次方程的解 使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解。 知识点7：解一元一次方程的基本步骤 · 去分母：在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母（注意：每一项都要乘，包括不含分母的项）； · 去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），去掉方程中的括号； · 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边（注意：移项要变号）； · 合并同类项：将方程两边的同类项合并，化为“ax = b”（a≠0）的最简形式； · 系数化为1：在方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x = b/a。 知识点8：拓展知识点 · 参数问题：方程中除未知数外的字母叫做参数，已知方程的解，可将解代入方程，建立关于参数的一元一次方程，求解参数； · 绝对值方程：含有绝对值符号的方程，核心是去掉绝对值符号（分情况讨论：|x| = a（a≥0）时，x = a或x = -a），转化为一元一次方程求解； · 实际问题：找准等量关系是列方程的关键，常见等量关系（和差倍分、行程问题：路程=速度×时间）。 04 题型•汇总 【题型1 判断是否是方程】 解题核心：紧扣方程的两个核心条件——①含未知数；②是等式，两个条件缺一不可。 【典例1】．下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 跟随训练2．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【题型2 列方程】 解题核心：找准实际问题中的等量关系，设出未知数，用含未知数的式子表示等量关系的两边，列出等式。 【典例2】．根据“的3倍与5的差比的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 跟随训练2．现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【题型3 判断是否是方程的解】 解题核心：将所给的数代入方程的左右两边，判断两边的值是否相等，相等则是解，不相等则不是。 【典例3】．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【题型4 已知方程的解求参数】 解题核心：利用“方程的解使方程左右两边相等”的性质，将解代入方程，转化为关于参数的一元一次方程，求解参数。 【典例4】．若是方程的解，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 跟随训练1．已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 跟随训练2．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【题型5 等式的性质】 解题核心：熟练掌握等式的两个基本性质，注意性质2中“除以同一个不为0的数”，避免出错。 【典例5】．如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．老师在黑板上写出“若，则_________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”．若 与互为“天平数”，则代数式_________________ 【题型6 判断是否是一元一次方程】 解题核心：紧扣一元一次方程的三个核心条件——①只含一个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式，三个条件缺一不可。 【典例6】．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．若方程是一元一次方程，则m 的值为（    ） A． B．2 C． D．0 跟随训练2．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是________． 【题型7 判断是否是一元一次方程的解】 解题核心：先确认方程是一元一次方程，再将所给的数代入方程左右两边，判断两边是否相等。 【典例7】．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【题型8 合并同类项与移项解一元一次方程】 解题核心：先合并同类项化为“ax = b”的形式，再移项（注意变号），最终系数化为1。 【典例8】．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 跟随训练1．解方程：． 跟随训练2．解下列方程： (1)； (2)． 【题型9 去括号解一元一次方程】 解题核心：先正确去括号（注意符号和漏乘），再按合并同类项、移项、系数化为1的步骤求解。 【典例9】．解方程：． 跟随训练1．解方程： 跟随训练2．解方程：． 【题型10 去分母解一元一次方程】 解题核心：先去分母（每一项都乘分母的最小公倍数，避免漏乘），再按后续步骤求解。 【典例10】．解下列方程： (1)； (2)． 跟随训练1．解方程： 跟随训练2．解方程： 【题型11 已知一元一次方程的解求参数】 解题核心：先确认方程是一元一次方程（隐含参数条件），再将解代入，转化为关于参数的方程求解。 【典例11】．方程与关于的一元一次方程的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 跟随训练1．已知与方程的解相同，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 跟随训练2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于的一元一次方程和是“美好方程”，则关于的一元一次方程的解为________． 【题型12 一元一次方程的解求参数】 解题核心：将解代入原一元一次方程，转化为关于参数的方程，求解参数，侧重基础应用。 【典例12】．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 跟随训练2．若关于x的一元一次方程的解是，则______． 【题型13 绝对值方程】 解题核心：去掉绝对值符号（分情况讨论），转化为普通一元一次方程，注意绝对值结果非负。 【典例13】．方程实数根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有1个实数根 C．有2个实数根 D．有无数个实数根 跟随训练1．已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 跟随训练2．若实数同时满足，则的值为___________． 【题型14 和差倍分问题】 解题核心：找准和差倍分的等量关系，设合适的未知数，列一元一次方程求解。 【典例14】．甲乙两人共有图书60本，若甲给乙5本，则两人图书相等．设甲原有x本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．某班共有学生45人，男生比女生多3人．设女生有x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．饺子是中国传统食物，用一张小圆形面皮包馅制作而成，形如半月或元宝形（图1）；馅饼也是非常流行的一种美食，用一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形（图2）．元旦当天，小明和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小明向爸爸学习制作圆形面皮，一共制作了100张大小不同的圆形面皮（小面皮用作包饺子，大面皮用作包馅饼），爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有制作的大小面皮，小明发现饺子的数量是馅饼数量的4倍还多5个．请你根据以上信息，求出所包饺子和馅饼的数量． 【题型15 行程问题】 解题核心：牢记路程=速度×时间，根据运动方向找准等量关系，列方程求解。 【典例15】．甲、乙两人分别从相距千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度比乙快2千米/时，经过小时相遇，设乙的速度为x千米/时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．跑步是学校常见的体育锻炼方式，有利于提高学生的身体素质．小悦每秒跑2.4米，小秦每秒跑2.6米，两人绕操场跑道同时同地反向而行，第一次相遇时小秦比小悦多跑16米，第一次相遇他们用了________秒． 跟随训练2．综合与探究 问题情境：太原古县城坐落于晋阳古城遗址，始建于明洪武八年．其中的古县城城墙是古城的核心标志性建筑，城墙周长约米．某日，小华和小强来到太原古县城开展研学活动，小华和小强相约从古县城城墙上同一起点出发，沿相反的方向步行绕城墙一圈．已知小华步行的平均速度为米/分钟，小强步行的平均速度为米/分钟，小强比小华晚出发2分钟．设小强步行的时间为分钟． 数学思考：（1）在两人行走过程中，小华的路程为_____米，小强的路程为_____米(均用含的代数式表示)； 问题解决：（2）求两人相遇时的值； （3）两人相遇后，小强沿原方向原速度继续步行，小华休息3分钟后掉头按照米/分钟的速度行走，返回出发点后立刻停止运动．从两人相遇到小华回到出发点前，当小华和小强之间的路程为米时，则_____． 05 过关•检测 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图②，悦悦将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B．0 C．3 D． 3．可以是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 4．若是方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．解方程 去分母正确的是 （   ） A． B． C． D． 7．若关于x的方程的解为，则 _______． 8．与的和的倍是，则可用方程表示为______． 9．已知是方程的解，则_____ ． 10．已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 11．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将，，，，，，，填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为_____． 12．解方程： (1)； (2)． 13．解下列方程： (1)； (2)． 14．解方程： (1)； (2)． 15．小明在解关于的方程时，误将“”看成了“”，得出的解为，求原方程的解． 16．学完一元一次方程解法，老师出了一道解方程题目：，小玲同学的解题步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得 ； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)聪明的你觉得小玲的解答过程正确吗？答：_______（填“是”或“否”）；如果不正确，第_______步（填序号）出现了问题； (2)请你写出该题正确的解答过程． 17．阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 任务： (1)解方程：． (2)解方程：． 18．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定，解答下列问题． (1)下列关于的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 从实际问题到方程&解一元一次方程 （8知识点+15题型+过关检测） 【题型1 判断是否是方程】 1 【题型2 列方程】 2 【题型3 判断是否是方程的解】 4 【题型4 已知方程的解求参数】 5 【题型5 等式的性质】 6 【题型6 判断是否是一元一次方程】 7 【题型7 判断是否是一元一次方程的解】 8 【题型8 合并同类项与移项解一元一次方程】 9 【题型9 去括号解一元一次方程】 10 【题型10 去分母解一元一次方程】 11 【题型11 已知一元一次方程的解求参数】 13 【题型12 一元一次方程的解求参数】 14 【题型13 绝对值方程】 15 【题型14 和差倍分问题】 18 【题型15 行程问题】 19 · 理解方程的概念，能准确判断一个式子是否为方程； · 掌握方程的解的定义，能判断一个数是否为方程的解； · 理解一元一次方程的定义，能准确判断一个方程是否为一元一次方程； · 熟练掌握解一元一次方程的基本步骤（合并同类项、移项、去括号、去分母），能准确求解一元一次方程； 03 知识•梳理 知识点1：方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。（两个核心条件：①含未知数；②是等式） 知识点2：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（也叫根）。 知识点3：等式的基本性质： · 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：若a = b，则a ± c = b ± c（c为任意数或整式）； · 性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，结果仍相等。即：若a = b，则ac = bc（c为任意不为0的数），或a÷c = b÷c（c≠0）。 知识点4：列方程的核心步骤 找出实际问题中的等量关系，设未知数，根据等量关系列出等式（方程）。 知识点5：一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数是1（次），等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。（核心条件：①一个未知数；②最高次数1；③整式方程） 知识点6：一元一次方程的解 使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解。 知识点7：解一元一次方程的基本步骤 · 去分母：在方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母（注意：每一项都要乘，包括不含分母的项）； · 去括号：根据去括号法则（括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“-”，去括号后各项符号改变），去掉方程中的括号； · 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边（注意：移项要变号）； · 合并同类项：将方程两边的同类项合并，化为“ax = b”（a≠0）的最简形式； · 系数化为1：在方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x = b/a。 知识点8：拓展知识点 · 参数问题：方程中除未知数外的字母叫做参数，已知方程的解，可将解代入方程，建立关于参数的一元一次方程，求解参数； · 绝对值方程：含有绝对值符号的方程，核心是去掉绝对值符号（分情况讨论：|x| = a（a≥0）时，x = a或x = -a），转化为一元一次方程求解； · 实际问题：找准等量关系是列方程的关键，常见等量关系（和差倍分、行程问题：路程=速度×时间）。 04 题型•汇总 【题型1 判断是否是方程】 解题核心：紧扣方程的两个核心条件——①含未知数；②是等式，两个条件缺一不可。 【典例1】．下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程. 根据方程的定义，对各选项进行判断即可． 【详解】解：方程的定义是含有未知数的等式． A选项是等式，但不含未知数，不是方程． B选项是代数式，不是等式，不是方程． C选项是代数式，不是等式，不是方程． D选项是含有未知数的等式，符合方程的定义． 故选：D． 跟随训练1．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 跟随训练2．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 【题型2 列方程】 解题核心：找准实际问题中的等量关系，设出未知数，用含未知数的式子表示等量关系的两边，列出等式。 【典例2】．根据“的3倍与5的差比的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列方程． 根据题意，“x的3倍与5的差”即，“的”即，进而根据“的3倍与5的差比的多2”列方程即可． 【详解】解：x的3倍与5的差为， 的为， ∵的3倍与5的差比的多2， ∴． 故选：B． 跟随训练1．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 跟随训练2．现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. 【题型3 判断是否是方程的解】 解题核心：将所给的数代入方程的左右两边，判断两边的值是否相等，相等则是解，不相等则不是。 【典例3】．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行检验，看能否使方程的左右两边相等． 【详解】解：分别将代入四个方程： A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 跟随训练1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，通过将代入每个方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：A、当时，左边 右边，则不是A的解； B、当时，左边 右边，则不是B的解； C、当时，左边 右边，则是C的解； D、当时，左边 右边，则不是D的解． 故选：C． 跟随训练2．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【答案】 【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2后，根据表格中数据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，当时，， 故关于的方程的解为； 故答案为： 【题型4 已知方程的解求参数】 解题核心：利用“方程的解使方程左右两边相等”的性质，将解代入方程，转化为关于参数的一元一次方程，求解参数。 【典例4】．若是方程的解，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：把代入，得 ， 解得． 跟随训练1．已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值． 【详解】解：， 整理得，即， 方程有无数多个解， ∴，， 解得，， ∴． 跟随训练2．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴． 【题型5 等式的性质】 解题核心：熟练掌握等式的两个基本性质，注意性质2中“除以同一个不为0的数”，避免出错。 【典例5】．如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如果，那么，该选项不符合题意； B、如果，那么，该选项符合题意； C、如果，那么，该选项不符合题意； D、如果，当时，那么，当时，和都没有意义，该选项不符合题意． 跟随训练1．老师在黑板上写出“若，则_________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：若，则，故A选项符合题意； 若，则，故B选项不符合题意； 若，则，故C选项不符合题意； 若，则，故D选项不符合题意． 跟随训练2．天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”．若 与互为“天平数”，则代数式_________________ 【答案】 【分析】本题考查了新定义，以及代数式求值，根据“天平数”的定义，建立方程，通过整体代入法求出代数式的值，即可解题． 【详解】解：因为与互为“天平数”， 所以． 整理得． 所以． 故答案为：． 【题型6 判断是否是一元一次方程】 解题核心：紧扣一元一次方程的三个核心条件——①只含一个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式，三个条件缺一不可。 【典例6】．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、含有了两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 、中未知数的最高次数为，不是一元一次方程，故选项不符合题意； 、满足一元一次方程的定义，是一元一次方程，故选项符合题意； 、中分母中含有未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意． 跟随训练1．若方程是一元一次方程，则m 的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，需要满足两个条件：未知数的最高次数为1，且一次项的系数不为0，据此列式求解即可. 【详解】解：∵原方程是一元一次方程， ∴且， ∴. 跟随训练2．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是________． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的未知数指数必须为1且系数不为零是解题关键． 根据一元一次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴， 解得：或， 当时，，不符合系数不为零的条件； 当 时，，符合条件． 故答案为：3． 【题型7 判断是否是一元一次方程的解】 解题核心：先确认方程是一元一次方程，再将所给的数代入方程左右两边，判断两边是否相等。 【典例7】．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：A． 跟随训练1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 跟随训练2．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 【题型8 合并同类项与移项解一元一次方程】 解题核心：先合并同类项化为“ax = b”的形式，再移项（注意变号），最终系数化为1。 【典例8】．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】移项、合并同类项、系数化为，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 跟随训练1．解方程：． 【答案】 【分析】通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程逐步化简，从而求出未知数的值． 【详解】解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 跟随训练2．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原方程移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型9 去括号解一元一次方程】 解题核心：先正确去括号（注意符号和漏乘），再按合并同类项、移项、系数化为1的步骤求解。 【典例9】．解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】解：去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：． 跟随训练1．解方程： 【答案】 【分析】按照去括号，移项，合并同类项和系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 跟随训练2．解方程：． 【答案】 【分析】按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 【题型10 去分母解一元一次方程】 解题核心：先去分母（每一项都乘分母的最小公倍数，避免漏乘），再按后续步骤求解。 【典例10】．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据去分母，移项，系数化为求解方程即可． （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为求解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 跟随训练1．解方程： 【答案】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】解： 解得． 跟随训练2．解方程： 【答案】 【详解】解： 解得： 【题型11 已知一元一次方程的解求参数】 解题核心：先确认方程是一元一次方程（隐含参数条件），再将解代入，转化为关于参数的方程求解。 【典例11】．方程与关于的一元一次方程的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解第一个方程得到x的值，再利用同解的性质将x代入第二个方程，即可求出a的值 ． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵方程与关于的一元一次方程的解相同， ∴将代入方程得 化简得， 去括号得， 移项整理得， 解得． 跟随训练1．已知与方程的解相同，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】两个方程的解相同，先求解第一个一元一次方程得到x的值，再将x代入第二个方程即可求出m的值． 【详解】解：解方程，得， 将代入方程， 得， 解得． 跟随训练2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于的一元一次方程和是“美好方程”，则关于的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【详解】解：，得， ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为， 将关于的方程， 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得． 【题型12 一元一次方程的解求参数】 解题核心：将解代入原一元一次方程，转化为关于参数的方程，求解参数，侧重基础应用。 【典例12】．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解求解． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵方程的解为， ∴方程的解为， 即， 解得． 跟随训练1．若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，以及方程解的关系． 先求出方程的解，根据两方程解互为相反数得到方程的解，再代入该方程计算出的值． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 又∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 将代入中 得 即 移项得 ∴ 故选C 跟随训练2．若关于x的一元一次方程的解是，则______． 【答案】1 【分析】将代入得即，继而解答． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， ∴． 【题型13 绝对值方程】 解题核心：去掉绝对值符号（分情况讨论），转化为普通一元一次方程，注意绝对值结果非负。 【典例13】．方程实数根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有1个实数根 C．有2个实数根 D．有无数个实数根 【答案】A 【分析】解含多个绝对值的方程，先求绝对值的零点，分区间去绝对值转化为一元一次方程求解，检验解是否在对应区间，即可判断根的情况． 【详解】解：令，解得， 令，解得， 分三种情况讨论： 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 综上，原方程没有实数根． 跟随训练1．已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 跟随训练2．若实数同时满足，则的值为___________． 【答案】64 【分析】利用分类讨论求解方程得，，再代入即可， 【详解】解：∵， ∴，且 ∴； ∴， 把代入得， 又， 所以，当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，，即， ∴， 解得， 又， 所以，此种情况不存在； ∴． 【题型14 和差倍分问题】 解题核心：找准和差倍分的等量关系，设合适的未知数，列一元一次方程求解。 【典例14】．甲乙两人共有图书60本，若甲给乙5本，则两人图书相等．设甲原有x本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设甲原有x本，则乙为本， 若甲给乙5本，则甲剩本，乙变成本， ∴． 跟随训练1．某班共有学生45人，男生比女生多3人．设女生有x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出男生人数，进而根据“共有学生45人”列方程即可． 【详解】解：∵设女生有x人，男生比女生多3人， ∴男生有人， ∵共有学生45人， ∴可列方程为． 跟随训练2．饺子是中国传统食物，用一张小圆形面皮包馅制作而成，形如半月或元宝形（图1）；馅饼也是非常流行的一种美食，用一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形（图2）．元旦当天，小明和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小明向爸爸学习制作圆形面皮，一共制作了100张大小不同的圆形面皮（小面皮用作包饺子，大面皮用作包馅饼），爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有制作的大小面皮，小明发现饺子的数量是馅饼数量的4倍还多5个．请你根据以上信息，求出所包饺子和馅饼的数量． 【答案】所包的馅饼有19个，饺子有81个． 【分析】设所包的馅饼有x个，则所包的饺子有个，根据一共制作了100张大小不同的圆形面皮列方程解答即可． 【详解】解：设所包的馅饼有x个，则所包的饺子有个， 根据题意得， 解得， ． 答：所包的馅饼有19个，饺子有81个． 【题型15 行程问题】 解题核心：牢记路程=速度×时间，根据运动方向找准等量关系，列方程求解。 【典例15】．甲、乙两人分别从相距千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度比乙快2千米/时，经过小时相遇，设乙的速度为x千米/时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程、速度和时间的关系，结合甲、乙两人的速度关系以及相遇时两人所走路程之和等于两地距离来列方程． 【详解】解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，依题意得 ， 整理得． 跟随训练1．跑步是学校常见的体育锻炼方式，有利于提高学生的身体素质．小悦每秒跑2.4米，小秦每秒跑2.6米，两人绕操场跑道同时同地反向而行，第一次相遇时小秦比小悦多跑16米，第一次相遇他们用了________秒． 【答案】 【分析】本题考查行程问题中的反向相遇问题，解题的核心是利用路程差与速度差的关系建立方程求解．两人同时同地反向而行，到第一次相遇时所用时间相同；已知两人的速度和路程差，根据“路程差＝速度差×相遇时间”这一关系，即可求出相遇时间． 【详解】解：设第一次相遇的时间为秒， 由题意，第一次相遇时小秦比小悦多跑了16米， 可得：， 解得：． 即第一次相遇的时间为秒． 跟随训练2．综合与探究 问题情境：太原古县城坐落于晋阳古城遗址，始建于明洪武八年．其中的古县城城墙是古城的核心标志性建筑，城墙周长约米．某日，小华和小强来到太原古县城开展研学活动，小华和小强相约从古县城城墙上同一起点出发，沿相反的方向步行绕城墙一圈．已知小华步行的平均速度为米/分钟，小强步行的平均速度为米/分钟，小强比小华晚出发2分钟．设小强步行的时间为分钟． 数学思考：（1）在两人行走过程中，小华的路程为_____米，小强的路程为_____米(均用含的代数式表示)； 问题解决：（2）求两人相遇时的值； （3）两人相遇后，小强沿原方向原速度继续步行，小华休息3分钟后掉头按照米/分钟的速度行走，返回出发点后立刻停止运动．从两人相遇到小华回到出发点前，当小华和小强之间的路程为米时，则_____． 【答案】（1）；； （2）； （3）或或 【分析】题目设定在环形路径上两人相向而行，存在时间差，因此在建立路程表达式时需注意起始时间不同．①是代数表达式的构建；②利用总路程相加等于周长求相遇时间；③涉及相遇后的动态变化，包括小华休息和反向行走，（1）小华休息被拉开200米，（2）小华追上小强之前相距200米，（3）小华追上小强后超过200米，需分3情况讨论并建立方程求解． 【详解】（1）解：∵小强步行时间为分钟，且小强比小华晚出发2分钟， ∴小华的步行时间为分钟， 又∵小华的速度为米/分钟，小强的速度为米/分钟， ∴小华的路程为米，小强的路程为米． （2）解：两人反向绕城墙行走，相遇时路程和等于城墙周长米， 可列方程：， 解得：． （3）解：相遇时，小华已行走的路程为(米)， ∵小华休息3分钟后开始以米/分钟的速度行走， ∴小华回到出发点所需总时间为(分钟)， 即当时，小华回到出发点． 相遇后，小华先休息3分钟(即)，此阶段小华不动，小强继续以米/分钟的速度行走，两人之间的距离为米． 当时，解得，符合条件． 小华休息结束后(即)，掉头以米/分钟的速度返回出发点，此时两人同向运动，小华速度米/分钟，小强速度米/分钟， 在时，小强已行走米，即两人初始距离为米． 当两人之间的路程为米时，分两种情况： ①小华未追上小强，距离为米：， 解得，符合条件； ②小华追上小强后，超过米：， 解得，符合条件． 综上，的值为或或． 05 过关•检测 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的识别，根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、不是等式，故不是方程； B、是不等式，不是等式，故不是方程； C、 是等式且含有未知数x，故是方程； D、 是等式但不含未知数，故不是方程． 故选C． 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图②，悦悦将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，一元一次方程，根据题意列出方程，利用方程的思想是解题的关键． 由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出方程即可求解． 【详解】解：由第2列可得和为：， ∴，，， 解得，，， ∴． 故选：A． 3．可以是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等，即可判断是否为该方程的解． 【详解】代入选项A，左边，右边，左边右边，故不是A选项方程的解； 代入选项B，左边==0，右边，左边右边，故不是B选项方程的解； 代入选项C，左边==1，右边，左边右边，故不是C选项方程的解； 代入选项D，左边==4，右边，左边=右边，故是D选项方程的解． 4．若是方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入原方程，解得的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，解得． 5．下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为 0 ），所得结果仍是等式． 【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确，不符合题意； B、若，则，故本选项变形正确，不符合题意； C、当时，依然成立，故本选项变形错误，符合题意； D、若，则，故本选项变形正确，不符合题意． 6．解方程 去分母正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程两边同时乘以2，即可. 【详解】解：去分母，得. 7．若关于x的方程的解为，则 _______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程解的定义将代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 即， ∴， ∴． 8．与的和的倍是，则可用方程表示为______． 【答案】 【详解】解：首先，“与的和”用代数式表示为，再求该和的倍，即给此代数式乘以， 根据题意该结果等于，因此可列方程为． 9．已知是方程的解，则_____ ． 【答案】4 【分析】本题考查方程的解的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据方程的解的定义，将代入原方程求出的值，再利用绝对值的性质计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 10．已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为______． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义及代数式的化简求值，先把方程的解代入方程得到，再将所求代数式变形为含的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴将代入，得， ∴， ∴． 11．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将，，，，，，，填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据题意列出等式，求出的值，然后再利用转化思想求出的值． 【详解】解：由题意得，，即， ∵， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，即， ∴． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原方程可化为， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）， ， ， ， ． 13．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号运算，再移项、合并同类项运算，最后将系数化为1即可； （2）先去分母运算，再去括号运算，然后移项、合并同类项运算，最后将系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （2）解： 去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得： 15．小明在解关于的方程时，误将“”看成了“”，得出的解为，求原方程的解． 【答案】 【分析】先按错解求出a，再代入求出正解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， 将代入得， 解得， 整理得， 将代入得，， 解得． 16．学完一元一次方程解法，老师出了一道解方程题目：，小玲同学的解题步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得 ； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)聪明的你觉得小玲的解答过程正确吗？答：_______（填“是”或“否”）；如果不正确，第_______步（填序号）出现了问题； (2)请你写出该题正确的解答过程． 【答案】(1)否， (2)解题过程见解析 【分析】根据方程的解题步骤分析判断即可． 【详解】（1）由题目中的解题过程可得：小玲的解题过程不正确，在去分母这一步出现了问题； （2）， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为1：． 17．阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 任务： (1)解方程：． (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（）仿照题干作答即可； （）对于形如的方程，等价于或，因此，对于方程，可变形为；因此，解方程 ，只需解与 即可. 【详解】（1）解：根据绝对值的意义，得或， 解得或． （2）解：， 原方程可化为， 由绝对值的意义得：或， 解得或． 18．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定，解答下列问题． (1)下列关于的一元一次方程是“和解方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（）先解方程，再根据“和解方程”的定义判断即可； （）先解关于的一元一次方程，再根据“和解方程”的定义，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由方程，解得：， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 由方程，解得：， ∵， ∴方程是“和解方程”； 故：③是“和解方程”． （2）解：由方程， 解得． ∵一元一次方程是“和解方程”， ∴， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $