期中检测必考题型（一）——因式分解与运用（8大考点13类题型）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练
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内容正文：
期中检测必考题型（一）——因式分解与运用（8大考点13类题型）
目录
【考点一】因式分解的概念判断 1
【题型 1】判断变形是否为因式分解（选择题4题） 2
【考点二】提公因式 3
【题型 2】直接提单项式公因式（填空题4题） 3
【题型 3】整体提公因式（填空题4题） 4
【考点三】平方差公式分解因式 6
【题型 4】直接平方差公式分解因式（填空题4题） 6
【题型 5】先提取公因式，再平方差分解因式（填空题4题） 7
【考点四】完全平方公式分解因式 8
【题型 6】直接用完全平方公式分解因式（填空题4题） 8
【题型 7】先提取公因式，再完全平方公式分解因式（填空题4题） 9
【考点五】综合分解因式 11
【题型 8】提取公因式与乘法公式综合（解题题6题） 11
【考点六】因式分解化简求值 15
【题型 9】整体代入求值（填空4题） 15
【题型 10】利用因式分解化简求值（解答题4题） 17
【考点七】因式分解与几何、整除题型 20
【题型 11】因式分解的应用——求边长、面积 20
【题型 12】因式分解的应用——证明代数式能被整除、最值问题（综合压轴题4题） 24
【考点八】因式分解延伸与拓展——十字相乘法与分组分解法 28
【题型 13】十字相乘法与分组分解综合 28
【考点一】因式分解的概念判断
【易错点】（1）因式分解与整式乘法混淆；（2）整式之间不是“整式乘积”形式；（3）有分式、根式出现。
【题型 1】判断变形是否为因式分解（选择题4题）
1．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．
【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解；
B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解；
C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解；
D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是整式乘法
C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解
【答案】C
【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可．
【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法．
综上，①是因式分解，②是整式乘法．
3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式的积的形式．
【详解】解：A、右边含分式，不是整式；
B、左边是单项式，不是多项式；
C、满足定义；
D、是整式乘法；
故选：C．
4．（24-25八年级上·北京海淀·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不符合题意；
B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意；
C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意；
D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意；
故选：C．
【考点二】提公因式
【易错点】（1）首项为负，没有先提负号；（2）某项提完公因式剩“1”，容易漏掉；（3）与符号处理错误。
【题型 2】直接提单项式公因式（填空题4题）
1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）分解因式：______．
【答案】
【分析】利用提取公因式法因式分解解题即可．
【详解】解：原式．
2．（25-26八年级上·福建南平·期末）因式分解：________．
【答案】
【详解】解：.
3．（2025·江苏南通·中考真题）分解因式_______________．
【答案】
【分析】可利用提取公因式的方法对式子进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握如何准确找出多项式各项的公因式是解题的关键．
【详解】解：
故答案为： ．
4．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）分解因式：___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了本提公因式法分解因式，把多项式中各项的公因式提出来即可．
【详解】解：．
故答案为： ．
【题型 3】整体提公因式（填空题4题）
1．（2024·江苏南京·一模）分解因式：_________．
【答案】
【分析】本题考查利用提公因式法分解因式，解题的关键是把把看成一个整体．
【详解】解：，
故答案为：．
2．（25-26八年级下·全国·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为_____．
【答案】
【分析】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式．
【详解】解：
提取公因式后，另一个因式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再完成提取，从而确定另一个因式．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解：
（1）______； （2）______．
【答案】
【分析】根据多项式的结构特征，运用提公因式法进行因式分解．
【详解】解：(1)
；
(2)
4．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______．
【答案】
【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故答案为：．
【考点三】平方差公式分解因式
【易错点】（1）没有写成；（2）分解不彻底。
【题型 4】直接平方差公式分解因式（填空题4题）
1．（2026·陕西咸阳·一模）因式分解：______
【答案】
【详解】解：．
2．（2026·浙江宁波·一模）分解因式：________．
【答案】
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
3．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）因式分解：_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法及平方差公式是解题的关键．先利用平方差公式分解为两个二次因式的乘积，再对其中一个因式应用平方差公式分解即可得答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
4．（2023八年级·福建泉州·竞赛）因式分解：______．
【答案】
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，首先把看成，利用平方差公式分解因式可得：原式，再把看成，继续利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【题型 5】先提取公因式，再平方差分解因式（填空题4题）
1．（2026九年级下·北京·专题练习）分解因式：______．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式=．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________．
【答案】
【分析】先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）．
3．（25-26八年级上·重庆·期末）因式分解：________．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．先提取公因式，再对二次项应用平方差公式进行因式分解
【详解】解：
．
故答案为：．
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）因式分解：______．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，将原式提取后，再运用平方差公式进行因式分解即可，掌握提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
【考点四】完全平方公式分解因式
【易错点】（1）不能准确识别完全平方式；（2）符号首尾一致，容易写错。
【题型 6】直接用完全平方公式分解因式（填空题4题）
1．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）分解因式：_______．
【答案】/
【分析】本题考查公式法分解因式，观察多项式结构符合完全平方公式的形式，运用完全平方公式分解即可.
【详解】由题意得，根据完全平方公式可得：
.
2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解：________．
【答案】/
【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： _____________
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．把看作是整体，利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：
4．（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解：_______．
【答案】/
【分析】本题考查了公式法进行因式分解，先展开表达式，再应用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【题型 7】先提取公因式，再完全平方公式分解因式（填空题4题）
1．（2025九年级下·黑龙江·专题练习）把多项式分解因式的结果是________．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
2．（2026九年级·全国·专题练习）（1）分解因式：_______．
（2）分解因式的结果是_______．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
（1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解．
【详解】（1）解：
故答案为：；
（2）解：
故答案为：．
3．（25-26九年级下·北京·开学考试）分解因式：________．
【答案】
【分析】先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
4．（2023·山东东营·模拟预测）分解因式：_______．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
【考点五】综合分解因式
解题步骤：一提（公因式），二套（公式），三查（是否分解彻底）
【易错点】（1）分解不彻底；（2）步骤跳步导致错误。
【题型 8】提取公因式与乘法公式综合（解题题6题）
1．（23-24八年级上·北京西城·期末）分解因式
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
（）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可；
（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．（25-26八年级上·福建莆田·月考）因式分解：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，思路是“先提公因式，再用公式法”，注意检查分解是否彻底．
先提取公因式，然后再用公式法求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
3．（2026八年级上·江苏·专题练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】本题考查提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式是解题的关键．
（1）两次利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
4．（2026八年级上·江苏·专题练习）分解因式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) (2) (3)
【分析】本题考查因式分解的方法，提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
（1）运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，再用十字相乘法进行因式分解即可；
（3）按照题目结构先使用完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
5．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）先利用平方差公式分解，再合并同类项，最后提公因式即可；
（2）先合并同类项，再提公因式即可分解；
（3）利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
6．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】根据提取公因式，完全平方公式以及平方差公式，使用合适的方法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【考点六】因式分解化简求值
【易错点】（1）直接代入求值；（2）符号、括号处理错误。
【题型 9】整体代入求值（填空4题）
1．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）若，则的值为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了整体代入法求代数式的值，由已知条件可得，将所求代数式进行因式分解后代入计算．
【详解】解：，
，
．
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·山东德州·月考）若实数x满足，则代数式的值为___________．
【答案】7
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据题意可得，把所求式子可变形为，代入得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：7．
3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值为______．
【答案】6
【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过因式分解将原式化为 ，再代入已知条件计算．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：6．
4．（2025·江苏泰州·三模）如果，那么______．
【答案】9
【分析】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解．
【详解】解：，
∵
∴，
∴，
∴
，
故答案为：9．
【题型 10】利用因式分解化简求值（解答题6题）
1．已知，．求值：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，分解因式，正确计算是解题的关键．
（1）把所求式子分解因式得到，据此利用整体代入法求解即可；
（2）先根据多项式乘以多项式的计算法则把所求式子去括号，然后变形为，据此利用整体代入法求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
2．先因式分解，然后计算求值：
（1），其中，；
（2），其中，．
【答案】（1），9；（2）ab，．
【分析】（1）先根据完全平方公式分解因式，再代数求值即可；
（2）先根据平方差公式分解因式，再代数求值即可．
【详解】解：（1）当，时，；
（2）当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了分解因式，能根据公式正确分解因式是解此题的关键．
3．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题．
．
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
(2)分解因式：．
(3)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ．（n为正整数）
【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)，
【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键．
（1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案；
（2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案；
（3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案．
【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）解：
；
（3）解：
，
故需应用上述方法次，结果是，
故答案为：，．
4．（23-24八年级上·山东东营·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【答案】(1)； (2)．
【分析】（）将看成整体，令代入原式即可求解；
（）将看成整体，令代入原式即可求解；
本题考查了整体代入的思想，运用完全平方公式因式分解，整体代入是解题的关键．
【详解】（1）设，
则原式，
，
把代入得，
原式，
；
（2）设，
则原式，
，
，
把代入得，
原式，
，
．
【考点七】因式分解与几何、整除题型
【易错点】（1）题意理解不到位；（2）证明格式不规范。
【题型 11】因式分解的应用——求边长、面积
1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，因式分解的应用，根据题意分别求得和，进而根据关系式得出，进而求得出的值．
【详解】解：根据题意，得，，且，
又∵，
故，
解得．即a的值为．
故选：D．
2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，中，，，，将沿方向平移b个单位得（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设交于点G，若的面积比的大8，则代数式的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了平移的性质，整式的乘法，因式分解，解题的关键在于根据得到．由平移的性质可知，，进而根据的面积比的大8，推出，再结合长方形与三角形面积公式求解，即可解题．
【详解】解：，，，将沿方向平移b个单位得，
由平移的性质可知，，
的面积比的大8，
即，
，
即，
，
，
故答案为：．
3．（23-24七年级下·山东青岛·月考）探究及应用：
（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是______；
（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是______．
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．
运用你所得到的公式，计算：
（4）
（5）
（6）若，，求．
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）利用等面积法建立等式就可得出公式；
（4）把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算；
（5）把原式化为，利用平方差公式就可方便简单的计算；
（6）根据平方差公式，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；
（2）解：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是；
（3）解： ；
（4）解：
；
（5）解：；
（6）解：，
，
又，即，
．
4．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）如图，一个大正方形边长为，从中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积可表示为阴影部分．
(1)写出阴影部分面积的代数式；
(2)将该代数式分解因式；
(3)若，求阴影部分面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值以及因式分解，能够通过图形列出代数式是解题关键；
（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解即可；
（3）将代入（2）中的结果计算即可．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积为：，小正方形的面积为：，
∴阴影部分面积为：；
（2）解：；
（3）解：当时，，
∴阴影部分的面积为．
【题型 12】因式分解的应用——证明代数式能被整除、最值问题（综合压轴题4题）
1．（2026八年级下·江苏·专题练习）设n为正整数，且能被57整除，证明：是57的倍数．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查了因式分解的应用，运用因式分解的方法简化运算．
由能被57整除可设（m为正整数），即，根据幂的乘方和提公因式得，于是可得到是57的倍数．
【详解】证明：能被57整除，
设（m为正整数），即，
，
是57的倍数．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：．
(2)因式分解：．
(3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)(2)(3)见解析
【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力．
（1）将看作整体，利用完全平方公式因式分解即可得；
（2）将看作整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得；
（3）先计算得，再将看作整体因式分解得原式，继而由为正整数可得结论．
【详解】（1）解：将“”看成整体，令，
则原式，
再将“”还原，原式；
（2）解：将“”看成整体，令，
则原式，
再将“”还原，原式；
（3）解：证明：原式
，
为正整数，
为正整数，
式子的值一定是某个整数的平方．
3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；也可以表示成，一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作．
（1）能被9整除吗？请说明理由；
（2）小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
小明的证明思路
因为 ①
②
③
又因为代数式③，都能被3整除，
所以能被3整除
(1)能被9整除吗？请说明理由；
(2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
【答案】(1)能被9整除，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握数的整除的方法是解题的关键．
（1）根据给定的运算可表示出：，即可得证；
（2）根据，结合已知条件即可证得．
【详解】（1）解：能被9整除，理由为：
，
能被9整除；
（2）解：
，
，都能被3整除，
就能被3整除，
故答案为：；；．
4．（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考
阅读下面的材料，并解决问题．
借助因式分解解决整除问题
一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除．
受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下：
证明：．
为正整数，一定能被3整除．
能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除．
问题解决
(1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________．
A．8 B．10 C．14 D．17
(2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除．
(3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值．
【答案】(1)C (2)见解析 (3)2
【分析】本题主要考查了因式分解的应用（平方差公式、提取公因式法），熟练掌握因式分解的方法并结合整数的性质分析因数是解题的关键．
（1）对因式分解，分析其因数，匹配选项；
（2）先对用平方差公式因式分解，再化简，分析其是否含24的因数；
（3）先因式分解，化简后根据能被36整除的条件，求n的最小值．
【详解】（1）解：
，
∵是正整数，是整数，
∴一定能被14整除，
故答案为：C；
（2）解：
，
∵是正整数，和是连续整数，
∴能被2整除，
∴能被整除，即能被24整除；
（3）解：，
∵能被36整除，
∴是整数，
即能被3整除，
∵是正整数，和是连续整数，
∴当时，能被3整除，
故的最小值为：2．
【考点八】因式分解延伸与拓展——十字相乘法与分组分解法
【易错点】（1）理解不到位；（2）应用不熟悉。
【题型 13】十字相乘法与分组分解综合
1．（23-24八年级上·重庆·期中）阅读下列材料：
由整式的乘法运算知：．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可知可把中的看作是未知数，，，，看作常数的二次三项式；通过观察，可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2．
则．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法因式分解：；
（2）用十字相乘法因式分解：；
（3）已知，若、均为整数，则满足条件的整数有几个？并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3），8，15，24，35，48，63，80，99，120，143，168，195，共13个．理由见解析．
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可；
（2）原式先利用十字相乘法分解因式，再提公因式和平方差公式分解因式即可；
（3）先把右边的两个因式相乘，根据左右各对应项的系数相等即可求得n的值．
【详解】（1）
（2）
（3）∵，
∴，
∴，，∴，
∴，∴，
∴，
∵、均为整数，∴为整数，
∴，8，15，24，35，48，63，80，99，120，143，168，195，共13个．
【点睛】本题主要考查了因式分解-十字相乘法、提公因式和平方差公式分解因式，理解十字相乘的方法是解答的关键．
2．（23-24八年级·湖南长沙·开学考试）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式：．
解：原式第1步：拆项法，将拆成和
第2步：分组分解法，通过添括号进行分组
第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)
第4步：提公因式法(整体)；
第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底
(1)请你试一试分解因式：；
(2)请你试一试在实数范围内分解因式：．
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
（1）根据题意原式可化为，再提取公因式可得，再应用平方差公式进行分解因式可得，再提取公因式可得，可化为，应用十字相乘法进行分解因式即可得出答案；
（2））原式可化为再提取公因式可得，再提取公因式可得，再应用实数范围内分解因式即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；
_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解题的关键．
（1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解；
（2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解；
（3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式；
（2）解：，前两项为一组，后一项为一组，
∴原式，
，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组，
∴原式，
故答案为：，．
（3）解：
．
4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践
【阅读材料，掌握知识】
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究：
分解因式：
解法一：
解法二：
小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．
【理解知识，尝试应用】
（1）因式分解：；
【提炼思想，拓展应用】
（2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】
(1) (2) 等腰三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键．
(1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解；
(2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状.
【详解】（1）解：
原式
（2）∵
∴
∵三角形的三边长分别是，，
∴
∴即
∴这个三角形是等腰三角形.
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期中检测必考题型（一）——因式分解与运用（8大考点13类题型）
目录
【考点一】因式分解的概念判断 1
【题型 1】判断变形是否为因式分解（选择题4题） 2
【考点二】提公因式 2
【题型 2】直接提单项式公因式（填空题4题） 2
【题型 3】整体提公因式（填空题4题） 2
【考点三】平方差公式分解因式 3
【题型 4】直接平方差公式分解因式（填空题4题） 3
【题型 5】先提取公因式，再平方差分解因式（填空题4题） 3
【考点四】完全平方公式分解因式 3
【题型 6】直接用完全平方公式分解因式（填空题4题） 3
【题型 7】先提取公因式，再完全平方公式分解因式（填空题4题） 4
【考点五】综合分解因式 4
【题型 8】提取公因式与乘法公式综合（解题题6题） 4
【考点六】因式分解化简求值 5
【题型 9】整体代入求值（填空4题） 5
【题型 10】利用因式分解化简求值（解答题4题） 5
【考点七】因式分解与几何、整除题型 6
【题型 11】因式分解的应用——求边长、面积 6
【题型 12】因式分解的应用——证明代数式能被整除、最值问题（综合压轴题4题） 7
【考点八】因式分解延伸与拓展——十字相乘法与分组分解法 9
【题型 13】十字相乘法与分组分解综合 9
【考点一】因式分解的概念判断
【易错点】（1）因式分解与整式乘法混淆；（2）整式之间不是“整式乘积”形式；（3）有分式、根式出现。
【题型 1】判断变形是否为因式分解（选择题4题）
1．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是整式乘法
C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解
3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级上·北京海淀·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点二】提公因式
【易错点】（1）首项为负，没有先提负号；（2）某项提完公因式剩“1”，容易漏掉；（3）与符号处理错误。
【题型 2】直接提单项式公因式（填空题4题）
1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）分解因式：______．
2．（25-26八年级上·福建南平·期末）因式分解：________．
3．（2025·江苏南通·中考真题）分解因式_______________．
4．（24-25九年级下·安徽安庆·月考）分解因式：___________．
【题型 3】整体提公因式（填空题4题）
2．（25-26八年级下·全国·周测）把多项式提取公因式后，另一个因式为_____．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解：
（1）______； （2）______．
4．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______．
【考点三】平方差公式分解因式
【易错点】（1）没有写成；（2）分解不彻底。
【题型 4】直接平方差公式分解因式（填空题4题）
1．（2026·陕西咸阳·一模）因式分解：______
2．（2026·浙江宁波·一模）分解因式：________．
3．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）因式分解：_____．
4．（2023八年级·福建泉州·竞赛）因式分解：______．
【题型 5】先提取公因式，再平方差分解因式（填空题4题）
1．（2026九年级下·北京·专题练习）分解因式：______．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________．
3．（25-26八年级上·重庆·期末）因式分解：________．
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）因式分解：______．
【考点四】完全平方公式分解因式
【易错点】（1）不能准确识别完全平方式；（2）符号首尾一致，容易写错。
【题型 6】直接用完全平方公式分解因式（填空题4题）
1．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）分解因式：_______．
2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解：________．
3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： _____________
4．（2026七年级下·北京·专题练习）因式分解：_______．
【题型 7】先提取公因式，再完全平方公式分解因式（填空题4题）
1．（2025九年级下·黑龙江·专题练习）把多项式分解因式的结果是________．
2．（2026九年级·全国·专题练习）（1）分解因式：_______．
（2）分解因式的结果是_______．
3．（25-26九年级下·北京·开学考试）分解因式：________．
4．（2023·山东东营·模拟预测）分解因式：_______．
【考点五】综合分解因式
解题步骤：一提（公因式），二套（公式），三查（是否分解彻底）
【易错点】（1）分解不彻底；（2）步骤跳步导致错误。
【题型 8】提取公因式与乘法公式综合（解题题6题）
1．（23-24八年级上·北京西城·期末）分解因式
(1)； (2)．
2．（25-26八年级上·福建莆田·月考）因式分解：
(1) (2)
3．（2026八年级上·江苏·专题练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
4．（2026八年级上·江苏·专题练习）分解因式：
(1)
(2)
(3)
5．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
6．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【考点六】因式分解化简求值
【易错点】（1）直接代入求值；（2）符号、括号处理错误。
【题型 9】整体代入求值（填空4题）
1．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）若，则的值为_______．
2．（25-26八年级上·山东德州·月考）若实数x满足，则代数式的值为___________．
3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值为______．
4．（2025·江苏泰州·三模）如果，那么______．
【题型 10】利用因式分解化简求值（解答题4题）
1．已知，．求值：
(1) (2)
2．先因式分解，然后计算求值：
（1），其中，；
（2），其中，．
3．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题．
．
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
(2)分解因式：．
(3)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ．（n为正整数）
4．（23-24八年级上·山东东营·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【考点七】因式分解与几何、整除题型
【易错点】（1）题意理解不到位；（2）证明格式不规范。
【题型 11】因式分解的应用——求边长、面积
1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．4
2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，中，，，，将沿方向平移b个单位得（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设交于点G，若的面积比的大8，则代数式的值为________．
3．（23-24七年级下·山东青岛·月考）探究及应用：
（1）如左图，可以求出阴影部分的面积是______；
（2）如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是______．
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．
运用你所得到的公式，计算：
（4）
（5）
（6）若，，求．
4．（25-26八年级上·天津蓟州·月考）如图，一个大正方形边长为，从中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积可表示为阴影部分．
(1)写出阴影部分面积的代数式；
(2)将该代数式分解因式；
(3)若，求阴影部分面积．
【题型 12】因式分解的应用——证明代数式能被整除、最值问题（综合压轴题4题）
1．（2026八年级下·江苏·专题练习）设n为正整数，且能被57整除，证明：是57的倍数．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：．
(2)因式分解：．
(3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方．
3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；也可以表示成，一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作．
（1）能被9整除吗？请说明理由；
（2）小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
小明的证明思路
因为 ①
②
③
又因为代数式③，都能被3整除，
所以能被3整除
(1)能被9整除吗？请说明理由；
(2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
4．（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考
阅读下面的材料，并解决问题．
借助因式分解解决整除问题
一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除．
受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下：
证明：．
为正整数，一定能被3整除．
能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除．
问题解决
(1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________．
A．8 B．10 C．14 D．17
(2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除．
(3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值．
【考点八】因式分解延伸与拓展——十字相乘法与分组分解法
【易错点】（1）理解不到位；（2）应用不熟悉。
【题型 13】十字相乘法与分组分解综合
1．（23-24八年级上·重庆·期中）阅读下列材料：
由整式的乘法运算知：．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可知可把中的看作是未知数，，，，看作常数的二次三项式；通过观察，可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2．
则．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法因式分解：；
（2）用十字相乘法因式分解：；
（3）已知，若、均为整数，则满足条件的整数有几个？并说明理由．
2．（20-21八年级·湖南长沙·开学考试）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式：．
解：原式第1步：拆项法，将拆成和
第2步：分组分解法，通过添括号进行分组
第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)
第4步：提公因式法(整体)；
第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底
(1)请你试一试分解因式：；
(2)请你试一试在实数范围内分解因式：．
3．（21-22八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
_____________；
_____________．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践
【阅读材料，掌握知识】
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究：
分解因式：
解法一：
解法二：
小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．
【理解知识，尝试应用】
（1）因式分解：；
【提炼思想，拓展应用】
（2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
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