综合专题03 立体几何初步全章31题型（期中复习专项训练）高一数学下学期人教A版

扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03立体几何初步 题型归纳·内容导航 题型1空间几何体的结构特征 题型17面面平行证明线线平行 题型2空间几何体的展开图及最短距离问题 题型18面面平行证明线面平行 题型3空间几何体的截面问题 题型19证明线面垂直 题型4立体图形的直观图 题型20线面垂直证明线线平行 题型5空间几何体的表面积 题型21线面垂直证明线线垂直 题型6空间几何体的体积 题型22证明面面垂直 题型7多面体与球体外接问题 题型23面面垂直证线面垂直 题型8多面体与球体内切问题 题型24求异面直线所成的角 题型9平面的基本性质及推论 题型25由异面直线所成的角求其他量 题型10平面分空间的区域数量 题型26求线面角 题型11空间点共线、点（线）共面问题 题型27由线面角的大小求值 题型2空间点、直线、平面之间的位置关系 题型28求二面角 题型13证明线面平行 题型29由二面角大小求线段长度或距离 题型14由线面平行的性质判断线段比例或点所在的 题型30由二面角大小求线线角或线面角 位置 题型15由线面平行求线段长度 题型31求点面距离 题型16证明面面平行 题型通关·靶向提分 题型1空间几何体的结构特征 1.(25-26高二上·上海浦东新·期中)下列命题是假命题的个数是：() (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； (2)有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； 1/246 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形： (4)所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【分析】(1)(2)(3)(4)均可举出反例 【详解】(1)如图1，几何体满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， B D 图1 显然不是棱柱，故(1)错误； (2)如图2，几何体满足两侧面ABB,A,DCC,D,与底面垂直，但不是直棱柱，(2)错误； D 图2 (3)如图3，四边形ACC,A,为矩形， B A D 图3 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，(3)错误； (4)所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，(4)错误. 故选：A 2.(23-24高一下·天津滨海新·期中)下列命题中错误的序号是 2/246 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱， ②用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫棱锥 ④圆柱的母线与它的轴可以不平行 ⑤一个多面体至少有3个面 ⑥底面是正方形的四棱柱是正方体 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】利用棱柱、棱锥、圆柱的结构特征逐一判断各个命题即得 【详解】对于①，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面 体叫做棱柱，①错误； 对于②，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，②错误； 对于③，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，③错误； 对于④，圆柱的母线与它的轴平行，④错误； 对于⑤，一个多面体至少有4个面，⑤错误； 对于⑥，底面是正方形，且侧棱长与底面边长相等的直四棱柱是正方体，⑥错误， 所以错误命题的序号是①②③④⑤⑥ 故答案为：①②③④⑤⑥ 3.(24-25高一下·广西钦州期末)下列命题中正确的是() A.正四棱锥的侧面都是正三角形 B.直四棱柱是长方体 C.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 【答案】D 【分析】由正四棱锥，直四棱柱，圆锥，圆台结构特征结合题意可得答案 【详解】对于A,正四棱锥的侧面不一定是正三角形，可能是等腰三角形，故A错误； 对于B,若直四棱柱的上下底面不是矩形，则不一定是长方体，故B错误 对于C,以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故 C错误； 对于D,由圆台定义可得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故D正确 3/246 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 4.(25-26高二上·四川达州期中)下列几何体中，棱的条数是面的个数的2倍的是() A.平行六面体B.三棱锥 C.五棱柱 D.六棱台 【答案】A 【分析】分别计算各几何体棱的条数和面的个数可得 【详解】平行六面体有6个面，12条棱，符合题意，所以A正确； 三棱锥有4个面，6条棱，不符合题意，所以B不正确： 五棱柱有7个面，15条棱，不符合题意，所以C不正确： 六棱台有8个面，18条棱，不符合题意，所以D不正确 故选：A 5.(25-26高二上·辽宁抚顺期中)九棱柱的棱数为() A.10 B.18 C.24 D.27 【答案】D 【分析】根据棱柱的特征得到答案 【详解】九棱柱上下底面均为九边形，侧棱有9条，故棱数为9+9+9=27. 故选：D 6.(24-25高一下·陕西期中)一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是() A.三棱锥 B.四棱柱 C.三棱台 D.五棱锥 【答案】C 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的结构特性，即可得出每个几何体的面数 【详解】三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成. 故选：C 7.(24-25高一下·安微合肥·期中)从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法 称为一笔画”下列几何体可以“一笔画的是() B 4/246 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 【答案】C 【分析】根据题意结合图形可得答案 【详解】根据题意，从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”， 从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，只要是偶点组成的图形一定可以一笔画，C选项正确： 从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，只要是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶 点才可以一笔画， 而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画 故选：C 8.(24-25高一下·吉林长春期中)如图所示，长方体ABCD-A'B'CD'被平面EHGF截成两个几何体，点 E、H分别在棱A'B'、D'C'上，点F、G分别在棱B'B、C'C上，且EH∥B'C'∥FG,则截得的两个几何体分 别是() D' A D B A.三棱柱和五棱柱B.三棱台和五棱柱C.三棱柱和五棱台D.三棱台和五棱台 【答案】A 【分析】由题意可证四边形EB'C'H为平行四边形，再根据棱柱的定义可知选择A. 【详解】在长方体ABCD-A'B'CD',EH∥B'C',又EB'IIHC', 所以四边形EB'C'H为平行四边形，同理四边形FB'C'G、FEHG都是平行四边形， 又平面EFB'II平面HGC',故多面体EFB-HGC为三棱柱， 同理多面体EFBAA'-HGCDD'为五棱柱， 故选A 9.(25-26高三上·广东揭阳期中)设一个简单几何体2的棱数与面数之和为a(2).用Y.表示正n(n≥3)棱 台，平.表示正(n≥3)棱锥，则() 5/246 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.a(平4=a(Y3】 B.存在Ψn,使得a(Ψn)=a(Y6 C.a(Ψ4>a(Y; D.存在Ψn,使得a(平n)=a(Y;】 【答案】D 【分析】根据新定义结合棱锥及棱台的棱数与面数计算判断各个选项即可 【详解】用Yn表示正n(n≥3)棱台，Ψn表示正n≥3)棱锥， a(Ψ4)=8+5=13，a(Y,=9+5=14,A选项错误： a(Ψm)=2n+(n+1=3n+1,a(Y6=18+8=26,要使得a(Ψn=a(Y6),所以n= 3 不符合题意，B选项错 误； a(Ψ4=8+5=13，a(Y,）=9+5=14,C选项错误； 存在Ψ，，使得a(Ψ，=2×7+(7+1=22，a(Y;=15+7=22,D选项正确； 故选：D 题型2空间几何体的展开图及最短距离问题 10.(25-26高二上·上海期中)如图，长方体ABCD-A,BCD,中，AB=3,BC=4,A4=6,点M为线 段CC,上的动点，则线段B,M+AM的最小值为 D B A B 【答案】3√13 【分析】连接AC,AC,将矩形BCCB,绕CC,旋转到与矩形ACC,A,在同一平面，连接AB,与CC,交于点M时， AB,即为B,M+AM的最小值，进而求解即可 6/246 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】连接AC,AC,将矩形BCC,B,绕CC,旋转到与矩形ACC,A在同一平面，如下图， C B C B 连接AB,与CC,交于点M时，AB,即为B,M+AM的最小值， 由题意，AC=5,BC=4,BB,=6,则AB=9, 所以AB=V92+62=3V3 故答案为：3√3 11.(23-24高二上·上海浦东新·期中)如图，己知正三棱柱ABC-AB,C的底面边长为1，高为3，一质点 自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A的最短路线的长为()· A.6 B.35 C.32 D.310 【答案】B 【分析】将正三棱柱侧面展开，转化为两点之间的距离求解 【详解】将正三棱柱沿A4展开两次，得下图： A B C A B C A 最短路线即为大矩形的对角线的长，为√2+62=√45=3√5 故选：B 12.(25-26高二上上海松江·月考)如图，己知正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,P为线段BC1上一点， 7/246 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Q为平面ABCD内一点，则DP+PQ的最小值是() D C D B A.2+√2 B.1+√2 C.2+2V2 D.5 【答案】A 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案 【详解】 0 C D C A B (P) D (Q) B B 当PQ⊥BC,即可得PQ⊥平面ABCD,此时PO是最小距离， 然后把平面ABC,D,与平面BCC展开成共面， 如第二个图：即可得过D作BC的垂线，垂足为Q 此时D,P+PQ≥D,Q,即此时D2取到最小值， 由正方体可知： ∠D,BC+）= √2 sin∠DBQ=sin V21V2V22+2 4 sim∠DBC+2os∠D,BG=2×5+2×5=2g -× 所以D0=D.Bsin∠D,B0=25x2+y2 2v3 2+2 故选：A 13.(24-25高一下，四川成都期末)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,P、Q分别为棱A4,BC的中 点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为() A.11 B.10 C.3 D.22 【答案】D 8/246 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】将正方体沿着不同的方向展开，得到展开图，化曲（折）为直，再利用勾股定理计算可得 【详解】如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，P、Q分别为棱AA,,BC的中点， A D B P D B 按照下列方式展开，PQ=12+(2+1)2=V10: A B C B 按照下列方式展开，PQ=V?+(2+1)2=而； A D P B O 按照下列方式展开，PQ=√2+22=2√2 A P D B B O C 综上所述，最短路径PQ=2√2 故选：D. 14.(24-25高一下·河北邢台期中)正三棱柱ABC-A,B,C的底面边长为1，高为4，在棱BB,CC,上分别 9/246 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 任取点E,F,则AE+EF+FA的最小值为 【答案】5 【分析】把正三棱柱的侧面沿AA,剪开展在同一平面内，利用两点间线段最短求得答案 【详解】将正三棱柱的侧面沿A4剪开展在同一平面内，连接A4',如图， 四边形AAA'A是矩形，且AA=4,AA'=3, 所以AE+EF+FA≥AA'=V32+42=5, 故答案为：5 A ) C B C A' 15.(25-26高三上安徽期中)如图，在正四棱锥S-ABCD中，SA=√13，AB=4,M是棱BC上一动 点，N是棱AD上一点，且AN=3DN,则两线段SM,MN的长度的和的最小值为() S D M A.35 B.5√2 c.55 D.5+5 【答案】B 【分析】把△SBC沿BC展开后，S,M,N三点共线时，SM+MN最小，计算即可得 【详解】如图，把△SBC沿BC展开，使A,B,S,C,D五点共面 D P 夕 当S,M,N三点共线时，SM+MN的值最小， 由正四棱锥性质可得SB=SA=√3， 10/246专题03 立体几何初步 题型1空间几何体的结构特征 题型17面面平行证明线线平行 题型2空间几何体的展开图及最短距离问题 题型18面面平行证明线面平行 题型3空间几何体的截面问题 题型19证明线面垂直 题型4立体图形的直观图 题型20线面垂直证明线线平行 题型5空间几何体的表面积 题型21线面垂直证明线线垂直 题型6空间几何体的体积 题型22证明面面垂直 题型7多面体与球体外接问题 题型23面面垂直证线面垂直 题型8多面体与球体内切问题 题型24求异面直线所成的角 题型9平面的基本性质及推论 题型25由异面直线所成的角求其他量 题型10平面分空间的区域数量 题型26求线面角 题型11空间点共线、点（线）共面问题 题型27由线面角的大小求值 题型12空间点、直线、平面之间的位置关系 题型28求二面角 题型13证明线面平行 题型29由二面角大小求线段长度或距离 题型14由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型30由二面角大小求线线角或线面角 题型15由线面平行求线段长度 题型31求点面距离 题型16证明面面平行 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 空间几何体的结构特征 1．（25-26高二上·上海浦东新·期中）下列命题是假命题的个数是：（   ） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； （2）有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； （3）过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； （4）所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24高一下·天津滨海新·期中）下列命题中错误的序号是______． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱． ②用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫棱锥 ④圆柱的母线与它的轴可以不平行 ⑤一个多面体至少有3个面 ⑥底面是正方形的四棱柱是正方体 3．（24-25高一下·广西钦州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．正四棱锥的侧面都是正三角形 B．直四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 4．（25-26高二上·四川达州·期中）下列几何体中，棱的条数是面的个数的2倍的是（   ） A．平行六面体 B．三棱锥 C．五棱柱 D．六棱台 5．（25-26高二上·辽宁抚顺·期中）九棱柱的棱数为（    ） A．10 B．18 C．24 D．27 6．（24-25高一下·陕西·期中）一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．五棱锥 7．（24-25高一下·安徽合肥·期中）从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”.下列几何体可以“一笔画”的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图所示，长方体被平面截成两个几何体，点分别在棱上，点分别在棱上，且，则截得的两个几何体分别是（   ） A．三棱柱和五棱柱B．三棱台和五棱柱 C．三棱柱和五棱台 D．三棱台和五棱台 9．（25-26高三上·广东揭阳·期中）设一个简单几何体的棱数与面数之和为.用表示正棱台，表示正棱锥，则（    ） A． B．存在，使得 C． D．存在，使得 题型2 空间几何体的展开图及最短距离问题 10．（25-26高二上·上海·期中）如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________.    11．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为3，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（    ）. A．6 B． C． D． 12．（25-26高二上·上海松江·月考）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 13．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 14．（24-25高一下·河北邢台·期中）正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________． 15．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·云南·期中）已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 17．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 18．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 19．（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    20．（24-25高一下·河北邢台·期中）已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 21．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 22．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B．6 C． D． 题型3 空间几何体的截面问题 23．（22-23高一下·江苏盐城·期中）在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（    ） A．三角形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 24．（25-26高二上·北京·开学考试）用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（    ） A．正三角形 B．梯形 C．直角三角形 D．矩形 25．（24-25高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 26．（24-25高一下·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 27．（23-24高一下·云南昭通·期中）如图，正方体的棱长为1，M，N为和的中点，过点A，M，N的平面去截该正方体，则所得截面图形的周长为______. 28．（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为__________. 29．（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为______. 30．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知正方体的棱长为2，过体对角线的平面分别交棱，于F，E（如下图所示），则四边形面积的最小值为______． 32．（23-24高三上·山东日照·期中）已知正方体每条棱所在直线与平面所成角相等，平面截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为，周长为，则（    ） A．不为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 33．（23-24高二上·四川内江·期中）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为______.    34．（19-20高三上·四川资阳·月考）已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（ ） A． B． C． D． 35．（25-26高三上·安徽·期中）已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．（24-25高一下·山东·期中）已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 37．（2015·浙江台州·三模）如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 题型4 立体图形的直观图 38．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 39．（25-26高二上·四川达州·期中）四边形OABC的直观图为如图所示的矩形，其中，则四边形OABC的周长为__________，面积为__________. 40．（25-26高二上·四川内江·期中）如图所示为一个平面图形采用斜二测画法得到的直观图，其直观图是一个边长为2的菱形，则该平面图形的面积为（   ）    A．4 B． C．8 D． 41．（25-26高二上·上海嘉定·期中）如图，在直角坐标系中，放置一个直角梯形， 用斜二测画法作出的直观图的面积为_______. 42．（25-26高二上·上海·期中）如图，该平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为______. 43．（24-25高一下·天津·期中）如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 44．（21-22高一下·浙江湖州·期中）如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 45．（25-26高二上·上海·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（     ）. A．5 B． C． D．10 46．（21-22高一下·广东梅州·期末）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（20-21高一下·河北保定·期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 48．【多选】（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 49．【多选】（24-25高一下·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 50．【多选】（24-25高一下·广东深圳·期中）水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为的三角形 题型5 空间几何体的表面积 51．（25-26高二上·上海·期中）正四棱锥的底面边长为，高为，则它的表面积为________. 52．（25-26高二上·北京·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，，则该长方体的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 53．（25-26高二上·上海·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 54．（25-26高三上·福建宁德·期中）如图，正方体的棱长为2，则两个三棱锥，的公共部分的表面积为（   ）    A． B． C． D． 55．（25-26高二上·北京·开学考试）一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 56．（2025·陕西西安·一模）若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 58．（24-25高一下·重庆·期中）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ） A．640元 B．512元 C．390元 D．347.5元 59．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（    ） A． B． C． D．3：1 60．（25-26高二上·上海·期中）已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___________． 61．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 62．（25-26高二上·上海·期中）一个圆锥的轴截面的顶角为，过顶点的截面面积的最大值是2，那么此圆锥的侧面积是____________． 63．【多选】（23-24高一下·海南海口·期中）在正四棱台中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台的各个顶点均在球Q的表面上，，则（    ） A．该正四棱台的高为3 B．该正四棱台的侧面面积是 C．球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为 D．动点P的轨迹长度是 64．【多选】（22-23高一下·新疆昌吉·期末）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 题型6 空间几何体的体积 65．（2015·江苏连云港·一模）若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为___________． 66．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）若一圆台上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为7，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 67．（23-24高三上·福建厦门·期中）在正四棱台中，，则该棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 68．（25-26高三上·江苏南京·期中）清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（    ） A． B． C． D． 69．（25-26高二上·云南怒江·期中）如图，这是一个圆台的直观图，该圆台的上底面圆的直径是，下底面圆的直径是，母线长是，则该圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 70．（25-26高二上·四川达州·期中）如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 71．（25-26高二上·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 72．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： (1)半球的半径； (2)半球的表面积和体积． 73．（25-26高二上·四川达州·期中）在正三棱柱中，，以该三棱柱上、下底面的内切圆为底面挖去一个圆柱． (1)求剩余几何体的体积； (2)求剩余几何体的表面积． 74．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 75．（23-24高一下·浙江·期中）如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段的长； (2)求四面体的体积； (3)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 题型7 多面体与球体外接问题 76．（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 77．（25-26高三上·云南楚雄·期中）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 78．（25-26高二上·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 79．（25-26高二上·北京·期中）在三棱锥中，，、、两两垂直，则该三棱锥外接球的体积为（    ）． A． B． C． D． 80．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 81．（25-26高二上·河北邯郸·期中）在底面边长为2的正三棱柱中，，分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 82．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 83．（25-26高二上·宁夏银川·期中）在三棱锥中，，若A，B，C，P都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 84．（25-26高三上·江苏徐州·期中）一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 85．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    86．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 87．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 88．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 89．（24-25高一下·重庆北碚·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，平面，则球的表面积为_________. 90．（24-25高一下·辽宁·期末）已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 91．（24-25高一下·吉林长春·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 92．（24-25高一下·福建三明·期中）已知正三棱台上下底面边长分别为、，高为1，则正三棱台外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 93．（23-24高二下·广西南宁·期中）正四棱台下底面边长为4，上底面边长为2，高为3，则该正棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型8 多面体与球体内切问题 94．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 95．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 96．（24-25高三上·江苏南京·月考）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 97．（24-25高一下·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为________． 98．（24-25高一下·广东·月考）如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆. (1)求圆锥的外接球的表面积； (2)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积. 99．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知圆台存在内切球O（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），圆台的上、下底面半径分别为，（），母线长为，内切球的半径为，若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5:8，设圆台与球的体积分别为，则（   ） A． B． C． D． 100．（2025·云南·模拟预测）若底面边长为6的正三棱柱存在内切球（球与正三棱柱的所有面均相切），则该正三棱柱的体积为（    ） A．27 B．54 C．18 D． 101．（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 102．（25-26高二上·四川内江·期中）在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为___________． 103．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为__________. 104．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）在正四棱台中，是正方形的中心，，，，则（   ） A．平面 B．正四棱台的体积为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．正四棱台存在内切球 105．（2025高三·全国·专题练习）如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 106．（2025·河北·模拟预测）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（   ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C．的取值范围是 D．的最大值为 107．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为______.    108．（24-25高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型9 平面的基本性质及推论 109．（25-26高二上·上海·期中）“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 110．（25-26高二上·北京·期中）设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 111．（25-26高二上·上海杨浦·月考）下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 112．（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 113．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ） A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 题型10 平面分空间的区域数量 114．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（    ）个区块. A． B． C． D． 115．（24-25高一下·广西玉林·期中）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________． 116．（24-25高一下·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 117．（25-26高二上·上海·期中）三个互不相交的平面把空间分成部分，其中，则的最小值为___________． 题型11 空间点共线、点（线）共面问题 118．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 119．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 120．（25-26高二上·上海·月考）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 121．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 122．（24-25高二上·上海·月考）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 123．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 124．（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 125．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 题型12 空间点、直线、平面之间的位置关系 126．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若空间三条直线满足，与相交，则、的位置关系是_____. 127．（25-26高二上·上海浦东新·期中）“两条直线异面”的（   ）条件是“两条直线不相交” A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分且非必要 128．（2023·上海嘉定·一模）如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 129．（25-26高二上·北京·期中）在正方体中，下列直线与异面的是（    ） A． B． C． D． 130．（25-26高二上·北京·期中）已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 131．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条    132．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有_____条    133．（25-26高二上·北京·期中）设是两个不同平面，且直线与平面垂直，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 134．（25-26高二上·上海·期中）已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（    ） A．平面内的所有直线均与直线异面； B．平面内存在与直线垂直的直线； C．平面内存在直线与直线平行； D．平面内所有直线均与直线相交. 135．（20-21高一下·广东茂名·期中）若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（    ） A．平面内的所有直线都与直线异面 B．平面内不存在与直线平行的直线 C．平面内的所有直线都与直线相交 D．直线与平面一定有公共点 136．（25-26高二上·北京·期中）已知平面，两条不重合的直线，.“”是“存在直线，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 137．（24-25高一下·广东清远·期中）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于2，则该直线与这个平面的位置关系是（    ） A．直线在平面内 B．直线平行平面 C．直线与平面相交 D．直线与平面相交或平行 138．（25-26高二上·四川眉山·开学考试）已知两条直线若平面，，则与平面的位置关系是（    ） A．平面 B．平面或平面 C．平面 D．平面或平面 139．（24-25高一下·吉林·期中）已知是两条不同的直线，是平面，若，则可能（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 140．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知直线，异面，则对空间任意一点，都存在过且与，（   ） A．都平行的直线 B．都垂直的直线 C．都平行的平面 D．都垂直的平面 141．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 142．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 143．（25-26高三上·天津·期中）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，则； B．若，，，，，则； C．若，，则，； D．若，，，则； 144．（23-24高一下·北京·开学考试）已知是异面直线，是两个不同的平面，，直线满足，，则（   ） A．，且 B．，且 C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于 145．（25-26高三上·山东德州·月考）在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则 题型13 证明线面平行 146．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 147．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 148．（24-25高一下·广东·期中）如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． (1)求该多面体的体积； (2)求证：平面； (3)判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 149．（24-25高一下·广东·期中）如图，已知圆锥OP的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，点C是底面圆周上异于A，B的一点，D是PB的中点，空间中一点Q满足． (1)证明：平面PQC； (2)设球M与圆锥的侧面和底面均相切，求球M的半径； (3)证明：“平面ABC”是“”的充要条件． 150．（24-25高一下·重庆南岸·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若，证明：． 151．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 152．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 153．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在三棱柱中，，点是的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求三棱柱外接球的表面积. 154．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图，在直三棱柱中，为的中点.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为. (1)求； (2)求证： 平面； (3)求三棱锥的体积. 题型14 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 155．（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 156．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（   ） A． B． C．2 D． 157．（24-25高一下·福建三明·期中）已知正三棱柱的所有棱长都为，点为的中点，过点及直线的平面截这个正三棱柱，则该截面的面积是（   ） A． B． C． D． 158．（22-23高一下·辽宁锦州·月考）已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（    ） A． B． C． D． 题型15 由线面平行求线段长度 159．（20-21高一上·江西景德镇·期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（    ） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 160．（2020·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，且长度的最大值为，最小值为，则（ ） A． B． C． D． 题型16 证明面面平行 161．（2024高一下·全国·专题练习）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   162．（2021高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 163．（24-25高一下·山西忻州·期中）如图所示，正四棱锥S-ABCD中，，．    (1)求正四棱锥S-ABCD的体积； (2)若P为侧棱SD上的点，且，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且，求证：． 164．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 165．（24-25高一下·天津·期中）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 166．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在正方体中，M为的中点． (1)求证：平面； (2)若N为的中点，求证：平面平面； (3)求三棱锥与正方体的外接球半径之比． 题型17 面面平行证明线线平行 167．（24-25高一下·湖南常德·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于点，是线段上一点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面交平面于直线，求证：． 169．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点． (1)证明：平面； (2)过F点作平面平面交于点，交于点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 170．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知正四棱柱中，，，点分别是棱的中点，过三点的截面为． (1)作出截面（保留作图痕迹）； (2)设截面与平面交于直线，且截面把该正四棱柱分割成两部分，记体积分别为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的值． 题型18 面面平行证明线面平行 171．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 172．（24-25高一下·河南洛阳·期中）如图，在四棱锥中，，，，且四点共面.    (1)求证：底面为梯形； (2)是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. 173．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：//平面； (2)求证：； (3)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由. 174．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 175．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图：在正方体中，棱长，M为的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)若为线段上的动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 176．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)若为的中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 题型19 证明线面垂直 177．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 178．（25-26高二上·天津·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 179．（24-25高一下·贵州毕节·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点． (1)求证：平面； (2)求证： 180．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 181．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 182．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 183．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. (3)求证：平面平面. 184．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在圆柱中，圆柱轴截面是一个边长为4的正方形，为弧中点，为中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 题型20 线面垂直证明线线平行 185．（24-25高一下·天津东丽·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、分别是、的中点. (1)求证： ； (2)求证：平面； (3)设与交于点，求证：平面平面 186．（21-22高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型21 线面垂直证明线线垂直 187．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心， (1)求证：； (2)已知平面，且平面．求证：． 188．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面. 189．（24-25高一下·山东淄博·期中）如图，已知矩形中，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 190．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在多面体中，是平面与平面的交线，，且，，． (1)证明：； (2)证明：； (3)若，求多面体的体积． 191．（24-25高一下·吉林·期中）已知四面体，，.如图. (1)证明：； (2)若，求四面体的体积. 192．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转得到的.已知，，P是上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O. (1)求该几何体的表面积； (2)求证：； (3)若M是上的一点，且满足平面平面ABEF，求的值. 193．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 194．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，正方形ABCD中平面是等腰直角三角形，， (1)求证：； (2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：平面BCE. 题型22 证明面面垂直 195．（2026高三·北京·专题练习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 196．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 197．（23-24高一下·四川广安·月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 198．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，正四棱台的高为3，且 (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 199．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 200．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 201．（25-26高一·全国·假期作业）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 202．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 题型23 面面垂直证线面垂直 203．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 204．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 205．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 206．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 207．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 题型24 求异面直线所成的角 208．（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 209．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 210．（24-25高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 211．（24-25高一下·天津·期中）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 212．（23-24高一下·青海西宁·期末）在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_________. 213．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，直三棱柱中，D是的中点，四边形为正方形. (1)若为等边三角形，，直接写出直三棱柱的体积. (2)求证：平面； (3)在第一问的条件下，直接写出异面直线与所成角的余弦值. 214．（24-25高一下·广西南宁·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，分为，的中点，点在线段上，且.求证：平面平面. 215．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，正方体棱长为2，点M，N分别为，CD的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型25 由异面直线所成的角求其他量 216．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 217．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 218．（25-26高二上·河北·月考）在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 219．（24-25高二上·上海·月考）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 题型26 求线面角 220．（24-25高一下·河南·期中）正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 221．（24-25高一下·河北邢台·期中）在直四棱柱中，四边形是菱形，，，是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 222．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 223．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知三棱柱的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 224．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 225．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 226．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 227．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. (1)求证：//平面 (2)求证：平面 (3)求直线与平面所成角的大小. 228．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在圆柱中，圆柱轴截面是一个边长为4的正方形，为弧中点，为中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 229．（24-25高一下·上海·期中）如图，在正方体中，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小. 230．（24-25高一下·湖南·期中）如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 231．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点P是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值． 232．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足． (1)求证：平面； (2)当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积． 题型27 由线面角的大小求值 233．（20-21高一下·湖南株洲·期中）如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点．    (1)求证：； (2)若与平面所成角为，求三棱柱的表面积． 234．（22-23高一下·浙江宁波·期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值. 235．（21-22高一下·广东广州·期中）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积． 题型28 求二面角 236．（2018高一上·全国·专题练习）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（    ）    A．15° B．30° C．45° D．60° 237．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，四边形是边长为2的菱形，.半圆面底面，点为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 238．（2020·江西九江·二模）气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是米，下底面边长是米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（    ）    A． B． C． D． 239．（22-23高一下·云南玉溪·期中）已知球的半径为，平面截球所得的截面的半径均为4，若，则平面与平面的夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 240．（21-22高一下·江苏南通·期中）若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 241．（25-26高二上·四川自贡·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求二面角的正弦值． 242．（24-25高一下·山西忻州·期中）如图，在三棱锥D-ABC中，底面ABC为正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 243．（24-25高一下·吉林长春·期中）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值. 244．（24-25高一下·海南海口·期中）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱SD上，且． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)侧棱SC上是否存在一点，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 245．（24-25高一下·广东深圳·期中）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； 246．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 247．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 题型29 由二面角大小求线段长度或距离 248．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 249．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.    250．（24-25高三上·广东惠州·月考）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：∥平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 题型30 由二面角大小求线线角或线面角 251．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 252．（23-24高一下·福建泉州·月考）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 253．（25-26高二上·广东广州·期末）把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 254．（24-25高二下·上海·月考）正方形中，分别是的中点，为的中点，将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的正切值为_______． 题型31 求点面距离 255．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 256．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 257．（20-21高二上·天津西青·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 258．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 259．（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 260．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 261．（25-26高二上·上海普陀·期中）如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为上的点，点在底面圆上，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. $