第7章幂的运算7.3 同底数幂的除法强化提升专练2025-2026学年苏科版七年级下册数学

7.3 同底数幂的除法强化提升专练 一、同底数幂的除法 核心公式：（其中a≠0，m、n均为正整数，且m>n） 记忆口诀：底数不变，指数相减 易错要点： · 前提条件：底数必须完全相同，且底数不能为0（0的任何正整数次幂为0，0不能作为除数）； · 指数要求：被除数的指数（m）必须大于除数的指数（n），若，则结果可转化为负整数指数幂； · 区分辨析：切勿与同底数幂的乘法、幂的乘方混淆（乘法加指数、乘方乘指数、除法减指数）； · 易错示例：，不可写成或； · 符号处理：若底数为负数，运算时底数保持不变，仅对指数相减，注意负号的保留（如）。 二、易错提醒（重点标注） 1. 运算优先级：若涉及混合运算，先算乘方，再算同底数幂的除法，最后算加减； 2. 底数禁忌：同底数幂除法中，底数不能为0，这是运算的前提，切勿忽略； 3. 指数易错：避免出现“指数相除”“指数相乘”的错误，牢记除法对应“指数相减”； 4. 符号易错：底数为负数时，负号随底数一起参与运算，不单独进行乘方（如）。 二、零指数幂运算 核心公式：（其中） 记忆口诀：非零数的零次幂，结果恒等于1 易错要点： · 前提条件：底数不能为0，无意义； · 形式变化：任何非零数的0次幂都等于1，与指数大小无关（如，）； · 易混点：不要将（）与（为正整数）混淆，前者恒为1，后者随和变化。 三、负整数指数幂运算 核心公式：（其中，为正整数） 记忆口诀：负指数变正指数，底数取倒数 易错要点： · 前提条件：底数不能为0； · 运算步骤：先将负指数转化为正指数，再求底数的倒数（如，）； · 符号处理：负指数只针对底数，若底数有符号需整体取倒数（如，注意与区分）； · 与除法的关系：同底数幂除法中，若，则，结果转化为正指数幂的倒数。 四、易错提醒（重点标注） 1. 运算优先级：若涉及混合运算，先算乘方（含零指数、负指数），再算同底数幂的除法，最后算加减； 2. 底数禁忌：同底数幂除法、零指数幂、负整数指数幂中，底数均不能为0，这是运算的前提，切勿忽略； 3. 指数易错：避免出现“指数相除”“指数相乘”的错误，牢记除法对应“指数相减”，负指数需转化为正指数的倒数； 4. 符号易错：底数为负数时，负号随底数一起参与运算，不单独进行乘方（如）；零指数幂中，负数的零次幂为1，负指数幂中，负数的负指数幂需先整体取倒数再计算。 4. ）。 强化提升专练 一、单选题 1．计算的结果是（  ） A． B． C．1 D． 2．下列各式中，计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ 　 ） A． B． C． D． 4．太阳与地球的平均距离约为米，光在真空中的传播速度约为米/秒，则太阳光传播到地球的时间约为（   ） A．0.5秒 B．5秒 C．50秒 D．500秒 5．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 6．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 7．已知，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 8．定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．计算：_____． 10．把下列分数写成负整数指数幂的形式： （1）_______；     （2）_______；     （3）_______． 11．若，则的值是____ 12．若，，则__． 13．若am=20，bn=20，ab=20，则=______． 14．若，则_________ ． 15．已知实数a，b，c满足，，，则的值为__ ． 16．已知，其中是正整数，那么_____． 17．若整数a，b，c满足，则______． 18．2025年3月，全球首枚三进制芯片的诞生．这项被称为“第三次数学革命”的技术突破，在多维度全面超越传统二进制技术．三进制数的组成数字为0，1，2．我们知道，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，常在数的右下角标明基数，例如，二进制数，三进制数．将二进制数转换为十进制数为：；将十进制数转化为二进制数可以用“除2取余”法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图所示，将式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）．将二进制数化为三进制数为______． 三、解答题 19．计算： 20．已知． (1)求的值； (2)求证：． 21．通常分子的质量和体积都很小，已知1个水分子的质量约是，1滴水（以20滴水为计）中大约有多少个水分子？假设10亿人来数1滴水中的水分子，每人每分数100个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？ 22．某银行去年新增居民存款3亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚，如果将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有多高？（结果用科学记数法表示） (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍总额为3亿元的这种纸币，点钞机大约要点多少天？ 23．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 24．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D D C B A C 1．D 【详解】解：． 故选：D 2．B 【详解】解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项不符合题意； 故选：B． 3．D 【详解】对于选项A：∵ ∴A错误． 对于选项B：∵， ∴B错误． 对于选项C：∵， ∴C错误． 对于选项D：∵，与右边相等， ∴D正确． 故选：D． 4．D 【详解】解：∵太阳到地球的距离约为米，光在真空中的传播速度约为米/秒， ∴太阳光到达地球的时约为：（秒）． 故选：D． 5．C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7．A 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 设，， 则，． ∵， 又， ∴， ∴． ∴． 故选A. 8．C 【详解】解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得，该选项错误，不符合题意； ③由得，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； ④令，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ∴正确的选项有：①③④， 故选：C． 9． 【详解】解：． 故答案为：． 10． （或） （或或） 【详解】（1），故答案为：； （2），故答案为：或； （3），故答案为：或或． 11． 【详解】解：， ， 故答案为：8． 12．9 【详解】，， ． 故答案为：9． 13．1 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 14．或2 【详解】解：分三种情况讨论： （1）当指数为0，底数不为0时，根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂等于1，可得 解得，且，即，符合题意； （2）当底数为1时，1的任意次幂都等于1，可得， 解得，此时，符合题意； （3）当底数为时，， 解得，此时，不符合题意，舍去. 综上，的值为或． 15．2 【详解】解：∵，，， ∴， ∴﹒ 故答案为：2 16．或 【详解】解：， ①∴， 解得： ∴． ②∴， 解得：， ∴． 故答案为：或． 17． 【详解】， 又， ， ， 解得， ． 故答案为． 18． 【详解】解：∵， ∴ ∴将二进制数化为三进制数为． 故答案为： 19． 【详解】原式 20． 【详解】（1）解：， 当时，原式． （2）证明：当时， ， 又， ∴， ∴． 21．1滴水（以20滴水为计）中大约有个水分子，大约需要31773年才能数完． 【详解】解：1滴水的质量为1克克千克， 1滴水中水分子数量为个； 10亿人人， 每分钟计数数量总量为个， 总工作量为个， 总时间为分钟， 分钟年， ∴大约需要31773年才能数完． 22．(1) (2)10天 【详解】（1）解：， 答：将总额为3亿元的这种纸币摞起来，大约有； （2）解：天， 答：点钞机大约要点10天． 23． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 24．1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． $