专题06：长方体和正方体的表面积 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题06：长方体和正方体的表面积 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、表面积的基本概念 1.表面积的定义 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 表面积反映了物体表面覆盖的大小，常用于计算包装纸、油漆、玻璃等材料的用量。 2.长方体和正方体的特征 长方体：有6个面（通常都是长方形，特殊情况下有2个相对的面是正方形），12条棱，8个顶点；相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 正方体：有6个面（都是完全相同的正方形），12条棱（长度都相等），8个顶点；正方体是特殊的长方体。 二、长方体表面积的计算 1.长方体表面积的计算公式 基本公式：长方体的表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 字母表示：S = 2(ab + ah + bh)，其中a表示长，b表示宽，h表示高 展开理解： 上、下两个面的面积和 = 长×宽×2 前、后两个面的面积和 = 长×高×2 左、右两个面的面积和 = 宽×高×2 2.计算步骤 确定长方体的长、宽、高 分别计算三组相对面的面积 将三组面积相加，再乘以2 示例：长0.75m、宽0.5m、高1.6m的长方体表面积 = (0.75×0.5 + 0.75×1.6 + 0.5×1.6) × 2 = 4.375(m²) 3.特殊情况 有两个面是正方形的长方体：正方形的两个面完全相同，其余四个面完全相同 无盖或无底的长方体：计算时需要少算一个面的面积，如无盖鱼缸、无盖纸盒等 三、正方体表面积的计算 1.正方体表面积的计算公式 基本公式：正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 字母表示：S = 6a²，其中a表示正方体的棱长 推导过程：正方体有6个完全相同的正方形面，每个面的面积是棱长×棱长，所以表面积是6倍的单个面面积 2.计算步骤 确定正方体的棱长 计算一个面的面积（棱长×棱长） 将单个面的面积乘以6 示例：棱长6.5cm的正方体表面积 = 6.5×6.5×6 = 253.5(cm²) 四、表面积的单位及换算 1.常用单位 平方米(m²)、平方分米(dm²)、平方厘米(cm²) 相邻单位之间的进率是100：1m² = 100dm²，1dm² = 100cm² 2.单位换算方法 高级单位→低级单位：乘以进率（如1m² = 100dm²） 低级单位→高级单位：除以进率（如100cm² = 1dm²） 注意：在计算表面积时，必须先将单位统一，再进行计算，否则会导致错误 五、实际应用问题 1.无盖物体的表面积计算 无盖长方体：表面积 = 长×宽 + (长×高 + 宽×高) × 2 无盖正方体：表面积 = 棱长×棱长×5 示例：制作一个长5dm、宽4dm、高3dm的无盖长方体布艺收纳盒，需要布料 = (5×4 + 5×3 + 4×3) × 2 - 5×4 = 94 - 20 = 74(dm²) 2.拼接与切割问题 拼接：两个长方体或正方体拼接后，表面积会减少（减少的面积等于拼接面的2倍） 切割：将一个长方体或正方体切割成两部分，表面积会增加（增加的面积等于切割面的2倍） 示例：把两个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少 = 3×3×2 = 18(cm²) 3.实际生活中的应用 粉刷问题：计算需要粉刷的墙面面积（注意：通常不包括地面和门窗） 包装问题：计算需要的包装纸面积（注意：可能需要考虑重叠部分） 制作容器：计算需要的材料面积（注意：是否有盖、是否有底） 六、易错点与注意事项 1.常见易错点 公式运用错误：将表面积公式中的"×2"误写为"×3" 单位换算错误：计算前未统一单位，导致结果错误 忽略特殊情况：未注意到"无盖"、"无底"等条件，多算或少算面的面积 拼接问题理解错误：未考虑拼接后表面积的变化 2.解题技巧 审题要仔细：明确题目要求计算的是几个面的面积 单位要统一：计算前先将所有单位转换为同一单位 画图辅助：对于复杂问题，可画出立体图或展开图帮助理解 检查验证：计算后检查是否符合实际情况（如表面积应大于单个面的面积） 第二部分 典型例题 【例题1】秦始皇兵马俑是第一批全国重点文物保护单位。秦始皇兵马俑博物馆计划打造正方体展示柜来陈列珍贵兵马俑文物复制品，每个展示柜的金属框架棱长总和是36米。给展示柜安装钢化玻璃，每平方米玻璃成本是150元，制作一个展示柜的玻璃需要花费多少元？ 【答案】8100元 【分析】根据题意可知正方体的棱长和为米。正方体的棱长总和＝棱长，因此可以求出正方体的棱长是多少。因为玻璃的价格按每平方米算，所以要先求出正方体的表面积，根据表面积＝棱长×棱长计算。然后用表面积×每平方米玻璃的成本，可以知道要花费多少元。 【详解】（米） （元） 答：制作一个展示柜的玻璃需要花费元。 【例题2】秋季开学之际，学校要粉刷其中一间教室的四壁和屋顶，教室的长、宽、高分别是14米、10米、3米，门窗和黑板的面积有40平方米，需要粉刷的面积有多少平方米？ 【答案】244平方米 【分析】根据题意，粉刷教室的四壁和屋顶，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗和黑板的面积，就是需粉刷的面积。 【详解】14×10＋14×3×2＋10×3×2 ＝140＋84＋60 ＝284（平方米） 284－40＝244（平方米） 答：需要粉刷的面积有244平方米。 【例题3】计算长方体的表面积。 【答案】85cm2 【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】（5×4＋5×2.5＋4×2.5）×2 ＝（20＋12.5＋10）×2 ＝42.5×2 ＝85（cm2） 长方体的表面积是85cm2。 【例题4】计算下面图形的表面积。 （1）            （2） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，带入数据计算即可； （2）长方体上底面少了一个正方形，把上面正方体的上底面移到下底面即可拼成一个完整的长方体的表面积和上面正方体的四个侧面即四个正方形，即用长方体的表面积加上4个正方形的面积即可。 【详解】（1） （2） 【例题5】张大伯准备在院子里靠两面墙搭一个长方体形状的鸡圈。这个鸡圈的长是24分米，宽是6分米，高是12分米。如果给这个鸡圈蒙上一层铁丝网（如下图）至少需要多少平方分米的铁丝网？ 【答案】504平方分米 【分析】从图中可知，长方体鸡圈靠墙的面是长方体的左面和后面，给这个鸡圈蒙上一层铁丝网，则长方体的下面（在地面上）、左面和后面都不用蒙铁丝网，即蒙上铁丝网的是长方体的上面、前面和右面，根据“长×宽＋长×高＋宽×高”，代入数据计算，求出至少需要铁丝网的面积。 【详解】24×6＋24×12＋6×12 ＝144＋288＋72 ＝504（平方分米） 答：至少需要504平方分米的铁丝网。 【例题6】平安小区有一个游泳池，从里面量长40米，宽20米，深1.4米。在游泳池的底面和内壁刷一层防渗水涂料，刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】968平方米 【分析】分析题目，刷涂料的面积等于长方体前后、左右、下面5个面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知，刷涂料的面积＝长×高×2＋宽×高×2＋长×宽，据此列式计算即可。 【详解】40×20＋40×1.4×2＋20×1.4×2 ＝800＋56×2＋28×2 ＝800＋112＋56 ＝968（平方米） 答：刷涂料的面积是968平方米。 【例题7】孔明灯是一种古老的手工艺品，在古代多用于军事。聪聪要做一个长5分米，宽4分米，高9分米的长方体孔明灯。要在孔明灯的五个面上糊纸（底面不糊纸，接缝处忽略不计），聪聪至少需要多少平方分米的纸？ 【答案】182平方分米 【分析】底面不糊纸，求需要的纸的面积相当于求长方体上面、前面、后面、左面、右面，5个面的面积和，需要的纸的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【详解】5×4＋5×9×2＋4×9×2 ＝20＋90＋72 ＝182（平方分米） 答：聪聪至少需要182平方分米的纸。 【例题8】（如图）把一个长为36厘米，宽为20厘米的长方形铁皮的4个角上各剪掉一个边长为5厘米的小正方形后，焊接成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的表面积是多少平方厘米？ 【答案】620平方厘米 【分析】无盖的长方体铁盒，其表面积的计算需要注意与完整长方体表面积的区别。我们可以通过分析原来长方形铁皮的面积以及剪掉的小正方形的面积关系来求解，也可以分别计算无盖铁盒各个面的面积再相加。 方法一：利用原长方形面积减去剪掉的小正方形面积之和计算原长方形铁皮的面积： 根据，原长方形长36厘米，宽20厘米，所以原面积为36×20＝720（平方厘米）。计算剪掉的4个小正方形的面积：每个小正方形边长为5cm，根据正方形面积＝边长×边长，一个小正方形面积是5×5＝25（平方厘米），那么4个小正方形面积就是4×25＝100（平方厘米）。计算无盖铁盒的表面积：因为焊接成无盖铁盒后，表面积等于原长方形铁皮面积减去剪掉的4个小正方形的面积，所以铁盒表面积为720－100＝620（平方厘米）。可列综合算式计算。 方法二：分别计算无盖铁盒各个面的面积再相加。 确定无盖铁盒的长、宽、高：原来长方形长36厘米，剪掉两个5厘米的小正方形边长后，即减掉5×2＝10（厘米）后，铁盒的长为36－10＝26（厘米）。原来长方形宽20厘米，剪掉两个5厘米的小正方形边长后，即减掉5×2＝10（厘米）后，铁盒的宽为20－10＝10（厘米）。铁盒的高就是剪掉的小正方形的边长，即5厘米。计算各个面的面积：底面（长×宽）：26×10＝260（平方厘米）。两个侧面（长×高）：26×5×2＝260（平方厘米）。另外两个侧面（宽×高）：10×5×2＝100（平方厘米）。计算表面积总和：将各个面的面积相加，260＋260＋100＝620（平方厘米）。得出无盖长方体的长和宽之后，可根据乘法分配律列综合算式计算。 【详解】 （平方厘米） 或者： （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：这个铁盒的表面积是620平方厘米。 【点睛】理解无盖长方体表面积的构成，以及准确计算长、宽、高的变化是解题关键。 第三部分 高频真题 1．将一个长方体切成两个小长方体后，表面积总和比原来（    ）。 A．增加 B．减少 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】把一个长方体切成两个小长方体，表面积增加了2个面的面积，据此回答即可。 【详解】把一个长方体切成两个小长方体，表面积增加了2个面的面积，因此表面积总和比原来增加。 2．如图，用4个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积比原来减少了24平方厘米。每个小正方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．8 B．24 C．56 D．64 【答案】B 【分析】先确定减少的小正方体的面数；小正方体每个面的面积＝减少的表面积÷减少的小正方体的面数；每个小正方体的表面积＝小正方体每个面的面积×6。 【详解】4个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积减少了6个小正方体的面。 24÷6＝4（平方厘米） 4×6＝24（平方厘米） 3．夏天雨季即将来临，为了将散落的雨水收集起来，浇灌庄稼。李叔叔打算在地里挖一个长8m，宽4m，深3m的长方体蓄水池，这个蓄水池的占地面积是（    ）m2。 A．24 B．32 C．96 D．136 【答案】B 【分析】求蓄水池的占地面积，蓄水池的占地面积=长×宽，据此解答即可。 【详解】（） 4．把一个表面涂色的正方体木块，每条棱都平均分成4份，切成同样大的小正方体，那么1面涂色的小正方体有（    ）个。 A．36 B．27 C．24 D．8 【答案】C 【分析】每条棱都平均分成4份，一面涂色在每个面的中间，所以有（4－2）×（4－2）×6个，据此解答。 【详解】（4－2）×（4－2）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 1面涂色的小正方体有24个。 5．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长1cm的小正方体（如图），制作这个玻璃鱼缸至少需要（    ）cm2的玻璃。 A．126 B．111 C．96 D．84 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，这个鱼缸的长是6cm，宽是5cm，高是3cm，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高，把数据代入公式解答即可。 【详解】6×5＋6×3×2＋5×3×2 ＝30＋36＋30 ＝66＋30 ＝96（） 制作这个玻璃鱼缸至少需要96的玻璃。 6．用64个棱长为1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中一面涂色的小正方体有（    ）个。 A．24 B．48 C．36 D．8 【答案】A 【分析】因为4×4×4＝64，所以用64个棱长为1cm的小正方体拼成的大正方体的棱长为4cm。一面涂色的小正方体在每个面的中间部分（不在棱上和顶点处）。对于大正方体的每个面，去掉周围一圈（棱上的小正方体），中间部分是一个边长为（4－2）cm的正方形。根据正方形面积公式S＝a×a（a为边长），可得每个面一面涂色小正方体的个数为（4－2）×（4－2）＝2×2＝4个。大正方体有6个面，所以一面涂色小正方体的总个数就是用4乘6计算即可。 【详解】64＝4×4×4 （4－2）×（4－2） ＝2×2 ＝4（个） 大正方体有6个面。 4×6＝24（个） 其中一面涂色的小正方体有24个。 故答案为：A 7．一个长方体纸盒，底面是正方形，它的展开图如下图所示，下列说法错误的是（    ）。 A．底面边长是 B．高是 C．总棱长是 D．表面积大于 【答案】C 【分析】由题意可知，长方体的底面是正方形，说明长方体的长和宽相等，长方体有8条棱的长度相等，剩下4条高的长度相等，图中底面边长是，长方体的高＝－底面边长×2，根据“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”求出这个长方体纸盒的总棱长，长方体6个面的面积之和叫作它的表面积，最后比较表面积与表示面积的大小关系，据此解答。 【详解】 A．观察长方体的展开图可知，底面边长是，题目说法正确。 B． ＝ ＝ ＝ ＝ 所以，长方体纸盒的高是，题目说法正确。 C． ＝ ＝ ＝ ＝ 所以，长方体纸盒的总棱长是，题目说法错误。 D．长方体的表面积等于①②③④⑤⑥的面积之和，把①平移至⑦的位置，③平移至⑧的位置，表示的面积等于④⑤⑥⑦⑧⑨的面积之和，①③④⑤⑥的面积之和等于④⑤⑥⑦⑧的面积之和，而②的面积一定大于⑨的面积，所以①②③④⑤⑥的面积之和大于④⑤⑥⑦⑧⑨的面积之和，即表面积大于，题目说法正确。 故答案为：C 8．在一个正方体木块的六个面上分别刻着“仁、义、礼、智、信、孝”这六个字，如图是这个正方体的展开图。在这个正方体上，与“义”相对的字是“（    ）”。 A．智 B．信 C．孝 D．礼 【答案】C 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：位于同一行或同一列且中间间隔1个正方形的两个面是正方体的相对面；位于“Z”字两端处的两个正方形面是正方体的相对面。据此解答。 【详解】由图可知，“义”和“孝”位于“Z”字两端处，所以与“义”相对的字是“孝”。 故答案为：C 9．把9个棱长是1厘米的小正方体摆在一起（如图）。如果从前面和上面看，所看到的图形面积之和是（    ）平方厘米。 A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】观察可知，从前面可以看到6个小正方形，从上面可以看到5个小正方形，所看到的图形面积之和＝一个小正方形的面积×看到小正方形的总个数，据此解答。 【详解】1×1＝1（平方厘米） （6＋5）×1 ＝11×1 ＝11（平方厘米） 所以，所看到的图形面积之和是11平方厘米。 故答案为：B 10．如图，从长方体木块中挖去一个棱长为1cm的正方体，剩下木块的表面积是（    ）cm2。 A．59 B．52 C．94 D．100 【答案】C 【分析】据图可知，挖去一个棱长是1cm的正方体，则原来长方体的表面积会减少3个边长是1cm的正方形的面，而挖去之后又会增加3个边长是1cm的正方形的面，据此可知剩下木块的表面积就等于原来长方体的表面积，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2列式计算即可。 【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（cm2） 从长方体木块中挖去一个棱长为1cm的正方体，剩下木块的表面积是94cm2。 故答案为：C 11．一个正方体的表面积是54平方分米，它的棱长是( )分米。 【答案】3 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6；代入表面积数值，即可求出棱长。 【详解】54÷6＝9（平方分米） 9＝3×3 所以它的棱长是3分米。 12．一根长方体木料，长4dm，横截面为边长5cm的正方形，锯成3段后，表面积增加了( )cm2。 【答案】100 【分析】锯成3段需要锯2次，每次增加2个横截面，共增加4个横截面。先求出1个横截面的面积，再乘4就是增加的表面积。 【详解】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（cm2） 表面积增加了100cm2。 13．如表所示，李叔叔要从这16根铁丝中选12根焊接成一个长方体框架，并用布糊上六个面。做成的长方体的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2。 铁丝长度 5cm 4cm 2cm 根数 3 8 5 【答案】 40 64 【分析】长方体有4条长、4条宽、4条高，5cm的铁丝只有3根，不能选用，可选4cm的铁丝8根，2cm的铁丝4根，即长方体的长和宽都是4cm，高2cm，根据长方体总棱长＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【详解】棱长总和：（4＋4＋2）×4 ＝10×4 ＝40（cm） 表面积：（4×4＋4×2＋4×2）×2 ＝（16＋8＋8）×2 ＝32×2 ＝64（cm2） 14．爸爸用一根铁丝可以做一个长、宽、高分别为6cm、4cm、2cm的长方体框架，用这根铁丝做一个正方体框架（没有剩余），这个正方体的棱长是( )cm。小新给这个正方体四周贴上纸片（上面和底面不贴），至少需要( )cm2的纸片。 【答案】 4 64 【分析】根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”求出铁丝的长度，再利用“正方体的棱长＝棱长总和÷12”用铁丝长度除以12求出正方体的棱长。根据给这个正方体四周贴上纸片，上面和底面不贴，最后用“棱长×棱长×4”计算需要的纸片的面积。 【详解】 这个正方体的棱长是4cm。 至少需要64cm2的纸片。 15．用长度是72dm的铁丝围成一个长10dm、高3dm的长方体框架，没有剩余，这个框架的宽是( )dm；如果在框架的外面糊上一层纸，需要( )的纸。 【答案】 5 190 【分析】根据题意可知是长方体的棱长和。长方体的棱长和＝（长＋宽＋高），因此根据这个公式反求出宽。在框架的外面糊上一层纸，求纸的面积其实是求长方体的表面积。根据表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）可得。 【详解】 这个框架的宽是。 需要的纸。 16．一个长方体礼品盒长12cm、宽8cm、高5cm，棱长总和是( )厘米，若用彩纸包装（不计接口），至少需要( )平方厘米彩纸。 【答案】 100 392 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2作答。 【详解】（12＋8＋5）×4 ＝25×4 ＝100（厘米） （12×8＋12×5＋8×5）×2 ＝（96＋60＋40）×2 ＝196×2 ＝392（平方厘米） 棱长总和是100厘米，至少需要392平方厘米彩纸。 17．我国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱。某广场一侧建有一个正方体印信的标志物，这个印信标志物的棱长是15dm，把这个印信标志物的4个面镀成金色，2个面刻上主题花纹，这个印信的棱长总和是( )dm，镀金色的面积是( )dm2。 【答案】 180 900 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出这个印信的棱长总和。 已知这个印信标志物的4个面镀成金色，那么镀金色的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算求解。 【详解】棱长总和是：15×12＝180（dm） 镀金色的面积是： 15×15×4 ＝225×4 ＝900（dm2） 18．一个长方体的棱长总和是80厘米，长是10厘米，宽是7厘米，高是( )厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 3 242 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，先用棱长总和除以4，求出长、宽、高的和；再用长、宽、高的和减去长和宽的值，求出高；再将长、宽、高的数据代入长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2中计算即可得到表面积。 【详解】高：80÷4－10－7 ＝20－10－7 ＝10－7 ＝3（厘米） 表面积：（10×7＋10×3＋7×3）×2 ＝（70＋30＋21）×2 ＝（100＋21）×2 ＝121×2 ＝242（平方厘米） 19．下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【答案】 19 16 【分析】已知正方体的棱长是1dm，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出小正方体一个面的面积为1×1＝1dm2；分别从正面、上面、右面去数露在外面的面的数量：正面有6个，上面有7个，右面有6个，总共有6＋7＋6＝19个；所以露在外面的面积是1×19＝19dm2。 要搭成一个大正方体，大正方体的棱长至少是3dm（因为现有立体图形最长的边有3个小正方体的棱长），那么大正方体需要的小正方体总数为3×3×3＝27个；数出现有小正方体的数量：第一层有7个，第二层有3个，第三层有1个，总共7＋3＋1＝11个，所以至少还需要27－11＝16个小正方体。 【详解】1×1＝1（dm2） 1×（6＋7＋6） ＝1×（13＋6） ＝1×19 ＝19（dm2） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 7＋3＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 27－11＝16（个） 所以这个立体图形露在外面的面积是19，至少还需要16个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 20．聪聪用纸板做一个无盖长方体纸盒，他已经做好了两个相邻的面（如图），做这个纸盒至少需要( )cm2纸板。 【答案】52 【分析】根据长方体纸盒的后面（长×高）和右面（宽×高）的尺寸，可知这个长方体的长是5cm、宽是2cm、高是3cm，因为无盖长方体纸盒没有上面，则这个无盖纸盒的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算，求出做这个纸盒至少需要纸板的面积。 【详解】5×2＋5×3×2＋2×3×2 ＝10＋30＋12 ＝52（cm2） 做这个纸盒至少需要52cm2纸板。 21．计算下面图形的表面积。 【答案】（1）7200cm2；（2）290cm2 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 （2）正方体与长方体有重合的面，如下图，把长方体的右面如箭头所示向左平移，补给正方体的右面，这样正方体的表面积是完整的，长方体的表面积只需计算前后面和上下面； 那么图形的表面积＝正方体的表面积＋长方体4个面的面积之和，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方体4个面的面积之和＝长×高×2＋长×宽×2，代入数据计算求解。 【详解】（1）（40×12＋40×60＋12×60）×2 ＝（480＋2400＋720）×2 ＝3600×2 ＝7200（cm2） （2）5×5×6＋10×4×2＋10×3×2 ＝150＋80＋60 ＝290（cm2） 22．求下面图形的棱长和与表面积。      【答案】左图：120dm；600dm2 右图：76cm；232cm2 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据解答即可。 【详解】棱长和：10×12＝120（dm） 表面积：10×10×6 ＝100×6 ＝600（dm2） （24－8－8）÷2 ＝（16－8）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 棱长和：（8＋7＋4）×4 ＝19×4 ＝76（cm） 表面积：（8×4＋8×7＋4×7）×2 ＝（32＋56＋28）×2 ＝（88＋28）×2 ＝116×2 ＝232（cm2） 正方体的棱长总和是120dm，表面积是600dm2；长方体的棱长总和是76cm，表面积是232cm2。 23．学校要粉刷一间长8米、宽6米、高3米的教室，门窗面积共12平方米。如果每平方米用涂料0.5千克，共需涂料多少千克？ 【答案】60千克 【分析】教室为长方体，粉刷时地面不刷，只需要计算顶面和四壁的面积（长×宽＋长×高×2＋宽×高×2），再减去门窗面积，即为实际需要粉刷的面积。最后用实际需要粉刷的面积乘每平方米需要的涂料质量，就能得到总共需要的涂料质量。 【详解】8×6＋8×3×2＋6×3×2 ＝48＋24×2＋18×2 ＝48＋48＋36 ＝96＋36 ＝132（平方米） 132－12＝120（平方米） 120×0.5＝60（千克） 答：共需要涂料60千克。 24．一个长方体饼干盒长20厘米，宽15厘米，高30厘米，做这个盒子至少需要多少平方厘米的硬纸板？（接口处忽略不计） 【答案】2700平方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答。 【详解】（20×15＋20×30＋15×30）×2 ＝（300＋600＋450）×2 ＝1350×2 ＝2700（平方厘米） 答：做这个盒子至少需要2700平方厘米的硬纸板。 25．学校食堂准备做两个无底无盖的长方体铁皮烟囱，长是3分米，宽是2分米，高是1.5米，需要铁皮多少平方分米？ 【答案】300平方分米 【分析】无底无盖的长方体铁皮烟囱，需要铁皮的面积为长方体的侧面积。根据长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入计算出一个铁皮烟囱需要的铁皮面积，再乘2，求出两个铁皮烟囱共需的铁皮面积。注意单位的统一，1米＝10分米。 【详解】1.5米＝15分米 （15×3＋15×2）×2 ＝（45＋30）×2 ＝75×2 ＝150（平方分米） 150×2＝300（平方分米） 答：需要铁皮300平方分米。 26．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？ 【答案】625平方米 【分析】根据题意，安装散热装置的面积是这个长方体上面和四周的面积之和。上面的面积＝长×宽，前后两个面的面积＝长×高×2，左右两个面的面积＝宽×高×2。 【详解】20×0.5＋20×15×2＋0.5×15×2 ＝10＋600＋15 ＝625（平方米） 答：安装散热装置的面积是625平方米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06：长方体和正方体的表面积 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、表面积的基本概念 1.表面积的定义 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 表面积反映了物体表面覆盖的大小，常用于计算包装纸、油漆、玻璃等材料的用量。 2.长方体和正方体的特征 长方体：有6个面（通常都是长方形，特殊情况下有2个相对的面是正方形），12条棱，8个顶点；相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 正方体：有6个面（都是完全相同的正方形），12条棱（长度都相等），8个顶点；正方体是特殊的长方体。 二、长方体表面积的计算 1.长方体表面积的计算公式 基本公式：长方体的表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 字母表示：S = 2(ab + ah + bh)，其中a表示长，b表示宽，h表示高 展开理解： 上、下两个面的面积和 = 长×宽×2 前、后两个面的面积和 = 长×高×2 左、右两个面的面积和 = 宽×高×2 2.计算步骤 确定长方体的长、宽、高 分别计算三组相对面的面积 将三组面积相加，再乘以2 示例：长0.75m、宽0.5m、高1.6m的长方体表面积 = (0.75×0.5 + 0.75×1.6 + 0.5×1.6) × 2 = 4.375(m²) 3.特殊情况 有两个面是正方形的长方体：正方形的两个面完全相同，其余四个面完全相同 无盖或无底的长方体：计算时需要少算一个面的面积，如无盖鱼缸、无盖纸盒等 三、正方体表面积的计算 1.正方体表面积的计算公式 基本公式：正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 字母表示：S = 6a²，其中a表示正方体的棱长 推导过程：正方体有6个完全相同的正方形面，每个面的面积是棱长×棱长，所以表面积是6倍的单个面面积 2.计算步骤 确定正方体的棱长 计算一个面的面积（棱长×棱长） 将单个面的面积乘以6 示例：棱长6.5cm的正方体表面积 = 6.5×6.5×6 = 253.5(cm²) 四、表面积的单位及换算 1.常用单位 平方米(m²)、平方分米(dm²)、平方厘米(cm²) 相邻单位之间的进率是100：1m² = 100dm²，1dm² = 100cm² 2.单位换算方法 高级单位→低级单位：乘以进率（如1m² = 100dm²） 低级单位→高级单位：除以进率（如100cm² = 1dm²） 注意：在计算表面积时，必须先将单位统一，再进行计算，否则会导致错误 五、实际应用问题 1.无盖物体的表面积计算 无盖长方体：表面积 = 长×宽 + (长×高 + 宽×高) × 2 无盖正方体：表面积 = 棱长×棱长×5 示例：制作一个长5dm、宽4dm、高3dm的无盖长方体布艺收纳盒，需要布料 = (5×4 + 5×3 + 4×3) × 2 - 5×4 = 94 - 20 = 74(dm²) 2.拼接与切割问题 拼接：两个长方体或正方体拼接后，表面积会减少（减少的面积等于拼接面的2倍） 切割：将一个长方体或正方体切割成两部分，表面积会增加（增加的面积等于切割面的2倍） 示例：把两个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少 = 3×3×2 = 18(cm²) 3.实际生活中的应用 粉刷问题：计算需要粉刷的墙面面积（注意：通常不包括地面和门窗） 包装问题：计算需要的包装纸面积（注意：可能需要考虑重叠部分） 制作容器：计算需要的材料面积（注意：是否有盖、是否有底） 六、易错点与注意事项 1.常见易错点 公式运用错误：将表面积公式中的"×2"误写为"×3" 单位换算错误：计算前未统一单位，导致结果错误 忽略特殊情况：未注意到"无盖"、"无底"等条件，多算或少算面的面积 拼接问题理解错误：未考虑拼接后表面积的变化 2.解题技巧 审题要仔细：明确题目要求计算的是几个面的面积 单位要统一：计算前先将所有单位转换为同一单位 画图辅助：对于复杂问题，可画出立体图或展开图帮助理解 检查验证：计算后检查是否符合实际情况（如表面积应大于单个面的面积） 第二部分 典型例题 【例题1】秦始皇兵马俑是第一批全国重点文物保护单位。秦始皇兵马俑博物馆计划打造正方体展示柜来陈列珍贵兵马俑文物复制品，每个展示柜的金属框架棱长总和是36米。给展示柜安装钢化玻璃，每平方米玻璃成本是150元，制作一个展示柜的玻璃需要花费多少元？ 【例题2】秋季开学之际，学校要粉刷其中一间教室的四壁和屋顶，教室的长、宽、高分别是14米、10米、3米，门窗和黑板的面积有40平方米，需要粉刷的面积有多少平方米？ 【例题3】计算长方体的表面积。 【例题4】计算下面图形的表面积。 （1）            （2） 【例题5】张大伯准备在院子里靠两面墙搭一个长方体形状的鸡圈。这个鸡圈的长是24分米，宽是6分米，高是12分米。如果给这个鸡圈蒙上一层铁丝网（如下图）至少需要多少平方分米的铁丝网？ 【例题6】平安小区有一个游泳池，从里面量长40米，宽20米，深1.4米。在游泳池的底面和内壁刷一层防渗水涂料，刷涂料的面积是多少平方米？ 【例题7】孔明灯是一种古老的手工艺品，在古代多用于军事。聪聪要做一个长5分米，宽4分米，高9分米的长方体孔明灯。要在孔明灯的五个面上糊纸（底面不糊纸，接缝处忽略不计），聪聪至少需要多少平方分米的纸？ 【例题8】（如图）把一个长为36厘米，宽为20厘米的长方形铁皮的4个角上各剪掉一个边长为5厘米的小正方形后，焊接成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的表面积是多少平方厘米？ 第三部分 高频真题 1．将一个长方体切成两个小长方体后，表面积总和比原来（    ）。 A．增加 B．减少 C．不变 D．无法确定 2．如图，用4个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积比原来减少了24平方厘米。每个小正方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．8 B．24 C．56 D．64 3．夏天雨季即将来临，为了将散落的雨水收集起来，浇灌庄稼。李叔叔打算在地里挖一个长8m，宽4m，深3m的长方体蓄水池，这个蓄水池的占地面积是（    ）m2。 A．24 B．32 C．96 D．136 4．把一个表面涂色的正方体木块，每条棱都平均分成4份，切成同样大的小正方体，那么1面涂色的小正方体有（    ）个。 A．36 B．27 C．24 D．8 5．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长1cm的小正方体（如图），制作这个玻璃鱼缸至少需要（    ）cm2的玻璃。 A．126 B．111 C．96 D．84 6．用64个棱长为1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中一面涂色的小正方体有（    ）个。 A．24 B．48 C．36 D．8 7．一个长方体纸盒，底面是正方形，它的展开图如下图所示，下列说法错误的是（    ）。 A．底面边长是 B．高是 C．总棱长是 D．表面积大于 8．在一个正方体木块的六个面上分别刻着“仁、义、礼、智、信、孝”这六个字，如图是这个正方体的展开图。在这个正方体上，与“义”相对的字是“（    ）”。 A．智 B．信 C．孝 D．礼 9．把9个棱长是1厘米的小正方体摆在一起（如图）。如果从前面和上面看，所看到的图形面积之和是（    ）平方厘米。 A．12 B．11 C．10 D．9 10．如图，从长方体木块中挖去一个棱长为1cm的正方体，剩下木块的表面积是（    ）cm2。 A．59 B．52 C．94 D．100 11．一个正方体的表面积是54平方分米，它的棱长是( )分米。 12．一根长方体木料，长4dm，横截面为边长5cm的正方形，锯成3段后，表面积增加了( )cm2。 13．如表所示，李叔叔要从这16根铁丝中选12根焊接成一个长方体框架，并用布糊上六个面。做成的长方体的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2。 铁丝长度 5cm 4cm 2cm 根数 3 8 5 14．爸爸用一根铁丝可以做一个长、宽、高分别为6cm、4cm、2cm的长方体框架，用这根铁丝做一个正方体框架（没有剩余），这个正方体的棱长是( )cm。小新给这个正方体四周贴上纸片（上面和底面不贴），至少需要( )cm2的纸片。 15．用长度是72dm的铁丝围成一个长10dm、高3dm的长方体框架，没有剩余，这个框架的宽是( )dm；如果在框架的外面糊上一层纸，需要( )的纸。 16．一个长方体礼品盒长12cm、宽8cm、高5cm，棱长总和是( )厘米，若用彩纸包装（不计接口），至少需要( )平方厘米彩纸。 17．我国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱。某广场一侧建有一个正方体印信的标志物，这个印信标志物的棱长是15dm，把这个印信标志物的4个面镀成金色，2个面刻上主题花纹，这个印信的棱长总和是( )dm，镀金色的面积是( )dm2。 18．一个长方体的棱长总和是80厘米，长是10厘米，宽是7厘米，高是( )厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 19．下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 20．聪聪用纸板做一个无盖长方体纸盒，他已经做好了两个相邻的面（如图），做这个纸盒至少需要( )cm2纸板。 21．计算下面图形的表面积。 22．求下面图形的棱长和与表面积。      23．学校要粉刷一间长8米、宽6米、高3米的教室，门窗面积共12平方米。如果每平方米用涂料0.5千克，共需涂料多少千克？ 24．一个长方体饼干盒长20厘米，宽15厘米，高30厘米，做这个盒子至少需要多少平方厘米的硬纸板？（接口处忽略不计） 25．学校食堂准备做两个无底无盖的长方体铁皮烟囱，长是3分米，宽是2分米，高是1.5米，需要铁皮多少平方分米？ 26．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $