专题10：分数的基本性质 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题10：分数的基本性质 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、分数的基本性质的理解要点 1."0除外"的必要性： 分数的分子、分母同时乘0，分母会变成0，而分母不能为0（因为分母相当于除法中的除数，0不能作除数）。 分数的分子、分母同时除以0，0不能作除数，因此这种操作无意义。 2."同时"的重要性： 分子和分母必须同时进行相同操作，若只改变分子或分母，分数大小会改变。 3."相同的数"的含义： 这个数必须是相同的非零数，可以是整数、小数或分数，但必须保证分母不为0。 二、分数的基本性质与商不变规律的关系 1.本质联系： 分数的基本性质与整数除法中的商不变规律本质一致。 2.对应关系： 分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数值相当于商。 例如：15÷20=3÷4=0.75，对应分数=。 3.数学表达： 商不变规律：被除数÷除数=商（被除数和除数同时乘/除以相同数，商不变）。 分数基本性质：分子/分母=分数值（分子和分母同时乘/除以相同数，分数值不变）。 三、分数的基本性质的验证方法 1.图形验证法： 用相同大小的正方形纸，分别平均分成2份、4份、8份，涂色部分面积相等，证明==。 2.算式验证法： 通过计算：=0.5，=0.5，=0.5，证明分数大小不变。 3.逆向验证法： 从右往左看：÷=，÷=，验证分数大小不变。 四、分数的基本性质的应用 1.化简分数： 将分数化成指定分母而大小不变的分数，如将化成分母为12的分数：=。 2.比较分数大小： 通过将分数化成同分母分数，比较分子大小判断分数大小。 3.解决实际问题： 例如：小芳用支付宝支付外卖价格的，小明用微信支付价格的，通过分数基本性质判断两人支付金额是否相同。 五、分数的基本性质的变式练习 1.分子变化型： 分数5/7的分子增加15，要使分数大小不变，分母应增加21（因为15÷5=3，7×3=21）。 2.分母变化型： 分数8/12的分母减去6，要使分数大小不变，分子应除以2（因为12÷6=2，8÷2=4）。 3.综合变化型： 分数3/5的分子加上6，要使分数大小不变，分母应加上10（因为(3+6)÷3=3，5×3=15，15-5=10）。 六、易错点提醒 1.忽略"0除外"条件： 错误认为"分数的分子和分母同时乘0，分数大小不变"，实际上分母不能为0。 2.混淆操作方向： 分子扩大n倍，分母也应扩大n倍，而非缩小n倍。 3.算错误： 分子加上a，分母应加上a×(分母/分子)，而非简单加上a。 第二部分 典型例题 【例题1】把下面的分数化成分母是60而大小不变的分数。          【答案】；； 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此把这些分数都化为分母是60而大小不变的分数。 【详解】 【例题2】把下面的分数化成分母是9而大小不变的分数。           【答案】；；； 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】＝ ＝ ＝ ＝＝ 【例题3】一个假分数，如果分子增加14，该分数就可以化成5；如果分子减少10，该分数就可以化成2。这个假分数是多少？将它化成带分数。 【答案】； 【分析】分子增加14和减少10，实质是相差14＋10＝24（个）分数单位，而分数值相差5－2＝3，由此可知原假分数的分母是24÷3＝8。根据题意，可算出原假分数的分子是5×8－14＝26，所以原假分数是，把它化成带分数是。 【详解】（14＋10）÷（5－2） ＝24÷3 ＝8 5×8－14＝26 所以原假分数是： 26÷8＝3……2，所以 答：这个假分数是，化成带分数是。 【点睛】在变化的过程中，分母是不变的，所以分子的变化量与分数值大小的变化量是有关系的，将它们相除即可算出分母，进而算出分子。 【例题4】的分子扩大3倍，要使分数的分值不变，分母应加上多少？ 【答案】24 【详解】12×3=36 36-12=24 【例题5】一个分数的分子扩大到原来的10倍，分母缩小到原来的10倍后是，原来的分数是多少？ 【答案】 【详解】= 【例题6】有个分数，如果分子加2，这个分数等于四分之三；如果分母加2，这个分数就等于二分之一。这个分数是多少？ 【答案】 【分析】根据“如果分母加2，这个分数就等于二分之一”，设原分子为x，原分母＝2x－2，根据“如果分子加上2，这个分数等于四分之三”，可知＝。 【详解】解：设这个分数的分子是x，原分母＝2x－2。 ＝ 6x－6＝4x＋8 2x＝14 x＝7 分母为：2×7－2＝12， 答：这个分数是。 【点睛】熟练掌握分数的基本性质是解决本题的关键。 第三部分 高频真题 1．的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应加上（    ）。 A．6 B．27 C．4 D．36 【答案】B 【分析】分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】（2＋6）÷2 ＝8÷2 ＝4 9×4－9 ＝36－9 ＝27 分母应加上27。 2．的分子加上8，如果使这个分数的大小不变，分母应该怎样变化？下列说法正确的是（    ）。 A．加上8 B．加上15 C．乘2 D．加上30 【答案】D 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 先判断分子加上8后是乘了几，根据分数的基本性质分母也要乘几，或用积减去原分母，则分母也要加上这个差，据此可以判断。 【详解】（4＋8）÷4 ＝12÷4 ＝3 15×3－15 ＝45－15 ＝30 分母应该乘3或加上30。 3．下面的分数中，分数单位最小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数就是分数单位，分数单位比较大小时，分母小的分数大，分母大的分数小，据此解答。 【详解】的分数单位是 的分数单位是 的分数单位是 ＝，的分数单位是 ＜＜＜ 所以的分数单位最小。 4．的分子加上3，要使分数的大小不变，分母应（    ）。 A．加3 B．减3 C．乘2 D．乘3 【答案】C 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。据此可得：的分子加上3，变成6，分子扩大到原来的2倍，要使分数大小不变，分母也应乘2。 【详解】的分子加上3，要使分数的大小不变，分母应乘2。 故答案为：C 5．如果的分子加上2a，要使分数的大小不变，分母应该是（    ）。 A．2a＋b B．2ab C．2b D．3b 【答案】D 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。先求出分子加上2a后扩大到原来的多少倍，分母也扩大到原来的多少倍即可。 【详解】（a＋2a）÷a×b ＝3a÷a×b ＝3×b ＝3b 所以，分母应该是3b。 故答案为：D 6．把的分子加上14，要使分数的大小不变，分母应该（    ）。 A．加上14 B．乘3 C．加上24 D．乘4 【答案】B 【分析】根据分数的基本性质可知，分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（（0除外），分数的大小不变。的分子加上14，变成了21，相当于乘（21÷7＝3），所以分母也要乘3，据此解答。 【详解】由分析可得，分母应该乘3，即变成8×3＝24。 A．分母加上14，变成8＋14＝22，不符合题意； B．分母乘3，变成8×3＝24，符合题意； C．分母加上24，变成8＋24＝32，不符合题意； D．分母乘4，变成8×4＝32，不符合题意。 故答案为：B 7．把的分子加上6，要使分数值不变，分母应该乘（    ）。 A．2 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】通过计算得出分子加上6，是将分数的分子乘3，根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变。得出分母也乘3。 【详解】3＋6＝9 分母应该乘3。 故答案为：C 8．江浦手狮是南京浦口的民俗舞蹈，属于江苏省级非物质文化遗产。某次参与手狮表演的女生人数占总人数的，这个分数的分母加上40后，要使它的大小不变，分子应加上（    ）。 A．20 B．25 C．40 D．50 【答案】B 【分析】的分母加上40后，分母由原来的8变成现在的（8＋40＝48），相当于分母乘6；要使分数的大小不变，分子也要乘6，；最后用现在的分子减去原来的分子，所得差即为分子应加上的数。 【详解】8＋40＝48 48÷8＝6 5×6＝30 30－5＝25 因此分子应加上25。 故答案为：B 9．在学习了分数的基本性质后，同学们都尝试用字母来表示自己的理解，下面表示正确的一组是（    ）（a，b，c均不为0）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此分析。 【详解】A．表示分数的分子和分母同时加上一个相同的非零数，不符合分数的基本性质； B．表示分数的分子和分母同时减去一个相同的非零数，不符合分数的基本性质； C．表示分数的分子和分母同时乘一个相同的非零数，符合分数的基本性质； D．表示分数的分子除以分子，分母除以分母，不符合分数的基本性质。 表示正确的一组是。 故答案为：C 10．五线谱里的音符也可以用分数表示，下面选项正确的是（    ）。 音符 名称 全音符 二分音符 四分音符 八分音符 十六分音符 时值（音的长短） 1 A．1个相当于4个 B．1个相当于4个 C．1个相当于2个 D．1个相当于4个 【答案】B 【分析】分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。据此将4个分数统一分母，再根据分子去判断分数之间的关系，即音符之间的关系。 【详解】1＝，＝，＝，＝ A．2÷1＝2（个），所以1个相当于2个，原说法错误； B．8÷2＝4（个），所以1个相当于4个，说法正确； C．8÷2＝4（个），所以1个相当于4个，原说法错误； D．16÷8＝2（个），所以1个相当于2个，原说法错误。 故答案为：B 11．（    ）＝（    ）（填带分数）。 【答案】25；24；4； 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变；分数与除法的关系：＝分子÷分母；假分数化成带分数：分子÷分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。据此解答即可。 【详解】 ＝1……1 12．28÷（    ）＝＝＝。 【答案】35；16；45 【分析】分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变；分数和除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，再根据商不变的性质，把被除数变为28即可。 【详解】＝（4×7）÷（5×7）＝28÷35； ； 所以： 13．在下面括号中填上适当的分数。 9cm＝( )dm        79dm＝( )m 56dm2＝( )m2        17秒＝( )分 【答案】 【分析】①把厘米化成分米，用9除以进率10，根据分数与除法的关系化成分数形式； ②把分米化成单位米，用79除以进率10，再根据分数与除法的关系化成分数形式； ③把平方分米化成平方米，用56除以100，根据分数与除法的关系化成分数形式，再根据分数的基本性质是分子和分母同时乘或除以相同的数（除外），分数的大小不变进行化简； ④把秒化成分，用17除以进率60，再根据分数与除法的关系化成分数形式。 【详解】①，根据分数与除法的关系，所以9cm＝dm； ②，根据分数与除法的关系，所以79dm＝m； ③，根据分数与除法的关系，所以，根据分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（除外），分数的大小不变化简得，所以； ④，根据分数与除法的关系，所以17秒＝分。 14．（    ）。 【答案】4；20；32 【分析】分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数不变； 分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数，由此即可填空。 【详解】； ； ； 即。 15．         【答案】见详解 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】 16．的分数单位是( )，如果用作它的分数单位，那么应改写成( )。 【答案】 【分析】分数的分母是几，分数单位就是几分之一；用作它的分数单位，则分数的分母是24，根据分数的基本性质，将的分子、分母同时乘8即可。 【详解】的分母是3，所以分数单位是； ，所以用作它的分数单位，那么应改写成。 17．。 【答案】18；27；10 【分析】根据分数与除法的关系，。现在被除数从2变为4，4÷2＝2，即被除数乘2，根据“商不变的性质”，除数也要乘2，即9×2＝18。所以，第一空填18。 的分子从2变为6，6÷2＝3，即分子乘3，根据分数的基本性质，分母也要乘3，9×3＝27。所以，第二空填27。 ，除数从9变为45，45÷9＝5，除数乘5，根据“商不变的性质”，被除数也要乘5，即2×5＝10。所以，第三空填10。 【详解】由分析可知： 18．。 【答案】9；30；21；20 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 【详解】＝＝，＝9÷15 ＝＝，＝18÷30 ＝＝ ＝＝ 即＝9÷15＝18÷30＝＝。 19．（    ）÷（    ）（    ）（带分数）。 【答案】8；3；12； 【分析】分数与除法的关系为：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。对于，8÷3＝，第一空填8，第二空填3。 分数的基本性质是：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。分子从8变为32，32÷8＝4，即分子乘4；要使分数大小不变，分母也应乘4，3×4＝12，第三空填12。 假分数化为带分数的方法是：用分子除以分母，所得的商作为带分数的整数部分，余数作为分子，分母不变。对于，8÷3＝2……2，其中商2是整数部分，余数2是分子，分母3不变，所以，第四空填。 【详解】由分析可知： 8÷3（第一空和第二空答案不唯一） 20．           【答案】6；39；15；44 【分析】第一题：根据分数与除法的关系＝2÷3，再根据商不变的性质被除数、除数同时乘3就是6÷9；根据分数的基本性质分子、分母同时乘13就是。 第二题：根据分数的基本性质分子、分母同时乘3就是；分子、分母同时乘5就是即11＋（）＝55，（）里的数是44。 【详解】 分子、分母同时乘3，得：； 分子、分母同时乘13，得：； 所以。 分子、分母同时乘3，得：； 分子、分母同时乘5，得：，所以11＋（）＝55，（）填44； 所以。         21．把下面的分数化成分子是3而大小不变的分数。                                                  【答案】；；； 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。将每个分数的分子除以一个数得到3，同时分母也除以相同的数，使分数大小不变。 【详解】 22．把下面的分数化成分母是48而大小不变的分数。                                                  【答案】；；； 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。将分数的分母除以一个数得到48，同时分子也除以相同的数，使分数大小不变；或将分数的分母乘一个数得到48，同时分子也乘相同的数，使分数大小不变。 【详解】 23．只列式不计算。某店铺九月份用电200千瓦时，比八月份少用了50千瓦时，九月份比八月份节约了几分之几？ 【答案】50÷（200＋50） 【分析】求一个数比另一个数少几分之几，用两数的差值除以另一个数（即“比”后面的数），结果根据分数的基本性质化成最简分数。即用九月比八月少的电量÷八月份用电量。八月份用电量＝九月份＋50千瓦时。 【详解】由分可列式： 50÷（200＋50） ＝50÷250 ＝ ＝ 答：列式为50÷（200＋50），九月份比八月份节约了。 24．把的分母扩大到原来的3倍，要使分数的大不不变，它的分子应该如何变化？ 【答案】分子扩大3倍 【详解】略 25．把分子扩大4倍，分母应该怎样变化，才能使分数的大小不变？变化后的分数是多少？ 【答案】分母应该扩大4倍；变化后的分数是。 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】要使分数的大小不变，分子扩大4倍，分母也应该扩大4倍，4×4=16，4×5=20，变化后的分数是。 26．一个分数是，如果把它的分子减去15，要使这个分数的大小不变，分母应减去几？ 【答案】24 【详解】20-15=5 20÷5=4    32÷4=8    32-8=24 27．一个分数，它的分子和分母同时除以同一个数得，原来的分子与分母的和是60，求原来这个分数。 【答案】 【分析】一个分数的分子和分母同时除以一个相同的数是，于是可得：分子和分母的总份数是（5＋7）份，用60除以12，可得每份是5，再根据分数的基本性质，分子和分母同时5即可解答。 【详解】60÷（5＋7） ＝60÷12 ＝5 ＝＝ 答：原来的分数是。 【点睛】本题考查分数的基本性质，需要熟悉相关的规则。 28．五（1）班有50名学生，视力合格的人数占全班人数的 ．小丽说：视力合格的人数占全班人数的 ． 小刚说：视力合格的人数占全班人数的  ． 这两个小朋友说的对吗？为什么？ 【答案】这两个小朋友都说得对，因为 = = 【详解】略 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10：分数的基本性质 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、分数的基本性质的理解要点 1."0除外"的必要性： 分数的分子、分母同时乘0，分母会变成0，而分母不能为0（因为分母相当于除法中的除数，0不能作除数）。 分数的分子、分母同时除以0，0不能作除数，因此这种操作无意义。 2."同时"的重要性： 分子和分母必须同时进行相同操作，若只改变分子或分母，分数大小会改变。 3."相同的数"的含义： 这个数必须是相同的非零数，可以是整数、小数或分数，但必须保证分母不为0。 二、分数的基本性质与商不变规律的关系 1.本质联系： 分数的基本性质与整数除法中的商不变规律本质一致。 2.对应关系： 分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数值相当于商。 例如：15÷20=3÷4=0.75，对应分数=。 3.数学表达： 商不变规律：被除数÷除数=商（被除数和除数同时乘/除以相同数，商不变）。 分数基本性质：分子/分母=分数值（分子和分母同时乘/除以相同数，分数值不变）。 三、分数的基本性质的验证方法 1.图形验证法： 用相同大小的正方形纸，分别平均分成2份、4份、8份，涂色部分面积相等，证明==。 2.算式验证法： 通过计算：=0.5，=0.5，=0.5，证明分数大小不变。 3.逆向验证法： 从右往左看：÷=，÷=，验证分数大小不变。 四、分数的基本性质的应用 1.化简分数： 将分数化成指定分母而大小不变的分数，如将化成分母为12的分数：=。 2.比较分数大小： 通过将分数化成同分母分数，比较分子大小判断分数大小。 3.解决实际问题： 例如：小芳用支付宝支付外卖价格的，小明用微信支付价格的，通过分数基本性质判断两人支付金额是否相同。 五、分数的基本性质的变式练习 1.分子变化型： 分数5/7的分子增加15，要使分数大小不变，分母应增加21（因为15÷5=3，7×3=21）。 2.分母变化型： 分数8/12的分母减去6，要使分数大小不变，分子应除以2（因为12÷6=2，8÷2=4）。 3.综合变化型： 分数3/5的分子加上6，要使分数大小不变，分母应加上10（因为(3+6)÷3=3，5×3=15，15-5=10）。 六、易错点提醒 1.忽略"0除外"条件： 错误认为"分数的分子和分母同时乘0，分数大小不变"，实际上分母不能为0。 2.混淆操作方向： 分子扩大n倍，分母也应扩大n倍，而非缩小n倍。 3.算错误： 分子加上a，分母应加上a×(分母/分子)，而非简单加上a。 第二部分 典型例题 【例题1】把下面的分数化成分母是60而大小不变的分数。          【例题2】把下面的分数化成分母是9而大小不变的分数。           【例题3】一个假分数，如果分子增加14，该分数就可以化成5；如果分子减少10，该分数就可以化成2。这个假分数是多少？将它化成带分数。 【例题4】的分子扩大3倍，要使分数的分值不变，分母应加上多少？ 【例题5】一个分数的分子扩大到原来的10倍，分母缩小到原来的10倍后是，原来的分数是多少？ 【例题6】有个分数，如果分子加2，这个分数等于四分之三；如果分母加2，这个分数就等于二分之一。这个分数是多少？ 第三部分 高频真题 1．的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应加上（    ）。 A．6 B．27 C．4 D．36 2．的分子加上8，如果使这个分数的大小不变，分母应该怎样变化？下列说法正确的是（    ）。 A．加上8 B．加上15 C．乘2 D．加上30 3．下面的分数中，分数单位最小的是（    ）。 A． B． C． D． 4．的分子加上3，要使分数的大小不变，分母应（    ）。 A．加3 B．减3 C．乘2 D．乘3 5．如果的分子加上2a，要使分数的大小不变，分母应该是（    ）。 A．2a＋b B．2ab C．2b D．3b 6．把的分子加上14，要使分数的大小不变，分母应该（    ）。 A．加上14 B．乘3 C．加上24 D．乘4 7．把的分子加上6，要使分数值不变，分母应该乘（    ）。 A．2 B．6 C．3 D．8 8．江浦手狮是南京浦口的民俗舞蹈，属于江苏省级非物质文化遗产。某次参与手狮表演的女生人数占总人数的，这个分数的分母加上40后，要使它的大小不变，分子应加上（    ）。 A．20 B．25 C．40 D．50 9．在学习了分数的基本性质后，同学们都尝试用字母来表示自己的理解，下面表示正确的一组是（    ）（a，b，c均不为0）。 A． B． C． D． 10．五线谱里的音符也可以用分数表示，下面选项正确的是（    ）。 音符 名称 全音符 二分音符 四分音符 八分音符 十六分音符 时值（音的长短） 1 A．1个相当于4个 B．1个相当于4个 C．1个相当于2个 D．1个相当于4个 11．（    ）＝（    ）（填带分数）。 12．28÷（    ）＝＝＝。 13．在下面括号中填上适当的分数。 9cm＝( )dm        79dm＝( )m 56dm2＝( )m2        17秒＝( )分 14．（    ）。 15．         16．的分数单位是( )，如果用作它的分数单位，那么应改写成( )。 17．。 18．。 19．（    ）÷（    ）（    ）（带分数）。 20．           21．把下面的分数化成分子是3而大小不变的分数。                                                  22．把下面的分数化成分母是48而大小不变的分数。                                                  23．只列式不计算。某店铺九月份用电200千瓦时，比八月份少用了50千瓦时，九月份比八月份节约了几分之几？ 24．把的分母扩大到原来的3倍，要使分数的大不不变，它的分子应该如何变化？ 25．把分子扩大4倍，分母应该怎样变化，才能使分数的大小不变？变化后的分数是多少？ 26．一个分数是，如果把它的分子减去15，要使这个分数的大小不变，分母应减去几？ 27．一个分数，它的分子和分母同时除以同一个数得，原来的分子与分母的和是60，求原来这个分数。 28．五（1）班有50名学生，视力合格的人数占全班人数的 ．小丽说：视力合格的人数占全班人数的 ． 小刚说：视力合格的人数占全班人数的  ． 这两个小朋友说的对吗？为什么？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $