专题05：长方体和正方体的认识 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题05：长方体和正方体的认识 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、长方体的基本特征 1.定义与组成 长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形 长方体有6个面，相对的面完全相同（即前面和后面、左面和右面、上面和下面分别完全相同） 长方体有12条棱，可分为三组，分别是4条长、4条宽、4条高，相对的棱长度相等 长方体有8个顶点，每个顶点是三条棱的交点 2.长、宽、高的概念 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高 一般情况下，把底面中较长的一条棱叫作长，较短的一条棱叫作宽，垂直于底面的棱叫作高 3.特殊长方体 当长方体有两个相对的面是正方形时，它仍然是长方体，但具有特殊性质 在实际生活中，并不是所有长方体形状的物体都有6个面，如鱼缸、游泳池等只有5个面，烟囱、通风管等只有4个面 二、正方体的基本特征 1.定义与组成 正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，也称为立方体或正六面体 正方体有6个面，6个面完全相同 正方体有12条棱，12条棱的长度都相等 正方体有8个顶点，和长方体一样 2.正方体的特殊性质 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高这三条棱的长度都相等时，长方体就变成了正方体 正方体的所有面、棱都完全一样，这是它区别于一般长方体的关键特征 正方体的棱长扩大n倍，棱长总和扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍 三、长方体和正方体的关系 1.包含关系 正方体是特殊的长方体，而不是长方体是特殊的正方体 长方体的集合包含正方体，正方体是长方体的一个子集 2.特征对比 相同点：都有6个面、12条棱、8个顶点 不同点： 长方体的面一般是长方形（特殊情况有两个正方形），而正方体的6个面都是正方形 长方体的棱分为3组（长、宽、高），而正方体的12条棱长度都相等 四、长方体和正方体的展开图 1.长方体的展开图 长方体的展开图有多种可能，取决于从哪个面开始剪开 长方体相对的面在展开图中完全隔开 2.正方体的展开图 正方体的展开图共有11种标准形式，分为4大类 "1-4-1"型：中间4个正方形排成一列，上下各1个（6种变化） "2-3-1"型：像楼梯一样，从上到下分别是2个、3个、1个正方形（3种变化） "2-2-2"型：像三层楼梯，每层2个正方形，错开排列（1种） "3-3"型：两排，每排3个正方形，像两列火车错开（1种） 判断方法：先数是不是6个正方形，再尝试在脑子里"折叠"，看能否拼成正方体 五、易错点与注意事项 1.常见误解 错误：长方体的6个面一定都是长方形（正确：特殊情况有两个相对的面是正方形） 错误：长方体的长发生变化，左面和右面的大小会改变（正确：左面和右面的大小不变） 错误：正方体是长方体的特殊情况，所以长方体是特殊的正方体（正确：正方体是特殊的长方体） 2.重要提示 长方体和正方体的展开图不止一种，但表面积是固定的 在计算a³时，不要把a³看作3×a，a³应是a×a×a 正方体的棱长扩大n倍，体积扩大n³倍，而非n倍 用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同 第二部分 典型例题 【例题1】下图是长方体一个顶点处的3条棱（单位：厘米），以下图形中选择6个面（可重复选）可围出这个长方体的是（    ）。 A．①①②③④④ B．②②③③⑥⑥ C．②②③③④④ D．②②④④⑤⑤ 【答案】C 【分析】已知长方体一个顶点处的3条棱分别为7厘米、8厘米、10厘米。那么这个长方体的6个面中，会有2个面是长为10厘米、宽为8厘米的长方形；2个面是长为10厘米、宽为7厘米的长方形；还有2个面是长为8厘米、宽为7厘米的长方形。 【详解】A．①是10×7的面，有2个，满足一组对面的需求；②是10×8的面，只有1个，不满足一组对面需要2个的要求；③和④都是8×7的面，共3个，数量不符合每组2个的规则，所以这个选项无法围出长方体。 B．②是10×8的面，有2个，③是8×7的面，有2个，这两组面都符合要求，但⑥是8×8的正方形面，和长方体需要的10×7的面不匹配，因此这个选项不能围出目标长方体。 C．②是10×8的面，有2个，③和④都是8×7的面，加起来有4个，刚好可以分成两组各2个，同时满足长方体三组对面各2个的要求，所以这个选项能够围出目标长方体。 D．②是10×8的面，有2个，④是8×7的面，有2个，但⑤是7×7的正方形面，和长方体需要的10×7的面不一致，因此这个选项无法围出目标长方体。 可围出这个长方体的是②②③③④④。 【例题2】把下面的展开图围成正方体后，与“眼”字所在面相对面上的字是（    ）。 A．护 B．未 C．康 D．来 【答案】B 【分析】在正方体展开图中，相对的面不相邻，通过间隔一个面的方法判断：“护”字对的是“康”字，“眼” 字对的是“未”字，“健”字对的是“来”字。 【详解】与“眼”字所在面相对面上的字是“未”字。 【例题3】一个正方体的棱长是10cm，一只蚂蚁从这个正方体的一个顶点出发，沿棱爬行，如果要求不走重复的路线，蚂蚁回到起点所走的路线最长是( )cm。 【答案】80 【分析】从一个顶点沿棱长爬行，不走重复的路程，回到起点最多走8条棱的长度。用棱长乘8可计算最长路线。 【详解】10×8＝80（cm） 【例题4】你购买了一个精美的游乐园纪念品，包装盒是一个长方体，它有( )个面，通常情况下，每个面都是( )形，特殊情况下有两个面是( )形。 【答案】 6 长方 正方 【分析】长方体的基本特征是有6个面，其面的形状通常为长方形，当长方体的长、宽、高中有两个量相等时，会出现两个相对的面为正方形的特殊情况，据此解答即可。 【详解】你购买了一个精美的游乐园纪念品，包装盒是一个长方体，它有6个面，通常情况下，每个面都是长方形，特殊情况下有两个面是正方形。 【例题5】灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 【答案】 30厘米 【分析】已知王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架，又用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，即长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。先根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和，即是正方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，据此解答。 【详解】 （厘米） （厘米） 答：正方体灯笼框架的棱长最长是30厘米。 【例题6】把一个棱长是8厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长总和与原来正方体的棱长总和相比，增加了多少厘米？ 【答案】64厘米 【分析】根据题意，把一个正方体切成两个完全一样的长方体，会增加两个截面，每个截面有4条棱长，两个截面有8条棱长，所以增加的棱长总和是8条棱长之和。 【详解】8×8＝64（厘米） 答：增加了64厘米。 第三部分 高频真题 1．盲盒中放了某物，它的长约20厘米，宽约15厘米，高约0.7厘米，这个物品可能是（    ）。 A．新华字典 B．魔方 C．数学书 D．奖状 【答案】C 【分析】结合实际情况及对长度单位、数据的大小进行选择即可，1厘米大概是拇指指甲盖的宽度，由此解答。 【详解】A．新华字典的高，大概是3至4厘米，不符题目要求； B．魔方常见的是正方体，棱长大概是5至6厘米，不符题目要求； C．数学书长宽符合，高近似符合； D．奖状的高即奖状的厚度，是一张纸的厚度，与0.7厘米不符合，不符题目要求。 2．用一根长48厘米的铁丝围成一个正方体框架，它的棱长是（    ）厘米。 A．12 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据正方体棱长棱长总和÷12，代入数据得出答案。 【详解】（厘米） 它的棱长是厘米。 3．用一根72cm长的铁丝，恰好可以焊成一个长8cm、宽6cm、高（    ）cm的长方体框架。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意，72cm是长方体的棱长总和。长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，因此长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽。 【详解】72÷4－8－6 ＝18－8－6 ＝10－6 ＝4（cm） 4．一个长8dm，宽6dm，高4dm的长方体盒子，最多能放下（    ）个棱长是2dm的正方体木块。（盒子厚度忽略不计） A．8 B．14 C．24 D．192 【答案】C 【分析】要计算长方体盒子最多能放下的正方体木块数量，所以需要分别分析长方体的长、宽、高方向各能容纳的正方体棱长的个数。因为正方体棱长为2分米，所以分别用长方体的长、宽、高除以正方体的棱长，得到各方向可放置的数量。因为总数量是各方向可放置数量的乘积，所以将三个方向的数量相乘得到结果。 【详解】8÷2＝4（个） 6÷2＝3（个） 4÷2＝2（个） 432＝24（个） 5．某产品说明书上标注包装尺寸为，它们分别表示了这个长方体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想象一下它可能是（    ）。 A．一台电脑 B．一台冰箱 C．一台电视机 D．一部手机 【答案】B 【分析】根据题意，先将已知尺寸的单位（mm）换算成生活中家电的常用尺寸单位（m），再依次分析各选项家电长、宽、高的常规尺寸，选择匹配度接近的选项即可。 【详解】换算成家电常用尺寸单位： 630mm＝0.63m，680mm＝0.68m，1810mm＝1.81m，即这个长方体的长、宽、高约为0.63m、0.68m、1.81m。 分析各选项家电的常规尺寸： A．电脑的尺寸一般长、宽多在0.4m到0.5m左右，高度也大多在0.3m到0.4m左右，远小于题目中的尺寸，所以A不符合； B．冰箱的高度通常接近2m，长和宽多在0.6m到0.8m左右，题目中0.63m、0.68m、1.81m的尺寸与冰箱的常规尺寸匹配度很高，所以B符合； C．电视机的“尺寸”一般指屏幕对角线（单位为英寸），整体机身的长、宽、高：长度多1m到1.5m（大尺寸电视也难到1.8m高度），高度（含底座）多在0.8m以内，宽度（厚度）仅几十厘米内且很薄，与题目尺寸不匹配，所以C不符合； D．手机的尺寸一般较小，长多约0.1m到0.2m，宽约0.05m到0.1m，厚度约0.01m以内，和题目中尺寸完全不匹配，所以D不符合。 6．下面提供的材料，能正好做成一个长方体框架或模型的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，长方体有六个面，相对的两个面的面积完全相等，也有可能相对的两个面是正方形，这时其余四个面的面积也相等。根据长方形的特征，进行选择即可。 【详解】A．根据长方体的特征：长方体的长、宽、高各有4根；已知4cm、5cm的小棒各有6根，还缺少另一种长度的小棒4根，所以这些材料不能拼成长方体模型； B．根据长方体的特征：长方体的6个面都是长方形时，上下面、前后面、左右面各有2个；已知“4×3”有2个，“3×2”有4个，还缺少2个“4×2”的长方形，所以这些材料不能拼成长方体模型； C．根据长方体的特征：长方体的6个面中有2个面是正方形时，其它的4个面都是相等的长方形；已知“4×3”有4个，“4×4”有2个，正好能拼成长方体模型； D．根据长方体的特征：长方体的6个面中有2个面是正方形时，其它的4个面都是相等的长方形；已知“4×3”有2个，“4×4”有4个，还缺少2个“4×3”的长方形，所以这些材料不能拼成长方体模型。 故答案为：C 7．长方体中，面数＋顶点数－棱数＝6＋8－12＝2，下图，面数＋顶点数－棱数＝（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，据此确定给出的立体图形的面数、顶点数及棱数并计算即可。 【详解】据图可知，面数是7，顶点数是10，棱数是15； 面数＋顶点数－棱数 ＝7＋10－15 ＝17－15 ＝2 长方体中，面数＋顶点数－棱数＝6＋8－12＝2，下图，面数＋顶点数－棱数＝2。 故答案为：B 8．一个长8dm、宽4dm、高5dm的长方体盒子，最多能放下（    ）个棱长是2dm的正方体木块。（盒子的厚度忽略不计） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】要计算在一个长8dm、宽4dm、高5dm的长方体盒子中，能放下多少个棱长是2dm的正方体木块。就是用长方体盒子的长、宽、高分别除以正方体的棱长（2dm），然后把所得的结果相乘即可。 【详解】长方向：8÷2＝4（个） 宽方向：4÷2＝2（个） 高方向：5÷2＝2（个）……1（dm）（余数为1dm，不足2dm），即高方向能放2个正方体。 4×2×2＝16（个） 所以最多能放下16个棱长是2dm的正方体木块. 故答案为：B 9．如图是正方体（    ）的平面展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】●在正方体的前面且□在右面时，○应该在下面。●在正方体的前面且上面没有符号时，○应该在左面或下面。当□在正方体的前面，上面应该是○。〇在正方体的前面且上面和右面没有符号时，□应该在左面，●应该在下面。 【详解】A．●在正方体的前面且□在右面时，○应该在下面，不符合。 B．●在正方体的前面且上面没有符号时，○应该在左面或下面，不符合要求。 C．□在正方体的前面，上面应该是○，不符合。 D．〇在正方体的前面且上面和右面没有符号时，□应该在左面，●应该在下面，符合。 所以是的平面展开图。 故答案为：D 10．下面4个选项，图（    ）中的三根小棒能决定长方体的形状与大小。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】长方体有12条棱，分3组，相交于同一点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，长方体的形状和大小由长、宽、高决定，据此解答。 【详解】A、C、D三项中的三根小棒未相交于同一点（或不在同一顶点），不能构成长方体的长、宽、高，无法决定长方体的形状和大小。 B项给出了长方体的长、宽、高，可以确定长方体的大小和形状。 故答案为：B 11．将如图这张纸折成一个正方体，那么“做”对面的汉字是______。 【答案】儿 【分析】2－3－1型正方体展开图，如果“理”在下面，则“做”在后面，“想”在右面，“儿”在前面，前后相对，据此分析。 【详解】根据分析，“做”对面的汉字是儿。 12．一根长108厘米的铁丝正好能做成一个正方体框架，那么该正方体框架的棱长是( )厘米。 【答案】9 【分析】由题意可知，铁丝的总长度相当于正方体框架的棱长之和，正方体的棱长之和＝棱长×12，则正方体的棱长＝棱长之和÷12，把题目中的数据代入公式计算，据此解答。 【详解】108÷12＝9（厘米） 所以，该正方体框架的棱长是9厘米。 13．两个正方体纸盒，每相对两个面的数字之和是10，下面是这两个正方体纸盒的展开图，请你在各个面上填上合适的数字。 【答案】见详解 【分析】根据同层和同列中隔一面寻找相对面，再根据每相对两个面的数字之和是10，推算出已知数字相对面的数字。 （1）数字6的左右两个面相对，10－1＝9，所以6的右面上是9，2与它的右边第二个面相对，10－2＝8，所以2的右边第二个面上是8；最后6与2的右边第一个面相对，10－6＝4，所以2的右边第一个面上是4； （2）3的上下两个面相对，10－8＝2，所以3的下面的面是8；4的左右两个面相对，10－3＝7，所以4的右边第一个面是7；4与它的右边第二个面相对，10－4＝6，所以4的右边第二个面上是6。 【详解】 14．一个长方体的长、宽、高分别是8cm、3cm、7cm，它的棱长总和是( )cm。 【答案】72 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 【详解】（8＋3＋7）×4 ＝18×4 ＝72（cm） 它的棱长总和是72cm。 15．在下面长方体和正方体的展开图中，分别用“上、下、后、左、右”标明剩下的5个面。 【答案】见详解 【分析】长方体和正方体的展开图，同一直线上间隔一个的是相对的两个面，前面对后面，可找到最下面和“前”相同的长方形是“后”，“前”和“后”中间的一面是“下”，同一直线上间隔一个的和“下”相同的长方形是“上”，左边的小长方形为“左”，右边的小长方形为“右”； 正方体展开图和长方体展开图类似，先根据同一直线上间隔一个的是相对的两个面找到“后”，“前”和“后”中间的一面是“上”，同一直线上间隔一个的是相对的“下”，左边的小正方形为“左”，右边的小正方形为“右”； 【详解】根据分析标注如下： 16．将下面这个图形折成长方体，如果从前面看长方体，看到的是E面，那么从后面看是( )面。与C面相对的面是( )面，与B面相对的面是( )面。（填字母） 【答案】 A F D 【分析】若将展开图折成一个长方体，相对的面在平面图形上不是相邻的面，而是相隔的面，则A面与E面相对，B面与D面相对，C面与F面相对；如果E面在前面，与它相对的面在后面是A。 【详解】由分析可知：将下面这个图形折成长方体，如果从前面看长方体，看到的是E面，那么从后面看是A面。与C面相对的面是F面，与B面相对的面是D面。 17．如表是老师为同学们准备的小棒。如果让你从中选出一些搭建一个长方体框架（小棒不能拼接或折损使用），需要选出( )根，你搭成的长方体框架的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 小棒长度 根数 9cm 3根 6cm 9根 4cm 5根 【答案】 12 6 6 4 【分析】长方体有12条棱，分别为4条长、4条宽、4条高，所以选小棒时，长方体框架的长、宽、高棱分别需要4根相同长度的小棒，长、宽、高可以有相同长度。所以需要选出4×3＝12根。从6cm的小棒中选8根作为长和宽，从4cm的小棒中选4根作为高，此时搭成的长方体框架长是6cm，宽是6cm，高是4cm。 【详解】4×3＝12（根） 从6cm的小棒中选8根作为长和宽，从4cm的小棒中选4根作为高。 需要选出12根，搭成的长方体框架的长是6cm，宽是6cm，高是4cm。（长宽高答案不唯一） 18．小明用铁丝制作了一个长5cm、宽3.5cm、高2cm的长方体框架。制作这个长方体框架一共用了( )cm的铁丝。 【答案】42 【分析】求制作长方体框架一共用铁丝的长度，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算，即可求出铁丝的长度。 【详解】（5＋3.5＋2）×4 ＝10.5×4 ＝42（cm） 制作这个长方体框架一共用了42cm的铁丝。 19．用长为72cm的铁丝焊接成一个长8cm，宽3cm的长方体框架，这个框架的高是( )，如果用这根铁丝焊接成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )cm。 【答案】 7cm/7厘米 6 【分析】长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，已知总长为72厘米，长、宽分别为8厘米、3厘米，可计算得出高；正方体棱长之和＝棱长×12，据此可得出答案。 【详解】这个长方体框架的高是： （厘米） 正方体框架棱长为：（厘米） 20．（如图）用彩带包扎一个长40cm、宽20cm、高18cm的长方体礼盒。打结处用了彩带15cm，包装这个礼盒共用彩带( )。 【答案】207cm/207厘米 【分析】观察图形可知，包装这个礼盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】40×2＋20×2＋18×4＋15 ＝80＋40＋72＋15 ＝207（cm） 包装这个礼盒共用彩带207cm。 21．杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品，奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带，其中打结部分是16厘米，正方体礼品盒棱长总和是多少厘米？ 【答案】90厘米 【分析】用总长度减去打结部分的长度算出捆扎正方体（不含打结部分）的丝带长度。用捆扎的丝带长度除以丝带经过正方体棱长的数量，算出正方体的棱长。再根据正方体的棱长总和＝棱长×12解决。 【详解】76－16＝60（厘米） 60÷8＝7.5（厘米） 7.5×12＝90（厘米）   答：正方体礼品盒棱长总和是90厘米。 22．潮汕茶文化全国闻名，现在网购发达，商家会把茶叶打包邮寄给全国各地的顾客朋友。如图，一个装茶叶的长方体纸箱，长5分米，宽4分米，高2分米。为确保邮寄时不受损坏，每个面都用胶带粘成“十”字形。至少需要多长的胶带？（接口处忽略不计） 【答案】44分米 【分析】求胶带长度相当于求长方体棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 【详解】（5＋4＋2）×4 ＝11×4 ＝44（分米） 答：至少需要44分米长的胶带。 23．下图分别是长方体中3条棱的几种情况，哪些图形能够确定长方体原来的样子？请说明理由。 【答案】①③⑤；理由见详解 【分析】相交于同一顶点的三条棱的长度分别称为长方体的长、宽、高（它们两两互相垂直），它们决定了长方体的形状和大小。 【详解】答：①③⑤三条棱两两相互垂直，可以表示长方体的长、宽、高，能够确定长方体原来的样子； ②④⑥三条棱不在同一顶点，无法表示长方体的长、宽、高，不能够确定长方体原来的样子。 【点睛】此题主要考查长方体的特征。 24．电子商务作为一种新型的商业模式，已经在全球范围内得到了广泛应用和发展，这就引起了人们对快递包装安全性的关注。某快递员正在打包一个寄往北京市海淀区的包裹，要用胶带打包成如图的样子，快递员想知道用5米长的胶带够不够，请你帮他算一算。（打包接口处的胶带长度忽略不计） 【答案】够 【分析】观察图形可知，这个快递需要的胶带长度＝长方体6条高的长度＋长方体2条长的长度＋长方体4条宽的长度，求出的长度与快递员带的胶带长度进行比较即可解答。 【详解】30×6＋50×2＋40×4 ＝180＋100＋160 ＝280＋160 ＝440（厘米） 5米＝500厘米 440＜500 答：用5米长的胶带够。 25．下图是一种绿茶的包装盒，包装盒是一个长24厘米、宽12厘米的长方体，加上打结的20厘米彩带，共用了124厘米长的彩带。这个长方体礼盒的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，所用彩带的总长度减去打结长度等于长方体棱长总和减去2条长和2条宽的长度之和，即124厘米－20厘米＝（长＋宽）×2＋高×4，据此根据所给的已知条件计算出这个长方体礼盒的高。 【详解】124－20－（24＋12）×2 ＝104－36×2 ＝104－72 ＝32（厘米） 32÷4＝8（厘米） 答：这个长方体礼盒的高是8厘米。 26．为了迎接赣州市青少年游泳锦标赛，工人叔叔要在瑞金游泳馆四周装上彩灯（地面四边不装）。已知游泳馆长100米，宽60米，高20米，工人叔叔至少需要准备多长的彩灯？ 【答案】400米 【分析】分析题目，需要彩灯的长度就是求长方体的2条长2条宽和4条高的长度之和，据此结合长方体的棱长总和公式可知：彩灯的长度＝长×2＋宽×2＋高×4，据此代入数据列式计算即可。 【详解】100×2＋60×2＋20×4 ＝200＋120＋80 ＝320＋80 ＝400（米） 答：工人叔叔至少需要准备400米的彩灯。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05：长方体和正方体的认识 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、长方体的基本特征 1.定义与组成 长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形 长方体有6个面，相对的面完全相同（即前面和后面、左面和右面、上面和下面分别完全相同） 长方体有12条棱，可分为三组，分别是4条长、4条宽、4条高，相对的棱长度相等 长方体有8个顶点，每个顶点是三条棱的交点 2.长、宽、高的概念 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高 一般情况下，把底面中较长的一条棱叫作长，较短的一条棱叫作宽，垂直于底面的棱叫作高 3.特殊长方体 当长方体有两个相对的面是正方形时，它仍然是长方体，但具有特殊性质 在实际生活中，并不是所有长方体形状的物体都有6个面，如鱼缸、游泳池等只有5个面，烟囱、通风管等只有4个面 二、正方体的基本特征 1.定义与组成 正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，也称为立方体或正六面体 正方体有6个面，6个面完全相同 正方体有12条棱，12条棱的长度都相等 正方体有8个顶点，和长方体一样 2.正方体的特殊性质 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高这三条棱的长度都相等时，长方体就变成了正方体 正方体的所有面、棱都完全一样，这是它区别于一般长方体的关键特征 正方体的棱长扩大n倍，棱长总和扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍 三、长方体和正方体的关系 1.包含关系 正方体是特殊的长方体，而不是长方体是特殊的正方体 长方体的集合包含正方体，正方体是长方体的一个子集 2.特征对比 相同点：都有6个面、12条棱、8个顶点 不同点： 长方体的面一般是长方形（特殊情况有两个正方形），而正方体的6个面都是正方形 长方体的棱分为3组（长、宽、高），而正方体的12条棱长度都相等 四、长方体和正方体的展开图 1.长方体的展开图 长方体的展开图有多种可能，取决于从哪个面开始剪开 长方体相对的面在展开图中完全隔开 2.正方体的展开图 正方体的展开图共有11种标准形式，分为4大类 "1-4-1"型：中间4个正方形排成一列，上下各1个（6种变化） "2-3-1"型：像楼梯一样，从上到下分别是2个、3个、1个正方形（3种变化） "2-2-2"型：像三层楼梯，每层2个正方形，错开排列（1种） "3-3"型：两排，每排3个正方形，像两列火车错开（1种） 判断方法：先数是不是6个正方形，再尝试在脑子里"折叠"，看能否拼成正方体 五、易错点与注意事项 1.常见误解 错误：长方体的6个面一定都是长方形（正确：特殊情况有两个相对的面是正方形） 错误：长方体的长发生变化，左面和右面的大小会改变（正确：左面和右面的大小不变） 错误：正方体是长方体的特殊情况，所以长方体是特殊的正方体（正确：正方体是特殊的长方体） 2.重要提示 长方体和正方体的展开图不止一种，但表面积是固定的 在计算a³时，不要把a³看作3×a，a³应是a×a×a 正方体的棱长扩大n倍，体积扩大n³倍，而非n倍 用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同 第二部分 典型例题 【例题1】下图是长方体一个顶点处的3条棱（单位：厘米），以下图形中选择6个面（可重复选）可围出这个长方体的是（    ）。 A．①①②③④④ B．②②③③⑥⑥ C．②②③③④④ D．②②④④⑤⑤ 【例题2】把下面的展开图围成正方体后，与“眼”字所在面相对面上的字是（    ）。 A．护 B．未 C．康 D．来 【例题3】一个正方体的棱长是10cm，一只蚂蚁从这个正方体的一个顶点出发，沿棱爬行，如果要求不走重复的路线，蚂蚁回到起点所走的路线最长是( )cm。 【例题4】你购买了一个精美的游乐园纪念品，包装盒是一个长方体，它有( )个面，通常情况下，每个面都是( )形，特殊情况下有两个面是( )形。 【例题5】灯笼是一种古老的传统工艺品。王伯伯用一根竹丝正好扎成一个长40cm、宽30cm、高20cm的长方体灯笼框架。如果用这根竹丝扎成一个正方体灯笼框架，那么正方体灯笼框架的棱长最长是多少？（接头处忽略不计） 【例题6】把一个棱长是8厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长总和与原来正方体的棱长总和相比，增加了多少厘米？ 第三部分 高频真题 1．盲盒中放了某物，它的长约20厘米，宽约15厘米，高约0.7厘米，这个物品可能是（    ）。 A．新华字典 B．魔方 C．数学书 D．奖状 2．用一根长48厘米的铁丝围成一个正方体框架，它的棱长是（    ）厘米。 A．12 B．6 C．4 D．3 3．用一根72cm长的铁丝，恰好可以焊成一个长8cm、宽6cm、高（    ）cm的长方体框架。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．一个长8dm，宽6dm，高4dm的长方体盒子，最多能放下（    ）个棱长是2dm的正方体木块。（盒子厚度忽略不计） A．8 B．14 C．24 D．192 5．某产品说明书上标注包装尺寸为，它们分别表示了这个长方体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想象一下它可能是（    ）。 A．一台电脑 B．一台冰箱 C．一台电视机 D．一部手机 6．下面提供的材料，能正好做成一个长方体框架或模型的是（    ）。 A． B． C． D． 7．长方体中，面数＋顶点数－棱数＝6＋8－12＝2，下图，面数＋顶点数－棱数＝（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．5 8．一个长8dm、宽4dm、高5dm的长方体盒子，最多能放下（    ）个棱长是2dm的正方体木块。（盒子的厚度忽略不计） A．12 B．16 C．20 D．24 9．如图是正方体（    ）的平面展开图。 A． B． C． D． 10．下面4个选项，图（    ）中的三根小棒能决定长方体的形状与大小。 A． B． C． D． 11．将如图这张纸折成一个正方体，那么“做”对面的汉字是______。 12．一根长108厘米的铁丝正好能做成一个正方体框架，那么该正方体框架的棱长是( )厘米。 13．两个正方体纸盒，每相对两个面的数字之和是10，下面是这两个正方体纸盒的展开图，请你在各个面上填上合适的数字。 14．一个长方体的长、宽、高分别是8cm、3cm、7cm，它的棱长总和是( )cm。 15．在下面长方体和正方体的展开图中，分别用“上、下、后、左、右”标明剩下的5个面。 16．将下面这个图形折成长方体，如果从前面看长方体，看到的是E面，那么从后面看是( )面。与C面相对的面是( )面，与B面相对的面是( )面。（填字母） 17．如表是老师为同学们准备的小棒。如果让你从中选出一些搭建一个长方体框架（小棒不能拼接或折损使用），需要选出( )根，你搭成的长方体框架的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 小棒长度 根数 9cm 3根 6cm 9根 4cm 5根 18．小明用铁丝制作了一个长5cm、宽3.5cm、高2cm的长方体框架。制作这个长方体框架一共用了( )cm的铁丝。 19．用长为72cm的铁丝焊接成一个长8cm，宽3cm的长方体框架，这个框架的高是( )，如果用这根铁丝焊接成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )cm。 20．（如图）用彩带包扎一个长40cm、宽20cm、高18cm的长方体礼盒。打结处用了彩带15cm，包装这个礼盒共用彩带( )。 21．杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品，奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带，其中打结部分是16厘米，正方体礼品盒棱长总和是多少厘米？ 22．潮汕茶文化全国闻名，现在网购发达，商家会把茶叶打包邮寄给全国各地的顾客朋友。如图，一个装茶叶的长方体纸箱，长5分米，宽4分米，高2分米。为确保邮寄时不受损坏，每个面都用胶带粘成“十”字形。至少需要多长的胶带？（接口处忽略不计） 23．下图分别是长方体中3条棱的几种情况，哪些图形能够确定长方体原来的样子？请说明理由。 24．电子商务作为一种新型的商业模式，已经在全球范围内得到了广泛应用和发展，这就引起了人们对快递包装安全性的关注。某快递员正在打包一个寄往北京市海淀区的包裹，要用胶带打包成如图的样子，快递员想知道用5米长的胶带够不够，请你帮他算一算。（打包接口处的胶带长度忽略不计） 25．下图是一种绿茶的包装盒，包装盒是一个长24厘米、宽12厘米的长方体，加上打结的20厘米彩带，共用了124厘米长的彩带。这个长方体礼盒的高是多少厘米？ 26．为了迎接赣州市青少年游泳锦标赛，工人叔叔要在瑞金游泳馆四周装上彩灯（地面四边不装）。已知游泳馆长100米，宽60米，高20米，工人叔叔至少需要准备多长的彩灯？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $