专题03：2、5、3的倍数 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题03：2、5、3的倍数 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、基本概念梳理 1.因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷3=4，所以3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 重要提示：因数和倍数是相互依存的，不能单独说"3是因数"或"12是倍数"，必须明确"3是12的因数"或"12是3的倍数"。 2.研究范围 在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。 倍数和因数都是自然数，不能是小数或分数。 二、2的倍数特征 1.基本特征 个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 例如：10、12、14、16、18、20等都是2的倍数。 2.偶数与奇数 偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 自然数可以分为奇数和偶数两大类。 三、5的倍数特征 1.基本特征 个位上是0或5的数都是5的倍数。 例如：5、10、15、20、25、30等都是5的倍数。 四、3的倍数特征 1.基本特征 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 例如：123（1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数）；245（2+4+5=11，11不是3的倍数，所以245不是3的倍数）。 2.判断技巧 弃3法：抛弃掉各位上能被3整除的数字，使得加法过程变得简单一些。 例如：判断63665169是否是3的倍数，可以先看5+1=6（是3的倍数），所以整个数是3的倍数。 五、综合特征与应用 1.同时是2和5的倍数的特征 个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。 例如：10、20、30、40等既是2的倍数，又是5的倍数。 本质原因：10=2×5，所以任何10的倍数都同时是2和5的倍数。 2.同时是2和3的倍数的特征 个位上是0、2、4、6、8，并且各位数字之和是3的倍数。 例如：12（1+2=3，是3的倍数）、18（1+8=9，是3的倍数）。 3.同时是5和3的倍数的特征 个位上是0或5，并且各位数字之和是3的倍数。 例如：15（1+5=6，是3的倍数）、30（3+0=3，是3的倍数）。 4.同时是2、3和5的倍数的特征 个位上是0，并且各位数字之和是3的倍数。 例如：30（3+0=3，是3的倍数）、60（6+0=6，是3的倍数）。 最小三位数：120（个位是0，1+2+0=3，是3的倍数）。 六、常见错误与易错点 1.因数与倍数的表述错误 错误：因为12÷3=4，所以3是因数，12是倍数。 正确：3是12的因数，12是3的倍数。 2.3的倍数特征的误解 错误：个位上是3、6、9的数都是3的倍数。 正确：3的倍数要看各位数字之和，而不是只看个位。 例如：13（1+3=4，不是3的倍数）、26（2+6=8，不是3的倍数）。 3.倍数计算错误 错误：某数从100增加到300，说"增长了三倍"。 正确：增长了两倍（(300-100)/100=2）。 七、学习方法与技巧 1.找因数的方法 列乘法算式：有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式。 列除法算式：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数。 2.找倍数的方法 列乘法算式：用这个数依次与非0自然数相乘。 列法算式：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数。 3.判断3的倍数的技巧 先计算各位数字之和，再判断这个和是否是3的倍数。 使用"弃3法"简化计算过程。 第二部分 典型例题 【例题1】用0，3，4，5任意组成的四位数（每个数字都不重复）一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．如：3045的个位是5，3045不是2的倍数，所以用0、3、4、5任意组成的四位数不一定是2的倍数。 B．0＋3＋4＋5＝12，12是3的倍数，所以用0、3、4、5任意组成的四位数一定是3的倍数。 C．如：3504的个位是4，3504不是5的倍数，所以用0、3、4、5任意组成的四位数不一定是5的倍数。 D．由以上分析可以确定，用0、3、4、5任意组成的四位数一定是3的倍数。 故答案为：B 【例题2】东东家密码锁的密码是“20□5”，东东记得这个密码既是3的倍数，也是5的倍数。这个密码中缺的数字可能（    ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】3的倍数特征是各位数字之和是3的倍数，5的倍数特征是个位数字是0或5。已知密码个位是5，满足5的倍数特征，所以只有计算已知数字的和，再依次加上各选项的数字，若得到和是3的倍数，这个密码中缺的数字就是该选项的数字。 【详解】已知数字的和为：2＋0＋5＝7。 A．7＋0＝7，7不是3的倍数，所以A选项错误。 B．7＋1＝8，8不是3的倍数，所以B选项错误。 C．7＋2＝9，9是3的倍数，所以C选项正确。 D．7＋3＝10，10不是3的倍数，所以D选项错误。 故答案为：C 【例题3】三个连续奇数的和是21，这三个连续奇数中最大的数是( )。 【答案】9 【分析】奇数：不能被2整除的数；相邻两个奇数之间相差2，据此可知中间的奇数是这三个连续奇数的平均数，用21除以3求出中间的奇数，再用中间的奇数加2即可得到最大的奇数。 【详解】21÷3＝7 7＋2＝9 三个连续奇数的和是21，这三个连续奇数中最大的数是9。 【例题4】一次宴会后，要求男、女宾客不同桌，但每桌都按要求尽量坐满。如果要求8人一桌，则共需15桌；如果要求9人一桌则恰好坐满，如果要求10人一桌，则男宾客比女宾客多3桌。那么这次宴会中女宾客有______人。 【答案】45 【分析】每桌都是8人，如果最后两桌坐男女各1人，男、女总人数最少（15－2）×8＋1＋1＝13×8＋1＋1＝104＋1＋1＝106（人）；让15桌都坐满，人数最多为15×8＝120（人）。总人数范围为106~120人。 每桌9人，恰好全部坐满，说明男、女宾客数都是9的倍数，那么总人数也是9的倍数，在106~120中只有108和117，所以共有108人或117人。 每桌10人，男宾客比女宾客多3桌，这样男、女至少相差（3－1）×10＋1＝2×10＋1＝20＋1＝21（人），最多相差9＋3×10＝9＋30＝39人。相差量在21~39人，同时差量也是9的倍数，只能是27或36。 根据和与差具有相同的奇偶性，得到两种情况：总宾客人数是奇数117人，相差27人；或者宾客总人数为偶数108人，相差36人。 若男、女宾客共108人，男宾客比女宾客多36人，得到男宾客有（108＋36）÷2＝144÷2＝72人，女宾客有（108－36）÷2＝72÷2＝36人。如果8人一桌，男宾客有72÷8＝9桌，女宾客有36÷8＝4（桌）……4（人），即有5桌。共9＋5＝14桌，不满足条件。 若男、女宾客共117人，男宾客比女宾客多27人。得到男宾客有（117＋27）÷2＝72（人），女宾客有（117－27）÷2＝90÷2＝45（人）。如果8人一桌，男宾客有72÷8＝9桌，女宾客有45÷8＝5（桌）……5（人），即有6桌。共9＋6＝15桌，满足条件。 【详解】每桌都是8人： （15－2）×8＋1＋1 ＝13×8＋1＋1 ＝104＋1＋1 ＝106（人） 15桌都坐满：15×8＝120（人） 总人数范围为106~120人。 每桌9人，恰好全部坐满，总人数是9的倍数，所以共有108人或117人。 每桌10人，男、女至少相差： （3－1）×10＋1 ＝2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（人） 最多相差： 9＋3×10 ＝9＋30 ＝39（人） 相差量在21～39人，差量也是9的倍数，只能是27或36。 （108＋36）÷2 ＝144÷2 ＝72（人） （108－36）÷2 ＝72÷2 ＝36人。 72÷8＝9桌，36÷8＝4（桌）……4（人），4＋1＝5（人），9＋5＝14（桌），不满足条件。 （117－27）÷2 ＝90÷2 ＝45（人） （117＋27）÷2 ＝144÷2 ＝72（人） 72÷8＝9（桌），45÷8＝5（桌）……5（人），5＋1＝6（桌），9＋6＝15（桌），满足条件。 所以这次宴会中女宾客有45人。 【点睛】本题需先确定人数范围，运用倍数关系计算男女生人数的差量。核心是通过不同桌数要求锁定总人数范围，结合倍数和男女生桌数差推导女宾客人数。 【例题5】妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香，店员说妈妈应付87元。按照下面的价格计算，店员说得对吗？ 【答案】不对 【分析】马蹄莲10元/枝，郁金香5元/枝，妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香，则马蹄莲总钱数为10的倍数，郁金香总钱数是5的倍数。又由10＝5×2，则马蹄莲总钱数为5的倍数，马蹄莲和郁金香总钱数是5的倍数；据此解答。 【详解】由分析可知：马蹄莲和郁金香的总钱数是5的倍数，而87的个位上是7，所以87不是5的倍数，所以店员说的不对。 【例题6】 （1）上面用数字卡片摆出的数中哪些是3的倍数？ （2）在每个数后面增加一张数字卡片，使这个三位数成为3的倍数。 【答案】（1）24、96 （2）243、582、471、960 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】（1）2＋4＝6、5＋8＝13、4＋7＝11、9＋6＝15 3的倍数有：24、96 （2）15－13＝2、12－11＝1 24的后面可以加上0、3、6、9；58的后面可以加上2、5、8；47的后面可以加上1、4、7；96的后面可以加上0、3、6、9 243、582、471、960（答案不唯一） 第三部分 高频真题 1．下面数中，（    ）同时含有2、3、5的因数。 A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】C 【分析】2的倍数：个位是0、2、4、6、8；5的倍数：个位是0或5；3的倍数：各位数字之和是3的倍数。同时满足这三个特征的数，才同时含有2、3、5的因数。 【详解】A．110：个位是0，满足2和5的倍数特征；各位数字和为 1＋1＋0＝2，2不是3的倍数，因此110不含因数3，不符合要求。 B．115：个位是5，满足5的倍数特征，但不满足2的倍数特征（个位不是偶数），因此115不含因数2，不符合要求。 C．120：个位是0，满足2和5的倍数特征；各位数字和为 1＋2＋0＝3，3是3的倍数，满足3的倍数特征，因此120同时含有2、3、5的因数，符合要求。 D．125：个位是5，满足5的倍数特征，但不满足2的倍数特征，因此125不含因数2，不符合要求。 120同时含有2、3、5的因数。 2．a÷b＝2……41（a、b为非零自然数），下列说法正确的是（    ）。 A．a是奇数 B．b定是奇数 C．a是偶数 D．b是a的因数 【答案】A 【分析】能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数；偶数＋奇数＝奇数，据此解答。 【详解】a÷b＝2……41（a、b为非零自然数），由此可知，a＝2b＋41；2b是偶数，41是奇数，偶数＋奇数＝奇数，a一定是奇数，所以说法正确的是a是奇数。 3．下面各数中，（    ）同时含有2、3、5的因数。 A．20 B．25 C．30 D．50 【答案】C 【分析】要找同时含2、3、5因数的数，需满足“个位是0且各位数字之和是3的倍数”两个条件。 【详解】A．个位0，但2＋0＝2不是3的倍数，不符合题意； B．个位不是0，不符合题意； C．个位0，且3＋0＝3是3的倍数，符合题意； D．个位0，但5＋0＝5不是3的倍数，不符合题意； 30同时含有2、3、5的因数。 4．教室电脑桌面的锁屏密码是一个四位数“5□1□”，李老师给出提示信息：已知这个四位数既是2的倍数，又是3和5的倍数，同学们要找到正确密码，最多需要输入（    ）次。 A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】2的倍数特征：个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数，5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数，3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，既是2的倍数，又是3和5的倍数，那么个位数是0，并且各位上的数的和是3的倍数，据此解答。 【详解】同时是2和5的倍数，则个位上的数是0，又是3的倍数， 5＋1＋0＝6，那么百位上的数可能是0或3或6或9，6＋0＝6，6＋3＝9，6＋6＝12，6＋9＝15，6，9，12，15都是3的倍数，所以密码可能是5010，5310，5610，5910，因此最多需要输入4次。 5．某天一部电影在全国影院的播放场次既是2的倍数，又是3的倍数。下面（    ）可能是这部影片当天的播放场次。 A．2057 B．2914 C．3364 D．5796 【答案】D 【分析】因为播放场次既是2的倍数又是3的倍数，所以该数需同时满足2和3的倍数特征，可先利用2的倍数特征筛选选项，再用3的倍数特征进一步验证。如果一个数是2的倍数，那么它的个位数字是0、2、4、6、8，据此先排除不符合的选项。如果一个数是3的倍数，那么它的各位数字之和是3的倍数，再对剩余选项进行验证。 【详解】A．2057不是2的倍数，不符合题意； B．2914是2的倍数，但不是3的倍数，不符合题意； C．3364是2的倍数，但不是3的倍数，不符合题意； D．5796是2的倍数，也是3的倍数，符合题意； 故答案为：D 6．小华买3支相同的钢笔，花了14.□0元，十分位上的数字记不清了。□代表的数字可能是（    ）。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，3支相同钢笔的总价是14.□0元，说明总价是3的倍数。根据3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此分析1＋4＋□＋0的和是否为3的倍数，进而确定□代表的数字，据此解答。 【详解】14.□0元＝ 14□0分，1＋4＋□＋0＝5＋□ A．5＋6＝11，11不是3的倍数。 B．5＋7＝12，12是3的倍数。 C．5＋8＝13，13不是3的倍数。 D．5＋9＝14，14不是3的倍数。 故答案为：B 7．张阿姨网购了一个背包，共花了2□□元。已知这个背包的总价既是2和5的倍数，又是3的倍数。那么这个背包最多（    ）元。 A．260 B．270 C．280 D．295 【答案】B 【分析】同时是2、3、5的倍数的数：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【详解】2＋0＝2，9是3的倍数，9－2＝7，所以这个背包最多270元。 故答案为：B 8．某小学六年级一共有992人在操场进行太极拳展示，排成了12行，前11行的人数都是奇数，那么最后一行的人数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．不能确定 D．质数 【答案】A 【分析】奇数：不能被2整除的数；偶数：能被2整除的数；奇数＋奇数＝偶数，奇数＋奇数＋奇数＝奇数，据此可知：奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数，据此可知11个奇数之和是奇数，即前11行的人数之和是奇数，再根据总人数992是偶数确定最后一行的奇偶性即可。 【详解】11个奇数之和是奇数，即前11行的人数之和是奇数，992是偶数，因为奇数＋奇数＝偶数，所以最后一行的人数一定是奇数。 故答案为：A 9．一个两位数既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 30 90 【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是偶数。个位数字是0或5的数是5的倍数；一个数各个数位上数字之和是3的倍数，那么这个数是3的倍数；据此解答。 【详解】一个两位数，它是偶数，又是5的倍数，则个位数字一定是0。 当十位数字是3、6、9时，即两位数30、60、90是3的倍数。 所以这个数最小是30，最大是90。 10．六位数568□□□同时是2、3、5的倍数，这个六位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 568020 568980 【分析】一个数同时是2和5的倍数，其个位数字必须满足个位为0；若一个整数的各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。 【详解】这个六位数同时是2、3、5的倍数，那么其个位必须是0，前五位（5、6、8、十位、百位）数字之和能被3整除，即5＋6＋8＋十位＋百位的和能被3整除。 要使六位数最小，需让百位尽可能小，优先取0，再调整十位数字。 百位取0时，需满足“19＋0＋十位”能被3整除； 19除以3余1，因此十位数字需取2（1＋2＝3能被3整除），此时最小值为568020。 要使六位数最大，需让百位尽可能大，优先取9，再调整十位数字。 百位取9时，需满足“19＋9＋十位”能被3整除，即“28＋十位”是3的倍数。 28除以3余1，因此十位数字需取8（1＋8＝9能被3整除），此时最大值为568980。 所以，六位数最小是568020，最大是568980。 11．古人的年龄有时不用数表示，而是用一种与年龄有关的称谓来代替，如“花甲”指六十岁、“古稀”指七十岁、“耄耋”指八九十岁。聪聪爷爷今年已经年过古稀，未及耄耋，且年龄既是2的倍数，又有因数3，聪聪爷爷今年的年龄最小是( )岁。 【答案】72 【分析】聪聪爷爷年龄在71到79之间，是2的倍数（个位上的数字是0、2、4、6、8的数），同时各个数位数字之和能被3整除。 【详解】71到79之间是2的倍数的有：72、74、76、78； 7＋2＝9，能被3整除； 7＋4＝11，不能被3整除； 7＋6＝13，不能被3整除； 7＋8＝15，能被3整除。 所以聪聪爷爷今年的年龄最小是72岁。 12．既是2的倍数又是5的倍数的最小三位数是______，最大两位数是______。 【答案】 100 90 【分析】2的倍数：个位是0、2、4、6、8； 5的倍数：个位是0、5。 同时满足两个条件的数，个位必须是0。 【详解】既是2的倍数又是5的倍数的最小三位数是100，最大两位数是90。 13．“25”是一个三位数，当里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数；当里填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 【答案】 0 5 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】 既是2的倍数又是5的倍数的数的个位数字一定是0，“25”是一个三位数，当里填0时，它既是2的倍数，又是5的倍数；2＋5＋0＝7、2＋5＋5＝12，当里填5时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 14．三个连续偶数的和是216，这三个偶数的平均数是( )，其中最大一个数是( )。 【答案】 72 74 【分析】连续的偶数中，相邻的偶数相差2，平均数＝总和÷个数，三个连续偶数的平均数就是中间数。 【详解】216÷3＝72 72＋2＝74 15．刘叔叔在学习平台“学习强国”上的分数达到了2965分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 【答案】 2 5 【分析】3的倍数是一个数各位数字之和能被3整除。同时是2和5的倍数是一个数末尾必须是0。计算2965各位数字之和：2＋9＋6＋5＝22。比22大且能被3整除的最小数是24。需增加的分是：24－22＝2。2965末尾是5，要满足末尾为0，需找到比2965大且末尾为0的最小数，即2970。需增加的分是：2970－2965＝5。 【详解】2＋9＋6＋5＝22 24是3的倍数； 24－22＝2（分） 2970是2和5的倍数； 2970－2965＝5（分） 至少增加2分就是3的倍数，至少增加5分就同时是2和5的倍数。 16．第33届巴黎夏季奥林匹克运动会上共有206个国家和地区的10500名运动员参与了32个大项，329个小项的竞争。中国代表团获得了91枚奖牌，其中包括40枚金牌，27枚银牌和24枚铜牌。这些划线的数中：奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )。 【答案】 329，91，27 206，10500，32，40，24 10500，40 10500，27，24 【分析】奇数是不能被2整除的整数（末尾为1、3、5、7、9）。偶数是能被2整除的整数（末尾为0、2、4、6、8）。5的倍数是末尾为0或5的整数。3的倍数是各位数字之和能被3整除的整数。 【详解】206，尾数是6，是偶数； 10500，尾数是0，各位数字之和1＋0＋5＋0＋0＝6，是偶数，也是5的倍数以及3的倍数； 32，尾数是2，是偶数； 329，尾数是9，是奇数； 91，尾数是1，是奇数； 40，尾数是0，是偶数，也是5的倍数； 27，尾数是7，各位数字之和2＋7＝9，是奇数，也是3的倍数； 24，尾数是4，各位数字之和2＋4＝6，是偶数，也是3的倍数。 所以奇数有329，91，27；偶数有206，10500，32，40，24；5的倍数有10500，40；3的倍数有10500，27，24。 17．桌子上有3张扑克牌，上面的数字分别是4，5，6，背面都朝上，用这3张扑克牌摆三位数。摆出的三位数是2的倍数的可能有( )种结果；摆出的三位数是3的倍数的可能有( )种结果；摆出的三位数是5的倍数的可能有( )种结果。 【答案】 4 6 2 【分析】先找出所有由 4、5、6 组成的三位数，根据2的倍数的特征（个位上是0、2、4、6、8的数）、3的倍数的特征（各个数位上的数字之和是3的倍数）和5的倍数的特征（个位上是0或5的数）即可求解。 【详解】由4、5、6组成的三位数有456、465、546、564、645、654； 2的倍数有456、546、564、654，共4种结果； 因为4＋5＋6＝15，15是3的倍数，所以3的倍数有456、465、546、564、645、654，共6种结果； 5的倍数有465、645，共2种结果。 18．游戏规则：同时掷2个骰子，以点数之和判断输赢。点数之和共有( )种可能。若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性( )（填“相同”或“不同”）。 【答案】 11 相同 【分析】一个骰子共有6个面，分别对应6个不同的数字，所以朝上的面的点数可能是1、2、3、4、5、6共6种可能；列表格分析两个骰子的点数之和，由表格可知，点数之和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12共11种可能。 偶数：是2的倍数的数叫偶数；个位是0、2、4、6、8的数字是2的倍数； 奇数：不是2的倍数的数叫奇数。据此判断谁赢的可能性大。 【详解】填表如下： 2、4、6、8、10、12是偶数，由表格知：点数之和为偶数有18种情况； 3、5、7、9、11是奇数，由表格知：点数之和为奇数有18种情况； 所以同时掷2个骰子，以点数之和判断输赢。点数之和共有（11）种可能。若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性（相同）。 19．小美到文具店购买学习用品。笔记本5元一个，笔袋15元一个，记号笔2元一支。小美买了一些笔记本和笔袋，她付给售货员50元，找回了13元，找的钱数对吗？请说明理由。 【答案】不对；理由见详解 【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【详解】37÷5＝7……2 找的钱数不对。 答：因为笔记本和笔袋的价钱都是5的倍数，所以花费的钱数也是5的倍数，37不能被5整除，不是5的倍数，所以找的钱数不对。 20．长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返，记船由南岸驶向北岸为1次。摆渡第30次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】南岸；理由见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 判断摆渡结束次数为奇数还是偶数，船在不同的岸，据此发现规律，并按规律解答。 【详解】摆渡第1次结束时，船在北岸；第2次结束时，船在南岸；第3次结束时船在北岸；第4次结束时，船在南岸……以此类推，摆渡结束次数为奇数时，船在北岸；摆渡结束次数为偶数时，船在南岸。30为偶数，所以摆渡第30次结束时，船在南岸。 21．一块长方形绸布，长是80厘米，宽是72厘米。如果把它剪成若干个大小一样的小正方形，要求不能有剩余布料，且小正方形的边长最大，最多可以剪成多少个小正方形？ 【答案】 90个 【分析】求出长和宽的最大公因数，就是剪成的最大正方形的边长，再看一排（即长）能剪多少个，再看一列（即宽）能剪多少个，最后相乘即可。 【详解】80和72的最大公因数是8，所以，小正方形的边长就是8厘米。 80÷8＝10（个）   72÷8＝9（个）   10×9＝90（个） 答：最多可以剪成个小正方形。 22．云云的妈妈在超市买了3桶同样的花生油，付款时售货员说应付257元，云云认为不对。你觉得云云的看法正确吗？说说你的理由。（每桶花生油的单价为整元数） 【答案】正确；理由见详解 【分析】单价×数量＝总价。3桶油的价钱应该是3的倍数，3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】花生油单价×3桶＝应付钱数 2＋5＋7＝14 257不是3的倍数。 答：云云的看法正确。因为每桶花生油的单价为整元数，3桶同样的花生油的价钱应该是3的倍数，257不是3的倍数，付257元不对。 23．秦始皇陵兵马俑是享誉世界的珍贵文物，其中一号坑总计约有陶俑、陶马6000余件，是以战车和步兵组合的长方形坑。横线上的数3个3个地数，能正好数完吗？如果5个5个地数呢？ 【答案】3个3个地数能正好数完，5个5个地数也能正好数完。 【分析】如果一个数各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，所以先计算6000各位数字之和，再判断是否为3的倍数。 如果一个数的个位是0或5，那么这个数就是5的倍数，所以观察6000的个位数字，判断是否符合5的倍数特征。 若6000是3的倍数，则3个3个地数能正好数完；若6000是5的倍数，则5个5个地数能正好数完。 【详解】6＋0＋0＋0＝6，6000的各数位上的数字之和6是3的倍数，即6000是3的倍数； 6000的个位为0，即6000是5的倍数； 答：3个3个地数能正好数完，5个5个地数也能正好数完。 24．唐代诗人韦应物在《滁州西涧》中写道：“春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横。”渡口是道路越过河流以船渡的方式衔接两岸交通的地点。一名船工以摆渡为生，每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返。摆渡10次后，船工在南岸还是北岸？有人说，摆渡99次后船工在南岸，对吗？为什么？ 【答案】见详解 【分析】每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，摆渡1次在北岸，摆渡2次在南岸，即摆渡次数为奇数时在北岸，摆渡次数为偶数时在南岸，据此解答。 【详解】船工在南岸。 不对，因为摆渡1次后在北岸，摆渡2次后在南岸，摆渡3次后在北岸，摆渡4次后在南岸……即摆渡奇数次后在北岸，摆渡偶数次后在南岸，99是奇数，因此摆渡99次后船工在北岸。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03：2、5、3的倍数 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、基本概念梳理 1.因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷3=4，所以3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 重要提示：因数和倍数是相互依存的，不能单独说"3是因数"或"12是倍数"，必须明确"3是12的因数"或"12是3的倍数"。 2.研究范围 在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。 倍数和因数都是自然数，不能是小数或分数。 二、2的倍数特征 1.基本特征 个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 例如：10、12、14、16、18、20等都是2的倍数。 2.偶数与奇数 偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 自然数可以分为奇数和偶数两大类。 三、5的倍数特征 1.基本特征 个位上是0或5的数都是5的倍数。 例如：5、10、15、20、25、30等都是5的倍数。 四、3的倍数特征 1.基本特征 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 例如：123（1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数）；245（2+4+5=11，11不是3的倍数，所以245不是3的倍数）。 2.判断技巧 弃3法：抛弃掉各位上能被3整除的数字，使得加法过程变得简单一些。 例如：判断63665169是否是3的倍数，可以先看5+1=6（是3的倍数），所以整个数是3的倍数。 五、综合特征与应用 1.同时是2和5的倍数的特征 个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。 例如：10、20、30、40等既是2的倍数，又是5的倍数。 本质原因：10=2×5，所以任何10的倍数都同时是2和5的倍数。 2.同时是2和3的倍数的特征 个位上是0、2、4、6、8，并且各位数字之和是3的倍数。 例如：12（1+2=3，是3的倍数）、18（1+8=9，是3的倍数）。 3.同时是5和3的倍数的特征 个位上是0或5，并且各位数字之和是3的倍数。 例如：15（1+5=6，是3的倍数）、30（3+0=3，是3的倍数）。 4.同时是2、3和5的倍数的特征 个位上是0，并且各位数字之和是3的倍数。 例如：30（3+0=3，是3的倍数）、60（6+0=6，是3的倍数）。 最小三位数：120（个位是0，1+2+0=3，是3的倍数）。 六、常见错误与易错点 1.因数与倍数的表述错误 错误：因为12÷3=4，所以3是因数，12是倍数。 正确：3是12的因数，12是3的倍数。 2.3的倍数特征的误解 错误：个位上是3、6、9的数都是3的倍数。 正确：3的倍数要看各位数字之和，而不是只看个位。 例如：13（1+3=4，不是3的倍数）、26（2+6=8，不是3的倍数）。 3.倍数计算错误 错误：某数从100增加到300，说"增长了三倍"。 正确：增长了两倍（(300-100)/100=2）。 七、学习方法与技巧 1.找因数的方法 列乘法算式：有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式。 列除法算式：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数。 2.找倍数的方法 列乘法算式：用这个数依次与非0自然数相乘。 列法算式：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数。 3.判断3的倍数的技巧 先计算各位数字之和，再判断这个和是否是3的倍数。 使用"弃3法"简化计算过程。 第二部分 典型例题 【例题1】用0，3，4，5任意组成的四位数（每个数字都不重复）一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 D．无法确定 【例题2】东东家密码锁的密码是“20□5”，东东记得这个密码既是3的倍数，也是5的倍数。这个密码中缺的数字可能（    ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 【例题3】三个连续奇数的和是21，这三个连续奇数中最大的数是( )。 【例题4】一次宴会后，要求男、女宾客不同桌，但每桌都按要求尽量坐满。如果要求8人一桌，则共需15桌；如果要求9人一桌则恰好坐满，如果要求10人一桌，则男宾客比女宾客多3桌。那么这次宴会中女宾客有______人。 【例题5】妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香，店员说妈妈应付87元。按照下面的价格计算，店员说得对吗？ 【例题6】 （1）上面用数字卡片摆出的数中哪些是3的倍数？ （2）在每个数后面增加一张数字卡片，使这个三位数成为3的倍数。 第三部分 高频真题 1．下面数中，（    ）同时含有2、3、5的因数。 A．110 B．115 C．120 D．125 2．a÷b＝2……41（a、b为非零自然数），下列说法正确的是（    ）。 A．a是奇数 B．b定是奇数 C．a是偶数 D．b是a的因数 3．下面各数中，（    ）同时含有2、3、5的因数。 A．20 B．25 C．30 D．50 4．教室电脑桌面的锁屏密码是一个四位数“5□1□”，李老师给出提示信息：已知这个四位数既是2的倍数，又是3和5的倍数，同学们要找到正确密码，最多需要输入（    ）次。 A．4 B．5 C．6 D．10 5．某天一部电影在全国影院的播放场次既是2的倍数，又是3的倍数。下面（    ）可能是这部影片当天的播放场次。 A．2057 B．2914 C．3364 D．5796 6．小华买3支相同的钢笔，花了14.□0元，十分位上的数字记不清了。□代表的数字可能是（    ）。 A．6 B．7 C．8 D．9 7．张阿姨网购了一个背包，共花了2□□元。已知这个背包的总价既是2和5的倍数，又是3的倍数。那么这个背包最多（    ）元。 A．260 B．270 C．280 D．295 8．某小学六年级一共有992人在操场进行太极拳展示，排成了12行，前11行的人数都是奇数，那么最后一行的人数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．不能确定 D．质数 9．一个两位数既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是( )，最大是( )。 10．六位数568□□□同时是2、3、5的倍数，这个六位数最小是( )，最大是( )。 11．古人的年龄有时不用数表示，而是用一种与年龄有关的称谓来代替，如“花甲”指六十岁、“古稀”指七十岁、“耄耋”指八九十岁。聪聪爷爷今年已经年过古稀，未及耄耋，且年龄既是2的倍数，又有因数3，聪聪爷爷今年的年龄最小是( )岁。 12．既是2的倍数又是5的倍数的最小三位数是______，最大两位数是______。 13．“25”是一个三位数，当里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数；当里填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 14．三个连续偶数的和是216，这三个偶数的平均数是( )，其中最大一个数是( )。 15．刘叔叔在学习平台“学习强国”上的分数达到了2965分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 16．第33届巴黎夏季奥林匹克运动会上共有206个国家和地区的10500名运动员参与了32个大项，329个小项的竞争。中国代表团获得了91枚奖牌，其中包括40枚金牌，27枚银牌和24枚铜牌。这些划线的数中：奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )。 17．桌子上有3张扑克牌，上面的数字分别是4，5，6，背面都朝上，用这3张扑克牌摆三位数。摆出的三位数是2的倍数的可能有( )种结果；摆出的三位数是3的倍数的可能有( )种结果；摆出的三位数是5的倍数的可能有( )种结果。 18．游戏规则：同时掷2个骰子，以点数之和判断输赢。点数之和共有( )种可能。若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性( )（填“相同”或“不同”）。 19．小美到文具店购买学习用品。笔记本5元一个，笔袋15元一个，记号笔2元一支。小美买了一些笔记本和笔袋，她付给售货员50元，找回了13元，找的钱数对吗？请说明理由。 20．长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返，记船由南岸驶向北岸为1次。摆渡第30次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 21．一块长方形绸布，长是80厘米，宽是72厘米。如果把它剪成若干个大小一样的小正方形，要求不能有剩余布料，且小正方形的边长最大，最多可以剪成多少个小正方形？ 22．云云的妈妈在超市买了3桶同样的花生油，付款时售货员说应付257元，云云认为不对。你觉得云云的看法正确吗？说说你的理由。（每桶花生油的单价为整元数） 23．秦始皇陵兵马俑是享誉世界的珍贵文物，其中一号坑总计约有陶俑、陶马6000余件，是以战车和步兵组合的长方形坑。横线上的数3个3个地数，能正好数完吗？如果5个5个地数呢？ 24．唐代诗人韦应物在《滁州西涧》中写道：“春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横。”渡口是道路越过河流以船渡的方式衔接两岸交通的地点。一名船工以摆渡为生，每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返。摆渡10次后，船工在南岸还是北岸？有人说，摆渡99次后船工在南岸，对吗？为什么？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $