专题突破练20 圆锥曲线中的证明、探索性问题（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

专题突破练20　圆锥曲线中的证明、探索性问题

1.(12分)(2024全国甲,理20)设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点M(1,)在C上,且MF⊥x轴.

(1)求C的方程;

(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q.证明:AQ⊥y轴.

 

 

 

 

 

 

 

2.(15分)(2025陕西宝鸡三模)已知双曲线C过点P(,1)且一条渐近线方程为x+y=0.

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)若过点M(1,0)的直线l与双曲线C相交于A,B两点,试问在x轴上是否存在定点N,使直线NA与直线NB关于x轴对称,若存在,求出定点N的坐标;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

3.(15分)(2025浙江杭州模拟预测)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆E过点A(2,0),过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆E于点B,交y轴于点C.

(1)求椭圆E的方程.

(2)已知P为AB的中点,是否存在定点Q,对于任意的k(k≠0)都有,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

4.(17分)(2025山东日照二模)在平面直角坐标系xOy中,过点M(2,0)的直线l与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,当直线l平行于y轴时,|AB|=4.

(1)求抛物线C的方程.

(2)若直线l的斜率存在,直线AO与直线x=-2相交于点D,过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E.

①证明:∠DEO+∠BMO=π.

②是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为?若存在,说明直线l有几条;若不存在,请说明理由.

答案：

1.(1)解 设椭圆C的左焦点为F1,

则|F1F|=2,|MF|=,

又MF⊥x轴,所以|MF1|=,2a=|MF1|+|MF|=4,

则a2=4,b2=a2-1=3.

故椭圆C的方程为=1.

(2)证明 设点A(x1,y1),B(x2,y2),

则,

即x1y2-x2y1=4(y2-y1),

所以(x1y2-x2y1)(x1y2+x2y1)=

=(4--(4-

=4(y2-y1)(y2+y1)

=4(y2-y1)(x1y2+x2y1),

所以x1y2+x2y1=y1+y2,2x2y1=5y1-3y2,

又点P(4,0),F(1,0),N(,0),

则yQ==y1,故AQ⊥y轴.

2.解 (1)∵双曲线C的一条渐近线方程为x+y=0,

∴设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).

又∵双曲线C过点P(,1),

则代入得λ=2,

∴双曲线C的方程为=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),假设在x轴上存在定点N(x0,0),使直线NA与直线NB关于x轴对称.