专题突破练19 圆锥曲线中的定点、定值问题（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

专题突破练19　圆锥曲线中的定点、定值问题

1.(12分)(2022全国乙,理20)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(,-1)两点.

(1)求E的方程;

(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足.证明:直线HN过定点.

 

 

 

 

 

 

2.(15分)(2025山东济宁二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,且点A(4,3)在双曲线C上,

(1)求C的方程;

(2)若直线l交C于P,Q两点,∠PAQ的平分线与x轴垂直,求证:l的倾斜角为定值.

 

 

 

 

 

 

3.(17分)(2025陕西榆林二模)已知焦距为2且焦点在x轴上的椭圆E经过点A(2,1).直线l:y=kx+m不过点A.若l与E相交于M,N两点,且以MN为直径的圆过点A.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)求证:点(k,m)在定直线上.

 

 

4.(17分)(2025湖北武汉二模)如图,椭圆Γ1:=1(m>n>0),Γ2:=1,已知Γ1右顶点为H(2,0),且它们的交点分别为P1(1,1),P2(-1,1),P3(-1,-1),P4(1,-1).

(1)求Γ1与Γ2的标准方程;

(2)过点P1作直线MN,交Γ1于点M,交Γ2于点N,设直线P3M的斜率为,直线P3N的斜率为,求;(上述各点均不重合)

(3)点Q1是Γ1上的动点,直线Q1P1交Γ2于点Q2,直线Q2P2交Γ1于点Q3,直线Q3P3交Γ2于点Q4,直线Q4P4与直线Q1P1交于点N,是否存在点G使直线NG与直线NH的斜率之积为定值.(上述各点均不重合)

答案：

1.(1)解 设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),

则解得

故椭圆E的方程为=1.

(2)证明 由点A(0,-2),B,可知直线AB的方程为y=x-2.

当过点P的直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=1.

由

解得

则点M,N将y=-代入y=x-2,得x=3-,则点T(3-,-).

又,所以点H(5-2,-),

所以直线HN的方程为y-(x-1),

即y=x-2,

所以直线HN过点(0,-2).

当过点P的直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y+2=k(x-1),

点M(x1,y1),N(x2,y2).

由消去y,得(4+3k2)x2-6k(k+2)x+3k(k+4)=0,

则Δ>0,x1+x2=,x1x2=

将y=y1代入y=x-2,得x=(y1+2),则点T

又,所以点H(3y1+6-x1,y1).所以直线HN的方程为(3y1+6-x1-x2)(y-y2)=(y1-y2)(x-x2),即(3y1+6-x1-x2)(y-y2)-(y1-y2)(x-x2)=0.

将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)