专题突破练15 随机变量及其分布（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

专题突破练15　随机变量及其分布

必备知识夯实练

1.(2025福建福州三模)已知随机变量X~B(n,),若E(X)=2,则P(X=2)=(　　)

A. B. 

C. D.

2.(2025河北唐山一模)随机变量X~N(μ,σ2),σ>0.若P(X<μ+σ)=p,则P(μ-σ<X<μ+σ)=(　　)

A.1-p B.2-2p

C.p- D.2p-1

3.(多选题)(2025广东清远模拟)离散型随机变量X的分布列如下:

若E(X)=2.7,则下列结论正确的是(　　)

A.m+n=0.5 B.E(3X-1)=7.1

C.D(X)=0.81 D.P(X>2)=0.5

4.(多选题)(2025湖南长沙模拟)盒中有3个球,其中1个红球,2个黄球.从盒中随机不放回地取球,每次取1个,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,E(ξ),D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差,则下列结论正确的是(　　)

A.P(ξ=0)= B.E(ξ)=1

C.E(3ξ+1)=3 D.D(3ξ+1)=6

5.(多选题)(2025江苏苏州模拟)随机变量X的分布列如下表,随机变量Y~B(3,).设Z=XY,P(Z=0)=,且X与Y相互独立,则下列说法正确的是(　　)

A.p= B.p=

C.a=0 D.E(Z)=

6.(2025河南郑州一模)统计学中通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)中的值.假设某厂生产的包装盒的厚度(单位:mm)X~N(10,σ2),某天检测员随机抽取了一个包装盒,测得其厚度不小于16 mm,他立即判断生产出现了异常,由此可知σ的最大值为　　　　　. 

7.(2025安徽黄山模拟)切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的,其内容是:对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在,则对任意正实数ε,有P(|X-E(X)|<ε)≥1-.根据该不等式可以对事件|X-E(X)|<ε的概率作出估计.现抛掷一枚骰子,当出现5点或6点时,就说这次试验成功,在n次抛掷中,记成功次数为X,为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间()内,估计抛掷的次数n的最小值为　　　　　. 

8.(2025山东潍坊模拟)一个点从数轴的原点开始运动,通过投掷骰子决定运动方向:若出现1,4时,向负方向移动1个单位长度;若出现2,3,5,6时,向正方向移动2个单位长度.投掷1次骰子,该点位置的均值为　　　　　.投掷6次骰子后,概率大于的点的位置存在的最小区间为　　　　　.

关键能力提升练

9.(多选题)(2025广东深圳二模)随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布,且X~N(3,1),Y~B(6,),则(　　)

A.E(X)=E(Y)

B.D(X)=D(Y)

C.P(X≤1)=P(X≥5)

D.P(Y≤3)>P(X≥4)

10.(2025广东惠州模拟)有2n个人围坐在一个圆桌边上,每人都越过桌面与另外一人握手,若要求所有人握手时手臂互不交叉,例如n=2时,一共有4个人,以1,2,3,4表示,握手两人用一条线连接,共有2种方式,如图所示.记一次握手中,共有Y对相邻的两人握手,当n=4时,Y的数学期望E(Y)=　　　　　. 

 

11.(15分)(2025上海普陀二模)某区为推进教育数字化转型,通过聚合区域学校的教育资源,依托AI技术搭建了区域智慧题库系统,形成了“A通识过关—B综合拓展—C创新提升”三层动态原库,且A,B,C三层题量之比为7∶3∶2,设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.

(1)现有4人参加一项比赛,若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答,求这4人中至少有2人的选题来自B层的概率;

(2)现采用分层随机抽样的方法,使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷,若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编,记该老师选到A层题的题数为X,求X的分布列与数学期望E(X).

 

 

 

 

核心素养创新练

12.(17分)(2025湖北新八校联考)我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法,微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况,也可以用于实验次数无限的情况.微分恒等式法的一个应用案例如下:

关于x的恒等式满足x+(1-x)x+(1-x)2x+…+(1-x)k-1x+…=1,

对等式两边求导可得1-x+(1-x)-2(1-x)x+(1-x)2+…-(k-1)(1-x)k-1x+(1-x)k-1+…=0.

移项得1+(1-x)+(1-x)2+…+(1-x)k-1+…=x+2(1-x)x+…+(k-1)(1-x)k-1x+….

某校师生在操场上欢庆元旦,其中有一项套圈活动备受欢迎,活动规则为每人累计k(k∈N*)次未套中时则停止套圈,否则可以继续套圈.若每人每次套中的概率为p(0<p<1),且每次套中与否互不影响,每次套中后积1分,将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量X.

(1)若k=1,p=,求X=3的概率;