20.1 勾股定理 知识点讲解&同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.1 勾股定理 一、勾股定理 观察思考：三个正方形的面积有什么关系？ 可以发现： （1）以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积．即． （2）等腰三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和． 即． 探究：等腰直角三角形的三边关系？ 如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论．（提示：计算C正方形时，可以把它分割成四个直角边为整数的三角形．） 计算：图1、2中 由此可见，以等腰直角三角形两直角边为边长 的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的 大正方形的面积． 即两直角边的平方和等于斜边的平方． 继续探究：一般的直角三角形是否也满足这种特点呢？ 计算得：图1中，，． 图2中，，． 得到：． 由此可见，即便一般的直角三角形，也存在两直角边的平方和等于斜边的平方这一数量关系． 总结：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么． 二、勾股定理的证明 证明一下勾股定理： 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形． 借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？ 解：此图可以这样理解，有三个直角三角形其面积分别为，和．还有一个直角梯形，其面积为． 由图形可知：＝． 整理得：，a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2， ∴a2＋b2＝c2． 典例精析 如图，一架2.6m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？ 解：可以看出，BD＝OD－OB． 在Rt△AOB中，根据勾股定理， 在Rt△COD中，根据勾股定理， 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m． 练习1 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对讲机联系，已知对讲机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 检测1 1．如图所示，三个正方形中，其中两个的面积分别为，，则第三个的面积为（ ）．A．50 B．30 C．25 D．100 2．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）． A．4 cm B．5 cm C．6cm D．10 cm 3．如图所示，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵大树在折断前的高度和AB的长分别为（ ）． A．10米，米 B．15米，米 C．10米，米 D．15米，米 作业1 1．下列说法正确的是（ ）． A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2 2．若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ）． A．25 B．14 C．7 D．7或25 3．如图是边长为1的正方形网格,则图中四边形的面积为（ ）． A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 4．若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的（ ）． A．2倍 B．4倍 C．倍 D．3倍 5．设a、b是直角三角形的两条直角边．若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（ ）． A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 6．在△ABC中，∠C＝90°． （1）若a＝8，b＝6，则c＝______；（2）若c＝20，b＝12，a＝______． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°， （1）如果∠A＝30°，a＝4，则c＝______； （2）如果∠A＝45°，a＝3，则c＝______；（3）如果b＝8，a:c＝3:5，则c＝______． 8．做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试说明．（70.712≈5000） 9．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B＝60°，CD＝0.5cm，求BC的长． 3、 勾股定理的应用 1、 用来证明 已知：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．请证明这一结论。 即，已知在Rt△ABC和Rt△中，＝＝90°，，． 求证：△ABC≌△． 证明：在Rt△ABC和Rt△中，＝＝90°， 根据勾股定理，得 ，． 又， ∴． ∴△ABC≌△（SSS）． 2、 利用勾股定理在数轴上表示无理数． 思考：你能在数轴上表示出的点吗？ 画法如下： ①在数轴上找到点A，使OA＝1； ②作直线m垂直于OA，在m上取一点B，使AB＝1； ③以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点． 总结：利用勾股定理，我们构建两直角边为正整数的直角三角形，那么它的斜边可以是无理数，这样我们能得到无理数的线段长，就可以在数轴上把它表示出来． 那是不是也能在数轴上画出、、、…的点呢？如下图， 思考总结：数轴上的点与实数是一一对应的关系． 练习2 1．在数轴上作出表示的点． 2．如图，已知等边△ABC的边长为6cm． （1）求高AD的长度； （2）求△ABC的面积． 作业2 1．在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（ ）． A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5cm，BC＝12cm，则Rt△ABC斜边上的高CD的长为（ ）．A．6cmB．8.5cmC．cmD．cm 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于（ ）． A．2π B．3π C．4π D．8π 4．现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需木棒的最短长度为________． 5．如图，是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A、B、C、D、E、F得线段AB、BC、CD、DE、EF、FA，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？并在数轴上作出表示、、、、的点． 答案 练习1： 解：如图， 甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA＝12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即OB＝5． 在Rt△OAB中，AB2＝122＋52＝169，∴AB＝13． 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13，∴甲、乙两人还能保持联系． 所以上午10：00时，甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系． 检测1： 1．C．因为根据图形和勾股定理得．所以 2．选B．∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8 cm，∴cm． ∵△AED≌△BED，∴cm． 3．选D．∵∠B=30°，AC⊥AB，AC=5米， ∴BC=10，．∴大树折断前的高度为AC＋BC=15米． 作业1： 1．D．2．D．3．B．4．A．5．D．6．（1）c＝10；（2）a＝16． 7．（1）b＝8；（2）c＝；（3）c＝10． 8．能放下．因为木箱最长的对角线为70.71cm． 9．BC＝． 练习2： 1．步骤如下： ①在数轴上找到点A，使OA＝－2； ②作直线l垂直于OE，在l上取一点B，使AB＝1； ③以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点． 2．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BD＝3（cm）． 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝（cm）． （2）S△ABC＝×BC×AD＝×6×＝（cm2）． 作业2： 1．D．点拨：△ABC可能为锐角三角形．此时BC＝15＋6＝21；△ABC也可能为钝角三角形，此时BC＝15－6＝9． 2．C．解析：由勾股定理可知，所以AB＝13cm，再由三角形的面积公式，有，得． 3．A．点拨：因为S1＝，S2＝BC2，所以S1＋S2＝（AC2＋BC2）＝×16＝2π． 4．30cm．解析：当50cm长的木棒构成直角三角形的斜边时，设最短的木棒长为xcm（x＞0），由勾股定理，得，解得x＝30． 5．解析：由AB2＝AF2＋BF2＝22＋12＝5，BC2＝32＋42＝25，CD2＝12＋32＝10，EF2＝ED2＋DF2＝32＋42＝25，知，，，，DE＝3，FA＝2． ∴BC、DE、EF、FA的长是有理数，AB、CD的长度是无理数． 在数轴上做出表示、、、、的点如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $