专题3 第1讲 空间几何体的表面积与体积（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“立体几何”专题，覆盖空间几何体的折叠与展开、表面积和体积、球的切接等核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确表面积体积、位置关系证明等高频考点权重，归纳小题（结构特征分析）、解答题（位置关系证明）等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”，如2024新高考Ⅰ卷圆柱圆锥体积题用方程思想求半径，2023正四棱台体积题展示割补法，培养学生直观想象和数学运算素养。总结折叠展开转化法、体积割补法等技巧，帮助学生掌握答题方法，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

专题三　立体几何 考点一　空间几何体的折叠与展开 考点二　空间几何体的表面积和体积 目 录 索 引 领航高考风向标 近五年高考立体几何命题呈现以下特点: 近年来,新课标高考试卷对本专题的考查呈现出明显的命题规律.在试卷结构调整前,考查题量基本保持“两小一大”的稳定模式.随着2024年新高考改革的实施,试题结构出现新变化,预计将调整为“一大一小”的命题模式. 从考查内容来看,小题部分主要聚焦于以下几个核心考点:空间几何体的结构特征分析、体积与表面积计算、球与几何体的切接问题、空间位置关系的判断等,试题难度多维持在中等或中低等水平.而在解答题方面,命题者倾向于以几何体为载体,重点考查空间位置关系的证明、空间角与距离的求解等核心内容,整体难度控制在中等水平. 值得注意的是,这类试题对考生的数学核心素养提出了较高要求,特别是需要具备较强的直观想象能力、严密的逻辑推理能力以及精准的数学运算能力.考生在备考时应当着重培养这些关键能力,以应对高考中的各种考查形式. [复习策略] 1.夯实基础　熟练掌握常见几何体的结构特征,准确记忆体积、表面积和侧面积公式.深入理解空间平行与垂直的判定定理,并能灵活运用于位置关系的证明. 2.提升空间想象能力　通过动手画图、观察分析几何图形,结合实物类比,加强对空间关系的直观认知.在解题时,将已知条件和隐含信息标注在图形上,做到“以图助解”. 3.优化解题方法　总结常见几何体的建系技巧,合理建立坐标系,简化向量运算.强化运算能力,确保关键步骤(如坐标确定、法向量计算)的准确性,提高解题效率. 4.强化综合应用　通过典型例题训练,提升利用空间向量解决最值、探究性问题的能力,培养数学运算素养. 第1讲　空间几何体的表面积与体积 考点一　空间几何体的折叠与展开 例1　(1)(多选题)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则下列说法中正确的是(　　 ) A.C∈GH B.CD与EF是共面直线 C.AB∥EF D.GH与EF是异面直线 ABD 解析 由图可知,还原正方体后,C∈GH;CD∥EF,即CD与EF是共面直线; AB∩EF=B,即AB与EF不平行;GH与EF是异面直线,故A,B,D正确,C错误.故选ABD. (2)(2025上海宝山模拟)如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为1 km,母线长为4 km,B是母线SA上一点,且AB=1 km,为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路,则这段铁路的长度为 　　　　　km.  5 解析 根据题意,设该圆锥侧面展开图的圆心角为θ,该圆锥中,底面半径为1 km,母线长为4 km,则有4θ=2π,可得θ= 如图为该圆锥的侧面展开图,有SA=SA'=4 km,A'B=1 km,则SB=3 km, 故AB==5(km), 即符合题意的最短的铁路的长度为5 km. 考点二　空间几何体的表面积和体积 理知识 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S圆柱侧=2πrl, S表面积=S侧+2S底 V=S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S圆锥侧=πrl, S表面积=S侧+S底 V=S底·h 台体(棱台和圆台) S圆台侧=π(r上+r下)l, S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2 球的表面积恰好是球的大圆面积的4倍 V=πR3 [微提醒]柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 链高考 1.(2024新高考Ⅰ,5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π B 解析 ∵圆柱和圆锥的底面半径相等,∴可设圆柱和圆锥的底面半径为r. 又圆柱和圆锥的高均为, ∴圆柱的侧面积为2πr,圆锥的侧面积为πr=πr又圆柱和圆锥的侧面积相等,∴2πr=πr,∴r2=9. ∴圆锥的体积为πr2π·9=3故选B. 2.(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=, 则该棱台的体积为　　　　　　　.【一题多解】 　 解析 (方法一　直接法)如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形. 连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高. 在正四棱台中,∵AC=2,A1C1=, ∴AG= 在Rt△A1AG中, A1G= 则棱台体积V=+ S四边形ABCD)·A1G=(1+2+4) (方法二　补形法)如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点, 解得OA1=,A1H=,AG=,OA=2 在Rt△A1OH中,OH=, 在Rt△AOG中,OG= 则棱台体积V=V四棱锥O-ABCD- (S四边形ABCD·OG-OH)=(4-1)= 考向1　侧面积与表面积 例2　(1)(2025广东广州模拟)某厂生产一批圆台形台灯灯罩,灯罩的上、下底面都是空的,圆台两个底面半径之比为1∶2,高为16 cm,母线长为20 cm,如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料,每平方米需要100克涂料,则共需涂料(　　) A.240π克 B.320π克 C.720π克 D.1 440π克 C 解析 作圆台的轴截面,如图. 梯形ABCD为等腰梯形,取圆台上、下底面的中心分别为E,F,再取AF中点G,连接EG,由题可得AG=ED,AG∥ED,所以四边形AGED为平行四边形,所以EG=AD=20 cm,EF=16 cm,所以GF=DE=12 cm.所以AF=24 cm,所以灯罩的侧面积为π×(12+24)×20=720π cm2, 所以100个灯罩的外表面面积为100×720π=72 000π cm2=7.2π m2, 所以共需涂料7.2π×100=720π克. (2)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式,常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖等,多见于亭阁式建筑,兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分如图所示,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底面边长、下底面边长、侧棱长(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等, 则该结构表面积为(　　) A.(34+8)dm2 B.(34+44)dm2 C.(34+48)dm2 D.(34+8)dm2 A 解析 由题可得正三棱柱的底面积为2×2×sin 60°=(dm2), 正三棱柱的外露表面积为2+2×2×2=8+2(dm2), 四棱台侧面梯形的高为=2(dm), 四棱台外露表面积为4(2+6)×2=32(dm2), 该结构表面积为32+8+2=34+8(dm2).故选A. 考向2　空间几何体的体积 例3　(1)(2023全国甲,文10)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为(　　) A.1 B. C.2 D.3 A 解析 (分割法)取AB的中点E,连接PE,CE,如图, ∵△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2, ∴PE⊥AB,CE⊥AB, 又PE,CE⊂平面PEC,PE∩CE=E,∴AB⊥平面PEC, 又PE=CE=2,PC=, 故PC2=PE2+CE2,即PE⊥CE, ∴V=VB-PEC+VA-PEC=S△PEC·AB=2=1. (2)(2024天津,9)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　　) A. B. C. D. C 解析 (补形法)如图,用一个和五面体ABC-DEF完全相同的五面体HIJ-LMN与五面体ABC-DEF拼在一起,其中顶点L,M,N分别与顶点D,E,F重合. 由题意可知,拼成的组合体是一个三棱柱,且该三棱柱与侧棱垂直的截面是边长为1的等边三角形,其面积为12=,三棱柱的侧棱长为4, 所以VABC-DEF=VABC-HIJ=4=故选C. 【对点训练】(1)(2025山东聊城模拟)宋代瓷器的烧制水平极高,青白釉出自宋代,又称影青瓷.宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白,出于镇之窑者也”,印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实.图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托,我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体,三个部分的高相同均为6 cm,上面的花口盏是底面直径分别为8 cm和10 cm的圆台,下面的盏托由底面直径8 cm的圆柱和底面直径分别为12 cm和8 cm的圆台组合构成,示意图如图2, 则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为(　　) A.248π cm3 B.274π cm3 C.354π cm3 D.370π cm3 图1 图2 D 解析 花口盏体积V1=6×(42+52+4×5)=122π cm3, 盏托体积V2=π×42×6+6×(42+62+4×6)=248π cm3, 所以组合体的体积V=V1+V2=370π cm3. (2)(2025北京,14)某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体,其中ABCDEF是一个平行多边形,平面ARF⊥平面ABC,平面TCD⊥平面ABC,AB⊥BC,AB∥RS∥EF∥CD,AF∥ST∥BC∥ED.若AB=BC=8,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD=,则该多面体的体积为　　　　. 60 解析 由题意可知V多面体=2VCDT-BSE,延长AB交ED于点M,连接SM,过点B作BK∥CT交TS于点K,连接KM,过R作RP⊥AF,P为垂足. ∵RA=RF,∴P为AF的中点.过点P作PO∥AB,交BE于点O,连接SO,过点T作TQ⊥CD,Q为垂足. ∵TC=TD,∴Q为CD中点. 又O为BE中点,∴OQ为梯形CBED的中位线, ∴OQ∥ST且OQ=ST. ∵CB=8,DE=DM+ME=12, ∴QO=10,SK=TS-TK=QO-TK=2. ∵平面RAF⊥平面ABC,且交线为AF, ∴RP⊥平面ABC,同理TQ⊥平面ABC. ∵ST∥OQ且ST=OQ, ∴四边形STQO为平行四边形, ∴SO∥TQ且SO=TQ, ∴RP∥SO∥TQ,且RP=SO=TQ= ∴VCTD-BKM=S△CTD·BC=48=24, VS-BKM=S△BKM·SK=42=2, VS-BME=S△BEM·SO=4×4=4, ∴V多面体=2VCDT-BSE=2×(24+2+4)=60. $