专题2 第3讲 数列求和的方法（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦数列求和三大核心考点，涵盖分组与并项求和、裂项相消法、错位相减法，依据高考评价体系，通过“理知识梳理+高考真题链接+典型例题解析”模式，明确错位相减法、裂项相消法等高频考点权重，归纳含(-1)^n并项、等差乘等比错位相减等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题实战+技巧拆解+素养培养”，如以2024全国甲卷理18题为例，详解错位相减法“错位对齐—作差化简—合并同类项”步骤，培养学生数学思维与运算能力。特设“易错警示”（如符号处理）和“规律方法”（裂项类型归纳），帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

第3讲　数列求和的方法 考点一　分组求和与并项求和 考点二　裂项相消法求和 目 录 索 引 考点三　错位相减法求和 考点一　分组求和与并项求和 理知识 1.分组求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或者是可求和数列组成的,则使用分组求和法,各组内分别求和后再相加减. 2.并项求和法:一个数列的前n项和中,若两两结合能呈现规律性的变化,此时可并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型的数列求和,常采用两项合并求解. [微提醒]在并项求和时,要注意项数的奇偶,这决定着项能否恰好两两合并. 链高考 (2024全国甲,文17)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{Sn}的通项公式. 解 (1)∵2Sn=3an+1-3,① ∴当n≥2时,2Sn-1=3an-3.② ①-②得,2an=3an+1-3an,即3an+1=5an,=q, ∴等比数列{an}的公比q= 又2S1=3a2-3,即2a1=3×a1-3,解得a1=1.故an=1×()n-1=()n-1. (2)∵2Sn=3an+1-3, ∴Sn=(an+1-1)=[()n-1]. 例1　(2025天津河北区模拟)已知等差数列{an}满足a1=3,公差d≠0,且a1,a4,a13恰为等比数列{bn}的前三项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}满足cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn; (3)求{(-1)nan}的前2n项和S2n. 解 (1)由a1,a4,a13为等比数列,可得=a1·a13,即=a1·(a1+12d),即(3+3d)2=3(3+12d),解得d=2或d=0(舍).所以an=a1+(n-1)d=2n+1. 又{bn}的前三项为a1,a4,a13,即3,9,27,即b1=3,b2=9,b3=27,公比q==3, 所以bn=3×3n-1=3n. (2)由(1)得cn=an+bn=2n+1+3n, 则Tn=c1+c2+c3+…+cn=(3+3)+(5+32)+(7+33)+…+(2n+1+3n) =(3+5+7+…+2n+1)+(3+32+33+…+3n) ==n2+2n+ (3)因为an=2n+1,数列{(-1)nan}即为{(-1)n(2n+1)}, 所以S2n=-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n=-3+5-7+…-(4n-1)+(4n+1) =(-3+5)+(-7+9)+…+[-(4n-1)+(4n+1)]=2n. 变式探究 (变结论)本例条件不变,求数列{(-1)nan}的前n项和Sn. 解 对于数列{(-1)n(2n+1)}, 当n为偶数时,Sn=-a1+a2-a3+…+an=-3+5-7+…-(2n-1)+(2n+1) =(-3+5)+(-7+9)+…+[-(2n-1)+(2n+1)]=2=n; 当n为奇数时,Sn=-a1+a2-a3+…-an=-3+5-7+…+(2n-1)-(2n+1) =(-3+5)+(-7+9)+…-(2n+1)=2-(2n+1)=-n-2. 综上所述,Sn= 【对点训练1】 (2025重庆渝北模拟)已知数列{an}满足+…+=n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=ansin,数列{bn}的前n项和为Sn,求S100. 解 (1)+…+=n,① 当n=1时,=1,即a1=1; 当n≥2时,+…+=n-1,② ①-②得=1,∴an=2n-1(n≥2). ∵n=1时,a1=1也满足上式,故an=2n-1(n∈N*). (2)记cn=b4n-3+b4n-2+b4n-1+b4n, 则cn=a4n-3sin+a4n-2sin+a4n-1sin+a4nsin =a4n-3-a4n-1=[2(4n-3)-1]-[2(4n-1)-1]=-4(常数), ∴数列{cn}为常数列. ∴S100=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+…+b97+b98+b99+b100 =c1+c2+…+c25=-4×25=-100. 考点二　裂项相消法求和 理知识 裂项相消法就是把数列的通项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,从而求得其和.常见的裂项方式有: ); ); ; ; ]. [微提醒]在裂项相消的过程中,有的是相邻项抵消,有的是间隔项抵消. 链高考 (2022新高考Ⅰ,17节选)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列. 证明:+…+<2. 证明 是以=1为首项,以为公差的等差数列, =1+(n-1)Sn=an.① 当n≥2时,Sn-1=an-1.② ①-②得an=Sn-Sn-1=an-an-1,an-1=an,, 设=bn,则bn=bn-1, ∴{bn}为常数列,且b1=,=bn=,∴an= 由上知,=2, +…+=2(1-+…+)=2(1-)<2. 例2　(2025浙江金华模拟)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2且公比大于0的等比数列,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}满足cn=,且数列{cn}的前n项和为Tn, 求证:≤Tn<. (1)解 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则q>0. 因为b1=2,b2+b3=b1(q+q2)=2(q+q2)=12,可得q2+q-6=0,解得q=2(负值舍去),故数列{bn}的通项公式为bn=2·2n-1=2n. 因为b3=a4-2a1=8,S11=11b4=11×16, 即解得 故数列{an}的通项公式为an=1+3(n-1)=3n-2. (2)证明 由题得cn=, 所以Tn=()+()+…+()= 因为Tn+1-Tn=cn>0,故数列{Tn}单调递增, 所以Tn≥T1=c1=,且Tn= 因此,对任意的n∈N*,Tn< 考点三　错位相减法求和 理知识 如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和时,常采用错位相减法. 链高考 (2024全国甲,理18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为4Sn=3an+4,所以4Sn+1=3an+1+4,两式相减,得4an+1=3an+1-3an,即an+1=-3an, 又4S1=3a1+4,则a1=4, 故数列{an}是首项为4,公比为-3的等比数列,则an=4×(-3)n-1. (2)bn=(-1)n-1nan=4n·3n-1,所以Tn=4(1×30+2×31+3×32+…+n·3n-1). 3Tn=4(1×31+2×32+3×33+…+n·3n), 两式相减,得-2Tn=4(1+31+32+…+3n-1-n·3n)=4(-n·3n)=(2-4n)·3n-2, 所以Tn=(2n-1)3n+1. 例3　(2023全国甲,理17节选)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.求数列的前n项和Tn. 解 由已知条件可求出an=n-1(n∈N*),∴an+1=n,=n, ∴Tn=1+2+3+…+n,① Tn=1+2+…+(n-1)+n,② ①-②得,Tn=-n,∴Tn=2-(2+n) 【对点训练2】(2025辽宁大连模拟)已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn, {bn}为等比数列,a1=-2b1=1,a2+b2=,S6=36. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. 解 (1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则S6=6a1+d=36,解得d=2. 因为a2+b2=,即(1+d)+(-)×q=,所以q=-, 所以an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=(-)×(-)n-1=(-)n. (2)由(1)得anbn=(2n-1)(-)n, 则Tn=-1+3-5+7-…+(2n-3)×(-)n-1+(2n-1)×(-)n,① (-)×Tn=-3+5-7+…+(2n-3)×(-)n+(2n-1)×(-)n+1,② 由①-②得Tn=-+2-2+2-…+2×(-)n-(2n-1)×(-)n+1 =-+2[-…+(-)n]-(2n-1)×(-)n+1 =-+2-(2n-1)×(-)n+1 =-(-)n-1-(2n-1)×(-)n+1=-(6n+1)×(-)n-1, 所以Tn=-(6n+1)×(-)n-1. $