专题2 第2讲 求数列的通项公式（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“求数列的通项公式”核心专题，依据高考评价体系梳理了利用an与Sn关系、累加法累乘法、构造法三大高频考点，通过近三年高考真题分析明确“构造法”占35%、“an与Sn关系”占30%的考查权重，归纳出证明等差（等比）数列、求特定项等常考题型。 课件亮点在于“真题链考点+规律方法提炼+素养导向训练”，如2023天津卷真题通过an+1=2Sn+2构造等比数列，培养学生的推理能力和符号意识，总结“消Sn证等差”“取倒数构等差”等突破方法。设“易错提醒”（如验证a1）和“对点训练”，助力学生高效掌握答题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考针对性。

第2讲　求数列的通项公式 考点一　利用an与Sn的关系求通项 考点二　累加法、累乘法求通项 目 录 索 引 考点三　构造法求通项 考点一　利用an与Sn的关系求通项 理知识 已知数列{an}的前n项和为Sn,则an= [微提醒]an=Sn-Sn-1的前提是n≥2,n∈N*,所以要注意验证a1. 链高考 (2023天津,5)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*),则a4=(　　) A.16 B.32 C.54 D.162 C 解析 当n≥2,n∈N*时,an=2Sn-1+2,所以an+1-an=2an,即an+1=3an. 当n=1时,a2=2S1+2=2a1+2=6=3a1. 所以数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则a4=a1q3=54. 例1　(1)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=. 求证:{}是等差数列. 证明 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,即(Sn-Sn-1)+2SnSn-1=0, 可得=2,且=2. 故数列{}是以首项为2,公差为2的等差数列. (2)(2025河北保定模拟节选)记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3, an+1=+3. 证明:数列{an}为等差数列. 证明 因为an+1=+3,所以nan+1=2Sn+3n,当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1+3(n-1), 两式相减得nan+1-(n+1)an=3,① 则(n+1)an+2-(n+2)an+1=3,② ②-①,得(n+1)an+2+(n+1)an=(2n+2)an+1,所以an+2+an=2an+1(n≥2). 因为nan+1=2Sn+3n,又a1=3,所以当n=1时,a2=2S1+3=2a1+3=9; 当n=2时,2a3=2S2+6=24+6=30,则a3=15,所以a1+a3=2a2,满足an+2+an=2an+1,所以an+2+an=2an+1,故数列{an}为等差数列. 【对点训练1】(2025云南昆明模拟节选)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且an=(n≥2),求数列{an}的通项公式. 解 因为各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,则对任意的n∈N*,Sn>0,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=, 即()·()=,所以=1. 因此,数列{}是等差数列,且其首项为=1,公差为1, 所以=1+n-1=n,则当n≥2时,an==n+n-1=2n-1,a1=1也满足上式,故对∀n∈N*,an=2n-1. 考点二　累加法、累乘法求通项 理知识 1.数列{an}中,已知a1,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求,则可用累加法求an. 2.数列{an}中,已知a1,满足=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n-1)可求,则可用累乘法求an. 链高考 (2022新高考Ⅰ,17节选)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列. 求{an}的通项公式. 解 ∵{}是首项为=1,公差为的等差数列,=1+(n-1)=, (n≥2), (n≥2), ∴Sn=S1…… (n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=(n≥2), 又a1=1满足此公式,∴{an}的通项公式为an= 例2　(1)(2025山东青岛模拟)在数列{an}中,a1=3,an+1=an+lg(1+),则a100=(　　) A.5 B.3+100lg 3 C.4 D.10+2lg 3 A 解析 在数列{an}中,a1=3,an+1=an+lg(1+),即an+1-an=lg=lg(n+1)-lg n, 所以a100=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a100-a99) =3+lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 100-lg 99 =3-lg 1+lg 100=3+2=5. (2)(2025浙江衢州模拟)已知各项均为正数的数列{an},满足a1=1, a1a2+a2a3+…+anan+1+(n+1)=1,则a2 025=(　　) A.2 B. C.2 025 D. D 解析 因为a1a2+a2a3+…+anan+1+(n+1)=1, 所以当n≥2时,a1a2+a2a3+…+an-1an+n=1, 两式相减,得anan+1+(n+1)-n=0,所以anan+1+-n+n=0, 所以(an+an+1)an+1+n(an+1+an)(an+1-an)=0, 所以(an+1+an)[an+1+n(an+1-an)]=0, 所以(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0. 因为数列{an}各项均为正数,所以(n+1)an+1=nan,所以, 所以……,所以, 又a1=1,所以an=,所以a2 025= 考点三　构造法求通项 理知识 1.形如an+1=(p,q≠0)的数列,两边同时取倒数构造等差数列求通项. 2.若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0),构造an+1+λ=p(an+λ). 3.若数列{an}满足an+1=pan+f(n)(p≠0,1),构造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)]. 链高考 (2023全国甲,理17节选)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.求{an}的通项公式. 解 由题意可知,2Sn=nan,① 当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,② ①-②得2an=nan-(n-1)an-1, ∴(n-1)an-1=(n-2)an. 当n≥3时,是从第2项开始的常数数列, 当n=2时,=a2=1, ∴an=n-1(n≥2),当n=1时,2a1=a1,a1=0,满足上式,∴an=n-1(n∈N*). 例3　(1)(2025广东广州模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=,且an+2=(n∈N*),则数列{an}的通项公式是　　　　　.  an= 解析 由an+2=(n∈N*),则,两边取倒数,得+1,又a1=1,a2=,则=2,故数列{}是以2为首项,1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)=n+1,则有=n,=n-1,…,=2,且n≥3,故…=n!,即an=,显然n=1,2均满足. (2)(2025湖南湘潭模拟)已知在数列{an}中,a1=3,an+1=2an-2n+3,n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和,则数列{an}的通项公式an=　　　　;S8=　　　　　. 2n+2n-1 574 解析 因为an+1=2an-2n+3,a1=3,则an+1-2(n+1)+1=2(an-2n+1),且a1-2+1=2≠0,可知数列{an-2n+1}是以首项为2,公比为2的等比数列, 则an-2n+1=2×2n-1=2n,即an=2n+2n-1, 可得Sn=(2+1)+(22+3)+…+(2n+2n-1)=(2+22+…+2n)+(1+3+…+2n-1) ==2(2n-1)+n2, 所以S8=2(28-1)+82=574. 【对点训练2】(2025安徽合肥模拟)已知数列{an},{bn}中,a1=2,b1=6, an+1=2an,bn+1=2bn-an,若am=bm,则m=(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 B 解析 在数列{an}中,由a1=2,an+1=2an,得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n,则bn+1=2bn-2n,即=-, 因此数列{}是以=3为首项,-为公差的等差数列. 则=3+(n-1)(-),即bn=(7-n)2n-1,由am=bm,得2m=(7-m)2m-1,所以m=5. $