专题2 第1讲 等差数列、等比数列（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

专题二　数列 考点一　等差、等比数列基本量运算 考点二　等差、等比数列性质 目 录 索 引 考点三　等差、等比数列的证明 领航高考风向标 近五年高考数列命题呈现以下特点: 从前几年全国高考来看,对本专题考查多为“一大一小”的形式,有时也只考一道解答题.从2024年数学实行新的试卷结构后,数列解答题不再是单独必考,也不一定是中低档的考题.除了数列的求和等基本运算外,还常与概率统计、导数、不等式等知识综合命制难度较大的题目. [复习策略] 1.熟记公式,保障运算的正确率　等差、等比数列的通项公式、前n项和公式等公式是解决数列问题的根本.数学运算素养在本单元中无处不在,需要加强训练.如乘公比错位相减法求和等,要规避易错点,不但要会做,还要做对. 2.注重总结规律　本章知识结构清晰,常规题型规律明显.要通过题目总结方法,并了然于胸,如什么情况下选择什么样的方法求数列的通项或前n项和,对症下药,事半功倍. 3.关注数学文化背景的数列试题　数列非常适宜与数学文化结合命题,尤其是中国古代数学名著中涉及的一些常见数列题,此类问题关键是阅读理解题意,转化为等差或等比数列等模型解答. 4.重视数列与其他知识的融合加深　尤其在压轴题中,数列不一定孤立考查,而是与函数、不等式、解析几何等知识深度融合.例如,通过数列的通项公式构造函数,利用函数的单调性研究数列的最值问题;或者利用数列与不等式的结合,证明数列相关的不等式,这类综合性题目对学生的知识迁移和综合运用能力提出了更高要求. 第1讲　等差数列、等比数列 考点一　等差、等比数列基本量运算 理知识 项目 等差数列 等比数列 基本公式 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0) 前n 项和 公式 Sn==na1+d (1)q≠1,Sn=; (2)q=1,Sn=na1 应用等比数列的前n项和公式时,若公比不确定,则一定要分析其为1的情况  链高考 1.(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1, S5=5S3-4,则S4=(　　) A. B. C.15 D.30 C 解析 设等比数列{an}的公比为q,易知q>0,且q≠1. 由题意,得-4, 又a1=1,所以-4,解得q=2或q=-2(舍去),所以S4==15,故选C. 2.(2024新高考Ⅱ,12)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　　.  95 解析 设等差数列{an}的公差为d. 解得则d=3,a9=20, ∴S10=5(a2+a9)=95. 例1　(1)(2025北京,5)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=(　　) A.-20 B.-18 C.16 D.18 C 解析 设数列{an}的公差为d,则d≠0. ∵a3,a4,a6成等比数列,∴=a3·a6, ∴(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d), 整理,得d2-2d=0,解得d=0(舍去)或d=2, ∴a10=a1+9d=16.故选C. (2)(2025江苏苏锡常镇一模)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,若a4=4a3-4a2,则=(　　) A.5 B.9 C.-9 D.-5 A 解析 设等比数列{an}的公比为q,显然an≠0,由a4=4a3-4a2,即a2q2=4a2q-4a2,则q2=4q-4,解得q=2, 所以=5. (3)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=　　　　　;数列{an}所有项的和为　　　　　.  48 384 解析 设前3项的公差为d,后7项的公比为q,则q4==16,且q>0,可得q=2,则a3=1+2d=,即1+2d=3,可得d=1.所以a3=3,a7=a3q4=48.数列{an}所有项的和a1+a2+…+a9=1+2+3+3×2+…+3×26=3+=384. 【对点训练1】(1)(2025广东广州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=11,S10=4a4,则an+Sn取最大值时n的值是(　　) A.4 B.5 C.6 D.10 B 解析 设等差数列{an}的公差为d,则S10==4a4=4(a1+3d), 化简得2a1+11d=0,又a1=11,所以d=-2, 所以an=11-2(n-1)=13-2n,Sn==12n-n2, 则an+Sn=-n2+10n+13=-(n-5)2+38, 所以当n=5时,an+Sn取最大值,最大值为38. (2)(多选题)(2025新高考Ⅱ,9)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　) A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 AD 解析 由S3=7,a3=1,得S2=6,即a1(1+q)=6①,又a1q2=1②, ①÷②,得=6,即6q2-q-1=0,解得q=-(舍去)或q=,所以a1=4,A正确. a5=a3q2=1,B错误.S5=,C错误. Sn==2(4-an)=8-an,所以Sn+an=8.D正确.故选AD. 考点二　等差、等比数列性质 理知识 项目 等差数列 等比数列 常用性质 通项公式 性质1 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq   等号两边项数一样多,避免出现am+an=am+n的错误.等比数列类似 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq 通项公式 性质2 an=am+(n-m)d;d=,n≠m an=amqn-m;qn-m= 项目 等差数列 等比数列 常用性质 前n项片 段和性质 Sm,-Sm,,…仍成等差数列,公差为m2d Sm,-Sm,,…仍成等比数列,公比为qm, Sm≠0 奇、偶项 和的性质 若项数为偶数2m,公差为d, 则S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md, ;若项数为奇数2m+1,则S2m+1=(2m+1)am+1,S奇-S偶=am+1,,m∈N* 若项数为偶数2m,公比为q,则=q,m∈N* [微提醒]在应用等比数列的此性质时,要注意Sm≠0,m为偶数且q=-1的情况不适用此公式. 链高考 1.(2024全国甲,理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1=(　　) A. B. C.- D.- B 解析 设公差为d,由S5=S10,可得5a1+d=10a1+d,即5a1+35d=0, 又a5=1,即a1+4d=1,解得a1=,故选B. 2.(2021全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　 ) A.7 B.8 C.9 D.10 A 解析 设等比数列的公比为q,由题意知q≠1. 根据等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4), ∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A. 例2　(1)(2025浙江杭州模拟)已知数列{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,满足(2n+3)Sn=(3n-1)Tn,则=(　　) A.2 B.3 C.5 D.6 A 解析 因为数列{an},{bn}均为等差数列,可得a7+a8+a9=3a8=15a8=S15,且b6+b10=b1+b15,又由T15=,可得b6+b10=T15. 因此=2. (2)(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　) A.120 B.85 C.-85 D.-120 C 解析 若q=1,则S6=6a1,S2=2a1,不满足S6=21S2,所以q≠1.由S4=-5,可知q≠-1.由S6=21S2得=21,所以1-q6=(1-q2)(1+q2+q4)=21(1-q2), 则q4+q2-20=0,解得q2=4或q2=-5(舍去). 由已知S4==-5,则S8==-85.故选C. (3)(多选题)(2025河北邢台模拟)在等比数列{an}中,公比为q,其前n项积为Tn,并且满足a1>1,a99·a100-1>0,<0,则以下结论正确的是(　 　) A.0<q<1 B.a99·a101-1<0 C.当n=100时,Tn取最大值 D.使Tn>1成立的最大自然数n等于198 ABD 解析 因为a99·a100-1>0,所以q197>1,所以q>0. 又因为<0,所以(a99-1)(a100-1)<0, 由a1>1,可得a99>1,a100<1,所以q=<1,故A正确; 因为a99·a101=<1,所以B正确; 因为T100=T99a100<T99,所以C错误; 因为T198=a1a2…a198=(a1a198)(a2a197)…(a99a100)=>1, T199=a1a2…a198a199=(a1a199)·(a2a198)…(a99a101)a100=<1,故D正确. 【对点训练2】(1)(2025山东威海模拟)已知{an}为等差数列,且a6+a15=4,若数列{an}的前m项的和为40,则正整数m的值为(　　)【一题多解】 A.10 B.20 C.30 D.40 B 解析 (方法一　等差数列的性质)因为a6+a15=a1+a20=4, 所以S20==10×4=40.因为Sm=40,所以m=20. (方法二　特值法)令每一项均为x,则a6+a15=2x=4,可得x=2, 因为Sm=2m=40,所以m=20. (2)(2025广东珠海模拟)已知等比数列{an}共有2n项,其和为240,且奇数项 的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　　.  解析 设等比数列{an}的奇数项的和、偶数项的和分别为S奇,S偶. 由题意可得解得所以q= 考点三　等差、等比数列的证明 理知识 等差数列、等比数列的判断与证明 定义法 an+1-an=d(d为常数,n∈N*) ⇔{an}是等差数列 =q(q是不为0的常数,n∈N*) ⇔{an}是等比数列 通项公 式法 an=pn+q(p,q为常数,n∈N*) ⇔{an}是等差数列 an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*) ⇔{an}是等比数列 中项法 2an+1=an+an+2(n∈N*) ⇔{an}是等差数列 =an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*) ⇔{an}是等比数列 前n项 和法 Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*) ⇔{an}是等差数列 Sn=Aqn-A(A,q为常数,且A≠0,q≠0,1) ⇔{an}是等比数列 [微提醒]证明数列为等差(比)数列一般使用定义法,而在选择题、填空题中则可利用其余方法直接判断. 链高考 (2021全国甲,文18)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列{}是等差数列.证明:{an}是等差数列. 证明 ∵{}是等差数列,a2=3a1, , 即数列{}的公差为 +(n-1)=n, 即Sn=n2a1.当n≥2时,Sn=n2a1, Sn-1=(n-1)2a1,则an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1, 当n=1时,由an=(2n-1)a1得a1=(2×1-1)a1=a1, ∴an=(2n-1)a1,n∈N*,∴{an}是等差数列. 例3　(2025山东青岛模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an (n∈N*). (1)证明:数列{an+1-an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若数列{bn}满足(n∈N*),证明{bn}是等差数列. (1)证明 ∵an+2=3an+1-2an, ∴an+2-an+1=2(an+1-an). ∵a1=1,a2=3,=2(n∈N*). ∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列. (2)解 由(1)得an+1-an=2n(n∈N*), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N*). (3)证明 ∵,, ∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn,① 2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1.② ②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn, 即(n-1)bn+1-nbn+2=0,③ nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.④ ④-③,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即bn+2-2bn+1+bn=0, ∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),∴{bn}是等差数列 【对点训练3】(2025广东广州模拟)已知数列{an}为等差数列,a1=1, a3=4+1,其前n项和为Sn,数列{bn}满足bn=. (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)试探究数列{an}中是否存在三项构成等比数列?若存在,请求出这三项;若不存在,请说明理由. (1)证明 由数列{an}为等差数列,则其公差d==2,故an=1+2(n-1) =2n-2+1,故Sn=n2-n+n,则bn=n-+1,可得相邻两项的差为常数,故数列{bn}为等差数列. (2)解 假设存在,且为am,as,at(m≠s≠t)三项构成等比数列,则有amat=, 即有(2m-2+1)(2t-2+1)=, 即有6mt-6(m+t)+(m+t)=6s2-12s+2s, 由m,t,s均为整数,则有即有mt-(m+t)=-(m+t),化简得(m-t)2=0,即m=t,与m≠s≠t矛盾, 故数列{an}中不存在三项构成等比数列. $