专题1 培优拓展2 三角形中的特殊线段问题（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦三角形中线、角平分线、高线等特殊线段及三角函数核心考点，依据高考评价体系，通过2023全国甲卷、新高考Ⅰ卷等真题案例，分析考点权重，归纳“定理应用”“面积转化”“向量运算”等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解构+方法建模+素养提升”，如例2用面积法推导角平分线长公式，培养数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念），特设“一题多解”专栏（如中线的余弦定理与向量法对比），帮助学生掌握得分技巧，教师可依托此课件精准突破高频考点，提升复习效率。

培优拓展(二)　三角形中的特殊线段问题 类型一　三角形的中线 类型二　三角形的角平分线 目 录 索 引 类型三　三角形的高线 真题解构　三角函数 类型一　三角形的中线 例1　(2025江苏苏锡常镇一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcos C=2a+c. (1)求B; (2)若b=,c=2,D为AC的中点,求BD.【一题多解】 解 (1)因为2bcos C=2a+c, 由余弦定理,得2b=2a+c, 所以a2+c2-b2=-ac, 则cos B==-, 因为B∈(0,π),所以B= (2)在△ABC中,由余弦定理得=a2+-2×a×(2)×(-), 所以a=1. (方法一)cos C=,在△CBD中,由余弦定理得BD2=1+-2×1,所以BD= (方法二)因为∠BDC+∠BDA=π,所以cos∠BDC+cos∠BDA=0, 所以=0, 所以+=0,解得BD= (方法三)因为), 所以+2), [8+1+2×21×(-)], 所以BD= 【对点训练1】(2025河北秦皇岛一模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin C=sin(B+)+1. (1)求B; (2)若△ABC的面积为,b=2,求AC边上的中线长. 解 (1)已知sin C=sin(B+)+1. 根据诱导公式,可得sin(B+)=cos B,则原式变为sin C=cos B+1. 由正弦定理可得sin C=cos B+1,化简得sin B=cos B+1. 即sin B-cos B=1,即2(sin B-cos B)=1,即2sin(B-)=1,所以sin(B-)= 因为0<B<π,所以-<B-,则B-,解得B= (2)已知△ABC的面积为,B=,可得acsin,解得ac=2. 因为b=2,B=,可得22=a2+c2-2×2×cos,即4=a2+c2-2,则a2+c2=6. 设AC的中点为D,则), 两边平方可得||2=+2). 可得||2=(c2+a2+2accos B)=(6+2×2×cos)=(6+2)=2, 所以||=,即AC边上的中线长为 类型二　三角形的角平分线 例2　(2023全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　　.【一题多解】 2 解析 (方法一)由题意,在△ABC中,AB=2,BC=,∠BAC=60°, 由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,解得AC=+1, 由正弦定理得,,解得∠C=45°. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=BAC=30°. (角平分线的性质) 如图,过点D作DE⊥AC于点E,设DE=t, 由几何知识得,AD=2t,AE=t,CE=DE=t, ∴AC=AE+CE=t+t=+1,解得t=1,∴AD=2t=2. (方法二)由方法一知,AC=+1, ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD, AB·ACsin 60°=AB·ADsin 30°+AC·ADsin 30°, +1)=AD+AD, ∴AD=2. 【对点训练2】(2025湖北武汉二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且∠ACB=,c=6,△ABC的面积为,D为边AB上一点,CD是∠ACB的平分线,则CD=(　　) A. B.1 C. D. B 解析 在△ABC中,∠ACB=,c=6, 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos∠ACB,所以a2+b2-ab=36, 又△ABC的面积为,所以absin,所以ab=4, 所以36=a2+b2-ab=(a+b)2-3×4,所以a+b=4 因为CD是∠ACB的平分线,∠ACB=,所以∠ACD=∠DCB=, 因为S△ACD+S△BCD=S△ABC, 所以AC·CDsin∠ACD+BC·CDsin∠BCD=AC·CBsin∠ACB, 所以b·CDsina·CDsinbasin,所以b·CD+a·CD=4, 所以(b+a)CD=4,所以CD=1. 类型三　三角形的高线 例3　(2023新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A;【一题多解】 (2)设AB=5,求AB边上的高. 解 (1)(方法一)由题意知A+B=3C,∵A+B+C=π,∴C=,A+B= 由2sin(A-C)=sin B,得2sin(A-)=sin(-A)=sin[π-(A+)]=sin(A+), ∴2(sin Acos-cos Asin)=sin Acos+cos Asin ∴2(sin A-cos A)=sin A+cos A. ∴sin A=3cos A. 由sin2A+cos2A=1,得sin2A= ∵A∈(0,π),∴sin A= (方法二)∵A+B=3C,A+B+C=π,∴C=,B=3C-A. ∵2sin(A-C)=sin B,∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin(-A), ∴2sin Acos C-2cos Asin C=sincos A-cossin A. 代入数据,得sin A-cos A=cos A+sin A.整理得sin A=cos A, ∴tan A=3. ∵0<A<π,∴sin A= (2)过点C作AB的垂线,垂足为点D,则CD为AB边上的高. AB=5, 由正弦定理得, 故BC==3 ∵sin A=,由(1)知A∈(0,),∴cos A= sin B=sin(-A)=sincos A-cossin A = ∴CD=BCsin B=3=6. 综上,AB边上的高为6. 【对点训练3】(2025山东菏泽二模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos A-a=b. (1)求C; (2)若2sin A+4sin B=a+2b,求AB边上高的最大值. 解 (1)因为ccos A-a=b,由正弦定理得sin Ccos A-sin A=sin B①, 因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sin(π-B)=sin B. 故①式可变形为sin Ccos A-sin A=sin(A+C), 即sin Ccos A-sin A=sin Acos C+cos Asin C, 化简得sin A(cos C+)=0, 因为A∈(0,π),所以sin A>0,故cos C=- 因为C∈(0,π),故C= (2)设△ABC外接圆的半径为R, 由正弦定理得=2R,则a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 又2sin A+4sin B=a+2b,故得R=1. 由(1)知C=,故sin C=,则c= 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即3=a2+b2+ab≥3ab,则ab≤1, 当且仅当a=b=1时,等号成立. 设AB边上的高为h,由三角形的面积公式得S△ABC=ch=absin C, 即h=ab故AB边上高的最大值为 真题解构　三角函数 例题 (13分)(2025新高考Ⅱ,15)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=. (1)求φ; (2)设函数g(x)=f(x)+f(x-),求g(x)的值域和单调区间. 命题分析　本题以余弦型函数为背景,综合考查两角和差公式、辅助角公式的应用,以及三角函数的性质分析.试题设置于课程学习情境,体现基础性与综合性,通过条件转化和运算求解,考查学生的数学运算能力及转化与化归思想运用能力. 解题分析 题意理解 序号 信息读取 信息加工 1 f(x)=cos (2x+φ)(0≤φ<π),f(0)= 解三角方程,由φ的范围及特殊角函数值求解 2 g(x)=f(x)+f(x-) 利用和差角公式、辅助角公式等,将g(x)化为单角单函数的形式 3 值域和单调区间 根据公式,整体代入计算 思路探求 关键步骤 思维要点 思维缘由 (第2问) 化简 把g(x)=f(x)+f(x-)化为g(x)=cos(2x+) 根据两角和的余弦公式将f(x-)展开,合并同类项,再由辅助角公式变形 (第2问) 求值域和单调区间 由g(x)=cos(2x+)得值域和单调区间 因为x∈R,所以由余弦函数值的有界性可得值域[-];整体代入单调递增区间和单调递减区间公式,计算单调区间 书写表达 解 (1)因为f(0)=cos φ=,且0≤φ<π, 所以φ=.注①→思考:特殊角的函数值有哪几个?(3分) (2)由(1)可知f(x)=cos(2x+), 所以g(x)=f(x)+f(x-)=cos(2x+)+cos 2x=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos(2x+),注②→思考:将g(x)化为余弦型函数的依据是什么?可以化为正弦型函数吗?(8分) 所以函数g(x)的值域为[-].注③→思考:本题如果角x有取值范围限制,求法有什么不同?(10分) 令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z; 令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,(12分) 所以函数g(x)的单调递减区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z, 函数g(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.注④→思考:结果要写成区间.(13分) 回顾反思　解三角函数性质问题的关键是将函数表达式化简为单个角的正弦(余弦)型函数,再根据公式求解.在转化过程中,可以利用和差角的正弦公式、余弦公式、特殊角的函数值以及三角函数的性质等知识.本题先由特殊角的余弦值确定角度,从而求出f(x)的表达式,再利用三角恒等变换化简g(x),最后利用性质解决问题.试题源于人教A版必修一第255页20,21题,人教B版必修三第110页7题和第114页17题. $