专题1 第3讲 解三角形（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形”专题，覆盖利用正弦余弦定理解三角形、三角形最值范围、实际应用三大核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，归纳边角互化、三角恒等变换等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题链考点+方法规律+素养训练”模式，如以2024新高考Ⅰ卷第15题为例，通过正弦定理边角互化和三角恒等变换突破角B求解，培养数学思维和模型观念，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

第3讲　解三角形 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形 考点二　三角形中的最值、范围问题 目 录 索 引 考点三　解三角形的实际应用 考点一　利用正弦、余弦定理解三角形 理知识 1.正弦定理、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 =2R (其中R为△ABC外接圆的半径) a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C 变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A; (5)=2R cos A=; cos B=; cos C= 2.三角形面积公式 S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B; S△ABC=(a+b+c)r(r为△ABC内切圆的半径); S△ABC=(R为△ABC外接圆的半径); S△ABC=(其中p=(a+b+c)). 链高考 (2023北京,7)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 (a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=(　　) A. B. C. D. B 解析 因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B), 所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,则a2+b2-c2=ab, 由余弦定理,得cos C=, 又0<C<π,所以C=故选B. 例1　(2024新高考Ⅰ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求角B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 解 (1)∵a2+b2-c2=ab,∴cos C= 又C∈(0,π),∴C= ∵sin C=cos B,即sincos B,即cos B,解得cos B= 又B∈(0,π),∴B= (2)由(1)知B=,C=,,即,∴b=c. 又sin A=sin(π-B-C)=sin(π-)=sin()=sincos+cossin, △ABC的面积为3+, bcsin A=c2=3+,∴c2=8,∴c=2 【对点训练1】(2024新高考Ⅱ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 解 (1)由题得2(sin A+cos A)=2,即sin=1. 又A+,所以A+,即A= (2)因为bsin C=csin 2B,由正弦定理可得sin Bsin C=sin C·2sin Bcos B, 又sin B≠0,sin C≠0,所以cos B= 又0<B<π,所以B=,则C= 由正弦定理得,则b=2,c=, 所以△ABC的周长为a+b+c=2++3 考点二　三角形中的最值、范围问题 理知识 a+b≥2,ab≤,其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立. [微提醒]在利用三角函数的单调性求最值时,如果已知三角形为锐角三角形,需保证每个角都为锐角. 链高考 (2020浙江,18)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin A-a=0. (1)求角B的大小; (2)求cos A+cos B+cos C的取值范围. 解 (1)由正弦定理,得2sin Bsin A=sin A,故sin B=,由题意,得B= (2)由A+B+C=π,得C=-A, 由△ABC是锐角三角形,得A 由cos C=cos=-cos A+sin A, 得cos A+cos B+cos C=sin A+cos A+=sin 故cos A+cos B+cos C的取值范围是 例2　(2025湖南邵阳模拟)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,2c=2acos B+b. (1)求A; (2)求△ABC周长的取值范围; (3)求△ABC面积的最大值. 解 (1)由正弦定理,得2sin(A+B)=2sin C=2sin Acos B+sin B, 则2sin Acos B+2sin Bcos A=2sin Acos B+sin B, 又sin B≠0,所以cos A=,根据0<A<,得A= (2)由正弦定理=2, 所以b=2sin B,c=2sin C, b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin(-B)=3sin B+cos B=2sin(B+). 因为△ABC为锐角三角形,所以0<B<,0<-B<,所以<B<, 所以B+(),sin(B+)∈(,1],所以b+c∈(3,2], 所以△ABC周长的取值范围是(3+,3]. (3)由余弦定理,得3=a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 所以△ABC的面积为bcsin, 当且仅当b=c=,即△ABC为等边三角形时,△ABC的面积取最大值 【对点训练2】(2025湖南长沙模拟)已知在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且bcos-asin B=0,a=1,D为△ABC外一点. (1)求A; (2)若A,B,C,D四点共圆,求四边形ABDC面积的最大值. 解 (1)由bcos-asin B=0及正弦定理得sin Bcos-sin Asin B=0, 即sin Bcos=sin Asin B, 又sin B≠0,故sin=sin A=2sincos, 因为A∈(0,π),所以(0,),所以sin0,cos, 所以,所以A= (2)由题意四边形ABDC为圆内接四边形,所以D=π-A= 又a=1,由余弦定理得b2+c2-bc=1,所以b2+c2=1+bc≥2bc,所以bc≤1, 当且仅当b=c=1时,等号成立. 同理,|DC|2+|DB|2+|DB|·|DC|=1, 所以|DC|2+|DB|2=1-|DB|·|DC|≥2|DB|·|DC|,所以|DB|·|DC|, 当且仅当|DC|=|DB|=时,等号成立. 所以四边形ABDC的面积S=bcsin A+|DC|·|DB|·sin D =bc+|DC|·|DB|, 所以四边形ABDC面积的最大值为 考点三　解三角形的实际应用 理知识 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角   方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角α的范围是0°≤α<360°   术语名称 术语意义 图形表示 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α 例:(1)北偏东α:   (2)南偏西α:   坡角与 坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫做坡度,θ为坡角;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比,即i==tan θ   例3　(2025山东潍坊模拟)如图,为了测量两山顶M,N之间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N四点在同一个铅垂平面内.在点A处测得M,N的俯角分别为75°,30°,在点B处测得M,N的俯角分别为45°,60°,且AB=2 km,则MN=　　　　km.  2 解析 如图,因为在点A处测得M,N的俯角分别为75°,30°, 所以∠MAB=75°,∠NAB=30°. 因为在点B处测得M,N的俯角分别为45°,60°, 所以∠MBA=45°,∠NBA=180°-60°=120°. 在△ABM中,已知∠MAB=75°,∠MBA=45°,所以∠AMB=60°, 由正弦定理得,所以AM==2 因为∠NAB=30°,∠ABN=120°,则∠ANB=30°,所以AB=BN=2 在△ABN中, 由余弦定理得AN2=AB2+BN2-2AB·BNcos 120°=12+12+12=36,所以AN=6. 因为∠MAB=75°,∠NAB=30°,故∠MAN=45°, 在△AMN中, 由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·AN·cos 45°, 故MN2=8+36-24=20,所以MN=2 【对点训练3】(2025陕西商洛模拟)位于点P处的雷达接收到在其正东方向相距20海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后,即刻通知位于点P处北偏东且与点P相距30海里的点M处的甲船前往救援,则甲船至少需要航行的海里数为(　　) A.15 B.10 C.10 D.10 C 解析 如图,由题意可得∠MPB= 在△PBM中,由余弦定理可得 MB= =10(海里), 故甲船至少需要航行的海里数为10故选C. $