专题1 第1讲 三角恒等变换（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数与平面向量专题，覆盖三角恒等变换、解三角形、向量数量积等核心考点。依据近五年高考数据明确“两小一大”题型结构，三角恒等变换与向量数量积为高频考点，系统梳理公式体系与常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题精讲+考向突破+素养提升”策略，以2024全国甲卷、新高考Ⅱ真题为例，深入解析化简、求值、求角三大考向，培养学生运算能力与推理意识。提供“公式链记忆法”“角的转化技巧”，帮助学生掌握答题规律，教师可据此精准把握考点权重，实现高效复习教学。

专题一　三角函数与平面向量 领航高考风向标 近五年高考三角函数与平面向量命题呈现以下特点: 从题型和题量上看,高考对本专题的考查基本稳定在“两小一大”的题型结构. 从内容上看,三角函数部分的客观题主要考查三角函数的图象和性质、三角恒等变换的灵活运用等,解答题则侧重于正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用.解题过程中要注意三角变换技巧.试题整体难度维持在中等水平.平面向量则常以客观题的形式出现,主要考查平面向量的坐标运算和数量积的应用,同时也可能作为工具性知识,与解三角形、解析几何等内容综合考查. [复习策略] 1.三角函数部分 (1)系统梳理并熟练掌握各类三角公式,这是解题的根本保障. (2)加强三角恒等变换的专项训练,以提升运算的准确率. (3)培养多角度分析问题的能力,重视三角函数与平面向量、圆的几何性质、函数的性质等知识的综合应用. (4)强化数学建模能力,训练从文字描述中提取三角形中关键信息(边、角、垂直、平行关系)的能力. 2.向量部分 (1)通过梳理分类,构建完整的知识体系,理解并掌握相关的概念、公式和结论. (2)重视向量“数”“形”兼备的特点,解题时要注意运用数形结合思想和转化化归思想. (3)重视向量的工具作用,复习时要了解并体会向量与其他知识交汇命题的特点. (4)向量的数量积公式及其变形是本部分知识的重点,要厘清各个知识点之间的联系.掌握常用的解题技巧与规律. 第1讲　三角恒等变换 考点　三角恒等变换的应用 理知识 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β. tan(α±β)=. sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β. cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β. 2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α. cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan 2α=. 1+sin 2α=(sin α+cos α)2. 1-sin 2α=(sin α-cos α)2. 3.辅助角公式 y=asin x+bcos x=(sin xcos φ+cos xsin φ)=sin(x+φ),其中角φ的终边所在象限由a,b的符号确定,角φ的值由tan φ=(a≠0)确定. 4.降幂公式与升幂公式 降幂公式:sin2α=,cos 2α=; 升幂公式:1+cos α=2cos2,1-cos α=2sin2. 链高考 1.(2024全国甲,理8)已知,则tan(α+)=(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- B 解析 由,得,则tan α=1-, 所以tan(α+)==2-1.故选B. 2.(2024新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4, tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　.【一题多解】 - 解析 (方法一)tan(α+β)==-2 又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,所以α+β为第四象限角. 由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)= 又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=- (方法二)设tan α=m,tan β=n,m>0,n>0, 则sin α=,cos α=,sin β=,cos β=, ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==- 考向1　化简问题 例1　化简:(1); (2)sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β. 解 =4sin α. 解 sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2α·cos 2β=cos 2αcos 2β =+-cos 2αcos 2β =cos 2αcos 2β-cos 2αcos 2β= 【对点训练1】化简:=　　　　　.  cos 2x 解析 原式== =cos 2x. 考向2　求值问题 例2　(1)(2025新高考Ⅱ,8)已知0<α<π,cos,则sin(α-)=(　　) A. B. C. D. D 解析 由0<α<π可知0<,因为cos,所以sin, 所以sin α=2sincos=2,cos α=2cos2-1=2×(2-1=- 所以sin(α-)=sin αcos-cos αsin-(-)故选D. (2)(2024新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m A 解析 ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β. ∵cos(α+β)=m,即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m, ∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.故选A. 【对点训练2】(1)(2025广东汕头模拟)若λsin 160°+tan 20°=,则实数λ的值为(　　) A.4 B.4 C.2 D. A 解析 由已知可得λ= = ==4.故选A. (2)(2023新高考Ⅰ,8)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- B 解析 由题意,∵sin(α-β)=,cos αsin β=, ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β-,解得sin αcos β= ∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, ∴cos(2α+2β)=cos [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×()2= 故选B. 考向3　求角问题 例3　(1)(2025河北秦皇岛模拟)已知锐角θ满足sin θ(1+tan 10°)=1,则θ的值为(　　) A.30° B.40° C.50° D.60° C 解析 sin θ(1+tan 10°)=sin θ(1+)=sin θ=2sin θ =2sin θ=2sin θ=2sin θ=1, 所以sin θ=cos 40°,又角θ为锐角,所以θ=50°.故选C. (2)(2025广东梅州模拟)已知α∈(0,π),β∈(0,π),sin(α+β)=2cos(α-β),tan α+tan β=,则α+β=(　　) A. B. C. D. B 解析 由sin(α+β)=2cos(α-β), 得sin αcos β+cos αsin β=2(cos αcos β+sin αsin β), 则tan α+tan β=2+2tan αtan β,而tan α+tan β=,解得tan αtan β=-, 所以tan(α+β)==1, 由α∈(0,π),β∈(0,π),tan αtan β<0, 得α∈(0,),β∈(,π)或α∈(,π),β∈(0,), 则α+β∈(), 所以α+β=故选B. 【对点训练3】(1)(2025广东珠海模拟)设α∈(0,),β∈(0,),且tan α+tan β= ,则(　　) A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= D 解析 由题得, 所以sin(α+β)=cos α. 因为α∈(0,),β∈(0,),所以α+β∈(0,π), 又sin(α+β)=cos α=sin(±α), 所以α+β=±α或α+β+±α=π,即2α+β=或β=(舍), 故2α+β=故选D. (2)(2025山东临沂模拟)已知α为锐角,且sin α+sin(α+)+sin(α+)=,则α=　　　　　.  解析 因为sin(α+)=sin αcos+cos αsinsin α+cos α, Sin(α+)=sin αcos+cos αsin=-sin α+cos α, 又sin α+sin(α+)+sin(α+)=, 所以sin α+cos α=,所以sin α+cos α=,即sin(α+)= 因为0<α<,所以<α+,所以α+,所以α= $