专题03 一次函数与反比例函数7大题型（题型专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 一次函数与反比例函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 正比例函数的定义、图象与性质 题型02 一次函数的定义、图象与象限分布 题型03 一次函数的增减性与函数值大小比较 题型04 一次函数解析式求解与几何面积计算 题型05 一次函数解析式求解与几何面积计算 题型06 反比例函数的定义、图象与性质 题型07 反比例函数的几何意义与几何综合 题型07 一次函数与反比例函数综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 正比例函数的定义、图象与性质 典例引领 【典例01】 若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握：在正比例函数中，当时，随的增大而增大，图象经过第一、三象限；当时，随的增大而减小，图象经过第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴的值可以等于． 故答案为：（答案不唯一）． 【典例02】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 【答案】B 【知识点】正比例函数的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键．根据正比例函数（为常数，）的性质，结合图像经过的象限判断的符号，进而分析各选项． 【详解】解：函数（是常数，）的图像经过第二象限， ， 函数的图像经过第二、四象限，的值随的值增大而减小． 当时，；正比例函数的图像是倾斜直线． 所以选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择题、填空题的入门基础考点，近5年中考多次以开篇选择题形式考查，难度系数0.850.95，核心考查正比例函数的定义判断、图象经过的象限、增减性与参数范围的对应关系，是一次函数模块的必备基础。 方法技能 1．正比例函数定义：形如 是常数， 的函数，叫做正比例函数，核心特征：无常数项、自变量次数为 1 、比例系数 。 2．图象与性质核心规律： ：图象经过第一、三象限， 随 的增大而增大； ：图象经过第二、四象限， 随 的增大而减小。 3．解题技巧：根据图象经过的象限／增减性，先确定 的正负，再求解参数范围／写符合条件的解析式。 变式演练 【变式01】（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是______．（写出一个符合题意的k的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的增减性，掌握正比例函数的意义是解题关键． 由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：在正比例函数中， ∵的值随的值增大而减小， ∴． 解不等式得 ． ∴只要取大于2的数都符合题意； 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式02】（2025·上海崇明·二模）已知正比例函数（是常数，且）的函数值随的增大而增大，且不经过点，那么这个正比例函数的解析式可以是_______．（只需写一个） 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．根据正比例函数的性质可知，根据正比例函数不经过点得出，从而可以写出一个符合要求的函数解析式． 【详解】解：∵正比例函数的值随着自变量的值增大而增大， ， 当正比例函数过点时，则， 故不经过点时，， 且， ∴这个正比例函数的解析式可以是， 故答案为：． 【变式03】（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 根据“，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式04】（2025·上海宝山·模拟预测）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为_______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据“自变量系数小于零时，y的值随x的值增大而减小，”得，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式05】（2025·上海浦东新·二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查的知识点是判断一次函数的增减性，解题关键是熟练掌握判断一次函数的增减性． 先根据该图像经过点求出值，再根据时，函数值随着的值增大而增大；时，函数值随着的值增大而减小即可得解． 【详解】解：正比例函数（为常数，且）的图像经过点， ，， 函数值随着的值增大而减小． 故答案为：减小． 【变式06】（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图71中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图72中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】正比例函数的性质、反比例函数与几何综合、画圆(尺规作图) 【分析】（1）由题意得，，设，则，点，即可解答． （2）先画出和 的图像，再过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，再作圆O，长为半径画圆交x轴于点E，过点E作直线垂直于x轴，过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q，即可解答． 【详解】（1）解：若，， 设，则，点， ∴． （2）如图： 画图步骤：①画平面直角坐标系中和 的图像； ②过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，则，， ③以点O为圆心，长为半径画圆交x轴于点E． ④过点E作直线垂直于x轴； ⑤过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q． ∴Q为所求． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，尺规作图，正比例函数． 题●型●破●译 题型02 一次函数的定义、图象与象限分布 典例引领 【典例01】（2025·上海杨浦·模拟预测）一次函数中，，则该图像不过第___________象限． 【答案】一 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是掌握一次函数的图像与性质． 由，可判断一次函数各项系数的符号，再根据一次函数各项系数确定其图像所经象限． 【详解】解：∵， ∴，． ∴，． ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限， ∴该图像不过第一象限． 故答案为：一． 【典例02】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的高频必考考点，近5年中考每年均有考查，难度系数0.80.9，核心考查一次函数的定义识别、根据解析式判断图象经过的象限、根据图象经过的象限求参数范围，是一次函数模块的核心基础考点。 方法技能 1．一次函数定义：形如 是常数， 的函数，叫做一次函数；当 时，即为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 2.图象象限分布核心规律 ： 当 且 时，一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当 且 时，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 当 且 时，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当 且 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限。 3.解题技巧：先根据的正负确定直线的倾斜方向，再根据的正负确定直线与轴的交点位置，最终判断经过的象限；反之亦可通过象限反推的符号。 变式演练 【变式01】（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数，其中常数、， ∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【变式02】（2024·上海徐汇·三模）如果一次函数的图像一定经过第二、三象限，那么常数m的取值范围为________． 【答案】且 【知识点】约分、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，运用数形结合思想解题是解题的关键，根据“一次函数的图像一定经过第二、三象限”可知，此图像与x轴的交点在原点的左边，即与x轴交点的横坐标小于0，从而得解． 【详解】解：∵一次函数的图像一定经过第二、三象限， ∴此图像与x轴的交点在原点的左边，且，即， ∴此图像与与x轴交点的横坐标小于0， 令，解得：， 解得：， ∴常数m的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式03】（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 题●型●破●译 题型03 一次函数的增减性与函数值大小比较 典例引领 【典例01】（2025·上海金山·二模）已知直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小，那么这条直线的表达式是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数，当时，函数图象与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小． 直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小， ， ∴符合条件的一条直线可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【典例02】（2025·上海·二模）下列函数中，图象在第一象限的部分满足y的值随x的值增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质，熟练掌握各个函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：A、由可知：，y随x的增大而增大；故不符合题意； B、由可知：，在第一象限内，y随x的增大而减小，故符合题意； C、由可知：，y随x的增大而增大；故不符合题意； D、由可知开口向下，且不经过第一象限，故不符合题意； 故选B． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的基础考点，近5年中考多次考查，难度系数0.80.9，核心考查根据一次函数解析式/图象判断增减性、根据增减性求参数范围、比较函数值的大小，是一次函数性质的核心应用考点。 方法技能 1.增减性核心规律：一次函数 中， 决定增减性，与 无关。 ： 的值随 的值增大而增大； 的值随 的值增大而减小。 2．函数值比较技巧： 方法一：代入解析式，分别计算函数值再比较； 方法二：根据增减性，通过自变量的大小关系，直接判断函数值的大小关系。 3．易错点：增减性仅由 的符号决定，切勿受常数项 的干扰。 变式演练 【变式01】（2025·上海闵行·二模）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质及二次函数的性质等知识点，熟知以上知识是解题的关键． 分别根据反比例函数、一次函数、正比例函数及二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：A、由反比例函数中，，则函数图象的两个分支分别位于第一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意； B、由一次函数中，，则函数值y随x的增大而减小，符合题意； C、∵在二次函数中，， ∴抛物线开口向上，顶点在原点， ∴当时，y随x的增大而增大，不符合题意； D、在中，，则y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：B． 【变式02】（2025·上海黄浦·二模）下列函数图像中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象的性质，解题的关键是根据函数表达式判断出函数的图象性质． 利用函数的表达式值和值，逐项判断出各函数的图象性质即可． 【详解】解：A. ，，函数值随自变量的值增大而增大，该选项错误，不符合题意； B. ，，函数值随自变量的值增大而减小，该选项正确，符合题意； C. ，，在每个象限内函数值随自变量的值增大而减小，但第一象限内的函数值比第三象限内的函数值要大，该选项错误，不符合题意； D. ，，开口向下，当时，函数值随自变量的值增大而增大，当时，函数值随自变量的值增大而减小，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 题●型●破●译 题型04 一次函数解析式求解与几何面积计算 典例引领 【典例01】（2026·上海杨浦·二模）直线恒过定点___________． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】将直线解析式变形为，易知当时，，从而得到直线恒过定点． 【详解】解：∵， ∴， 当时，即时，， ∴直线恒过定点． 【典例02】（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得反比例函数解析式，将点代入反比例函数，得到点坐标，然后将点、分别代入一次函数，解方程组即可； （2）先求得一次函数的图像与x轴交点为，然后利用，即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得，解得， ， 将点代入反比例函数，得， ， 将点、分别代入一次函数，得． 解这个方程组，得． 一次函数解析式为； （2）解：当时，代入，得到， 一次函数的图像与x轴交点， ． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考基础解答题的高频必考考点，难度系数0.60.7，核心考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴围成的三角形面积计算、两条直线围成的图形面积计算，是一次函数模块的核心得分点。 方法技能 1．待定系数法求解析式步骤： 设一次函数解析式为 ； 代入两个已知点的坐标，得到关于 k , b的二元一次方程组； 解方程组，求出的值，回代得到解析式。 2．面积计算核心技巧： 直线与坐标轴围成的三角形面积：先求直线与 轴交点 、与 轴交点 面积 ; 两条直线与坐标轴围成的图形面积：先求两条直线的交点坐标、与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算面积。 3．易错点：计算面积时，坐标需取绝对值，避免出现负面积。 变式演练 【变式01】（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、内错角相等两直线平行、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 【变式02】（2025·上海闵行·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用以及解直角三角形等，求得交点坐标是解题的关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）先确定D点的纵坐标，进一步求得C点的坐标，然后利用待定系数法求得k； （3）作于E，利用勾股定理求得、，利用三角形面积公式求得，然后解直角三角函数即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴D的纵坐标为2， 把代入得，， ∴， ∵双曲线过点C， ∴； （3）解：作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式03】（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1)这两个函数的解析式分别为和 (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图像直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图像即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将点 代入， 得， 解得， 将点代入， 得， 解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）解：∵在中， 令，得， ， 在中， 令，得， ， ， （3） ； 解：由函数图像可知，当时，． 题●型●破●译 题型05 一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】分式的求值、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 【典例02】（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 【答案】(1)C (2)（D）处应填充： (3) 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法求出函数关系式． （1）依据题意，该函数可能是一次函数，即可得解； （2）依据题意，结合（1）可设所求函数为一次函数即可判断得解； （3）依据题意，设y关于x的解析式是，则，从而可得解析式，然后结合弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过，故，可得x的范围，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，该函数可能是一次函数， 故选：C． （2）解：结合（1）可设所求函数解析式为， 故（D）处应填充：． （3）解：设y关于x的解析式是， 由题意得：， ∴ ∴y关于x的解析式是； 又∵， ∴． ∴， 答：所挂重物的重量最多为． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的高频考点，近5年中考多次考查，难度系数0.60.8，常结合行程问题、销售问题、工程问题、统计图表、几何最值命题，核心考查从图象/表格中提取信息、建立一次函数模型、解决实际问题，侧重考查数学建模与实际应用能力。 方法技能 1.解题核心步骤： 审题：从文字、图象、表格中提取关键数据，确定自变量与因变量； 建模：利用待定系数法求一次函数解析式，确定自变量的取值范围； 应用：根据解析式解决最值、方案选择、不等式求解等实际问题； 检验：验证结果是否符合实际场景。 2.上海中考高频模型：行程问题（路程时间图象）、销售利润问题、工程问题、方案优化问题。 易错点：注意图象中拐点的实际意义，自变量的取值范围要符合实际场景。 变式演练 【变式01】（2025·上海奉贤·二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 【答案】12 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可． 【详解】解：由图象可知： 设的解析式为：， ∵经过点， ∴，得， ∴函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张比小王早到乙地的时间是（分钟）． 故答案为：12． 【变式02】（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1)，，且x为整数； (2)①25辆；②20分钟 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，再根据函数图象利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 在中，当时，， ∴，且x为整数； （2）解：①在中，当时，， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②由题意得，， 解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【变式03】（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【答案】(1)3月份各种型号计算器的销售总量为300个 (2)A型计算器销售量为120个，图形见解析 (3)y关于x的函数关系式为 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了统计图和一次函数，解决本题的关键是利用一次函数的性质解决实际问题． （1）根据条形统计图B型的销售量和扇形统计图B型计算器所占百分比求出3月份各种型号计算器的销售总量； （2）根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量，即可补充条形图； （3）根据设购进A型计算器x只，B型计算器y只，则C型计算器为只，根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元，得到，整理即可． 【详解】（1）解：（个）， ∴3月份各种型号计算器的销售总量为300个； （2）解：A型计算器销售量为：（个）， 条形统计图如图： （3）解：∵设购进A型计算器x只，B型计算器y只， ∴C型计算器为只， 根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同，结果恰好用完进化款共8200元， ∴， 整理得：， ∴y关于x的函数关系式为． 【变式04】（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、求加权平均数 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 题●型●破●译 题型06 反比例函数的定义、图象与性质 典例引领 【典例01】 下列函数的图像在每一个象限内，随着的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质，分析四个选项中得函数解析式，根据系数的正负结合各函数的性质即可得出其增减性，由此即可得出结论． 【详解】解：A、中， ∴函数的图象在第二、四象限内y随着x的增大而增大； B、中，且图象关于轴对称， ∴函数的图象，当时，在第一、第四象限y随着x的增大而增大，当时，在第二、三象限y随着x的增大而减小； C、中， ∴函数的图象在第一、三象限内y随着x的增大而减小； D、中，， ∴函数的图象在第二、三、四象限内y随着x的增大而减小． 故选：A． 【典例02】（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别、根据定义判断是否是反比例函数、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，判断是否为反比例函数，先结合正多边形的一个外角的大小（度）与它的边数的关系为，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴与之间是反比例函数关系； 故选B． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的必考基础考点，近5年中考每年均有考查，难度系数0.80.9，核心考查反比例函数的定义判断、图象经过的象限、增减性、函数值大小比较，是反比例函数模块的核心基础考点。 方法技能 1．反比例函数定义：形如 是常数， 的函数，叫做反比例函数，也可写成 的形式，核心特征：自变量次数为 1 、比例系数 。 2．图象与性质核心规律： 图象：双曲线，关于原点成中心对称，关于直线 成轴对称； ：图象经过第一、三象限，在每一个象限内， 随 的增大而减小； ：图象经过第二、四象限，在每一个象限内， 随 的增大而增大。 3．解题技巧：比较反比例函数值大小时，必须先判断两个点是否在同一象限，再结合增减性比较，切切直接套用增减性。 变式演练 【变式01】（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 【知识点】用描点法画函数图象、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式02】（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式03】（2025·上海·二模）如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据反比例函数的性质即可判定． 【详解】解：在反比例函数中， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【变式04】已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式05】（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及图像的特点，理解和掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式可知，函数图像经过第二，四象限，根据图形特点即可求解． 【详解】解：A选项，当时，选项不符合题意； B选项，反比例函数的，函数图像经过第二，四象限，B选项不符合题意； C选项，函数图像在第二，四象限内，随的增大的增大，C选项符合题意； D选项，函数图象关于直线对称，D选项不符合题意． 故选：C． 题●型●破●译 题型07 反比例函数的几何意义与几何综合 典例引领 【典例01】（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． （1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值． （2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积． 【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入，得， 地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，， 答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米． 【典例02】如图，过反比例函数图象上一点作垂直于轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，连接交于点，连接，若的面积为，则________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、由平行截线求相关线段的长或比值、反比例函数与几何综合 【分析】过点作于点，根据的几何意义结合已知可得，进而证明，得出，进而根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点在 ∴ 又∵的面积为， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点在 ∴ 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的中档高频考点，近5年中考多次考查，难度系数0.4-0.7，是反比例函数模块的核心难点，常结合三角形、矩形、菱形、旋转、相似三角形命题，核心考查反比例函数的几何意义、与几何图形的综合计算，是上海中考的拉分考点之一。 方法技能 1． 的几何意义核心结论：过反比例函数 图象上任意一点，作 轴、 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 |k| ；该点与原点、坐标轴垂足围成的直角三角形面积为 。 2．几何综合解题技巧： 设点法：设图象上点的坐标为 ，用含 x , k 的式子表示线段长度、图形面积； 几何性质转化：结合矩形、菱形、相似三角形、旋转的性质，找到线段之间的数量关系，建立关于 的方程求解。 3．易错点： 的符号与图象所在象限一致，计算面积时先取绝对值，再结合象限确定 的正负。 变式演练 【变式01】如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】设，由题意可得，进而列方程求出，再根据反比例函数系数的几何意义求解即可． 【详解】解：设， ， ，， ， ，， ， 解得：， 顶点在函数的图象上， ， ． 【变式02】如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与和的图象交于点，．若的面积为10，则的值为__________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为，则，根据的面积为10，得，故，结合点在第四象限，故． 【详解】解：依题意，， ∵的面积，的面积为10， ∴， ∴， ∵点在第四象限， 故． 【变式03】如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，C是x轴上的一个动点，连接，，．若轴，且的面积为5，则k的值为______． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据题意可知、两点纵坐标相同，则设其为，进而可得，最后将的面积表示出来进行求解即可． 【详解】解：∵轴， ∴、两点纵坐标相同，设其为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵点在上， ∴坐标为， ∴， ∵的面积为5， ∴ 解得． 【变式04】（2025·上海·模拟预测）将反比例函数的图象向右平移个单位，所得函数图象与轴的交点坐标是______． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查反比例函数图象的平移问题，先根据平移方式求出平移后解析式，求出时对应的的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象向右平移个单位， ∴平移后解析式为， 当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【变式05】（2025·上海·模拟预测）已知反比例函数的图像经过点，那么k的值为______． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，直接把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式06】（2025·上海虹口·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点，且点与关于原点对称， ，， ，， 设反比例函数解析式为，代入点坐标可得， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 【变式07】（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为___________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】先根据旋转以及矩形的性质求出，然后由勾股定理求出，解，求出，由旋转可知：，，则，那么，然后由角直角三角形性质和勾股定理求出，再由待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：过点作轴于点，连接， 四边形是矩形， ， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，， ， 的对应点恰好落在对角线的中点， ， ， ， 在中，，， ， 由旋转可知：，， ， 又轴， ， ， 在中，，， ， ， 反比例函数经过点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线． 【变式08】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A、D分别在x轴正半轴和y轴正半轴上．反比例函数的图像过点B，连接，若轴，则下列命题中（　　）正确． 命题甲：反比例函数的图像不过点C； 命题乙：反比例函数的图像过菱形的旋转对称中心，的值不变． A．甲、乙 B．甲 C．乙 D．没有一个 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图像的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据菱形的性质，设，如图所示，设对角线交于点，过点作轴于点，则，过点作轴于点，得到，运用待定系数法求反比例函数解析式得到的值，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵连接，若轴， ∴轴， ∵菱形的顶点A、D分别在x轴正半轴和y轴正半轴上， ∴设，如图所示，设对角线交于点，过点作轴于点，则，过点作轴于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像过点B， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图像经过点C，故命题甲错误，不符合题意； 反比例函数的图像过菱形的旋转对称中心， ∴， ∴，即的值不变，故命题乙正确，符合题意； 故选：C ． 【变式09】（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为1 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，进而求出直线的解析式即可； （2）根据轴，得到的纵坐标为，代入反比例函数的解析式，进而求出点坐标，根据，列出方程进行求解即可； （3）延长交轴和轴于点，由题意，得：，进而得到，值的几何意义得到，进而推出，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， 当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），值不变： 延长交轴和轴与点，由题意，得：， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴． 【变式10】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数、平行四边形的性质，旋转的性质，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意画出图像，先证明四边形是平行四边形，易得，在中利用三线合一得到，利用面积即可求解． 【详解】解：根据题意画出图像得， 过点作于点， ，， 根据旋转得，，，， ， 四边形是平行四边形， 易知， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题●型●破●译 题型08 一次函数与反比例函数综合应用 典例引领 【典例01】（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1)（1）大于，，，，，1，4 (2)点是坐标是 【知识点】判断一次函数的图象、待定系数法求二次函数解析式、证明四边形是正方形、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据图象和已知条件可得，，随的增大而减小，再将点和的坐标代入抛物线的解析式，解方程组即可解答； （2）设点的坐标为，证明是等腰直角三角形，则，再证明四边形是正方形，得，代入抛物线的解析式即可解答． 【详解】（1）解：∵当的值小于0时，的值大于4， 则与轴交点的坐标为， ∵该直线与轴的夹角为，且 ， 是等腰直角三角形， ∴， ∴与轴的交点的坐标是， 可得当的值小于4时，的值大于0， 即随的增大而减小， ∴该条直线的大致图象可能是B， 将，代入抛物线中得： ， 解得：； 故答案为：大于，B，，，，1，4； （2）解：设点的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠得：，， ， ， 四边形是正方形， ， 点在抛物线上， ， 解得：， ∵是线段上一点， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，正方形的性质和判定，等腰直角三角形，利用数形结合的思想是解题的关键． 【典例02】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为； (2)． 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， ∴轴，， ∴的面积． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考的固定必考考点，近5年中考每年必考，分值10分，难度系数0.6-0.7，核心考查两个函数的交点问题、解析式求解、图形面积计算、利用图象解不等式，是中考基础解答题的核心拿分点，也是代数与几何综合的衔接考点。 方法技能 1.交点问题核心解法：两个函数的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，联立两个函数解析式，解方程组即可得到交点坐标。 2.解题规范步骤： 第一步：利用已知点坐标，先求反比例函数解析式，再求另一个交点坐标； 第二步：代入两个点的坐标，用待定系数法求一次函数解析式； 第三步：求一次函数与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算图形面积； 第四步：根据两个函数的图象，直接写出不等式的解集（以交点为分界，看图象上下位置关系）。 3.易错点：写不等式解集时，要注意，分象限讨论图象的上下位置。 变式演练 【变式01】（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质是解题的关键． （1）根据交点求出m的值，再根据两直线平行求出k的值，再代入点A坐标即可求出b的值； （2）根据相切的性质，分两圆内切和外切两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切， 当两圆外切时，， ∴； 当两圆内切时，， ∴； ∴r的值为或． 【变式02】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题． （1）先利用一次函数求出m的值，得到点，再代入反比例函数解析式求出k的值即可： （2）求出点B的坐标，再求出点C的坐标，即可求出答案． 【详解】（1）解：把点代入得到， ∴， 把代入得到， 解得 （2）当时，，解得， ∴点B的坐标为， 由（1）可得，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ ∵， ∴的面积为． 【变式03】（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 【变式04】如图，在平面直角坐标中，反比例函数与一次函数的图象相交于点A和点C，一次函数图象与x轴相交于点B，其中点A的坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求一次函数的解析式； 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】（1）解：在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）， ，解得， ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数解析式为：． 【变式05】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 【变式06】（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 【答案】(1)； (2) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、反比例函数与几何综合、线段垂直平分线的判定、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将代入直线方程求出后可得点坐标，再将该坐标代入双曲线方程即可得到； （2）结合题意得出，，，根据垂直平分线的判定推得，解方程后可得，，将的值代入求得点和点坐标，满足存在即可． 【详解】（1）解：已知直线过点， 将代入直线方程， ， 双曲线过点，把，代入， ； （2）解：由题知：，，， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，， 当时，，，， 当时，，，此时、重合，舍去， 综上：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、垂直平分线的判定、两点间的距离、一元二次方程的实际应用，解题关键是运用数形结合思想解题． 题●型●训●练 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握“形如（、为常数，且）的函数是一次函数”是解题的关键． 根据一次函数的定义，分析各选项：A中可能为；B可能为二次或常数函数；D为反比例函数；C中恒为正，故与成正比，一定是一次函数． 【详解】解：∵ 一次函数需满足， 对于A，若，则，不是一次函数，故A不符合题意； 对于B，若，则为二次函数，故B不符合题意； 对于C，，，，符合（、为常数，且）的形式，一定是一次函数，故C符合题意； 对于D，，为反比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 3．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 根据正比例函数的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案． 【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴该反比例函数的比例系数大于0， ∴符合题意的反比例函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是__． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查两直线相交或平行问题，根据两条直线平行，则k值相等，可设这个一次函数的解析式是，再根据一次函数的图象经过点，求得． 【详解】解：设直线解析式是， ∵它与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴， ∴这个一次函数的解析式是． 故答案为：． 6．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 【答案】4500 【知识点】求一次函数自变量或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 7．（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数与反比例函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 正比例函数的定义、图象与性质 题型02 一次函数的定义、图象与象限分布 题型03 一次函数的增减性与函数值大小比较 题型04 一次函数解析式求解与几何面积计算 题型05 一次函数解析式求解与几何面积计算 题型06 反比例函数的定义、图象与性质 题型07 反比例函数的几何意义与几何综合 题型07 一次函数与反比例函数综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 正比例函数的定义、图象与性质 典例引领 【典例01】 若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 【典例02】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择题、填空题的入门基础考点，近5年中考多次以开篇选择题形式考查，难度系数0.850.95，核心考查正比例函数的定义判断、图象经过的象限、增减性与参数范围的对应关系，是一次函数模块的必备基础。 方法技能 1．正比例函数定义：形如 是常数， 的函数，叫做正比例函数，核心特征：无常数项、自变量次数为 1 、比例系数 。 2．图象与性质核心规律： ：图象经过第一、三象限， 随 的增大而增大； ：图象经过第二、四象限， 随 的增大而减小。 3．解题技巧：根据图象经过的象限／增减性，先确定 的正负，再求解参数范围／写符合条件的解析式。 变式演练 【变式01】（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是______．（写出一个符合题意的k的值即可） 【变式02】（2025·上海崇明·二模）已知正比例函数（是常数，且）的函数值随的增大而增大，且不经过点，那么这个正比例函数的解析式可以是_______．（只需写一个） 【变式03】（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_________． 【变式04】（2025·上海宝山·模拟预测）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为_______． 【变式05】（2025·上海浦东新·二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【变式06】（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图71中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图72中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 题●型●破●译 题型02 一次函数的定义、图象与象限分布 典例引领 【典例01】（2025·上海杨浦·模拟预测）一次函数中，，则该图像不过第___________象限． 【典例02】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的高频必考考点，近5年中考每年均有考查，难度系数0.80.9，核心考查一次函数的定义识别、根据解析式判断图象经过的象限、根据图象经过的象限求参数范围，是一次函数模块的核心基础考点。 方法技能 1．一次函数定义：形如 是常数， 的函数，叫做一次函数；当 时，即为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 2.图象象限分布核心规律 ： 当 且 时，一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当 且 时，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 当 且 时，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当 且 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限。 3.解题技巧：先根据的正负确定直线的倾斜方向，再根据的正负确定直线与轴的交点位置，最终判断经过的象限；反之亦可通过象限反推的符号。 变式演练 【变式01】（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式02】（2024·上海徐汇·三模）如果一次函数的图像一定经过第二、三象限，那么常数m的取值范围为________． 【变式03】（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型03 一次函数的增减性与函数值大小比较 典例引领 【典例01】（2025·上海金山·二模）已知直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小，那么这条直线的表达式是________．（写出一种情况即可） 【典例02】（2025·上海·二模）下列函数中，图象在第一象限的部分满足y的值随x的值增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的基础考点，近5年中考多次考查，难度系数0.80.9，核心考查根据一次函数解析式/图象判断增减性、根据增减性求参数范围、比较函数值的大小，是一次函数性质的核心应用考点。 方法技能 1.增减性核心规律：一次函数 中， 决定增减性，与 无关。 ： 的值随 的值增大而增大； 的值随 的值增大而减小。 2．函数值比较技巧： 方法一：代入解析式，分别计算函数值再比较； 方法二：根据增减性，通过自变量的大小关系，直接判断函数值的大小关系。 3．易错点：增减性仅由 的符号决定，切勿受常数项 的干扰。 变式演练 【变式01】（2025·上海闵行·二模）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·上海黄浦·二模）下列函数图像中，函数值随自变量的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型04 一次函数解析式求解与几何面积计算 典例引领 【典例01】（2026·上海杨浦·二模）直线恒过定点___________． 【典例02】（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考基础解答题的高频必考考点，难度系数0.60.7，核心考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴围成的三角形面积计算、两条直线围成的图形面积计算，是一次函数模块的核心得分点。 方法技能 1．待定系数法求解析式步骤： 设一次函数解析式为 ； 代入两个已知点的坐标，得到关于 k , b的二元一次方程组； 解方程组，求出的值，回代得到解析式。 2．面积计算核心技巧： 直线与坐标轴围成的三角形面积：先求直线与 轴交点 、与 轴交点 面积 ; 两条直线与坐标轴围成的图形面积：先求两条直线的交点坐标、与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算面积。 3．易错点：计算面积时，坐标需取绝对值，避免出现负面积。 变式演练 【变式01】（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【变式02】（2025·上海闵行·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【变式03】（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 题●型●破●译 题型05 一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【典例02】（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的高频考点，近5年中考多次考查，难度系数0.60.8，常结合行程问题、销售问题、工程问题、统计图表、几何最值命题，核心考查从图象/表格中提取信息、建立一次函数模型、解决实际问题，侧重考查数学建模与实际应用能力。 方法技能 1.解题核心步骤： 审题：从文字、图象、表格中提取关键数据，确定自变量与因变量； 建模：利用待定系数法求一次函数解析式，确定自变量的取值范围； 应用：根据解析式解决最值、方案选择、不等式求解等实际问题； 检验：验证结果是否符合实际场景。 2.上海中考高频模型：行程问题（路程时间图象）、销售利润问题、工程问题、方案优化问题。 易错点：注意图象中拐点的实际意义，自变量的取值范围要符合实际场景。 变式演练 【变式01】（2025·上海奉贤·二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 【变式02】（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【变式03】（2025·上海徐汇·二模）某文具商店为了了解3月份计算器的销售情况，对3月份各种型号计算器的销售情况进行调查，并将调查的结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整的统计图. (1)根据图中提供的信息，求3月份各种型号计算器的销售总量； (2)求3月份A型计算器的销售量，并将条形统计图补充完整； (3)该店4月份准备只进购A、B、C三种型号的计算器，总数量和3月份各型号计算器销售的总量相同，结果恰好用完进货款8200元，设购进A型计算器个、B型计算器个，求关于的函数关系式．其中，三种型号的计算器的进价如下表： A型 B型 C型 进价（单位：元／个） 50 30 20 【变式04】（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 题●型●破●译 题型06 反比例函数的定义、图象与性质 典例引领 【典例01】 下列函数的图像在每一个象限内，随着的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的必考基础考点，近5年中考每年均有考查，难度系数0.80.9，核心考查反比例函数的定义判断、图象经过的象限、增减性、函数值大小比较，是反比例函数模块的核心基础考点。 方法技能 1．反比例函数定义：形如 是常数， 的函数，叫做反比例函数，也可写成 的形式，核心特征：自变量次数为 1 、比例系数 。 2．图象与性质核心规律： 图象：双曲线，关于原点成中心对称，关于直线 成轴对称； ：图象经过第一、三象限，在每一个象限内， 随 的增大而减小； ：图象经过第二、四象限，在每一个象限内， 随 的增大而增大。 3．解题技巧：比较反比例函数值大小时，必须先判断两个点是否在同一象限，再结合增减性比较，切切直接套用增减性。 变式演练 【变式01】（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【变式02】（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式03】（2025·上海·二模）如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 【变式04】已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 【变式05】（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 题●型●破●译 题型07 反比例函数的几何意义与几何综合 典例引领 【典例01】（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强 …… …… 接触面积 …… …… 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强（） (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）； (2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【典例02】如图，过反比例函数图象上一点作垂直于轴，垂足为，交反比例函数的图象于点，连接交于点，连接，若的面积为，则________． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的中档高频考点，近5年中考多次考查，难度系数0.4-0.7，是反比例函数模块的核心难点，常结合三角形、矩形、菱形、旋转、相似三角形命题，核心考查反比例函数的几何意义、与几何图形的综合计算，是上海中考的拉分考点之一。 方法技能 1． 的几何意义核心结论：过反比例函数 图象上任意一点，作 轴、 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 |k| ；该点与原点、坐标轴垂足围成的直角三角形面积为 。 2．几何综合解题技巧： 设点法：设图象上点的坐标为 ，用含 x , k 的式子表示线段长度、图形面积； 几何性质转化：结合矩形、菱形、相似三角形、旋转的性质，找到线段之间的数量关系，建立关于 的方程求解。 3．易错点： 的符号与图象所在象限一致，计算面积时先取绝对值，再结合象限确定 的正负。 变式演练 【变式01】如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．14 【变式02】如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与和的图象交于点，．若的面积为10，则的值为__________． 【变式03】如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，C是x轴上的一个动点，连接，，．若轴，且的面积为5，则k的值为______． 【变式04】（2025·上海·模拟预测）将反比例函数的图象向右平移个单位，所得函数图象与轴的交点坐标是______． 【变式05】（2025·上海·模拟预测）已知反比例函数的图像经过点，那么k的值为______． 【变式06】（2025·上海虹口·二模）已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 【变式07】（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为___________． 【变式08】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A、D分别在x轴正半轴和y轴正半轴上．反比例函数的图像过点B，连接，若轴，则下列命题中（　　）正确． 命题甲：反比例函数的图像不过点C； 命题乙：反比例函数的图像过菱形的旋转对称中心，的值不变． A．甲、乙 B．甲 C．乙 D．没有一个 【变式09】（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 【变式10】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上一点，点是轴上一点，，将绕点旋转，点的对应点分别为．当四边形的面积等于8时，点的坐标是_______． 题●型●破●译 题型08 一次函数与反比例函数综合应用 典例引领 【典例01】（2025·上海徐汇·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、．当的值小于0时，的值大于4，且该直线与轴的夹角为．抛物线经过点和点． (1)【问题提出】如何求抛物线解析式 观察条件“当的值小于0时，的值大于4”，可得当的值小于4时，的值__________（选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图像可能是__________（选填“A”或“B”），其中与轴交点的坐标为__________．继续阅读条件，“该直线与轴的夹角为”告诉我们其与轴的交点的坐标是__________，最终带入抛物线，列出方程组__________，解得__________，__________． (2)【综合运用】 是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标． 【典例02】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考的固定必考考点，近5年中考每年必考，分值10分，难度系数0.6-0.7，核心考查两个函数的交点问题、解析式求解、图形面积计算、利用图象解不等式，是中考基础解答题的核心拿分点，也是代数与几何综合的衔接考点。 方法技能 1.交点问题核心解法：两个函数的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，联立两个函数解析式，解方程组即可得到交点坐标。 2.解题规范步骤： 第一步：利用已知点坐标，先求反比例函数解析式，再求另一个交点坐标； 第二步：代入两个点的坐标，用待定系数法求一次函数解析式； 第三步：求一次函数与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算图形面积； 第四步：根据两个函数的图象，直接写出不等式的解集（以交点为分界，看图象上下位置关系）。 3.易错点：写不等式解集时，要注意，分象限讨论图象的上下位置。 变式演练 【变式01】（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【变式02】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【变式03】（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【变式04】如图，在平面直角坐标中，反比例函数与一次函数的图象相交于点A和点C，一次函数图象与x轴相交于点B，其中点A的坐标是． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求一次函数的解析式； 【变式05】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【变式06】（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 题●型●训●练 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 5．（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是__． 6．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 7．（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $