专题突破练4 三角函数的化简与求值（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练4　三角函数的化简与求值 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2025湖北黄冈高三模拟)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=x上,则sin 2θ=(　　) A.- B.- C. D. 2.已知sin(α-β)=-=-,则sin(α+β)的值为(　　) A.- B.- C. D. 3.(2025江苏南通高三月考)已知sin 2α=2sin 2β,cos 2α=4sin2β,则cos(2α+β)=(　　) A.0 B.- C. D. 4.(2025河北高三模拟)若cos α+cos β=,cos(α-β)=-,其中α,β∈(0,π),则sin α+sin β=(　　) A. B. C. D. 5.(2025湖北八市高三联考)已知cos(α+β)=sin αcos β,tan αtan β=-2,则tan(α+β)=(　　) A.- B. C. D.- 6.(2025湖北七市州高三模拟)已知tan2α-sin2α=,则tan2αsin2α=(　　) A.0 B.- C. D. 7.已知f(α)=,则f(-)的值为(　　) A.0 B.- C. D. 8.(2025浙江宁波高三模拟)已知tan α=3tan β,则的最大值为(　　) A. B. C.1 D. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2025江苏南京高三模拟)已知cos αcos β=,cos(α+β)=,则(　　) A.sin αsin β= B.cos(α-β)= C.tan αtan β=- D.sin 2αsin 2β= 10.(2025全国1,11)已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则(　　) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 11.(2025河北唐山高三模拟)已知tan β=,则tan(β-α)=　　　　.  12.(2025山东济南高三一模)函数f(x)=|sin x|+cos x的最小值为　　　　,最大值为　　　　. 13.(2022全国乙,文11改编)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为　　　　. 核心素养创新练 14.(17分)(2025全国1,19)(1)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间[0,]的最大值; (2)给定θ∈(0,π)和a∈R,证明:存在y∈[a-θ,a+θ]使得cos y≤cos θ; (3)设b∈R,若存在φ使得5cos x-cos(5x+φ)≤b对x∈R恒成立,求b的最小值. 答案： 1.C　解析 由题意知tan θ=,则sin 2θ=故选C. 2.C　解析 由题可得,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=- ① 因为=-,则cos αsin β+3sin αcos β=0, ② 联立①②得,sin αcos β=-,cos αsin β=, 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= 3.A　解析 依题意sin 2α=2sin 2β,cos 2α=4sin2β,若sin β=0,则cos 2α=0.而sin 2α=2sin 2β=4sin βcos β=0,与sin22α+cos22α=1矛盾,所以sin β≠0,cos 2α≠0,所以,则cos 2αcos β-sin 2αsin β=0,即cos(2α+β)=0.故选A. 4.A　解析 令sin α+sin β=t(t>0). ① ∵cos α+cos β=, ② 则由①2+②2,得2+2cos(α-β)=t2+又cos(α-β)=-,故t2=t>0,∴t=故选A. 5.C　解析 由cos(α+β)=sin αcos β,得cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β,所以1-tan αtan β=tan α.又因为tan αtan β=-2,所以tan α=3,tan β=-,故tan(α+β)=故选C. 6.C　解析 由题意得,tan2α-sin2α==tan2αsin2α=故选C. 7.C　解析 由题得,f(α)==cos α,所以f(-)=cos(-)=cos故选C. 8.B　解析 ,当且仅当=3tan β时,等号成立.故选B. 9.BC　解析 由题可知,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=,则sin αsin β=-,故A错误;cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故B正确;tan αtan β==-,故C正确;sin 2αsin 2β=2sin αcos α·2sin βcos β=4sin αsin βcos αcos β=4×(-)=-,故D错误.故选BC. 10.ABC　解析 由cos 2A+cos 2B+2sin C=2,得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2,所以sin C=sin2A+sin2B.故A正确.sin2A+sin2B=sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0.(*) 由cos Acos Bsin C=,可知A,B均为锐角. 若A+B>,则 所以sin A>cos B,sin B>cos A,与(*)式矛盾,舍去.同理,若A+B<,与(*)式也矛盾.所以A+B=,所以B=-A,C=由cos Acos Bsin C=,得sin Acos A=在△ABC中设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 由S△ABC=absin C=,得ab=,所以csin A·ccos A=,即c2sin Acos A=,所以c2=2,所以AB=故B正确.所以AC2+BC2=AB2=2≠3.故D错误.因为(sin A+sin B)2=(sin A+cos A)2=1+2sin Acos A=,所以sin A+sin B=故C正确.故选ABC. 11.1　解析 由tan β=,得tan β(1-tan α)=1+tan α,所以tan β-tan α=1+tan αtan β,所以tan(β-α)==1. 12.-1　　解析 易知,f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R,因为f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),所以f(x)为偶函数.又f(x+2π)=|sin(x+2π)|+cos(x+2π)=|sin x|+cos x=f(x),所以f(x)是以2π为周期的偶函数,故要求f(x)的最小值,只需求f(x)在区间[0,π]上的值域即可.当x∈[0,π]时,x+[],则f(x)=sin x+cos x=sin(x+),-1≤f(x)故f(x)的最小值为-1,最大值为 13.-+2　解析 函数f(x)的导数f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,x∈[0,2π].令f'(x)=0,得x=或x=当x∈[0,)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈()时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(,2π]时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故当x=时,函数f(x)有极大值f()=+2;当x=时,函数f(x)有极小值f()=-又因为f(0)=2,f(2π)=2,所以函数f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-,最大值为+2. 14.解 (1)(方法一)因为f(x)=5cos x-cos 5x,x∈[0,],所以f'(x)=-5sin x+5sin 5x=5[sin(3x+2x)-sin(3x-2x)]=10cos 3x·sin 2x. 令f'(x)=0,得cos 3x=0或sin 2x=0. 因为0≤x,所以x=0或x= 当0<x<时,0<3x<,0<2x<,cos 3x>0,sin 2x>0,即f'(x)>0. 当<x<时,<3x<<2x<,cos 3x<0,sin 2x>0,即f'(x)<0. 所以f(x)在区间(0,)内单调递增,在区间()内单调递减, 所以f(x)在区间[0,]上的最大值为f()=3 (方法二)f'(x)=-5sin x+5sin 5x,x∈[0,]. 令f'(x)=0,得sin x=sin 5x,所以5x=x+2kπ或+kπ,k∈Z,化简得x=或x=,k∈Z. 由x∈[0,],得x=0或x= 当0<x<时,0<3x<,0<2x<,cos 3x>0,sin 2x>0,即f'(x)>0. 当<x<时,<3x<<2x<,cos 3x<0,sin 2x>0,即f'(x)<0. 所以f(x)在区间(0,)内单调递增,在区间()内单调递减, 所以f(x)在区间[0,]上的最大值为f()=3 (2)(方法一)不妨设a∈[0,2π),令g(y)=cos y-cos θ,目标转化为证明存在y∈[a-θ,a+θ],使得g(y)≤0. 而g(a-θ)=cos(a-θ)-cos θ=-2sinsin(-θ)=2sin(θ-)sin,g(a+θ)=-2sin(θ+)sin 若a-θ<θ<a+θ,则a<2θ.令y=θ∈[a-θ,a+θ],则cos y=cos θ.若θ≤a-θ,a≥2θ,令y=a-θ,则y∈(0,π)且y∈[a-θ,a+θ],cos y≤cos θ. 由周期性,∀a∈[2kπ,(2k+1)π)(k∈Z),上述结论都成立. 综上,存在y∈[a-θ,a+θ],使得cos y≤cos θ. (方法二　反证法)假设结论不成立,即对任意y∈[a-θ,a+θ],均有cos y>cos θ. 而cos y>cos θ⇔y∈(2kπ-θ,2kπ+θ)(k∈Z),即对任意y∈[a-θ,a+θ],y∈(2kπ-θ,2kπ+θ)(k∈Z),所以[a-θ,a+θ]⊂(2kπ-θ,2kπ+θ). 故存在整数k,使得2kπ-θ<a-θ<a+θ<2kπ+θ,所以2kπ<a<2kπ,与a的存在性矛盾,故假设错误,原命题正确. (方法三)cos y≤cos θ⇔cos y-cos θ≤0⇔2sinsin0.而当2sinsin0时,sin0,sin0或sin0,sin0. 当sin0,sin0时,2k2kπ+π,解得4kπ-2π+θ≤y≤4kπ+θ, ① 2kπ-2kπ,解得4kπ-2π-θ≤y≤4kπ-θ. ② 由①②式同时成立得4kπ-2π+θ≤y≤4kπ-θ,因为存在y∈[a-θ,a+θ],所以 解得A={a|4kπ-2π≤a≤4kπ,k∈Z}. 同理,由sin0,sin0,解得B={a|4kπ≤a≤4kπ+2π,k∈Z}. 因为A∪B=R,所以2sinsin0恒成立,即cos y≤cos θ. (方法四　直接证明)因为函数u(x)=cos x的周期为2π,不妨设a∈[-π,π]. 当a≥0时,若a+θ≥π,存在y=π满足cos y≤cos θ;若a+θ<π,则0<θ<a+θ<π. 又函数u(x)=cos x在区间(0,π)内单调递减,故存在y=a+θ满足cos y≤cos θ. 当a<0时,若a-θ≤-π,存在y=-π满足cos y≤cos θ;若a-θ>-π,则-π<a-θ<-θ<0. 又函数u(x)=cos x在区间(-π,0)内单调递增,故存在y=a-θ满足cos y≤cos θ. 综上所述,原命题成立. (3)(方法一)依题意,不妨设φ∈[0,2π),g(x)=5cos x-cos(5x+φ). 因为g(x+2π)=5cos(x+2π)-cos(5x+10π+φ)=5cos x-cos(5x+φ)=g(x), 故g(x)为周期函数且周期为2π,故只需讨论x∈[0,2π]的情况. (ⅰ)当φ=0时,g(x)=f(x)=5cos x-cos 5x,x∈[0,π]. 当x∈[0,]时,由(1)可得g(x)∈[4,3]. 当x∈[]时,g'(x)=5(sin 5x-sin x)=5[sin(3x+2x)-sin(3x-2x)]=10cos 3x·sin 2x≤0, 所以g(x)在区间[]上单调递减,从而g(x)∈[g(),g()]=[0,3]. 当x∈[,π]时,π-x∈[0,],当x∈[0,]时,g(x)∈[0,3],g(x)=-g(π-x)≤0.由上可知,当φ=0时,x∈[0,π],[g(x)]max=3,从而b≥3 (ⅱ)当0<φ<2π时,取x0=(-),则cos x0>cos此时g(x0)=5cos x0-cos(5x0+π-6x0)=6cos x0>3综上可知,b的最小值为3 (方法二)令F(x)=5cos x-cos(5x+φ),由于F(x)的周期为2π,不妨考虑φ∈[0,2π],x∈[-π,π],当φ=0时,F(x)=5cos x-cos 5x是偶函数,又F(x)+F(π-x)=0,所以F(x)关于(0,)对称,由第(1)问知F(x)在区间[0,]上是增函数,在区间()内是减函数,故[F(x)]max=F()=3,从而φ=0时,F(x)=5cos x-cos 5x在区间[-π,π]上的最大值为3 当φ∈(0,2π)时,F'(x)=-5sin x+5sin(5x+φ)=0⇔sin(5x+φ)=sin x⇔5x+φ=x+2kπ或5x+φ+x=2kπ+π,k∈Z⇔xk=-kπ或xk=kπ(k∈Z). 取xk=(-),则F(xk)=6cos>6cos=3 从而当φ∈(0,2π)时,存在xk=使得F(x)>3 综上,b的最小值为3 5 学科网（北京）股份有限公司 $